精品解析：山东省聊城市东阿县多校联考2025-2026学年九年级上学期12月学情调研数学试题

九年级第三次学情调研数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 2. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选∶B． 4. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示： 由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故选：C． 6. 如图，某商场准备安装自动扶梯，自动扶梯与地面所成的角度为，若商场每层楼平均高度为米，则每层楼所需的自动扶梯的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，∵， ∴， ∵米， ∴米， 故选：． 7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 8. 如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理及其推论，可分别求出，，即可求的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意，得：； 故选A． 10. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，、分别交于点，，连接、，且．下列结论：，；；；；图中只有对相似三角形．其中正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点和准确作出辅助线是解题的关键． 证明，可得，利用角度关系，得出，即，可得，可判断结论①正确；将绕点逆时针旋转得到，证明，可判断结论②正确；由，以及对顶角相等，，可得，可判断结论③正确；由，可得，将绕点逆时针旋转得到，连接，可证出，，结合，等量代换可判断结论④正确；通过上述的证明，可得到、、、、、均为相似三角形，组合情况有15种组合，判断结论⑤错误；综合可得最终选项． 【详解】解：∵四边形为正方形，为对角线， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故结论①正确； 将绕点逆时针旋转得到，如下图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图所示： ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确； 图中相似的三角形有： ，，，，等， 即、、、、、均为相似三角形，有15种组合情况，故不止对， 故结论⑤错误； 综上，正确的结论为①②③④，共个， 故选B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程的解是________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， 解得，． 故答案为：， 12. 两个相似三角形面积比是，其中面积较小的三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_____． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”确定两个三角形的相似比，然后根据“相似三角形的周长比等于相似比”，即可获得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形面积比是， ∴这两个三角形的相似比，也即周长比为， ∵面积较小的三角形的周长为， ∴另一个三角形的周长是． 故答案为：60． 13. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据网格求出三角形的三边，得到是直角三角形，再进行求解． 【详解】连接， 由勾股定理可得， ，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用． 14. 在中，若，则是_______三角形． 【答案】等边 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，等边三角形的判定， 根据绝对值和完全平方数非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 15. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16. 如图，斜坡的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为______米（结果保留根号）； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则，，可得，即得，设，，利用勾股定理可得米，米，再解求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则，， ∵， ∴， ∵斜坡的坡度 ， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米， 故答案为：． 17. 如图，为的直径，内接于．若，则______． 【答案】50 【解析】 【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴． 故答案为：50． 18. 如图，在矩形中，，与边，对角线分别相切于点，，点是边上的一个动点，切于点．若的最小值为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点，证明四边形为正方形，四边形为矩形，设半径为，得到，根据垂线段最短，得到当与点重合时，最短，此时最小， 勾股定理求出，设，得到，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：连接，延长交于点， ∵与边，对角线分别相切于点，，切于点， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 设的半径为，则：，， ∵点是边上的一个动点， ∴当与重合时，最小，此时最小， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． （1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于m的等式，解出m即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， ∴ ∴即： ∴，． 22. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 23. 综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示． 【答案】（1）的高度为；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设，根据进行计算即可； （2）根据三角函数进行化简计算即可． 【详解】解：（1） 设， ， 解得， 答：的高度为； （2）解：设， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， 解得． 即． 24. 如图，是的直径，点和点是上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是的切线： （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接，过点作于点， 则， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 点在上，即是半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，证，得出即可； （2）先证是等边三角形，再求半径，利用公式求扇形面积和等边三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 又， ，， 是等边三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 【问题探究】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，求证：． 【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点在边上，点、分别在边、上，且，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点分别在边上，点、分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：设、相交于点G， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）； （3）解：，理由如下： 过点E作交于点K，过点N作交于点L， 四边形是平行四边形， ，， 四边形、是平行四边形，    ，， ， 若， 则， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，推出，即可证明结论； （2）过点N作于点P，、相交于点H，先证明，得到，再证明四边形是矩形，得到，即可得到答案； （3）过点E作交于点K，过点N作交于点L，先根据平行四边形的判定和性质得到，若，则，得到，再利用平行线的性质，即可得到与之间的数量关系． 【详解】（1） 略 （2）解：过点N作于点P，、相交于点H， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； （3） 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次学情调研数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，某商场准备安装自动扶梯，自动扶梯与地面所成的角度为，若商场每层楼平均高度为米，则每层楼所需的自动扶梯的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 8. 如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，、分别交于点，，连接、，且．下列结论：，；；；；图中只有对相似三角形．其中正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程的解是________ 12. 两个相似三角形面积比是，其中面积较小的三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_____． 13. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么的值为 _____． 14. 在中，若，则是_______三角形． 15. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 16. 如图，斜坡的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为______米（结果保留根号）； 17. 如图，为的直径，内接于．若，则______． 18. 如图，在矩形中，，与边，对角线分别相切于点，，点是边上的一个动点，切于点．若的最小值为，则______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程： （1） （2） 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 22. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 23. 综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示． 24. 如图，是的直径，点和点是上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是的切线： （2）若，求阴影部分的面积． 25. 【问题探究】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，求证：． 【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点在边上，点、分别在边、上，且，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形中，，，点分别在边上，点、分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $