精品解析：安徽省亳州市利辛高级中学2026-2027学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

利辛高级中学高一年级第一次教学质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组对象可以构成集合的是（ ） A. 数学书上的所有难题 B. 高一（4）班比较高的男生 C. 全国所有比较热的城市 D. 面积为4的三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合元素的确定性判断即可. 【详解】根据集合元素的确定性可知，A，B，C中的对象不确定，因此不能构成集合，故不能构成集合；D选项中的对象确定，故能构成集合. 2. 当时，的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2． 故选：C． 3. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】借助作差法及配方法比大小即可得. 【详解】， 由且，故，即. 故选：C. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B. 若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C. 存在一个实数，使得 D. 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B 6. 关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 2或10 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系直接求解. 【详解】设，是的两个实数根，则，， 故，解得或． 当时，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，． 故选：A． 7. 定义差集．现有三个集合，如图所示，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义作出，再作出，由此判断A，根据新定义作出，再作出，由此判断B，再进行集合的运算判断CD. 【详解】根据差集的定义可得图（1）中的阴影部分表示的集合是， 所以可用图（2）中的阴影部分表示， 所以， A错误， 根据差集的定义可得图（3）中的阴影部分表示的集合是， 所以可用图（4）中的阴影部分表示， 所以，B错误， 因为图（1）中的阴影部分表示的集合是，图（3）中的阴影部分表示的集合是， 所以，所以，C错误， 因为可用图（2）中的阴影部分表示，可用图（4）中的阴影部分表示， 所以原图中阴影部分表示的集合是， 又，所以D正确， 故选：D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果. 【详解】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据元素与集合之间以及集合之间的关系可判断A、B项；根据子集的概念可判断C项；根据的含义可判断D项. 【详解】因为2是中的元素，A项正确； “”表示的是元素与集合之间的关系，而不能表示集合与集合之间的关系，B项错误； 因为，，根据子集的概念知，C项正确； 是任何集合的子集，D项正确. 故选：ACD. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合反例即可求解. 【详解】对于A，当时，满足，但，故A错误； 对于B,，若，则，故，B正确； 对于C，若，满足，但，故C错误； 对于D， 若，又，则，D正确. 故选：BD 11. 整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则整数，属于同一个“类” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“类”的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，，即余数为2，故A正确； 对于B，，即余数为1，故B错误； 对于C，易知全体整数被4除的余数只能是0，1，2，3，故C正确； 对于D，由题意能被4整除，则，分别被4除的余数相同，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质求解即可 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 故答案为： 13. 命题“”的否定是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称题词命题的否定是存在量词命题写出结论即可. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是：“”. 故答案为： 14. 已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题得，解不等式即得解. 【详解】， ， 所以, 所以， 当且仅当或时等号成立. 所以，， 所以 恒成立， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若，，求，的值． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得到集合，结合并集的概念求解即可. （2）根据集合的交并补运算得到，进而求出集合，再结合一元二次不等式与一元二次方程的关系求解即可. 【小问1详解】 由，得或，所以. 故； 【小问2详解】 因为，， 所以，即， 故，0为方程的两根， 由韦达定理知：，， 故，． 16. （1）试比较与的大小； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1），，比较分母大小即可得到两者大小； （2）因式分解得，分，和讨论即可. 【详解】（1），， ， ，. （2）， . 当时，无解； 当时，，解集为； 当时，，解集为， 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【小问1详解】 ∵ ，∴. 又 ， ∴ ，. 【小问2详解】 ∵ “”是“”成立的充分不必要条件， ∴ . 当时，满足，此时，解得. 当时，若满足，则需， 解得. 综上，实数的取值范围为. 18. （1）已知，求的最小值﹔ （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案. （2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立 （2）， 当且仅当，即，时等号成立. 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点为和3. 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 【小问3详解】 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利辛高级中学高一年级第一次教学质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组对象可以构成集合的是（ ） A. 数学书上的所有难题 B. 高一（4）班比较高的男生 C. 全国所有比较热的城市 D. 面积为4的三角形 2. 当时，的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若且，则的值与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B. 若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C. 存在一个实数，使得 D. 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 6. 关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 2或10 7. 定义差集．现有三个集合，如图所示，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则整数，属于同一个“类” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围为__________． 13. 命题“”的否定是__________. 14. 已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若，，求，的值． 16. （1）试比较与的大小； （2）解关于的不等式． 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. （1）已知，求的最小值﹔ （2）已知，，且，求的最小值. 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $