3.2.2奇偶性（第1课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册高一教学设计

3.2.2奇偶性（第1课时） 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法，能利用奇偶性分析函数图象性质。 2.借助函数图象抽象出奇偶性概念，体会数形结合思想，提升抽象概括能力。 3.感受数学对称美，体会从特殊到一般的研究思路，培养严谨的数学思维。 教学重点 函数奇偶性的定义及其判断方法。 教学难点 从图象对称性到符号语言的抽象概括；理解定义域关于原点对称是判断奇偶性的必要条件；分段函数奇偶性的判断与证明。 教材分析 本节是人教A版必修第一册第三章《函数的概念与性质》第二节《奇偶性》（第一课时）。核心知识点包括：偶函数与奇函数的定义，函数奇偶性的判断方法，奇偶性与函数图象对称性的关系，以及定义域关于原点对称这一前提条件。 本节从函数图象的对称性出发，引导学生先观察、分类，再用数量关系刻画图象对称特征，经历“图形特征—数量特征—符号语言”的抽象过程，类比函数单调性的研究路径，建立偶函数、奇函数的概念。奇偶性是函数在定义域上的整体性质，定义域关于原点对称是其成立的必要前提。利用奇偶性可以简化函数图象的绘制与研究，体现了数形结合的思想方法，为后续研究函数性质提供了重要范式。 学情分析 学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数及其图象，掌握了函数的概念、表示法和单调性的研究方法，具备用符号语言描述函数性质的一定经验。通过列表观察互为相反数的自变量对应的函数值，归纳出或这一数量特征相对容易；但将“图象关于轴对称或关于原点对称”转化为严格的代数定义，特别是理解“定义域关于原点对称”这一隐性前提，是学生认知上的难点。此外，学生在判断多项式函数或分段函数的奇偶性时，容易忽略定义域先行，或在分段讨论中遗漏某种情况。因此，教学中应引导学生形成“先定义域，后与关系”的判断步骤，并通过反例强化定义域对称的重要性。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 【师】同学们，我们已经研究了函数的单调性。回顾一下，我们研究单调性经历了怎样的过程？ 【生】先从图形特征入手——图象上升或下降；再提炼数量特征——函数值随自变量的增大而增大或减小；最后用符号语言精确刻画。 【师】很好！今天我们从函数图象的对称性出发，继续探究函数的又一基本性质——奇偶性。在生活、传统文化和自然界中，对称美比比皆是，如剪纸、建筑、树叶等，这些对称现象背后都蕴含着数学的“对称美”。 【师】观察以下函数图象，从图象对称的角度把它们分类： ①③④ 函数图象关于 轴对称； ②⑤⑥ 函数图象关于原点对称。 回顾单调性的研究方法，为类比学习奇偶性提供路径指引；借助生活中丰富的对称实例激发学生兴趣，明确本课研究方向。 探究点1：偶函数 【问题引入】怎样用数量关系刻画函数图象关于 轴对称这一特征？ 【师】以 为例，取自变量的一些特殊值，观察函数值的变化： 【生】当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 【追问】 也具有以上特征吗？ 【生】具有，因为 。 【师】事实上，对于 ，，都有 ，我们称 为偶函数；同理， 也是偶函数。 【新知导出】 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且，那么函数 就叫做偶函数。 偶函数的几何特征：图象关于 轴对称。 常见变形： 【思考辨析】 是偶函数吗？ 不是，定义域不关于原点对称。 偶函数的定义域有何特征？ 定义域关于原点对称。 若定义在 上的函数 满足 ，这个函数是偶函数吗？ 不是，必须对定义域内任意 都有 。 【即时训练】判断正误： （1）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数。（×） （2）存在既是奇函数，又是偶函数的函数。（√） （3）函数 是偶函数。（×） （4）若 是 上的偶函数，则一定有 。（√） 小技巧：既奇又偶的函数有且只有一类，即 ，是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数。 利用表格中具体数值与图象对称性，引导学生从“数”与“形”两个角度归纳偶函数定义，突破对“任意 ”的理解，体会数形结合思想。 探究点2：奇函数 【问题引入】观察函数 和 的图象，它们有什么共同特征？ 【生】图象都关于原点成中心对称图形。 【追问】你能类比偶函数定义，用符号语言精确描述这一特征吗？ 【师】对于 ，定义域为 ，，都有，对于 ，在其定义域内也有。 【新知导出】 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且，那么函数 就叫做奇函数。 奇函数的几何特征：图象关于原点对称。 常见变形： 【思考】 成为奇函数需要满足哪些条件？ ① 定义域关于原点对称；② 。 若函数 为奇函数且在 处有定义，则 的值能确定吗？ 因为 ，所以 。 从中心对称图象出发，类比偶函数定义，让学生经历“特殊到一般”的抽象过程，完善对奇函数概念的理解，培养严谨的数学思维。 探究点3：奇偶性的判断与应用 【问题3】 （1）判断函数 的奇偶性。 解：函数 的定义域为 ，且，所以此函数是奇函数。 （2）已知函数 图象的一部分，如何画出剩余部分？ 解：由奇函数的图象关于原点成中心对称，将 轴右侧的图象沿着原点旋转 即可得到 轴左侧的图象。 （3）一般地，如果知道 为偶（奇）函数，那么我们可以怎样化简对它的研究？ 解：只需研究定义域关于原点对称的一半区间，另一半根据对称性画出或得出相应性质。 【典例精讲】 例6：判断下列函数的奇偶性： （1） 解：函数定义域为 。，都有 ，且，满足偶函数定义。 （2） 解：函数定义域为 。，都有 ，且，满足奇函数定义。 （3） 解：函数定义域为 。，都有 ，且，满足奇函数定义。 （4） 解：函数定义域为 。，都有 ，且，满足偶函数定义。 【技巧点拨】 判断函数奇偶性的两种方法： （1）定义法：先判断定义域是否关于原点对称；再验证 与 的关系。 （2）图象法：观察函数图象是否关于 轴对称（偶函数）或关于原点对称（奇函数）。 小技巧：奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，判断函数的奇偶性应优先明确它的定义域。 通过例题和分层训练，强化奇偶性定义的使用步骤，归纳判断方法；借助对称性简化作图和对函数的研究，体会奇偶性的工具价值；分段函数训练深化对“任意 ”与“定义域对称”的理解，突破概念难点。 课堂小结 板书设计 3.2.2奇偶性（第1课时） 一、偶函数 1.定义：设定义域为 I，若 ∀x∈I，都有 −x∈I，且，则称 为偶函数。 2.图象特征：关于 y 轴对称。 3.代数变形：=0 或 =1（≠0）。 二、奇函数 1.定义：设定义域为 I，若 ∀x∈I，都有 −x∈I，且，则称为奇函数。 2.图象特征：关于原点对称。 3.代数变形：=0或= -1（≠0）。 三、判定方法 1.定义法：先看定义域是否关于原点对称，再验证f的关系。 2.图象法：观察图象是否关于 y 轴或原点对称。 四、常用结论 1.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。 2.奇函数在 x=0 处有定义时，=0。 3.既奇又偶的函数：=0，且定义域关于原点对称。 随堂练习 【题型1 判断函数奇偶性】 1.判断函数 是否具有奇偶性。 解：定义域为 ，且，所以 为奇函数。 2.判断 的奇偶性。 解：定义域为 ，且，所以 为偶函数。 3.判断 的奇偶性。 解：定义域为 ，且，所以 为奇函数。 小技巧：常见偶函数有“偶次幂形式”与“绝对值函数”；常见奇函数有“奇次幂形式”与“反比例函数”。 【题型2 分段函数的奇偶性】 1.分段函数奇偶性判断： . 解：按定义分段验证，当 时，，； 当 时，，。故 为奇函数。 教学反思 本节课教学目标基本达成。通过图象对称性引入，学生能够理解奇偶性定义，掌握定义法与图象法判断函数奇偶性，概念理解目标通过例题辨析落实得较好。学生易忽略“定义域关于原点对称”这一前提，通过反例（如 ，x∈[－1,1)）和辨析题进行了强化，但分段函数的奇偶性判断仍是难点，部分学生在分类讨论时不够熟练，需进一步引导。改进方向：可增加小组合作探究活动，让学生互相讲解判断过程，加深对符号语言的理解；同时多设计图象与解析式互判的练习，提升数形结合能力，使抽象概念更加直观。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $