第3章·勾股定理·期中复习·培优提高讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第3章·勾股定理·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理的内容与证明方法，能利用勾股定理求直角三角形边长 · 掌握勾股定理的逆定理，会判断三角形是否为直角三角形 · 会识别勾股数，掌握常见勾股数组与规律（罗士琳法则等） · 掌握最短路径、折叠、网格、实际应用等勾股定理经典模型 · 理解弦图、勾股树等面积模型，能解决综合性探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2 勾股定理只适用于直角三角形，求边长时先确定直角与斜边 由勾股定理可变形求任一边：c=，a= 证明方法：赵爽弦图、达芬奇法、总统证法等，核心是面积相等 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求 AB 的长。 答案：10 解析：由勾股定理得 AB====10。 ☆ 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 逆定理用于判定三角形是否为直角三角形，c 取最大边 判定步骤：找最大边→计算两小边的平方和→与最大边平方比较 勾股定理与逆定理的区别：定理用于求边，逆定理用于判形 概念辨析例题：下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4　B．5，12，13　C．6，7，8　D．4，5，6 答案：B 解析：52+122=25+144=169=132，所以 5、12、13 能构成直角三角形，故选 B。 ☆ 3.勾股数 勾股数：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，如 3、4、5；5、12、13；6、8、10 勾股数必须都是正整数，整数倍仍是勾股数；分数、小数、无理数都不算 常见规律：奇数为第一个数时，如 3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41 罗士琳法则等可以生成勾股数，观察每组第一个数与后两数的关系 概念辨析例题：下列各组数中，是勾股数的是（　　）A．1，1，　B．，，1　C．6，8，10　D．5，13，13 答案：C 解析：A 中含无理数、B 中含分数均不是勾股数；D 中 52+132≠132；C 中 62+82=102 且都是正整数，是勾股数。 ☆ 4.勾股定理的应用 最短路径：化立体为平面，展开侧面后用两点之间线段最短+勾股定理 折叠问题：折叠前后图形全等，对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 网格问题：格点间的距离用勾股定理计算，再判断形状或角度 实际应用：旗杆、秋千、轮船航海、建站选址等，先抽象出直角三角形 概念辨析例题：圆柱底面周长为 24 厘米，高为 5 厘米，蚂蚁从下底面 A 点沿侧面爬到上底面相对点 B，最短路程是多少？ 答案：13 厘米 解析：将圆柱侧面展开成矩形，宽为周长 24、高为 5，蚂蚁爬行路线为对角线，由勾股定理得 ==，取 24 的一半 12 与 5 构成直角三角形得 13。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 a2+b2=c2 只适用于直角三角形 逆定理 a2+b2=c2 则直角 c 为最大边 勾股数 满足定理的正整数 3、4、5；5、12、13 等 弦图 面积法证明定理 大正方形=4个三角形+小正方形 最短路径 展开+两点间线段最短 化立体为平面 折叠问题 折叠前后全等 设未知数列方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股数与勾股定理逆定理 · 判断勾股数：三个正整数且两小边平方和等于最大边平方 · 判断能否构成直角三角形：先找最大边，再算两小边平方和比较 · 利用勾股定理逆定理证明垂直：证两直线夹角为直角 · 含条件的判定题（角的关系、边的关系）分别用内角和与逆定理 1．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．1，1， C．1，2， D．1，3， 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据两小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形，逐项判断即可得解． 【详解】解：A、，故5，12，13能构成直角三角形，不符合题意； B、，故1，1，能构成直角三角形，不符合题意； C、，故1，2，能构成直角三角形，不符合题意； D、，故1，3，不能成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：∵勾股数必须是正整数且满足（其中为最大数）， A.，，，不符合题意； B.，，，不符合题意； C.，，，符合题意； D.，，，不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理判断A和C即可；根据三角形的内角和定理判断B和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A. 0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B.不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，不能够构成三角形，不符合题意； D.，故是勾股数，符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（   ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．根据的值决定 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用．通过比较最大边的平方与其他两边的平方和，判断三角形的形状． 【详解】解：， 以、、为三边构成的三角形是钝角三角形， 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各组数中，是一组勾股数的是（   ） A．1，1， B．，， C．6，8，10 D．5，13，13 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义，需满足三个正整数且两较小数的平方和等于最大数的平方，由此判断选项即可． 【详解】解：A．不是正整数，不符合勾股数要求； B．，，中均为分数，不是正整数，不符合勾股数要求； C．，是勾股数； D． ，不符合勾股数要求． 故选：C． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各组数中，哪一组是勾股数（     ） A．1，2，4 B．1，3，5 C．3，4，7 D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股数的定义“可以构成一个直角三角形三边的一组正整数”即可求解． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D ． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，9 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理逆定理：验证每组数中较小两数的平方和是否等于最大数的平方，以及三角形三边关系判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形， 故此选项不符合题意； B、∵，， ∵ ， ∴不能组成直角三角形， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴能组成直角三角形， 故此选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴不能组成直角三角形， 故此选项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由网格可得： ， ， ∵线段a，b，恰好能作为直角三角形三边， 当作为斜边时，， ∵ ∴， ∵， ∴取格点，，，则点，即为所求的点，如图： 当作为斜边时，， ∵ ∴， 网格中，找不到一个格点，使得， 综上，符合条件的点只有个， 故选：B． 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是___． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握运用勾股定理判断三角形成为直角三角形成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，再运用勾股定理逆定理证明，进而得到；同理得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴根据勾股定理可得 ， ∵在 中， ， 又， ， 同理得， ． 故答案为：． 【考点2】勾股定理的基本计算 · 求斜边：c=；求直角边：a= · 斜边上的高：先用勾股定理求斜边，再用等面积法求高 · 坐标、网格中的线段长度用勾股定理转化为坐标差平方和 · 含完全平方的关系式（直角边和、积、斜边）联立方程求解 13．（23-24八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．100 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理以及正方形的面积公式得出，，， ，求出，进而得出． 【详解】解：∵，，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 14．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④；其中正确结论的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用，先求解，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形， ∴，， ，， ∴，， ∴，故①和②正确； ∵四边形的周长， ∴四边形的周长，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，是斜边上的高，是的中线，是的角平分线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关定理是解题关键，作出图形，再逐个分析结论，利用对应知识验证对错． 【详解】解：如图， ①根据勾股定理可得， ， ， ， ，故①错误； ②∵， ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵在中， ∴，故②正确； ③∵在中，， 在中，， ∴，故③正确； ④∵是斜边的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴，故④错误； 综上，正确的是②③， 故选：B． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键. 根据中心对称图形的性质可得，则，再利用勾股定理即可得到答案. 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴ ∴ 故答案为：. 17．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）已知 的两直角边分别是3， 4，则的斜边上的高是_________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是3， 4， 斜边， ， ， ∴的斜边上的高是． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，则点B的坐标为_______． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．过B作于C，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解∶过B作于C， 则． 是边长为2的等边三角形， ，． 在中，由勾股定理得∶ ． 点的坐标为． 故答案为∶． 19．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，于点，，，则___________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据勾股定理得，结合，则，结合等面积法进行列式得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为： 20．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则__________． 【答案】34 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在和中，根据勾股定理得，，进一步得出，再根据，可求得的值 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴ 故答案为：34 21．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，若，且，则的长为___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的勾股定理，由直角三角形性质可得，进而可得，推出，再运用勾股定理即可求得答案．解题关键是正确运用勾股定理． 【详解】解：解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 在中，． 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）直角三角形直角边之和为，面积为，则斜边长为_______． 【答案】2.5 【知识点】运用完全平方公式进行运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用，设一直角边为，另一条直角边为，斜边长为，由题意可得：，，即，再由勾股定理结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：设一直角边为，另一条直角边为，斜边长为， 由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 23．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，，若点P是射线上一个动点，，则的长为______．    【答案】25 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理，，，求和计算即可． 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，在中，，，，求的面积．    某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．    【答案】9 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】利用的长表示出的长，利用勾股定理得出的值，再求出，并利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 解得：， ， ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出的长是解题关键． 25．（24-25八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），根据勾股定理计算即可； 对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可. 【详解】（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 26．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”． 如图，中，． (1)若，，求证：是“等边中三角形”； (2)若且是“等边中三角形”，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，取的中点，连接， 则， ∴由勾股定理可得：， ∴， ∴是“等边中三角形”； (2)或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，理解“等边中三角形”的定义是解此题的关键． （1）取的中点，连接，则，再由勾股定理计算出的长，即可得解； （2）根据“等边中三角形”的定义，分两种情况，分别结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是“等边中三角形”， ∴如图，取的中点，连接，则，当时， ， 此时， 如图，取的中点，连接，则，， ， 由勾股定理可得： ∴， ∴， 综上所述，或． 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】 证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】略 28．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，内接于，为的直径，． (1)求的度数． (2)若点是弧的中点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得，根据为的直径，得出，进而即可求解． （2）根据已知可得则，进而根据三角形内角和定理以及等角对等边得出，等量代换可得，进而在中，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，根据已知条件得出的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是圆的内接四边形，． ∴， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）解：∵点是弧的中点， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为的直径， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，弦与弧的关系，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【考点3】弦图与勾股树 · 弦图：大正方形面积=4 个直角三角形面积+小正方形面积 · 勾股树：每次生长新增的正方形面积和等于原面积，总面积为 n+1 · 以三边为边作正方形：斜边正方形面积=两直角边正方形面积之和 · 面积关系题先表示出各部分面积，再代入勾股定理关系式 29．（23-24八年级上·江苏常州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A． B． C．2023 D．2024 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1 ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选：D． 30．（2025·广东东莞·模拟预测）如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 31．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题考查了勾股定理以及正方形的性质，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2024次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知， “生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2024次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2025； 故选：C． 32．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的运用．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， ． 故答案为：3． 33．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则______．    【答案】15 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到+=，代入计算即可． 【详解】解：∵中，，      ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴+=， ∵，， ∴， 故答案为：15． 34．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为144和108，则小正方形M的边长为________． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是明确“正方形面积边长的平方”；解题时将面积关系转化为边长的平方关系，再用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵以、为边的正方形面积分别为144和108，即，， ∴， ∴小正方形的边长． 故答案为：． 35．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）的值就是把面积的平方相加即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… 按此规律，， ∴（负值已舍去）； （2）解：， ， ， …… 按此规律，， ， ， ， …… 按此规律，（是正整数）； （3）解： ． 【考点4】最短路径问题 · 圆柱/长方体表面爬行：展开侧面为矩形，化折为直 · 两点之间线段最短，连线段后用勾股定理求长度 · 华表、楼梯等盘绕问题：把绕行展开为多段直角三角形 · 蜘蛛爬书架内壁等：考虑不同展开方式，取最小值 36．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图：   可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线是，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 37．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【答案】A 【知识点】几何体展开图的认识、两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 38．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为______米． 【答案】20 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在华表柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在华表柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：20． 39．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理，作于点，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，则， 依题意得，，， 在中，， ∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是， 故答案为：． 40．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为_____cm． 【答案】10 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 41．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为______． 【答案】50 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开一最短路径问题，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长，再根据勾股定理求出的长即可，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键． 【详解】解：如图，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长， 由图可知：， ， 在中， ， 则它爬行的最短距离为， 故答案为：． 【考点5】折叠问题 · 折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等 · 设未知数，用折叠得到的等量关系结合勾股定理列方程 · 折叠点落在坐标轴上：用坐标差表示线段，列勾股方程求坐标 · 等腰、相似结合的多解折叠问题分类讨论 42．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【知识点】垂线段最短、勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 43．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______  ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，运用方程思想，关键是利用折叠得相等线段，设未知数结合勾股定理列方程，易错点为折叠后线段长度关系分析错误；先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解点坐标． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点 ，点 ， ∴， 则； ∵点 ，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即 ∵点是上，在轴上， ∴点的坐标为； 故答案为． 44．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 45．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 【答案】5或或或10 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图， 由折叠得：，，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，作，连接，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ③若，如图3，过点A作于H，延长交于M， 同理可求， ∴， 故答案为：5或或或10． 46．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】由折叠的性质可得即，然后再求得的长，用等面积法列式求出，然后求出，用勾股定理求出，最后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴的周长． 47．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，矩形中，为上一动点（与A、B不重合），将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，连接交于，若，，，则折痕的长为______．    【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据折叠及矩形的性质得到，即可得到，如图，过点Q作于点H，得到，利用相似比得到，从而得到及，根据等量代换得到，证明，据此求解即可． 【详解】解：由折叠可知，垂直平分，    ∴，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，过点Q作于点H，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 【考点6】网格与数形结合 · 格点间距离用勾股定理计算： · 网格中判断直角三角形：计算三边长用逆定理验证 · 网格中求角：构造直角三角形求正弦等三角函数值 · 网格作图：利用对称、勾股数画满足条件的图形 48．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：如图， 由图可知： ，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 49．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为 ____． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，如图： 在中，，， ， ， 故答案为：． 50．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植______棵苹果树． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了勾股定理和无理数的估算．此题为了最大化种植苹果树的数量，同时满足每两棵苹果树之间的距离都要大于2米的要求，我们采用隔点种植的方法，在横纵方向，每行每列最多能种植3棵苹果树，因两棵树之间的距离最小为3米，而试验田的边长为7米，所以最多可以种植3棵苹果树，满足要求，即可求出答案． 【详解】解：在的正方形网格田中，采用隔点种植的方式，每行每列最多能种植3棵苹果树,小正方形的对角线长度为 ，最小长方形的对角线长度为，均满足大于2米的要求， 如图， 因此，这块试验田最多可种植棵苹果树， 故答案为： 51．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，请借助于几何直观来阐明下列“数”的某种关系．在方格纸中画出图形，并说明“”． 【答案】 如图，若网格的小正方形边长为1， 在网格中画，，， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， 所以． 【知识点】三角形三边关系的应用、勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了勾股定理和网格，三角形三边关系， 设方格纸中每个小正方形的边长为1，在方格纸上构造，使，，，进而根据三角形三边之间的关系可得出结论． 【详解】略 52．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与△关于直线成轴对称的△； (2)的周长为_________． 【答案】(1) 解：关于直线l成轴对称的如下图，   ； (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了作图−轴对称变换以及求三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出关键点、，作图即可即可； （2）利用网格及勾股定理确定，然后求周长即可． 【详解】（1）略 （2）由网格得：， 的周长为：． 故答案为：． 53．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在正方形网格上有一个． (1)作关于直线的对称图形（不写作法） (2)在直线上找一点P，使有最小值，那么最小值为 ． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形 【分析】本题考查轴对称作图． （1）根据成轴对称的性质，画出，即可； （2）连接，根据，求出的长即可． 掌握成轴对称的性质，是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）连接，则：， ∴最小值即为的长， 由勾股定理，得：； 故答案为：． 54．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）（1）比较大小：________（填“”、“”或者“”），我们发现可以利用数形结合法来解决问题，借助三角形三边关系，在方格纸上构造出以这三个数为三边的三角形，从而得出结论，请利用图①中三角形的三边关系比较大小（设小正方形的边长为1）； （2）用（1）中的方法在图②中画图比较大小：_______（填“”、“”或者“”） （3）用（1）中的方法在图③中画图比较大小：_______（填“”、“”或者“”）． 【答案】（1） （2）如图， （3），如图， 【知识点】实数的大小比较、三角形三边关系的应用、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，比较实数的大小关系： （1）根据三角形的三边关系比较实数的大小关系即可； （2）画一个边长分别为：的三角形，利用三角形的三边关系即可得出结果； （3）画一个边长分别为：的三角形，利用三角形的三边关系即可得出结果； 【详解】解：（1）如图，由图可知：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图，分别作，，， ∵， ∴， 故答案为：； （3）如图，分别作，，， ． 故答案为：． 55．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出关于y轴的对称图形； (2)判断是否是直角三角形，并说明理由； 【答案】(1) 如图所示． (2) 解：不是直角三角形， 理由，根据图形可知，，， ， ， 不是直角三角形． 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称的作图，勾股定理及其逆定理，掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键． （1）先作出关于y轴的对称的点，再连线，即可求解； （2）根据图形，求出线段的长度，再用勾股定理的逆定理进行判断，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【考点7】勾股定理的实际应用 · 航海、秋千、旗杆等问题先画示意图，抽象出直角三角形 · 设未知数列勾股方程，注意单位统一 · 选址问题：设所求位置为 x，用勾股定理表示两距离相等 · 判断合格与否（直角）：用逆定理验证 56．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）一帆船由于风向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，这时它离出发点有______千米． 【答案】13 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是理解题意；由题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：离出发点的距离为（千米）， ∴这时它离出发点有13千米； 故答案为：13． 57．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为___________米    【答案】12 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为12米， 故答案为：12． 58．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【答案】13 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 59．（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是3米． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用．设秋千的绳索长为，表示出的长，列出，代入数据即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，根据题意可得， 由题意得，， ∴， 在中，， ， 解得：， 绳索的长度是3米． 60．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该婴儿车符合安全标准， ∵ ∴在中，由勾股定理，得， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴该婴儿车符合安全标准． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直．先在中，根据勾股定理求出，再计算与的值，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角． 【详解】略 61．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 62．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理、算术平方根的应用，理解题意，求出是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用点C表示的数减去边的长可得m值，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意，小正方形对角线的长度为； （2）解：由（1）知，正方形的边，C与重合， ∴点D在数轴上表示的数， ∴． 63．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）一种四边形机器零件的形状如图所示（其中），按规定：当为直角时，这个零件视为合格．现工人师傅测得这个零件的四条边长分别为，，，． (1)你认为这个零件合格吗？为什么？ (2)求这个四边形机器零件的面积． 【答案】(1) 解：这个零件合格． ，，， ， ，， ， ，即这个零件合格． (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）由勾股定理的长，再由勾股定理的逆定理，判断出的形状，即可得出结论； （2）由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）所求面积为， 即这个四边形机器零件的面积为． 64．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 【考点8】勾股定理的证明与综合探究 · 证明勾股定理：面积法（弦图、达芬奇图），列面积等式 · 平方关系证明：多次用勾股定理，代数整理得出目标等式 · 综合探究题：读透新定义（如“等边中三角形”），按定义分情况 · 构造图形解决问题：构造直角三角形、正方形，数形结合 65．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到直线的距离、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 66．（2024·辽宁大连·一模）中，，，，将绕点旋转得到，连接、，在旋转过程中，面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，三角形的面积，过作于点，过点作于点，根据勾股定理和等积法分别得到，，由将绕点旋转得到，可得，当点、、共线时取“”，此时取得最大值，即可得出相应的的面积．确定“的最大值”是解题的关键． 【详解】解：过作于点，过点作于点， ∵将绕点旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点旋转得到， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最大值：， ∴在旋转过程中，面积的最大值是：． 故选：B． 67．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    【答案】 证明：根据题意得，图1中空白部分的面积， 图2中空白部分的面积， 由，得， ． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，首先根据正方形和三角形的面积公式，用含，，的代数式分别表示，，再根据题意列方程即可得到结论． 【详解】略 68．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据已知图形利用勾股定理计算即可； （2）作点关于的对称点，连接，得到，则的最小值即为的长，利用勾股定理计算即可； （3）构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，得到，延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）在已知图形中，，则， 在中，， 在中，， ； 故答案是：；． （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）如图，构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和额交点处时，的长最短，从而点的长最短，最小值为线段的长，过点作，交于点， 在中，，， ， 的最小值等于． 故答案是：． 69．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形 (1)如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同的直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，请你借助该图、证明勾股定理； (2)一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】(1) 正方形面积表示为：， 正方形面积还可以表示为：， 所以，， 即． (2) 在中，， 所以是直角三角形，是直角， 在中，，， ， 所以不是直角三角形，不是直角， 因此，这个零件不符合要求． 【知识点】勾股定理的证明方法、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的证明及其逆定理： （1）根据大正方形的面积等于四个小三角形的面积与小正方形的面积之和为数量关系即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理判断不是直角三角形，不是直角，进而可求解； 熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 70．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）【问题初探】　 如图1，与相交于点，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 【方法应用】 （2）如图3，矩形中，、分别是、上的点，满足，，直接写出线段和数量关系为________； 【能力拓展】 （3）如图4，在中，，，在边上取点（），在边上取点，使，连接，，求的大小． 【答案】（1）四边形是平行四边形，，是等边三角形；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，平行线的性质，添加辅助线，构造平行四边形和等边三角形是解决问题的关键． （1）过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，得四边形是平行四边形，可知，，，，再根据平行线的性质，结合，四边形的内角和为，求得，进而求得，即可求解； （2）过点作交于点，连接，证明四边形是平行四边形，可得，，证明，可得为等腰直角三角形，即可求解； （3）过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，则四边形是平行四边形，证明，可得是等边三角形，则，由，，可得，由即可求解． 【详解】解：（1）如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴. ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴ ， ∴， ∴. ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：四边形是平行四边形，，是等边三角形． （2）如图，过点作交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：． （3）如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，∵， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 勾股定理只用于直角三角形，先确定斜边再套公式 · 逆定理判直角时最大边的平方与两小边平方和比较 · 勾股数必须是正整数，判断时逐项验证 · 最短路径化立体为平面、折叠问题设未知数，是两类核心模型 · 弦图、勾股树的面积关系抓住“斜边正方形面积=两直角边正方形面积之和” 【作业1】．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．1，1， C．1，2， D．1，3， 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据两小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形，逐项判断即可得解． 【详解】解：A、，故5，12，13能构成直角三角形，不符合题意； B、，故1，1，能构成直角三角形，不符合题意； C、，故1，2，能构成直角三角形，不符合题意； D、，故1，3，不能成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 【作业2】．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：∵勾股数必须是正整数且满足（其中为最大数）， A.，，，不符合题意； B.，，，不符合题意； C.，，，符合题意； D.，，，不符合题意． 故选：C． 【作业3】．（23-24八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．100 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理以及正方形的面积公式得出，，， ，求出，进而得出． 【详解】解：∵，，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 【作业4】．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图：   可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线是，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 【作业5】．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（   ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．根据的值决定 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用．通过比较最大边的平方与其他两边的平方和，判断三角形的形状． 【详解】解：， 以、、为三边构成的三角形是钝角三角形， 故选：C． 【作业6】．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）一帆船由于风向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，这时它离出发点有______千米． 【答案】13 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是理解题意；由题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：离出发点的距离为（千米）， ∴这时它离出发点有13千米； 故答案为：13． 【作业7】．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为___________米    【答案】12 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为12米， 故答案为：12． 【作业8】．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的运用．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， ． 故答案为：3． 【作业9】．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【答案】13 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 【作业10】．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则______．    【答案】15 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到+=，代入计算即可． 【详解】解：∵中，，      ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴+=， ∵，， ∴， 故答案为：15． 【作业11】．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）已知 的两直角边分别是3， 4，则的斜边上的高是_________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是3， 4， 斜边， ， ， ∴的斜边上的高是． 故答案为：． 【作业12】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，则点B的坐标为_______． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．过B作于C，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解∶过B作于C， 则． 是边长为2的等边三角形， ，． 在中，由勾股定理得∶ ． 点的坐标为． 故答案为∶． 【作业13】．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，在中，，，，求的面积．    某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．    【答案】9 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】利用的长表示出的长，利用勾股定理得出的值，再求出，并利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 解得：， ， ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出的长是解题关键． 【作业14】．（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是3米． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用．设秋千的绳索长为，表示出的长，列出，代入数据即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，根据题意可得， 由题意得，， ∴， 在中，， ， 解得：， 绳索的长度是3米． 【作业15】．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在正方形网格上有一个． (1)作关于直线的对称图形（不写作法） (2)在直线上找一点P，使有最小值，那么最小值为 ． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形 【分析】本题考查轴对称作图． （1）根据成轴对称的性质，画出，即可； （2）连接，根据，求出的长即可． 掌握成轴对称的性质，是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）连接，则：， ∴最小值即为的长， 由勾股定理，得：； 故答案为：． 【作业16】．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 【作业17】．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）一种四边形机器零件的形状如图所示（其中），按规定：当为直角时，这个零件视为合格．现工人师傅测得这个零件的四条边长分别为，，，． (1)你认为这个零件合格吗？为什么？ (2)求这个四边形机器零件的面积． 【答案】(1) 解：这个零件合格． ，，， ， ，， ， ，即这个零件合格． (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）由勾股定理的长，再由勾股定理的逆定理，判断出的形状，即可得出结论； （2）由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）所求面积为， 即这个四边形机器零件的面积为． 【作业18】．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·勾股定理·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理的内容与证明方法，能利用勾股定理求直角三角形边长 · 掌握勾股定理的逆定理，会判断三角形是否为直角三角形 · 会识别勾股数，掌握常见勾股数组与规律（罗士琳法则等） · 掌握最短路径、折叠、网格、实际应用等勾股定理经典模型 · 理解弦图、勾股树等面积模型，能解决综合性探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2 勾股定理只适用于直角三角形，求边长时先确定直角与斜边 由勾股定理可变形求任一边：c=，a= 证明方法：赵爽弦图、达芬奇法、总统证法等，核心是面积相等 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求 AB 的长。 答案：10 解析：由勾股定理得 AB====10。 ☆ 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 逆定理用于判定三角形是否为直角三角形，c 取最大边 判定步骤：找最大边→计算两小边的平方和→与最大边平方比较 勾股定理与逆定理的区别：定理用于求边，逆定理用于判形 概念辨析例题：下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4　B．5，12，13　C．6，7，8　D．4，5，6 答案：B 解析：52+122=25+144=169=132，所以 5、12、13 能构成直角三角形，故选 B。 ☆ 3.勾股数 勾股数：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，如 3、4、5；5、12、13；6、8、10 勾股数必须都是正整数，整数倍仍是勾股数；分数、小数、无理数都不算 常见规律：奇数为第一个数时，如 3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41 罗士琳法则等可以生成勾股数，观察每组第一个数与后两数的关系 概念辨析例题：下列各组数中，是勾股数的是（　　）A．1，1，　B．，，1　C．6，8，10　D．5，13，13 答案：C 解析：A 中含无理数、B 中含分数均不是勾股数；D 中 52+132≠132；C 中 62+82=102 且都是正整数，是勾股数。 ☆ 4.勾股定理的应用 最短路径：化立体为平面，展开侧面后用两点之间线段最短+勾股定理 折叠问题：折叠前后图形全等，对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 网格问题：格点间的距离用勾股定理计算，再判断形状或角度 实际应用：旗杆、秋千、轮船航海、建站选址等，先抽象出直角三角形 概念辨析例题：圆柱底面周长为 24 厘米，高为 5 厘米，蚂蚁从下底面 A 点沿侧面爬到上底面相对点 B，最短路程是多少？ 答案：13 厘米 解析：将圆柱侧面展开成矩形，宽为周长 24、高为 5，蚂蚁爬行路线为对角线，由勾股定理得 ==，取 24 的一半 12 与 5 构成直角三角形得 13。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 a2+b2=c2 只适用于直角三角形 逆定理 a2+b2=c2 则直角 c 为最大边 勾股数 满足定理的正整数 3、4、5；5、12、13 等 弦图 面积法证明定理 大正方形=4个三角形+小正方形 最短路径 展开+两点间线段最短 化立体为平面 折叠问题 折叠前后全等 设未知数列方程 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股数与勾股定理逆定理 · 判断勾股数：三个正整数且两小边平方和等于最大边平方 · 判断能否构成直角三角形：先找最大边，再算两小边平方和比较 · 利用勾股定理逆定理证明垂直：证两直线夹角为直角 · 含条件的判定题（角的关系、边的关系）分别用内角和与逆定理 1．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．1，1， C．1，2， D．1，3， 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 5．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（   ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．根据的值决定 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各组数中，是一组勾股数的是（   ） A．1，1， B．，， C．6，8，10 D．5，13，13 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各组数中，哪一组是勾股数（     ） A．1，2，4 B．1，3，5 C．3，4，7 D．5，12，13 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，8，9 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能作为直角三角形三边，则满足条件的格点Q有（   ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是___． 【考点2】勾股定理的基本计算 · 求斜边：c=；求直角边：a= · 斜边上的高：先用勾股定理求斜边，再用等面积法求高 · 坐标、网格中的线段长度用勾股定理转化为坐标差平方和 · 含完全平方的关系式（直角边和、积、斜边）联立方程求解 13．（23-24八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．100 14．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，连接．则下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④；其中正确结论的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，是斜边上的高，是的中线，是的角平分线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 16．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是_____． 17．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）已知 的两直角边分别是3， 4，则的斜边上的高是_________． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，则点B的坐标为_______． 19．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，于点，，，则___________． 20．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则__________． 21．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，若，且，则的长为___________． 22．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）直角三角形直角边之和为，面积为，则斜边长为_______． 23．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，，若点P是射线上一个动点，，则的长为______．    24．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，在中，，，，求的面积．    某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．    25．（24-25八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 26．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”． 如图，中，． (1)若，，求证：是“等边中三角形”； (2)若且是“等边中三角形”，求的值． 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 28．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，内接于，为的直径，． (1)求的度数． (2)若点是弧的中点，，求的长． 【考点3】弦图与勾股树 · 弦图：大正方形面积=4 个直角三角形面积+小正方形面积 · 勾股树：每次生长新增的正方形面积和等于原面积，总面积为 n+1 · 以三边为边作正方形：斜边正方形面积=两直角边正方形面积之和 · 面积关系题先表示出各部分面积，再代入勾股定理关系式 29．（23-24八年级上·江苏常州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A． B． C．2023 D．2024 30．（2025·广东东莞·模拟预测）如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 31．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 32．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 33．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则______．    34．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，若两个大正方形的面积分别为144和108，则小正方形M的边长为________． 35．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)计算：____________________； (2)用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； (3)求出的值． 【考点4】最短路径问题 · 圆柱/长方体表面爬行：展开侧面为矩形，化折为直 · 两点之间线段最短，连线段后用勾股定理求长度 · 华表、楼梯等盘绕问题：把绕行展开为多段直角三角形 · 蜘蛛爬书架内壁等：考虑不同展开方式，取最小值 36．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 37．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 38．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图，在底面周长约为6米的华表柱上，有一条雕龙从柱底点A处沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方点C处，华表柱上刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在华表柱上的巨龙至少为______米． 39．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 40．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为_____cm． 41．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为______． 【考点5】折叠问题 · 折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等 · 设未知数，用折叠得到的等量关系结合勾股定理列方程 · 折叠点落在坐标轴上：用坐标差表示线段，列勾股方程求坐标 · 等腰、相似结合的多解折叠问题分类讨论 42．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 43．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______  ． 44．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 45．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 46．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 47．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，矩形中，为上一动点（与A、B不重合），将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，连接交于，若，，，则折痕的长为______．    【考点6】网格与数形结合 · 格点间距离用勾股定理计算： · 网格中判断直角三角形：计算三边长用逆定理验证 · 网格中求角：构造直角三角形求正弦等三角函数值 · 网格作图：利用对称、勾股数画满足条件的图形 48．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中________． 49．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为 ____． 50．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植______棵苹果树． 51．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，请借助于几何直观来阐明下列“数”的某种关系．在方格纸中画出图形，并说明“”． 在网格中画，，， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， 所以． 52．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与△关于直线成轴对称的△； (2)的周长为_________． 53．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在正方形网格上有一个． (1)作关于直线的对称图形（不写作法） (2)在直线上找一点P，使有最小值，那么最小值为 ． 54．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）（1）比较大小：________（填“”、“”或者“”），我们发现可以利用数形结合法来解决问题，借助三角形三边关系，在方格纸上构造出以这三个数为三边的三角形，从而得出结论，请利用图①中三角形的三边关系比较大小（设小正方形的边长为1）； （2）用（1）中的方法在图②中画图比较大小：_______（填“”、“”或者“”） （3）用（1）中的方法在图③中画图比较大小：_______（填“”、“”或者“”）． 55．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出关于y轴的对称图形； (2)判断是否是直角三角形，并说明理由； 【考点7】勾股定理的实际应用 · 航海、秋千、旗杆等问题先画示意图，抽象出直角三角形 · 设未知数列勾股方程，注意单位统一 · 选址问题：设所求位置为 x，用勾股定理表示两距离相等 · 判断合格与否（直角）：用逆定理验证 56．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）一帆船由于风向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，这时它离出发点有______千米． 57．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为___________米    58．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 59．（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 60．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 61．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 62．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 63．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）一种四边形机器零件的形状如图所示（其中），按规定：当为直角时，这个零件视为合格．现工人师傅测得这个零件的四条边长分别为，，，． (1)你认为这个零件合格吗？为什么？ (2)求这个四边形机器零件的面积． 64．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【考点8】勾股定理的证明与综合探究 · 证明勾股定理：面积法（弦图、达芬奇图），列面积等式 · 平方关系证明：多次用勾股定理，代数整理得出目标等式 · 综合探究题：读透新定义（如“等边中三角形”），按定义分情况 · 构造图形解决问题：构造直角三角形、正方形，数形结合 65．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 66．（2024·辽宁大连·一模）中，，，，将绕点旋转得到，连接、，在旋转过程中，面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 67．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    68．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 69．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”是三国时期吴国数学家赵爽设计的组合图形，它是由四个完全相同的直角三角形拼成的正方形 (1)如图1“赵爽弦图”中，四个完全相同的直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，请你借助该图、证明勾股定理； (2)一个零件的形状如图2，按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图2所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 70．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）【问题初探】　 如图1，与相交于点，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 【方法应用】 （2）如图3，矩形中，、分别是、上的点，满足，，直接写出线段和数量关系为________； 【能力拓展】 （3）如图4，在中，，，在边上取点（），在边上取点，使，连接，，求的大小． 💯 课后巩固 复习建议 · 勾股定理只用于直角三角形，先确定斜边再套公式 · 逆定理判直角时最大边的平方与两小边平方和比较 · 勾股数必须是正整数，判断时逐项验证 · 最短路径化立体为平面、折叠问题设未知数，是两类核心模型 · 弦图、勾股树的面积关系抓住“斜边正方形面积=两直角边正方形面积之和” 【作业1】．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．5，12，13 B．1，1， C．1，2， D．1，3， 【作业2】．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10 【作业3】．（23-24八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．100 【作业4】．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 【作业5】．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若三角形的三边长为、、（为正整数），则该三角形的形状（   ） A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．根据的值决定 【作业6】．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）一帆船由于风向先向正西航行5千米，然后向正南航行12千米，这时它离出发点有______千米． 【作业7】．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为___________米    【作业8】．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【作业9】．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【作业10】．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则______．    【作业11】．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）已知 的两直角边分别是3， 4，则的斜边上的高是_________． 【作业12】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，则点B的坐标为_______． 【作业13】．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，在中，，，，求的面积．    某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．    【作业14】．（23-24八年级下·河南新乡·期中）小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【作业15】．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在正方形网格上有一个． (1)作关于直线的对称图形（不写作法） (2)在直线上找一点P，使有最小值，那么最小值为 ． 【作业16】．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【作业17】．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）一种四边形机器零件的形状如图所示（其中），按规定：当为直角时，这个零件视为合格．现工人师傅测得这个零件的四条边长分别为，，，． (1)你认为这个零件合格吗？为什么？ (2)求这个四边形机器零件的面积． 【作业18】．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $