辽宁丹东市第四中学2026-2027学年高二上学期10月练习数学试题

2026-2027学年(上)高二年级练习 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，，若、、三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于 A．6 B．5 C．-5 D．-6 2．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则 A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．已知四面体如图所示，其中点为的重心，则 A． B． C． D． 4．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为 A． B． C． D． 5．在正方体中，如下图所示，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是 A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为，点满足，且，则的最小值是 A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 8．正方体的棱长为，如下图所示，为的中点，在侧面上，若，则面积的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，，，，则下列选项正确的有 A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 10．下列命题为真命题的是 A．已知向量，则任意向量都不能与、构成空间的一个基底 B．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．“存在实数、，使”是“与、共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 11、在三棱柱中，，所有棱长都为1，点满足，其中、、，则下列说法正确的是 A．当点为棱的中点时， B．当时，、、、四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12、已知，，，其中、是不共线的向量，若A、C、D三点共线，则实数k为________． 13．已知向量，，，若O、A、B、C共面，则在上的投影向量的模为________． 14．在所有棱长都为4的正三棱柱中，E为线段上动点，D为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知，，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的大小． 16．（本题满分15分） 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量、、表示； （2）求线段的长及向量与夹角的余弦值． 17．（本题满分15分） 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本题满分17分） 如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱、于、，且平面． （1）证明：为的中点； （2）已知点为内（含边界）不与、重合的一点，且． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若，求二面角的取值范围． 19．（本题满分17分） 球面几何是研究球面上由大圆弧围成图形的几何分支；已知球O的半径为R，点A、B、C均在球面上，将球面上由三段圆弧、、围成的曲面图形，称为球面三角形；记三个二面角、二面角、二面角的平面角分别为、、，球面三角形的面积由以下公式给出： （1）若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）在图一中，已知，球心处的三个圆心角记为：，，． ①求证：； ②将图一中线段延长交球O于点D，连接、，得到四面体并将其截出得到图二，已知直线、与平面所成的角分别为、，点E满足向量关系：，，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $