重庆市第一中学校2026-2027学年高三上学期数学周考7

重庆一中高2027届高三上期周考数学试题（七） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项符合题目要求) 1.集合A={x∈NIx2-2x≤3}，B={x2r≤4}，则A∩B= A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2} C.{1,2} D.[-1,2) 2.已知复数z满足z(1+)=1-i（i为虚数单位)，则|z引为 A.1 B. 2 C.√2 D.2 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,设事件p:S<S2<S3,事件q:{an}是正项递 增数列，则p是q的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4设直线1y=3x+1与双曲线C:三-卡=1(a>0,>0)的一条渐近线平行，则 双曲线C的离心率为 A.√5 B.√5 C.3 D.√0 5.已知向量a与3的夹角为号，其中创=2,1a-2=2,则1a+21= A.2, B.22 C.2√5 D.4 6.已知Sn,I,分别为等差数列{an},{b,}的前n项和， S.2n+2 7m-5,设点A是直线BC 外一点，点P是直线BC上一点，P=马十B+@,则2的值为() ba B.、29 1 99 C.1i 11 ,已知aetm,b=3m,c+》 2+。则a,b,c的大小关系为 e A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c a6+6 8.已知正数a,b,c满足a-c=3c-b),则_ 的最小值为 7 A.8 B.16 C. 数学试题第1页（共4页） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9.已知平面向量a=(24,1),五=（←1多）(1eR),则下列说法正确的有 A若L6则= B.若a∥，则！=号 C若a与6的夹角为锐角，则实数！的范围为（←∞，子 D.当1=方时，6在ā上的投影向量的坐标为（存？ 10,已知O为坐标原点，椭圆C:兰+=1，P为第一象限内稀圆C上的动点，过P分 别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N,连接MN,则 A.存在点P,使得|NI2=31OP列 B.△OMN面积的最大值为方 C.△OMN重心的轨迹为椭圆的一部分 O到直线MN的距离的最入 11.已知定义在R上的可导函数fx)的导函数为f'(x),且满足：①f2+x)+f2-x)=6: ②f'(3+x)=f'(x).则下列说法正确的是 A.f'(x)的图象关于直线x=2对称 B.x+3)-fx)为常数，且该常数等于3 C.存在常数a,使得函数fx)-ax是周期为3的周期函数 D.fx)的图象关于点(5,3+f3)-f0)中心对称 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填写在答题卡相对应位置上) 12.已知a+2a,+3g++n肥，=1-”(aeN)求数列a- 13.若曲线y=lnx+a存在过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(A后-2A己-B己=0，且a=1, △ABC的面积为 2,则b= 数学试题第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知函数f=msin(o@x+p)(其中m>0,o>0,lpl<2)的部分图象如图所示。 (1)直接写出函数fx)的解析式； (2)将函数y=心的图象向左平移石个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g倒 B 的图象.若小、B为锐角三角形ABC中的两个内角，且满足g(④+g(号)=0，证明：△ABC 为等腰三角形， 11π 12 l6.为备战校运会篮球赛，小明同学晚自习后练习投篮n次(neN,，且n≥2)，当且 仅当连续投中2次或投满n次时，停止练习.设小明每次投中的概率为p(0<p<1), 各次投中与否相互独立，记X为停止练习时的投篮次数. 当=6，P=方时，求X的分布列 (2)当n≥6时，记事件Ak为“第k次投篮命中”(k=1,2,3,,n),若P(X≥4)=p1? P(X≥5142)=p2,求p2-P1的值. 17.在△4BC中，内角48，C所对的边分别为a,bc,已知sin(++acos(5+到=0. (1)求角A的大小； 2)点D为边BC上一点（不包含端点，且满足LADB=2LAC8,求C的取值 范围. 数学试题第3页（共4页) 18.已知抛物线C1:y=4x,O为坐标原点，A、B为抛物线C1上的动点. (1)当AB过抛物线C1的焦点F时，求△AOB的面积的最小值； (2)P(xo,yO)为圆C2:(x+2)2+y2=1上一动点，C、D分别为线段AP、BP的中 点且都在抛物线C1上，线段BC、AD交于点Q, (1)证明：P、Q的纵坐标相同； (i)求AB2 的取值范围 IPOl 19.已知定义在区间I上的可导函数fx)的导函数为f(x),若F(x)=fx)+f'(x),则称 F(x)为fx)在I上的“衡稳函数”，F(x)在I上的零点为fx)的“衡稳点”.已知函 数p(x)=x2-2x,g(x)=e-2x,e≈2.71828…为自然对数的底数. (1)判断p(x),g(x)在R上是否存在“衡稳点”.若存在，则分别求出该“衡稳点”， 若不存在，说明理由； (2)记g(x)在R上的“衡稳函数”为G(x),若Vx≥0，不等式Gx)≥恒成立， 求实数a的取值范围； (3)令h(x)=g(x)+b(xcOSx-sinx-cosx),若h(x)在[0，上有且仅有两个“衡 稳点”，求实数b的取值范围. 数学试题第4页（共4页) 《量庆一中高2027届高三上期周考数学试题（七）》参考答来 思号 1 2 4 6 6 2 8 0 10 答案 B A B D C C ABD BCD 思号 11 答案 ACD 1.【详解】解不等式x2-2x≤3得-1≤x≤3，所以A={0,1,2,3},解不等式2≤4得x≤2， 所以B={dx≤2}，则A∩B={0,1,2}: 2【详制1由题意2==上-2公三，所以王i,所以=0=1 1+i(1-i1+i)2 3.【详解】若a=-1,公差d=2,则42=1,4=3，满足S=-1<S2=0<S,=3,显然{an}为递增数列， 但不是正项数列，充分性不成立；若等差数列{a,}是正项递增数列，即4>0，d>0,则4,4>0，必有 S<S2<S,必要性成立；所以p是q的必要非充分条件 么【详解】双自酸C:手茶=a>06>0的清近线方程为y=士乌，则色3， a 所以双曲线C的离心率e=C 、b2 1+ 5.【详解】【详解】由1ā-26上2，可得1a-25=a2-4ā-6+462=4-411+452=4，解得16上1 或=0（舍去），所以ā+26P=+4a.6+462=4+4161+462=12,则1a+26上2√5. 6.【详解】由题意可知B,C,P三点共线，且亚=+凸峦-C,故马+凸-1=1， b b 于是号可子尖 得7=7m-5则8，=(2m+2nZ,=7m-5列n,其中k为非零实数。 故a,=8-8,=20k,6=Z,-g=44k,故9+凸=28-40k_10.克 =6=44k1,故九=1，得1=- 11 7,【详解1现案可知：a=5b2,6=h5,c=-h1 4241 =325c=8 e 2e 构层数e因=x,x0》泉号f倒=1左2士<0， 2x 2x 故四=-在xe单流所以)付)/相 即c<b<a. 8.【详解【详解)由a-c=3c-),可得a+36=46÷二+32=4，可设9=m, 2=n,即m+3n=4, 答案第1页（共8页） 1 已知a,b,c为正数，则m,n>0,所以a+ba+7b4+6日+75m+nm+7m, 观察配凑，得[2(m+n)+(m+7m)] 1+1）=2+2m+n+m+7m+123+2N2, m+n m+7n) m+7n m+n 因为2(m+)+(m+7m=12,则1+1≥3+22_1+2 m+nm+7n-1246 当且仅当2m+片-”+7，即m=16-92,n=35-4时取得最小值， m+7n m+n 所以。+c的最小值为上+互 a+b a+7b 46 9.【详解】对于A:若a1方，则a-6=-21+号=0，解得t=子故A正确： .3 3 2 对于B:若ā1历，则3+1=0，解得1=方放B正确： 对于C:当a与6夹角为锐角时，则a-6=-21+2>0,解得t<子， 3 2 4 又a1历时，1=了此时向量云.5夹角为0， 所以当云与石的夹角为锐角时，！的取值范图为：<子且1学-了放C错误。 1 对于D当1=，a=.所a话=-1+经行同-F平-反 2 所以方在a上的投影向量为ab.。 、 故D正确： 4 10.【详解】设P(o,y%),0<x<2,0<<1, 选项A:IMW=后+片，IOPF√后+片，已知MW=3OP列，号+片=3√+好， 即V号+y=3,因为OP∈(6，a=(,2),故选项A错误： 选项B:令x=2cos0,y=8im0,0∈ 0, 1 2 5aaw=7%号2cos9sn82引sm281, 当0=二时，S%0w取最大值分，故选项B正确： 2 Xo=-COs0 选项C:由AB选项可知△OMW的重心G满足 3 ,0∈0， 1. Yo=sina 3 答案第2页（共8页） 消去参数得△OMNW的重心G轨迹方程为9X +9y2=1(x>0,y>0), 4 △ON的重心G的轨迹为椭圆的一部分，故选项C正确； d=% 选项D:设直线M0N:+兰=1，即ox+6y-66=0,更离4房+名 11 x6'4y好4 8*244 「6=2 12 当 93,故选项D正确。 4 V4 11.【详解】由f(2+)+f(2-x)=6,可得f(x)关于(2,3)对称，由f'(3+x)=f'(x),可得f"()周期为3， 对于A,对f(2+)+f(2-)=6两边求导，得f'(2+x)-f"(2-x)=0,所以f'(x)的图像关于直线 x=2对称，故A正确： 对于B,令F(x)=f(x+3)-f(x),则F(x)=0,所以F(x)=C是一个任意常数，但无法确定常数是3， 故B错误； 对于C,若g(x)=f(x)-c为周期函数，且T=3,则g(x+3)=g(x),即f(x+3)-a(x+3)=f(x)-x, 即x+3)-f网=3a,由F(-C,取a=号即可，其中C为征春常数，放C正确： 对于D,由选项c可知，f(x+3)f(x)=C,即f(x+3)=f(x)+C,令x=0,可得C=f(3)-f(0), f5+x)+f5-x)=f(2+x)+3)+f(2-x)+3)=f(2+x+f(2-x+2C=6+2[f(3)-f(0], 所以f(x)的图象关于点(5,3+f3)-f(0)中心对称，故D正确. [1 12. 1 27,n≥2 【详解】n=1时，4=1-≥2时由a+2a+3a+中2.1-2 0 有4+24+3妈+叶-1=1-共，两式相减，得na=分，则有0，=分， 1 1=1时，4不符合a,=京，所以a,= 2,ns1 2n,h22 16小.方ya+号到}-传}- 答案第3页（共8页） 因为f)存在过原点的切线，故(0,0)在切线上，-1+日+h%+日=0在(0，∞)有解， 即2a=-x(血右-1)在(0，+o)有解，令()=-x血x-l),(x)=-血x, 可得p(x)在(0,1)单调递增，在(l,+∞)单调递减，()=1， n二+l 又x→0，p(x)= →0的，x→e,9→0.2as1,aem引 1 14.2【详解】~(4丽-2AC-BC=(dB-2AC-(AC-AB)=3AB.AC-AB2-2AC=0, ∴3 bccos A=c2+2b2,由余弦定理：b2+c2-a2=2 becos A, 02引6+c-）=e42冰，c0-8+3,又8=c血4=9， 2 由cas+0c血-e,角2沙 +3=b2c2,又c2=b2+3,解得b=2. 15.【详解】(1)由图象可知，m=2,1m_=3元=37 1264 4所以T=元 元= 又0>0，故T=2年，所以0=2=2亚=2，所以f()=2si(2x+) 元 当x-若时，f倒-=2，所以2=2a(2x名+9即m行+p小-1 又似<受所以9=若故函数f(y)的解折式为f)=2s血2x+ 5分 a)g树=fx+月引-2(2x+}+引-2n2x+到}2o2x, 由8gU0+8[月-0，得2cos2A+2osB-=0,即cas21=-cosB=6os(a-8. 因为A,Be0引2Ae0,动，-Be经所以2A=-B=A+C, 化简得A=C,所以△ABC为等腰三角形. 13分 16.【详解】(1)由题意知X=2,3,4,5,6, 所Px=2列--PK-列--分有 答案第4页（共8页） P=到=-对gx=列--2最 PX==1-PK-2-Px=PX=4-PX=列-号 X的分布列为 X 2 3 4 J 6 1 3 13 8 8 32 32 …7分 (2)因为P=1-P(X=2)-P(X=3), =1-PX=24-P(x=3)-PX=44)=1-0-0-P(X=2)=1-P(x=2, 所以p2-A=[1-P(X=2]-[1-P(X=2)-P(x=3)]=P(X=3) =P(444）=P(A)P(4)P(4)=(1-p)p2.15分 1.【详样】D由6em4+骨引+ao(爱-0，陆合正弦定理可得： 因为BeQ,,所以血B≠0即5sA=方血4，所以m4=5,而AEQ,,所以4号 2 .…6分 (2) B 由∠ADB=2∠ACB知：AD=CD,所以C<A,即Ce0引 在△MABD中，有B=2-C,∠BAD=-C, 3 BD CD BD+CD 由正弦定理可得： -d sin 所以 CD cosC+sinC 2 2 1 CB √3cosC 答案第5页（共8页） 由ceo)可得mce,,所以器= 15分 18.【详解】(1)由题可知，抛物线C1:y2=4x的焦点F(1,0),OF=1,直线AB与x轴不重合，如图 所示， 设直线AB的方程为x=+1,与抛物线C:y2=4x联立可得：y2-4y-4=0, 设A(x,),B(x2,2)(不妨令y>0,2<0),则yy2=4, 设a408的蓝鞍为s,则8-以~为0个-儿+}分32.当仅当%=异即 y 乃=2时取等号，故△AOB面积的最小值为2 ,5分 (2) ①知图所示，设P(.4,小，B,小C为PA的中点，c色生产，士 整理可得：4x-2yo+8x。-y%=0,同理可得：4x2-2yy2+8x。-y=0, ∴.(，乃)、(：，y2)为方程4x-2yoy+8x。-=0的两组解，∴直线AB的方程为 4x-2y0y+8x-y%=0, 将直线AB与抛物线C:y2=4x联立可得：y2-2%y+8x0-=0,∴片+2=2%，yy2=8x。-%, 答案第6页（共8页） ,BC、AD分别为APAB的两条中线，∴为△PAB的重心， 设Q(3,y),则⅓=b++业=+2弘=%： 11分 3 (m)由(1)可知，5=2%1-8+6，名=2%-8%+6，片+%=2,2=8x-, 4 所4--广+-为-2-+.2±星 +0以-⅓} -0-+学-0+%-4w%y+要-+-4万 =√2好+4V场-4x, :34+至s2-+4以-2- 4 4 4 4 3 3 3 2 o-北离9公a服4e (6-4%) :(6+2}2+=1,e0,1,=46+4到e6,20]. Pe .17分 19.【详解】(1)p'()=2x-2,g(x)=e-2,令p()+p'(x)=x2-2x+2x-2=0,得x=±2， 故p(x)的衡稳点为V2、-√2：令G()=g()+g()=e-2x+e-2=2(e-x-1), 则G(x)=2(e-,令G(x)>0,得x>0,令G'(x)<0,得x<0,故G(x)在(-0,0)上单调递减， 在(0，十0)上单调递增，而G(0)=0,因此，g(x)的“衡稳点为0：5分 2)由题可知，对于x≥0,2(e-x-l)2m2恒成立， ①当x=0时，不等式恒成立， ②当x≠0时，即对于x∈(0，+∞)，2e*-2x-2-m2≥0， 令m(x)=2e*-2x-2-2，则m(0)=0,m'(x)=2e-2-2a,m(0)=0, 令n(x)=2e*-2-2am,则n(x)=2e-2a,n(0)=0 当a≤1时，n(x)≥0，n(x)在(0，+o)上是增函数，n(x)2n(0)=0, 则m(x)在(0，+o∞)上是增函数，m(x)≥m(0)=0,符合题意： 答案第7页（共8页） 当a>1时，令n(x)=0,即2e-2a=0,得x=na>0,当x∈(0，ha时，n(x)<0, n(x)在(0，ha)上是减函数，则n(x)<n(0)=0,此时m(x)在(0，na)上是减函数，故m(x)<m(0)=0, 不符合题意综上所述，a≤1，即a∈(-0，.l0分 (3)h(x)=e*-2x+b(xcosx-xsinx-cosx),h(x)=e*-2+b(cosx-xsinx-xcosx), 令H()=h()+h()=2(e-x-l-bxsinx),H(x)在[0，上有且仅有两个零点， H(x)=2[e"-b(sinx+xcosx)-1], 记p(x)为H'(x)的导函数，则p(x)=2[e-b(2cosx-xsinx)],∴.p(0)=21-2b), @当b>时，若xe0引p=2[g+3sx+00s]小>0，“单调递增，又 900目-j小加，存-*题x 使得9()-0，若x∈[及】 2cosx-xsinx<0,(x)>0, 由上可知，当x∈(0，x)时，p(x)<0,H'(x)单调递减，当x∈(，)时，p()>0,H'(x)单调递增， H'(O)=0,H'(x)=2(e+bm-l)>0,∴存在唯-的实数x∈(xo,π)，使得H'(x)=0, .当x∈(0，)时，H'(x)<0,H(x)单调递减，当x∈(，元)时，H'(x)>0,H(x)单调递增， H0)=0,H()=2(e-π-l)>0, ∴存在唯一的实数x∈(x,),使得H(x2)=0,即H()在[0，上有两个零点，符合题意， ②当b≤时，先证明：当x∈[0，时，o()=x-sinx≥0， 0(x)=1-cosx≥0，.(x)在[0，上单调递增，∴(x)之aw(0)=0 又由(2)可知，对于x≥0，e-x-1≥ 恒成立（当且仅当x=0时取等号）， 故孤网=2(-a血-x妒≥2(e-号xnx-x-小2(c-产-x小0，当且仅当x=0 时取等号， “H(x)在[O,]上只有一个零点，故舍去.综上，b的取值范围是 2,too 17分 答案第8页（共8页）