精品解析：安徽亳州市蒙城第一中学2026-2027学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

2026级蒙城一中高一年级上学期第一次质量检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，即，则. 所以或， 所以. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，A选项错误； 当且时，，B选项错误； 当时，成立，C选项正确； 当时，，D选项错误. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对不等式进行移项并通分，再将不等式等价为且，进而根据不等式性质进行求解即可. 【详解】由，移项得：，通分可得：， 因此原不等式可等价为且. 当时，即时，满足，此时解得：； 当时，即时，满足，此时无解. 综上可得不等式的解集为. 5. 某班级共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则，两项公益活动都不参加的有（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 【答案】A 【解析】 【详解】设，两项公益活动都参加的有人，则，两项公益活动都不参加的有人. 由题意得，解得， 所以，两项公益活动都不参加的有人. 6. 若一元二次不等式的解集为，则的值为（　　） A. B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式与方程的关系转化为，从而解得． 【详解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}， ∴， 解得，k＝﹣1，m＝﹣1， 故m+k＝﹣2， 故选：C． 7. 正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设， 当且仅当时取等，由解得， 即当时，的最小值是. 8. 已知集合，且，则集合B的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可确定，分别讨论1，2是方程还是的根，从而确定集合. 【详解】因为，所以. 由或， 若，则2一定是方程的根，所以， 此时，所以或， ，所以集合有个子集； 若，则1一定是方程的根，所以， 此时，所以或， ，所以集合有个子集； 若且，则1，2是方程的根， 但，该情况不成立； 综上可知：集合有个子集. 故选：C 【点睛】结论点睛：集合子集的个数，取决于集合中所含元素的个数.若集合中有个元素，则集合有个子集. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，，为任意集合，则下列结论正确的有（ ） A. 若⫋，则⫋ B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用集合的运算依次判断即可. 【详解】对于A，设，， 此时，显然 ⫋成立，但是并不真包含于， 所以，由⫋不能推出⫋，故A错误； 对于B，如果，说明集合的元素都在集合中，则，故B正确； 对于C，若一个元素同时属于 和，那么它必然满足“属于或属于”的条件，也就是说，中的任意元素一定在中， 所以， 恒成立，故C正确； 对于D，因为且，所以，又因为，所以，同理可得 ， 因此，即，故D正确 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. “”的一个充分不必要条件是“” D. 设，，则“”是“且”的充分不必要条件 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由，得不出，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，则，， 所以一元二次方程有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确； 对于C，若，则；所以“”是“”的充分条件， 若，由，得，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”的一个充分不必要条件是“”，故C正确； 取，满足，但不满足且， 所以“”是“且”的不充分条件； 由且，得， 所以“”是“且”的必要条件； 所以“”是“且”的必要不充分条件，故D错误. 11. 已知关于的不等式的解集是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据不等式的解集形式判断二次项系数的符号，再结合方程的根与系数的关系，对各个选项进行逐一推导和验证即可. 【详解】已知不等式为（）， 对于A，将不等式展开并整理，可得，其解集为，由一元二次不等式可知，故A正确； 对于B，不等式对应的方程为，因为不等式的解集是，所以是上述一元二次方程的两个实数根， 根据韦达定理（根与系数的关系），两根之和为，故B正确； 对于C，根据韦达定理，方程的两根之和为，两根之积为， 所以，由于，所以， 又因为已知，所以， 对不等式两边开平方，可得，故C正确； 对于D，二次函数 ，因为不等式的解集为，且， 所以函数图象开口向下，且的部分位于两根之间，即在区间内，；在区间内，， 当时，， 当时，， 因为且，而的解集是，所以和必然都落在区间内， 即必须满足且，结合，可知，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用列举法表示集合的结果为________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得是6的正约数，而的正约数为， 因此，， 所以所求结果为. 13. 已知集合，，，若，则实数的值为_________ 【答案】0 【解析】 【分析】由，分别考虑，，的情况，并代入验证，确定出的值． 【详解】因为， ①当时，，，0，，不合题意，舍去； ②当时，或 当时，，1，，符合条件； 当时，，1，，不合条件，舍去； ③当时，或，舍 综合①②③，, 故答案为：0． 【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，求出值代入验证是做对本题的关键，属于基础题型． 14. 已知正数，满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定范围并换元，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数满足，得，令， 则，整理得，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1）， （2），或 【解析】 【分析】（1）根据交集与并集的运算法则进行求解即可； （2）根据交集、并集与补集的运算法则进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 因为，， 所以或. 又，所以. 又或 所以或. 16. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． 【小问2详解】 若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. （ⅰ）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； （ⅱ）已知的三边长是，，，利用上述不等式证明：. 【答案】 （1） （2）（ⅰ）这一事实表示为：若，，则， 证明如下：， 因为，所以，，，故， 所以，即得证； （ⅱ）， 下面只需证明就可以了，即证（*）， 而，，为的三边长，有，满足（i），故（*）成立， 故不等式得证. 【解析】 【分析】（1）应用换元法，令，将原式都替换为，结合基本不等式求最大值，注意取等条件； （2）（i）应用作差法比较大小即可证；（ii）应用分析法，转化为证明，结合三角形三边关系即可证. 【详解】（1）由，令，则 则， 当且仅当，即时取等号.所以的最大值为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 18. 如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米. （1）求的值； （2）为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值； （3）求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值. 【答案】（1）1 （2） （3）最大值为分米，此时. 【解析】 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据可得出； （2）利用基本不等式求出的最小值即可； （3）利用基本不等式求出的最小值即可. 【小问1详解】 过点分别作的垂线，垂足分别为， 则，所以，则， 整理可得； 【小问2详解】 要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小， 因为，则，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，剩下木板的面积最大； 【小问3详解】 要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为D，若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）由，因式分解得，再从分类讨论即可； （3）由不等式的解集为，且，可得对任意的，不等式恒成立，分离参数得恒成立，在分离常数结合基本不等式求出的最大值即可. 【小问1详解】 当时，即，则由 ，得，不合题意， 当，即时，由不等式的解集为得 ，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 因为，所以，即， 当，即时，解得，所以不等式的解集为， 当，即时，， 因为，所以不等式的解集为， 当，即时，， 因为，所以，所以， 所以不等式的解集为， 综上，当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 因为不等式的解集为，且， 所以对任意的，不等式恒成立， 即， 因为， 所以恒成立， 令，则，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设 ①在上恒成立，则； ②在上恒成立，则； ③在上恒成立，则； ④在上恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级蒙城一中高一年级上学期第一次质量检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 某班级共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则，两项公益活动都不参加的有（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 6. 若一元二次不等式的解集为，则的值为（　　） A. B. 0 C. D. 2 7. 正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，且，则集合B的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，，为任意集合，则下列结论正确的有（ ） A. 若⫋，则⫋ B. 若，则 C. D. 若，则 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. “”的一个充分不必要条件是“” D. 设，，则“”是“且”的充分不必要条件 11. 已知关于的不等式的解集是，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用列举法表示集合的结果为________. 13. 已知集合，，，若，则实数的值为_________ 14. 已知正数，满足，则的最小值为________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求，. 16. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. （1）已知，求的最大值； （2）已知克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. （ⅰ）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； （ⅱ）已知的三边长是，，，利用上述不等式证明：. 18. 如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米. （1）求的值； （2）为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值； （3）求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为D，若，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $