精品解析：山东青岛市西海岸中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

青岛西海岸中学高一年级2026年10月份阶段性检测 数学学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定的规律可知，命题的否定为： 2. 以下形式中，不能表示“是的函数”的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的定义即可得到结论． 【详解】根据函数的定义可知A、B、C选项都能表示“是的函数”， D选项表示两条相交直线不能表示函数. 故选：D. 【点睛】本题考查函数定义的理解和应用，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，故. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 5. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 6. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为， 当，即时，若不等式的解集是， 则，解得， 综上所述，的取值范围为． 7. 集合，，则一定不会等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， ， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当且且时，，此时. 综上所述，可以为，，，不可以为. 8. 现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出，最后代入目标式，用基本不等式求最小值． 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，由同正可乘方可知，所以选项A正确； 因为，，由不等式的可加性可知，所以选项B正确； 因为，，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项C错误； 因为，由不等式的可乘性（乘以正数）可知， 又因为，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项D正确. 10. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式的解集为，则 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以A正确； 对于B：变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以B正确； 对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以C错误； 对于D：若不等式的解集为， 即的解集为，由韦达定理知： ， 则，解得， 所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”下列结论中正确的有（ ） A. 集合不是“完美集”； B. 若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于2； C. 二元“完美集“有无穷多个； D. 若，则“完美集”有且只有一个，且； 【答案】BCD 【解析】 【分析】由“完美集”的定义即可判断A错误；由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，则可得，则可判断B、C正确；设，由“完美集”的定义可知，结合，可知，，由此即可判断D正确. 【详解】对于A选项：，，故，所以集合是“完美集”，故A错误； 对于B选项：集合是“完美集”，设，则可以看成一元二次方程的两正根，则，解得：（舍）或，即，所以至少有一个大于2，故B正确； 对于C选项：由B可知，一元二次方程当取不同值时，的值是不同的，因而二元“完美集”有无穷多个，故C正确； 对于D选项：设，则， 所以，又，所以， 当时，，则，不合题意， 当时，，所以只能是， 由，代入解得，所以此时“完美集”只有一个，为，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数定义域为，则函数的定义域为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的对应规则确定的取值约束，结合分式、偶次根式有意义的条件列不等式组，求解取交集即可得结果. 【详解】已知的定义域为，因此作用的中间变量的取值范围与中的范围一致，即， 解得， 要使分式有意义，需满足偶次根式被开方数为正且分母不为，即， 解得， 取两个解集的交集，得，因此所求函数的定义域为. 13. 已知集合，集合，若，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】，分，和三种情况讨论时的取值范围. 【详解】集合或，， 当时，，满足； 当时，，若，则，即； 当时，，若，则，即， 综上，的取值范围是. 14. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得原不等式等价于，两边平方，利用均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以，所以不等式可化为， 设，，则，则， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知都是实数，比较与的大小． （2）求解不等式组 【答案】（1）当时， ;当或时， . （2） 【解析】 【小问1详解】 由 ，当且仅当时，等号成立， 所以当时， . 所以当或时， . 【小问2详解】 由 得 所以 或 ； 由 ，移项通分得 即 ，所以，解得， 由， 所以不等式组的解是. 16. 设为全集，已知：，：． （1）若，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集、补集的定义求解即可； （2）由题设可得是的真子集，进而分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，，则或， 而函数，开口向上，对称轴为， 因为，所以时，，时，， 则， 所以，. 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，得是的真子集， 而，， 当时，，即； 当时，有或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 17. 现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x. （1）已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 【答案】（1）（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小，为平方米； （2）变好，理由：设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则. 因为，所以，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 【解析】 【分析】（1）（i）应用表示出窗户面积，求解一元二次不等式即可；（ii）设地板面积为，则有，解不等式求窗户面积最小值并确定对应值即可； （2）设分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【小问1详解】 （i）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且， 所以，又矩形窗户面积，解得， 故的取值范围为. （ii）设地板面积为，解不等式组， 所以，即，解得，故窗户面积最小为， 令，可得，解得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米. 【小问2详解】 略 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数a，c的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，求的最小值． 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； 【小问2详解】 若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称A具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值． 【答案】（1），； （2） 证明：由集合，， 得集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，则B中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即，， 则构成的元素为0，，，，且与0或或重复， 又，所以，即． （3）1350． 【解析】 【分析】（1）根据的定义求解即可； （2）分析的元素构成，结合的条件推导元素关系； （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可. 【小问1详解】 由集合， 得，，，，，， 因此， 又，，，，，， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，， 设满足题意，， 由，得， 由，得， 由，得，即， 则， 而中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， 即时满足题意， 所以集合C中元素的个数的最大值是1350． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛西海岸中学高一年级2026年10月份阶段性检测 数学学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 以下形式中，不能表示“是的函数”的是 A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 6. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 集合，，则一定不会等于（ ） A. B. C. D. 8. 现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式的解集为，则 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 11. 已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”下列结论中正确的有（ ） A. 集合不是“完美集”； B. 若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于2； C. 二元“完美集“有无穷多个； D. 若，则“完美集”有且只有一个，且； 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数定义域为，则函数的定义域为________ 13. 已知集合，集合，若，则的取值范围是________ 14. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知都是实数，比较与的大小． （2）求解不等式组 16. 设为全集，已知：，：． （1）若，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x. （1）已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 18. 已知函数 （1）若的解集为，求实数a，c的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，求的最小值． 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称A具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $