精品解析：安徽省合肥北城中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

合肥北城中学2026-2027学年第一学期高一段一考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，则 A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A. B. C. D. 5. 对，记函数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的增函数，对于任意实数都满足，若且，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项是符合题目要求．选错不得分，部分选对给部分分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 函数是增函数 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，集合，则______ 13. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为___________． 14. 已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是________ 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算过程． 15. 设集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）求； （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图象． 17. 已知函数满足，. （1）求 （2）用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 18. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）若命题“存在，成立”为假命题，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求实数的取值范围． 19. 已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”. （1）判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由； （2）若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值； （3）是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥北城中学2026-2027学年第一学期高一段一考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由补集的定义计算可得. 【详解】因为全集，集合， 由补集的定义得. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题，，由全称量词命题的否定可得，. 3. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于集合M，分n=2k和n=2k-1，k∈Z两种情况讨论即可得到结果. 【详解】对于M，当n=2k，k∈Z时， x=4k-1∈M，x=4k-1∈N， 当n=2k-1，k∈Z时， x=4k-3∈M，x=4k-3N， ∴集合M、N的关系为N⊆M． 故选D. 【点睛】本题考查的是判断集合间的关系，在处理集合间的关系时，应该理解和掌握子集和真子集的定义，注意空集在解题时的应用. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为的定义域为， 所以令，解得，即的定义域为． 又因为，解得，所以的定义域为． 5. 对，记函数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知定义，求出函数的解析式，根据一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【详解】， 当时，，显然当时，有， 当时，，显然当时，有， 因此函数的最小值是. 故选：B 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 7. 若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 8. 已知函数是定义在上的增函数，对于任意实数都满足，若且，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先赋值可知，不等式转化为，再根据单调性解不等式. 【详解】 ， ， 函数是定义在上的增函数， ， 解得：. 故选D 【点睛】本题考查解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，抽象函数求值时一般需赋值，解不等式时注意函数的定义域. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项是符合题目要求．选错不得分，部分选对给部分分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，，，即，故A正确； 对于B，，，即，故B正确； 对于C，，不妨取时，，故C错误； 对于D，， ，，即， ，则，故D正确． 故选：ABD． 10. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，可得，判断A；得到的关系，可判断C；结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集，判断B；分析函数在上的单调性，可判断D. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得和是关于的方程的两个实数根，且， 所以，得. 所以A正确； 不等式等价于， 即， ， 解得或. 所以不等式的解集为或， 所以B不正确； 因为， 所以C正确； 函数， 因为， 所以函数在上单调递增. 所以D正确. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 函数是增函数 D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，直接由高斯函数定义来验证即可；对于B，注意到，使得，即可运算判断；对于C，由B选项分析即可判断；对于D，由B选项可得的周期，故只需讨论在上的值域即可. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为，使得，此时， 从而，故B选项错误； 对于C，由B可知对于，有，故C选项错误； 对于D，由B选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数，故只需讨论在上的值域即可， 当时，，即函数的值域为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：对于A选项的判断比较常规，本题的关键是注意到，使得，从而即可判断BCD三个选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，集合，则______ 【答案】0 【解析】 【分析】根据可知，故. 【详解】由可知， 又，故. 故答案为：0 13. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分 若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，该题为分段函数模型.可求出函数，根据各段的值域，可知，代入解析式，即可求出. 【详解】设此户居民本月的用水量为，水费为元. 当时，则； 当时，则； 当时，则. 综上所述，， 由前面可知，，则有，解得. 故答案为： 14. 已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得到，令，结合得，进而有且求参数范围. 【详解】由在上单调递减， 由题意，即，则， 所以，令， 所以，，则， 综上，，且， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算过程． 15. 设集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解； （2）由题设条件得到，从而分类讨论与，结合集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 当时，集合， 又集合，所以. 所以当时，. 【小问2详解】 因为等价于， 当时，，得，满足题意; 当时，则， 则，得，解得， 综上，实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）求； （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图象． 【答案】（1） ； （2）2或0 （3）图象： 【解析】 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象． 【小问1详解】 由，知. 【小问2详解】 由于， 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍） 综上可得或0 【小问3详解】 根据分段函数解析式，分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数在区间内的图象如下所示： 17. 已知函数满足，. （1）求 （2）用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上的值域为 【解析】 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【小问1详解】 令，则，将其代入得 ，将替换为，得； 【小问2详解】 任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 18. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）若命题“存在，成立”为假命题，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）整理得，分、及结合一元二次不等式的解法求解即可； （2）转化为，成立，整理得在上恒成立，当时，上式显然成立；当时，有，利用换元法和对勾函数的性质求解即可； （3）整理得，分、求出不等式的解集，结合题意求解即可. 【小问1详解】 由，得， 即， 由，得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意可得：，成立， 即，成立， 即在上恒成立， 当时，上式显然成立， 当时，则有 令， 则， 由对勾函数的性质可知在上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由，得， 即， 由，得， 又因为解集中恰有2个整数， 所以， 当时，不等式的解集为，要使解集中有2个整数，则有； 当时，不等式的解集为，要使解集中有2个整数，则有； 综上，实数的取值范围为. 19. 已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”. （1）判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由； （2）若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值； （3）是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）是，证明如下： 由题知，函数，定义域为， 所以， 不妨设， 因为， 所以， 所以， 所以是利普希兹条件函数 （2） （3）存在，，理由如下： 由题意得在上恒成立， 即， 不妨设， 所以， 因为， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1），由，得，即可解决；（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可解决；（3）由题得，不妨设，得，又，即可解决. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域上任意两个， 均有成立， 不妨设，则恒成立， 因为， 所以， 所以的最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $