精品解析：辽宁省营口市普通高中2026-2027学年高二上学期10月巩固训练数学试题

高二年级巩固训练数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. ☆注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴上的截距的定义，令，求解即可 【详解】由题意，令 可得 解得： 故直线在轴上的截距是 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，点关于原点中心对称的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于原点中心对称的对称点为. 3. 如图，在斜三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 . 4. 在正三棱台中，，，三棱锥的体积为，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从三棱锥的体积可计算三棱锥高，利用正三棱台与三棱锥同高即可计算棱台的体积. 【详解】正三棱台中，，， 则，， 设正三棱台的高为，则三棱锥的高也为. 所以，则. 所以. 5. 直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程转化为表示经过两条直线交点的直线系方程，再解方程组可得. 【详解】将直线变形为， 因为直线恒过定点，所以与无关，令，解得. 因此直线恒过定点. 6. 不重合的两点与在某一坐标平面内的射影点相同，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为两点的值不同，在平面上的射影不受值影响， 只有在平面上射影可以相同，将两点向平面投影，纵坐标化为， 可得，即， 所以. 7. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若向量不能构成空间向量的一个基底， 则，代入得， 即，解得， 故. 8. 某公司欲借助一次镜面反射将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．已知镜面反射时，方向向量在镜面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向，则反射激光的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反射时，方向向量在镜面内的分量不变，在法向量方向的分量反向，得到关系式求解即可。 【详解】设入射方向向量，镜面法向量， 由于方向向量在镜面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向， 则反射向量为， 方向向量可成比例放缩取. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则（ ） A. 不经过第三象限 B. 的截距不可能为 C. 若，则的斜率大于 D. 若，则的倾斜角大于 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的特点判断即可；对于B，举特例即可判断；对于C，先将直线方程整理成斜截式，得到直线的斜率， 进而结合分析判断即可；对于D，举特例，判断即可. 【详解】对于A，由直线， 则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A正确； 对于B，当时，，此时直线在、轴上的截距均为，故B错误； 对于C，直线，即，则直线的斜率为， 若，则，即，所以的斜率大于，故C正确； 对于D，由C知，直线的斜率为， 当，时，满足，而直线的斜率为，此时的倾斜角等于，故D错误. 10. 把边长为，中心为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，线段，上的点，满足，，则折纸后（ ） A. B. 的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接建立空间直角坐标系，用向量的方法计算线段的长度可判断A；用向量方法计算可判断B，用向量的方法计算点到面的距离可判断C；用向量的方法计算线面角可判断D. 【详解】原正方形边长为，对角线长为，故. 由直二面角性质，，且， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 各点坐标为：. 因为，所以， 由，得. 选项A： ​，  所以. ， 所以，A正确； 选项B：向量，， ，  所以​，B错误； 选项C：设平面的法向量为，，， 所以，即， 令，， 因为，， 所以点到平面的距离， 因此点到平面的距离为，C正确； 选项D： 因为平面在坐标平面内，，所以取平面的一个法向量为， 又，设直线与平面所成的角为， 则， 因为，且，所以. 因此直线与平面所成的角为，D正确. 11. 在平行六面体中，，，，，点满足，则（ ） A. 点在平面内 B. 平行六面体的体积为 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点与平面的关系即可判断A；建立空间直角坐标系，由已知得出点的坐标，结合平行六面体体积公式即可判断B；由空间向量夹角公式即可判断C；由空间向量的模长公式即可判断D． 【详解】对于A，由平行六面体得， 则，又平面， 所以点平面，故A正确； 对于B，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设， 则，，， 因为， 所以，即， 所以，又， 所以（负值舍去）， 所以， 所以平行六面体的高为， 所以平行六面体的体积为，故B正确； 对于C，，且， 所以，， 则，故C错误； 对于D，当时，， ， 则，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线的一个方向向量为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】直线经过点，所以一个方向向量为. 13. 由于工作与学习的需要，夜灯逐渐成为居家办公的必选物．一种夜灯含有圆柱形的底座，中心处有圆柱形的支架，顶部有圆台形的遮光物．已知该夜灯可近似视为如图所示的几何图形绕轴旋转一周所得，为方便计算，设圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为2，中心圆柱的底面半径为1，高为6，底部圆柱的底面半径为2，高为1，假设该夜灯为封闭的几何体，则该夜灯的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将组合体拆解为圆台和两个圆柱，明确表面积由圆台的上底面积与侧面积、中间圆柱侧面积以及底部圆柱的侧面积与下底面积构成，然后分别利用圆台和圆柱的面积公式求解各部分面积，最后相加得到几何体的总表面积. 【详解】由题意可知，该夜灯是封闭组合几何体，由底部圆柱、中心圆柱、顶部圆台三部分旋转组合而成， 因为底部圆柱的底面半径，高， 所以底部圆柱的下底面积， 底部圆柱的侧面积， 由于中心圆柱底面遮挡了底部圆柱上底面的区域， 所以底部圆柱外露的上底面积， 所以底部圆柱的外露总表面积； 因为中心圆柱的底面半径，高， 且其上下两个圆形底面都被相邻几何体遮挡，因此仅需计算侧面积， 所以中心圆柱的外露总表面积； 因为圆台的上底面半径，下底面半径，高， 所以圆台的母线长， 圆台的侧面积， 圆台的上底面积， 由于中心圆柱顶面遮挡了圆台下底面的区域， 所以圆台外露的下底面积， 所以顶部圆台的外露总表面积； 所以总表面积. 14. 设，，，为空间内互不相同的四点，在由这四点中任意两点所确定的向量中，若任意两个不相等的向量的数量积均不超过2，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先设，利用“任意两个不相等向量的数量积不超过2”这一条件，通过构建特殊的空间位置（令在垂直于的平面上对称分布），将问题转化为求解的不等式，最后通过点积公式得出且，从而求得的最大值. 【详解】设这四个点为，由题意，这四点确定的所有向量中，任意两个不相等的向量的数量积均不超过， 由题意知，对于任意两个不同的向量，其数量积不超过， 特别地，取与，与，以及与， 均有， 设，为了使得尽可能大，我们需要让和在垂直于的方向上尽可能远离和，以减小它们与的点积， 同时和之间的距离也不能太大，以免它们之间的点积超过， 考虑一种对称的极端情况：设为原点， 在轴上，坐标为， 令和在平面上，且关于原点对称，即，, 此时，各向量的点积为：，，， 因为, 它们的点积为：, 由题意，这个点积也必须不超过，即, 因为，由题意， 将代入中，得，所以， 当时，取（如），可以验证所有不相等的向量点积均不超过（最大值为）， 因此，的最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在空间直角坐标系中，，，，直线的方向向量为． （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 则直线与直线所成角的余弦值为， 【小问2详解】 ，设面的法向量为， 则，即，令，则，故， 因此直线与平面所成角的正弦值为 16. 如图，在四面体中，，，且，，，． （1）求的长； （2）若线段上的点满足，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过把目标向量拆解为已知向量的组合，利用向量平方等于向量模长的平方，结合垂直关系简化数量积，从而求出线段长度； （2）先通过向量线性运算表示相关向量，借助垂直关系化简向量数量积，再利用异面直线夹角的向量公式求解. 【小问1详解】 由，两边平方得： ， 由，，得，. 因为，，，，所以. 所以，即． 【小问2详解】 由，得， 所以. 由，得，则. 又， 所以. 由，得，则. 设异面直线与所成角为，，则. 故异面直线与所成角的余弦值为． 17. 在四面体中，，，，，，． （1）求的值； （2）设为的重心，证明：平面，并求点到平面的距离． 【答案】（1） （2）证明：因为为的重心，所以， 则， ， 所以，， 又，，平面，所以平面． 点到平面的距离为2. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的运算律，求出结果即可； （2）根据向量的线性运算和向量数量积的运算律，证明，，再根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，再由（1）的结论求出点到面的距离即可. 【小问1详解】 ， 故． 【小问2详解】 证明略. 由（1）得， 故点到平面的距离为2． 18. 如图，在长方体中，，，． （1）求点到直线的距离； （2）设为线段上（不包含端点）的一点，且． ①求与的长度之比； ②求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）3 （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明平面，再根据线面垂直的性质定理说明线线垂直，进而得出结果； （2）①根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据向量共线定理表示出点的坐标，进而根据向量垂直的坐标表示，求出参数值，求出结果即可； ②根据空间直角坐标系，求出平面法向量，进而根据面面夹角的向量方法，求出结果. 【小问1详解】 因为，，且，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，故点到直线的距离为． 【小问2详解】 ①以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 设，，则，所以． 因为，所以，解得， 所以． ②由，得， 所以，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，得，，则． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，得，，则． 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 给定实数，，设点，过点作与两坐标轴均不平行的直线． （1）若该直线的斜率为，求该直线在两坐标轴上的截距之和； （2）作两条这样的不同的直线，若其在两坐标轴上的截距之和相等，求这两条直线的斜率之积； （3）若对任意实数，在两坐标轴上的截距之和为的直线都恰有两条，且这两条直线不垂直，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】设点斜式，分别令，求出横纵截距； 两条直线截距和相等，列出等式，因式分解分析求解； 令截距和等于，整理关于斜率的一元二次方程，根据题中条件进行分析求解. 【小问1详解】 由直线过点且斜率为，， 得该直线方程为， 令，得；令，得， 故该直线在两坐标轴上的截距之和为． 【小问2详解】 设两条直线的斜率分别为，，， 则， 即， 因为，，，故． 【小问3详解】 当截距之和为时，， 即． 因为对任意实数，这样的直线恰有两条， 所以对任意实数，有． 取，得； 反之，若，则对任意实数，均有， 且因，两根均不为0，故恰有两条符合条件的直线． 由（2）知这两条直线的斜率之积为， 又两直线不垂直，所以， 由，得， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级巩固训练数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. ☆注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于原点中心对称的对称点为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在斜三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱台中，，，三棱锥的体积为，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 6. 不重合的两点与在某一坐标平面内的射影点相同，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 8. 某公司欲借助一次镜面反射将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．已知镜面反射时，方向向量在镜面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向，则反射激光的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则（ ） A. 不经过第三象限 B. 的截距不可能为 C. 若，则的斜率大于 D. 若，则的倾斜角大于 10. 把边长为，中心为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，线段，上的点，满足，，则折纸后（ ） A. B. 的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成的角为 11. 在平行六面体中，，，，，点满足，则（ ） A. 点在平面内 B. 平行六面体的体积为 C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线的一个方向向量为__________．（写出一个即可） 13. 由于工作与学习的需要，夜灯逐渐成为居家办公的必选物．一种夜灯含有圆柱形的底座，中心处有圆柱形的支架，顶部有圆台形的遮光物．已知该夜灯可近似视为如图所示的几何图形绕轴旋转一周所得，为方便计算，设圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为2，中心圆柱的底面半径为1，高为6，底部圆柱的底面半径为2，高为1，假设该夜灯为封闭的几何体，则该夜灯的表面积为__________． 14. 设，，，为空间内互不相同的四点，在由这四点中任意两点所确定的向量中，若任意两个不相等的向量的数量积均不超过2，则的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在空间直角坐标系中，，，，直线的方向向量为． （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 如图，在四面体中，，，且，，，． （1）求的长； （2）若线段上的点满足，求异面直线与所成角的余弦值． 17. 在四面体中，，，，，，． （1）求的值； （2）设为的重心，证明：平面，并求点到平面的距离． 18. 如图，在长方体中，，，． （1）求点到直线的距离； （2）设为线段上（不包含端点）的一点，且． ①求与的长度之比； ②求平面与平面夹角的余弦值． 19. 给定实数，，设点，过点作与两坐标轴均不平行的直线． （1）若该直线的斜率为，求该直线在两坐标轴上的截距之和； （2）作两条这样的不同的直线，若其在两坐标轴上的截距之和相等，求这两条直线的斜率之积； （3）若对任意实数，在两坐标轴上的截距之和为的直线都恰有两条，且这两条直线不垂直，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $