精品解析：山东济宁市任城区济宁学院附中 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

数学1 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列是关于的二次函数的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在中，，若三角形各边同时扩大至原来的倍，则的值（ ） A. 不变 B. 扩大至倍 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 3. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于函数的说法错误的是（ ） A. 它是反比例函数 B. 它的图象位于第二、第四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 它的图象经过点 5. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线为法线，、、三点共线，若水深为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 数学1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 函数中的自变量x的取值范围是____． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，则坡角的度数为______． 13. 如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 14. 已知中，，，，则的长为__________． 15. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，，，求BC的长． 18. 已知二次函数的图象顶点为，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）请结合图像，当时，y的取值范围是______． 19. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 20. 崇觉寺铁塔，俗称济宁铁塔，坐落于济宁市博物馆老馆院内（古崇觉寺旧址）．始建于北宋崇宁四年，八角九层，是国内现存保存完整的宋代铁塔，为全国重点文物保护单位，历经近千年风雨巍然屹立，展现了我国古代工匠精湛的冶铸技艺．某校项目学习小组的同学在了解该塔之后，想利用所学知识测量塔高，下面是他们的测量方案及报告： 课题 测量崇觉寺铁塔高度 测量工具 卷尺和测角仪等 测量说明 如图，崇觉寺铁塔的高度为，小明利用上述工具测量的高度，（1）在点A处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为；（2）向前走站在处；（3）在点C处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为．已知小明的眼睛到水平地面的距离为． 测量过程 图中点，，在同一水平直线上，点，，，，，均在同一平面内，于点A，于点C． 参考数据 ，，，，，． 问题解决 求崇觉寺铁塔的高度． 21. 如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． （1）求直线和双曲线的函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 22. 通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． （1）请补充所缺①②内容，完善学习笔记； （2）请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 23. 如图1，已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．过点作，交抛物线于点． （1）此抛物线对称轴为______；______，______； （2）如图2，点是线段上一动点，连接，若平分，求点的坐标； （3）将抛物线图象沿轴正方向平移个单位得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①直接写出的值； ②如图3，在（2）的条件下，连接，点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线的图象于点，当点从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求的横坐标为的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学1 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单选题（本大共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列是关于的二次函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握相关知识是关键． 根据二次函数的定义，关于的二次函数必须是整式且最高次数为 2，逐一判断即可． 【详解】解：对于A，含有分式，不是二次函数，故A错误； 对于B，，化简得，是一次函数，故B错误； 对于C，，展开得，是二次函数，故C正确； 对于D，，化简得，，不是整式，故D错误． 故选：C． 2. 在中，，若三角形各边同时扩大至原来的倍，则的值（ ） A. 不变 B. 扩大至倍 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角函数的定义，根据题意画出图形，求出扩大后的值，比较即可，解题的关键是正确理解三角函数的定义． 【详解】如图， 设，，，则扩大后三边长是，，， ∵， ∴扩大后， 故选：． 3. 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律即可求解． 【详解】解：∵原函数为，向右平移2个单位长度，需将自变量替换为，得； 再向上平移5个单位长度，需在整体上加5， ∴最终所得图象的函数表达式为． 4. 关于函数的说法错误的是（ ） A. 它是反比例函数 B. 它的图象位于第二、第四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 它的图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，∴该函数是反比例函数，比例系数，故A正确，不符合题意； ∵，∴函数图象位于第二、第四象限，故B正确，不符合题意； 当时，图象在第二象限，随的增大而增大，故C正确，不符合题意； 将代入，得，故D错误，符合题意； 故答案为D． 5. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． ∵ ， ∴ ． 7. 一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线为法线，、、三点共线，若水深为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再利用平角定义可得，从而可得，进而可得，再利用对顶角相等可得，从而可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一次函数与二次函数的大致图象在一个坐标系中，则、的符号必须一致，据此逐项判断． 【详解】解：A项，通过一次函数经过二、三、四象限，可知；二次函数的图象开口朝上，可知；的符号矛盾，故此项不符合题意； B项，通过一次函数经过一、二、三象限，可知；通过二次函数的图象开口朝上，可知；的符号一致；当时，，，通过一次函数的图象，可知；通过二次函数的图象，可知，即；的符号一致，故此项符合题意； C项，当时，，，通过一次函数的图象，可知；通过二次函数的图象，可知，即；的符号不一致，故此项不符合题意； D项，通过一次函数经过二、三、四象限，可知；通过二次函数开口朝上，可知；的符号矛盾，故此项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 数学1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 函数中的自变量x的取值范围是____． 【答案】x＞3． 【解析】 【分析】根据分数和二次根式有意义即可解答. 【详解】根据题意得：x﹣3＞0，解得：x＞3；故答案为x＞3． 【点睛】本题考查了分数和二次根式有意义的知识，熟练掌握是解题的关键. 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，则坡角的度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 根据坡度的概念得、利用特殊角的三角函数值解答即可. 【详解】解：∵坡的坡度为， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 13. 如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， ， 14. 已知中，，，，则的长为__________． 【答案】5或7 【解析】 【分析】作交BC于D，分两种情况：①D在线段BC上；②D在线段BC的延长线上，根据锐角三角函数值和勾股定理求解即可． 【详解】作交BC于D ①D在线段BC上，如图 ∵ ∴ ∴， 在Rt△ACD中，由勾股定理得 ∴ ②D在线段BC的延长线上，如图 ∵ ∴ ∴， 在Rt△ACD中，由勾股定理得 ∴ 故答案为：5或7． 【点睛】本题考查了解三角形的问题，掌握锐角的三角函数以及勾股定理是解题的关键． 15. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解． 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）， 在 中，， ∴ 设 ，（）， 由勾股定理，， ∴ ，， ∴ ． 18. 已知二次函数的图象顶点为，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）请结合图像，当时，y的取值范围是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设这个二次函数的表达式为，代入，即可求解； （2）结合图像可得当时，的最大值为，的取值大于，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，设这个二次函数的表达式为，代入得， 解得： ∴二次函数的表达式为 【小问2详解】 结合图像，当时，y的取值范围是． 19. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1）． （2）（）． 【解析】 【分析】（1）由篱笆总长 m 且只围 、 两边，得 ，矩形面积 ； （2）树 距墙 为 m、距墙 为 m，把树围在花园内需 且 ，得 ；配方 ，由对称轴位置知 在 上随 的增大而增大，故 时取最大值． 【小问1详解】 解：∵ 篱笆只围 、 两边，篱笆总长 m， ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵ 点 与墙 的距离是 ，花园在墙 上方的竖直宽度为 ，要把树围在花园内，需 ； ∵ 点 与墙 的距离是 ，花园从墙 起的水平宽度为 ，需 ，即 ， ∴ ． ∵ ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大， ∴ 当 时， 取最大值 （）． 20. 崇觉寺铁塔，俗称济宁铁塔，坐落于济宁市博物馆老馆院内（古崇觉寺旧址）．始建于北宋崇宁四年，八角九层，是国内现存保存完整的宋代铁塔，为全国重点文物保护单位，历经近千年风雨巍然屹立，展现了我国古代工匠精湛的冶铸技艺．某校项目学习小组的同学在了解该塔之后，想利用所学知识测量塔高，下面是他们的测量方案及报告： 课题 测量崇觉寺铁塔高度 测量工具 卷尺和测角仪等 测量说明 如图，崇觉寺铁塔的高度为，小明利用上述工具测量的高度，（1）在点A处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为；（2）向前走站在处；（3）在点C处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为．已知小明的眼睛到水平地面的距离为． 测量过程 图中点，，在同一水平直线上，点，，，，，均在同一平面内，于点A，于点C． 参考数据 ，，，，，． 问题解决 求崇觉寺铁塔的高度． 【答案】 【解析】 【分析】塔顶 到水平视线 所在直线的距离 ；在 与 中分别用 、 表示 、，由 建立方程求出 ，再加 即得塔高． 【详解】解：延长 交 于点 ，则 ， ∵ 小明的眼睛到水平地面的距离为 ， ∴ ， ∴ ． 在 中，， ∴ ， 在 中，， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 崇觉寺铁塔的高度 约为 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． （1）求直线和双曲线的函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求出点A坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将 代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得， ， 点P坐标为． 22. 通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． （1）请补充所缺①②内容，完善学习笔记； （2）请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 【答案】（1）①；②． （2）①的面积为（平方海里）；②乙船航行的速度为海里/时． 【解析】 【分析】（1）由材料的推导过程，轮换三个顶点的字母直接补全①；把等式的两边同时除以补全②； （2）先求，又且，得为等边三角形，用材料结论求其面积；再由方位角求出、，在中用正弦定理求，除以航行时间小时得乙船速度． 【小问1详解】 解：①同理（轮换顶点、、），可得，故①处填； ②将等式的两边同时除以，得，故②处填． 【小问2详解】 解：甲船行驶分钟的路程（海里）， ∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里， ∴，， ∴是等边三角形， ∴海里，． ①（平方海里）． ②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西； ∵射线的方向是南偏西，∴， ∴； ∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∴． 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得， ∴（海里）． 乙船航行分钟即小时， ∴乙船航行的速度为（海里/时）． 23. 如图1，已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．过点作，交抛物线于点． （1）此抛物线对称轴为______；______，______； （2）如图2，点是线段上一动点，连接，若平分，求点的坐标； （3）将抛物线图象沿轴正方向平移个单位得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①直接写出的值； ②如图3，在（2）的条件下，连接，点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线的图象于点，当点从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求的横坐标为的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线；；． （2）． （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）把、代入，用待定系数法求出、，再由对称轴公式求对称轴； （2）在Rt中由勾股定理得；作于，由平分得，用面积法求； （3）①平移后开口向下，在上的最小值必在端点处取得，比较与（差为），由解方程求；②先求与直线，写出关于的二次函数，其开口向下、对称轴，从而确定递减范围，结合在线段上（）得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于、， ∴， ∴，， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，，， 在Rt中，． 过作于． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①平移后，其图象开口向下，顶点横坐标为， ∴在上，的最小值在端点或处取得， ∵，， ∴， ∴最小值为， ∴，即， ∴， ∴或（舍去，）， ∴． ②由（2）得． ∵， ∴点的纵坐标为， 令，得， ∴（为点，舍）或， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为，代入、，得，， ∴直线． ∵点在线段上， ∴（）， ∵过作轴的平行线交于点， ∴， ∵在上，（该二次式在处取最小值）， ∴点在点上方，， 其图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当点从左向右运动时，线段的长度逐渐减小，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $