3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第2课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册高一教学设计

3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第2课时） 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.理解函数最大（小）值的概念，能借助函数图象直观描述函数的最值，并能用符号语言准确定义。 2.能利用函数单调性的定义判断简单函数的单调性，会求具体函数的单调区间和最值。 3.经历从图象直观到代数符号证明的过程，体会数形结合思想，提升逻辑推理能力。 4.感受数学概念的严谨性，养成严谨论证、主动探究的学习习惯。 教学重点 函数最大（小）值的概念；利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值。 教学难点 理解最值定义中“存在”与“任意”的逻辑关系；含参数的二次函数在闭区间上的最值问题（分类讨论）。 教材分析 本节教学内容源于人教 A 版必修第一册第三章第二节《函数的单调性与最大（小）值》（第 2 课时），是在学生掌握函数单调性定义与证明基础上，进一步学习函数最值，是函数单调性知识的延伸应用，对整个高中函数模块的学习有着重要的支撑意义。 依照新课标要求，教材将内容划分为最值概念建构、图象观察辨析、利用单调性求最值、实际应用四个模块，从函数图象情境引入，结合单调性逐步抽象函数最大值、最小值的定义，依托例题引导学生掌握借助单调性求解函数最值的方法，符合高一学生的认知发展逻辑。教材以 “利用单调性研究函数最值” 的逻辑线推进，打通图象直观与代数推理的联系。本节为后续各类函数性质研究、函数综合问题打下基础，落实直观想象、数学运算核心素养，很好落实课标要求，突出 “运用函数性质解决函数最值问题” 的核心观点。 学情分析 学生已学习了函数的概念、定义域、值域及函数的单调性，具备从图象观察函数变化趋势的经验，也能用定义证明简单函数的单调性。但学生对“整体性质”的理解尚不充分，容易将“恒成立”与“能取到”混淆，例如误认为只要 恒成立， 就是 的最小值。学生在初中已熟悉二次函数 的图象与顶点坐标，能利用顶点求最值，但对定义域为闭区间或含参数时的最值问题还缺乏系统认识，分类讨论的意识较弱。此外，将实际问题转化为函数最值问题（如利润最大）需要建立函数模型，学生的建模能力有待加强。 因此，本节教学应充分利用图象直观帮助学生理解最值的“形”，再通过严格定义和代数证明巩固“数”的表达；通过典型例题引导学生归纳“先判单调性，再求最值”的基本方法，逐步突破含参问题的难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情境，引入新课】 【问题情境】 科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”的沙漠气候进行科学考查，下图为某天气温随时间的变化曲线。 （1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？ （2）设该天某时刻的气温为 ，则 在哪个范围内变化？ （3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？ 【师生活动】 教师出示气温曲线，学生观察并回答； 教师引导：图象最高点对应函数最大值； 教师追问：你能类似地说出最小值吗？ 学生类比得出：若存在 ，使得 ，都有 ，则 为最小值。 思考1：我们如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？ 当 时， 取得最大值；当 时，图象到达最高点； 用“数”刻画“形”：，都有 。 思考2：你能以函数f(x)=−x2为例说明函数的最小值的含义吗？ 二次函数f(x)=x2的图象上有一个最低点(0,0)，即∀x∈R,都有f(x)≥f(0).当一个函数f(x)的图象有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值. 【学习目标呈现】 明确本课时目标：理解函数最值的概念，能利用定义判断简单函数单调性，会求函数的单调区间与最值；经历由图象直观到代数符号证明的过程，体会数形结合思想。 用“早穿棉袄午穿纱”的生活情境激发兴趣，借助气温曲线直观引出函数图象的最高点与最低点，自然过渡到用数学符号刻画函数最值，明确本课学习方向。 探究点1：函数最大（小）值的概念 【问题引入】 教师提问：二次函数 的图象有什么特征？ 学生指出：图象上有一个最低点 ，即 ，都有 。 教师指出：当一个函数 的图象有最低点时，我们就说函数 有最小值。 思考3：所有的函数都有最大（小）值吗？ 学生举例说明：不一定，有些函数既无最大值也无最小值。 【新知形成】 函数 最大（小）值的定义： 注：最大值、最小值统称最值。 【师生活动】 教师引导学生理解定义中“存在 ”与“任意 ”的含义： “存在 ”保证最值能取得到； “任意 ”保证它是定义域内的最大（小）值。 【即时训练】 辨析1：判断对错 （1）因为不等式 总成立，所以 是 的最小值。（×） （2）如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素。（√） 辨析2：函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别为（ C ） A. B. C. D. 【技巧点拨】 （1） 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，必须能取得到； （2）最大（小）值定义中的“任意 ”是说定义域内的每一个值都必须满足不等式，即函数 的图象不能位于直线 的上（下）方。 通过二次函数实例和辨析题，帮助学生准确理解最值定义中的两个关键条件——“取得到”与“任意性”，突破概念理解的易错点。 探究点2：利用单调性求函数的最值 【问题引入】 有了最值的定义后，如何确定一个函数在区间上的最值？单调性是否能帮助我们找到最值？下面通过例5探究。 【例5】已知函数 ，求函数的最大值和最小值。 解：，且 ，f（-f = = = 由 ，得 ，， 于是 ，即 。 所以函数 在区间 上单调递减。 因此，函数在 的两个端点处分别取得最大值与最小值：最大值是 ，最小值是 。 【新知导出】 （1）若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a) ，最小值为f(b) . （2）若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递增，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b) ，最小值为f(a) . 问题1：你认为求函数最值的关键是什么？由此归纳最值与单调性的关系。 问题2： （1）二次函数 （）的最值是什么？ 当 时，；当 时，。 （2）要确定 （）在 上的最值，需要先确定什么？ 需要先判定该函数在 上的单调性，即确定 的正负，从而判定何时取得最大值、何时取得最小值。 【总结】求二次函数最值的常用方法：公式法、配方法、图象法。 【即时训练】 辨析3：已知函数 的定义域是 ，。在区间 上 单调递增；在区间 上 单调递减，试证明 在 时取得最大值。 证明：因为 在 上单调递增，所以对于任意 ，都有 。 又因为 在 上单调递减，所以对于任意 ，都有 。 因此，对于任意 ，都有 ，即 在 时取得最大值。 通过例5的代数证明，让学生经历“图象直观估计——定义严格证明——单调性确定最值”的完整过程；通过归纳最值与单调性的关系，为后续求最值提供方法依据。 探究点3：图象法求函数的最值 【方法要点】 函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标；函数最小值的几何意义是函数图象最低点的纵坐标。 【例题巩固】 下图为函数 ， 的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。 解： 观察图象可知： 最高点是 ，所以当 时，函数取得最大值 ； 最低点是 ，所以当 时，函数取得最小值 。 单调区间： 增区间为 ，； 减区间为 ，，。 通过图象法求最值，强化“最高点、最低点”的几何直观，同时复习二次函数、分段函数的图象画法与区间划分，提升数形结合能力。 探究点4：单调性法求函数的最值 【方法要点】 利用单调性求函数最值的步骤： 第一步，利用函数单调性的定义判断函数在区间上的单调性； 第二步，根据单调性确定函数的最大值、最小值。 【例题巩固】 函数 ，，则 的最大值和最小值分别是______。 解： 在 上单调递增，所以最大值为 ，最小值为 。 通过单调性法求最值，训练学生规范使用定义证明单调性，并依据单调性确定最值，进一步强化代数变形与符号判断能力。 探究点5：二次函数最值的实际应用 【问题引入】 许多实际问题可以通过建立函数模型求最值，二次函数是最常见的模型之一。下面用“菊花”烟花问题和利润问题体会函数最值的实际意义。 【例题巩固】 例4：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度 （单位：m）与时间 （单位：s）之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到 m）？ 解：画出 的图象，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。 由二次函数的知识，当时，函数有最大值 答案：烟花冲出 s 后是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为 m。 通过对二次函数对称轴与区间位置关系的分类讨论，进一步深化函数最值的概念，提升数形结合与分类讨论思想。 课堂小结 板书设计 3.2.1函数的单调性与最大（小）值（第2课时） 一、函数最值的定义 最大值：存在 ，使 ；对任意 ，都有 。几何意义：函数图象最高点的纵坐标。 最小值：存在 ，使 ；对任意 ，都有 。几何意义：函数图象最低点的纵坐标。 二、最值与单调性的关系 若 在 () 上单调递增，则最大值为 ，最小值为 ； 若 在 () 上单调递减，则最大值为 ，最小值为 。 三、求最值的方法 ①图象法：观察图象最高（低）点。 ②单调性法：先证单调性，再求端点函数值。 ③二次函数法：公式法、配方法、图象法。 四、典型例题 例4：二次函数求烟花爆炸最佳时刻（实际应用）。 例5：用单调性求 在 () 上的最值。 五、注意点 ①最值必须能取到； ②定义域内所有点都要满足不等式； ③分段函数需综合比较各段最值。 随堂练习 题型1 图象法求函数的最值 1. 图象法求函数的最值 求下列函数的最值： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1），定义域为R，所以最小值为 ，无最大值。 （2） 对称轴 ，故 ；又 ，，所以。 （3） 对称轴 ，故 ；又 ，，所以 。 （4）区间 在对称轴 的左侧， 单调递减，所以 2、已知函数 (1) 在直角坐标系中画出的图象； (2) 根据函数图象写出函数的单调区间和值域。 解：(1) 的图象如图所示： (2)由的图象知：函数的单调增区间为：，；单调减区间为：。值域为：。 题型2 单调性法求函数的最值 1.设函数 ，，则 （ D ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 既有最大值又有最小值 D. 既无最大值又无最小值 解析：因为 ，所以 ，但 取不到，故函数既无最大值也无最小值。 2.已知函数 。 （1）判断函数在区间 上的单调性，并用定义证明你的结论。 （2）求该函数在 上的最值。 解：（1）证明：，且 ， 由 ，得 ，，，所以 ，即 。 所以函数 在区间 上单调递增。 （2）由（1）知 在 上单调递增，所以： 最小值在 处取得，； 最大值在 处取得，。 3.已知函数 ，，求函数 的最大值和最小值。 解：，且 ， 由 ，得 ，，所以 ； 又 ，所以 ，即 。 所以函数 在区间 上单调递增。 因此：最大值是 ；最小值是 。 题型3 函数最值的实际应用 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益（单位：元）其中是该仪器的月产量。（总收益 = 总成本 + 利润） （1）将利润表示为关于月产量的函数。 （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 解：（1）当月产量为台时，总成本为元，故 （2）当时，， 二次函数开口向下，当时，； 当时，，是减函数，。 综上：当时利润最大，最大利润 25000 元。 题型4 含参数的二次函数最值问题 1、已知函数。 (1) 求在上的最大值； 解：由二次函数的性质，函数开口向上，且对称轴为。 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。 (1) 若，即时，函数在处取到最大值，即。 若，即时，函数在处取到最大值，即。 教学反思 本课时教学目标基本达成。通过情境引入和图象观察，学生能较自然地理解函数最值的定义，知道最值必须是函数值域中的元素；通过例5和即时训练，学生基本掌握了利用单调性求最值的方法，辨析题也有效强化了“存在”与“任意”两个条件的理解。但教学中发现两个主要难点：一是含参数二次函数最值的分类讨论，学生容易漏掉对称轴与区间的位置关系，需加强数轴示意图的辅助；二是实际应用问题中建立函数模型仍不够顺畅，部分学生对利润函数分段点处理有困惑。后续改进：可增加小组合作探究含参二次函数的案例，借助几何画板动态演示对称轴移动，帮助学生直观建立分类标准；实际应用问题可先让学生列表梳理数量关系，再列函数式，逐步提升建模能力。整体而言，课堂节奏适宜，但在变式训练和思想方法提炼上还需进一步落实。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $