3.2.1 单调性与最大（小）值 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值教学设计 一、教材分析 本节的主要内容是函数单调性的概念；用定义判断（证明）函数在给定区间上的单调性；函数最大值与最小值的概念及其简单应用。单调性是函数最重要的整体性质之一，是研究具体函数（如二次函数、反比例函数）变化的工具，也是后续学习基本初等函数、比较大小、求最值、解不等式的基础。教材从学生熟悉的二次函数图象出发，借助图象的上升与下降直观感知函数值的变化规律，再用数学的增量语言加以刻画，体现了数形结合与从直观到抽象的数学思维过程。 二、学情分析 学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，能够借助图象直观描述函数的升降变化，也初步经历了用变量之间相互依存的观点认识函数的过程；进入高中后又系统学习了函数的概念与表示法，具备了用符号语言刻画数学对象的经验。但学生抽象概括能力仍有限，从"图象升降"的直观描述过渡到"任意两个自变量取值对应函数值大小关系"的严格定义是本节的主要障碍，教学中需要搭好台阶，让学生充分经历从直观感知到符号表达的抽象过程。 三、教学目标 1.知识与技能 （1）理解函数单调性的概念，能用符号语言准确表述增函数、减函数的定义，能依据图象指出简单函数的单调区间； （2）能运用定义判断（证明）函数在给定区间上的单调性，理解函数最大值、最小值的概念，会求简单函数的最值。 2.过程与方法 （1）通过观察图象、列表比较、归纳概括等活动，经历从直观描述到符号刻画的抽象过程，体会数形结合与从特殊到一般的思想方法； （2）通过用定义证明单调性，体会代数推理的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.情感、态度与价值观 通过单调性概念的形成过程，感受数学语言的简洁美与严谨美，培养学生敢于质疑、严谨求实的科学态度。 四、教学重难点 1.教学重点：函数单调性的概念，用定义判断（证明）函数的单调性。 2.教学难点：用规范的符号语言概括函数单调性的定义，并对"任意"二字的理解与运用。 五、教学方法 讲授法、启发式提问法、小组讨论法。 六、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习导入 观察二次函数的图象：图①自左向右图象是上升的，图②自左向右图象是下降的。 问题1：怎样用数量关系刻画"图象上升"？ 教师出示函数图象，引导学生回忆初中"图象上升、下降"的说法，并追问：图象的升降反映的是函数值随 怎样变化？ 学生观察、回答，教师板书课题：函数的单调性与最大（小）值。 由图象的直观感知切入，引发认知冲突：直观语言不够精确，需要更严格的数学刻画。 概念形成 1.观察函数图象： 图① 图② 图①中，函数图象从左到右是上升的；图②中，函数图象从左到右也是上升的。 2.数量刻画：图①中， 随 的增大而增大，即当任意取 时，都有 。 图① 图② 图①中，函数图象从左到右是下降的；图②中，函数图象从左到右也是下降的。类比增函数的定义，请学生尝试给出减函数的定义。 3.增函数、减函数的定义（板书）。 教师提问：能否用两个自变量取值及对应的函数值来描述"上升"？ 学生讨论，尝试表述；教师引导补充"任意"二字，师生共同概括出增函数定义：对任意 时，都有 ，则称 在区间上是增函数；类似地概括减函数定义。 通过图象直观与数量刻画相结合，让学生经历从直观到抽象的概括过程，突破定义中"任意"这一难点。 概念深化 1.单调区间：若函数 在区间 D 上单调递增或单调递减，则称区间 D 为 的单调区间。 2.函数的最大值与最小值：设函数 的定义域为 ，若存在实数 ，对任意 ，都有 ，则称 是函数 的最大值；若都有 ，则称 是函数 的最小值。 3.辨析：增函数定义中"任意"能否换成"存在"？两个单调区间之间能否随意添加运算符号？ 教师出示反例引导辨析：若只取两个满足条件的特殊值，能否说明函数在区间上递增？学生讨论后明确："任意"不可替换为"存在"。 教师追问： 在给定区间上的最大值与图象最高点有什么关系？学生结合图象回答。 通过反例辨析深化对定义关键要素的理解；由图象最高点引出最大值概念，完成从形到数的再次抽象。 应用举例 例1：根据定义，研究函数 （其中 ）的单调性，并指出其单调区间。 解：任取 ，且 ，则 。当 k＞0 时， ，故此时 在 R 上单调递增；当 k＜0 时， ，故此时 在 R 上单调递减，其单调区间即为整个定义域 R。 例2：物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 V 减小时，压强 p 将增大。试根据定义证明：函数 （k 为正常数）在区间 上单调递减。 证明：任取 ，且 ，则 。因为 ， ，且 k＞0，所以 ，故函数 在区间 上单调递减，即当体积 V 减小时，压强 p 将增大。 例3：根据定义，研究函数 在区间 上的单调性。 解：任取 ，且 ，则 。因为 ， ，且 ，所以 ，故函数 在区间 上单调递增。 教师引导学生总结"取值—作差—变形—定号—结论"五步法，并示范规范书写。 学生独立完成例3，两名学生板演，师生共同点评：作差后分子分母符号的判定是关键。 解后反思：变形的方向是把差化成若干因式乘积，便于定号。 通过例题巩固单调性定义，强化证明的规范书写，提升逻辑推理素养；渗透分类讨论思想。 新知巩固 练习：下图是定义在[-5,5]上的函数的图象，根据图象写出它的单调递增区间与单调递减区间。 答案：单调递增区间是[-2,1]和[3,5]；单调递减区间是[-5,-2]和[1,3]。 追问：两个递增区间能用并集符号连接成一个区间吗？ 学生独立观察图象作答，教师巡视指导，针对把两个递增区间误连成一个区间的做法作图示讲解：函数在1到2与3到5两段上都递增，但整体不具有单调性。 训练识图能力，规范单调区间的书写；突出单调性是局部性质这一要点。 应用深化 问题：函数在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是多少？对应图象上的哪一点？ 结论：最大值是最高的纵坐标3，最小值是最低的纵坐标-3（结合上图）。 思考： （图②）的最大值一定存在吗？结合图象说明。 教师引导学生回到图象：最高点的纵坐标就是最大值。 学生借助函数图象发现： 的图象没有最高点，故无最大值，深化对最值存在条件的认识。 借助图象理解最值概念，体会最值与图象最高（低）点的联系，发展直观想象素养。 归纳小结 1.函数单调性的定义（增函数、减函数）。 2.单调区间及其书写规范。 3.函数最大值、最小值的概念。 4.用定义证明单调性的五步骤：取值、作差、变形、定号、结论。 学生先自述本节收获，同伴补充，教师点评并强调定义中"任意"与"作差定号"两大要点。 帮助学生梳理知识脉络，巩固核心方法。 七、板书设计 3.2.1 单调性与最大（小）值 1.增函数：任意取时， 则； 2.减函数：任意取时， 则； 3.单调区间：单调递增区间与单调递减区间（增函数、减函数的取值范围） 4.最大值：对任意； 最小值：对任意； 5.证明五步：取值—作差—变形—定号—结论 例题 例2 证明： 任取，且， 则， 故在区间上单调递减。 例3 解： 任取，且， 则， 故在区间上单调递增。 学科网（北京）股份有限公司 $