重庆市第一中学校2027届高三上学期周考数学试题（三）

重庆一中高2027届高三上期周考数学试题（三) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.设集合A= %m2 B={x+x=0,则AnB=() A.{-1,0 B.{- C. D.{o, 2.已知a,beR且b+0,则2>2是上<的（) a b A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(). 四閎 B阳- c.() D.f( 4,将6名志愿者分配到4个社区协助开展活动，每个社区至少1人，其中甲志愿者去A社区进行志愿服务， 则不同的分配方法种数为() A.360 B.390 C.750 D.1170 5.已知f(x)= (a+2)x+a,x> 在R上满足)-2>0， -2ax2+x,x≤1 则实数a的取值范围为() x-x2 s2 e 6.已知a=log2,b=log511,c=1og23,则a,b,c的大小关系为() A.a<c<b B.b<e<a C.b<a<c D.a<b<c 7已知只尽分则为描国C号+若-6>0的左，右焦点，过5的直线与C交于户Q丙点，线段0 的中点M在y轴上，且PM⊥F2,若PO=4,则C的标准方程为() 6 c.+=l 96 D+= 93 8已知函数f(x)（f()不恒为零)、其中f(x)为(x)的导函数，对于任意的x,yER,满足 fx+y)f(x-y)=f(x)-f(y以，且f0)=1,(2)=0,则() A.f(o)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x+1)关于直线x=1对称 D. 立=1 第1页共4页 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是 符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是() A.终边在y轴上的角的集合为O10=:+受ke乙 B.若a是第三象限角，则am号>0 C.已知某扇形的周长是4cm,面积为lcm2,，则该扇形的圆心角的弧度数是2 12 D.若角a的终边经过P(5k,12k),k≠0，则sina= 13 10.市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元)和销售 量y(件)之间的数据如表所示： 9.5 10 10.5 11 120 100 70 60 50 用最小二乘法求得经验回归方程为=x+440,则（) 4-4-列 【参考公式：样本相关系数r= 线性回归方程最小二乘估计公式分别为： ②-时②-列 65-06-功 -,a=-i.】 2(-到 A.6=-26 B.当x=12时，y的预测值为8 C.点(9.5,100)的残差为2 D.营瑞动 11设x,为2，为（为<为<为）是函数f(x)=ae2“-x2的三个零点，则() A.为<0 B.act C.设命题P:为，为，为成等差数列，命题9：一x,为，为成等比数列，则P是9的充要条件 D.若x,名，为成等差数列，则3-x=2血1+V) 第2页共4页 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12已知函数/国的导商数为，且网=2对得}+血x,则/(—一 13.已知数列{a}的前n项和为Sn=k(4“-1,k∈R,且a,=12,则数列{a}的通项公式a,=一 14.已知直线I是曲线f(x)=be的切线，也是曲线g()=e'+b的切线，则直线1的斜率k的取值范围是 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.已知函数f(x)=x3+2ax2+a2x在x=1处取得极小值， 0求4；心活关于x的不装式了5比化6)在[日]恒成立，求的取位范图。 16.在平面直角坐标系x0y中，点A(-2,0),过动点P作直线x=4的垂线，垂足为M,且AM,AP=4. 记动点P的轨迹为曲线E, (1)求曲线E的方程： (2)过点A的直线1交曲线E于不同的两点B、C,设B关于x轴的对称点为D,求△ACD面积S的取值范 围 17某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对 题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）：若两人合计答错 两题则中止答题，己知，甲、乙答对每道题的概率分别为P,9，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互 不影响， ()当P=9=时，设X为乙答题的道数，求X的分布列及期望， 2)当二+】-6时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值 第3页共4页 18.在某公司的团建活动中，组织了摸小球中奖品的游戏，游戏规则如下： ①将10名参加游戏的队员依次编号为1,2,3，，10，游戏主持人和每名队员手中的小盒里有1个黑球 和1个白球，这些球除颜色不同外其余均相同： ②1号队员先从主持人的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中： ③2号队员从1号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中，接着，3号队员从2号的盒子里随机摸出一 球放入自己的盒子中，重复上述操作，一直到10号队员从9号的盒子里随机摸出一球放入自己的盒子中： ④游戏主持人从10号的盒子里随机摸出一球后，该轮游戏结束， (1)该轮游戏结束后，记1号队员盒子里的黑球个数为X,求X的分布列与数学期望： (2)在取球过程中，记事件A=“:号队员摸取小球后他的盒子中是2黑1白球”(iZ,1≤i≤10)，求证： P4=2 (3)该轮游戏结束后，盒子中小球的颜色相同（视为中奖）的队员恰有k人(k∈Z,0≤k≤8)，将剩下未 中奖的队员重新编号并按游戏规则再进行一轮摸球游戏，记两轮游戏结束后有且仅有一名队员未中奖的概 率为R,问k为何值时P取得最大值. 19.已知材料：对于函数y=x(x>0)求导，一般是这样处理：两边同时取对数得ly=xx,左边是关于x 的复合函数，两边同时对x求导得兰-1+x,y=y1+lx)=x(1+lx).根据材料解决下列问题：已知 f(x)=x(0<x<1),g(x)=1-x)(0<x<1). 求g(在x=处的切线的斜率： 日求高数4()侣车引上的摄大道 同运，不特白目护-、a小树E整2aeN)威立 第4页共4页 重庆一中高2027届高三上期周考数学试题（三)参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 题号 2 3 5 6 7 8 答案 A D D B D D C C 1.sim2 ,c0s行=0，因此A= +x=0,得x(x+1)=0,得x=-1或x=0,因此B=(-1,0}, 32 所以AnB={-l,0}故选A 2.:2°>2°-a>b,当a>0>b时， 上<2不成立，当上<0<时，>b不成立 a b a 所以>b是二<的既不充分也不必要条件，即2”>2少是二< a b 是。方的既不充分也不必要条件故选：D, 3.对于A,)-!在x=0处无意义，故A错误：对于B:)=一的定义域为R,故B错误： e'-1 e2+1 对于C:f因=一的定义域为x*圳，且儿网= -x2 -x)°-1x-1 =f(x),则f(x)为偶函数， 故C错误：对于D,(一满足图中要求，故D正确故选：D 4只有甲前往A社区的总方法数：CA+CCixA=60+90=150, A 甲与另外1个人前往A社区的总方法数：CCA号=180： 甲与另外2个人前往A社区的总方法数：CA?=60: 综上，总分配方法数为150+180+60=390.故选：B. 5.由题意知，f(x)在R上单调递增， 当a=0时，f(x)= [2x,x>1 x,xs1’ 满足题意： [a+2>0 [a>-2 a>0 -2a<0 当a≠0时，箭满足上之1 ，解得0<as, 所以0<a≤ 1 4 4a -2a×12+1≤(a+2)×l+a a2-4 1 综上，0Sas故选D. 4 第1页共10页 6.对数函数y=logx在(0，+∞)上单调递增，且2<3，所以1og,2<log,3=1,即a<1; 对数函数y=og,在@+树)上单调递增，且5<11<京=55，所以1oBg,5<bg,11<og,5,即1<b<号： 对数函数y=lo8,x在(0，+o)上单谓递增，且2i=22<3<2=4,所以1og,2克<1og,3<1og,2,即 <c<2:综上可得a<b<c.故选D 3 7.因为O,M分别为FE,F2的中点，则OM11F2, 且OM⊥FE,则F2⊥FE,即PQ⊥FE,可得PF=O, 又因为PM⊥F2,则PF=|P,可知△P2F为等边三角形， 且Pw=4,则|PR=4,E=25,可得2a=|PF+lPF=6,2c=2W5,即a=3,c=5, 则62=a-c2=6,所以椭圆c的标准方程为二+少=1，枚选C 9 6 8.对A:令x=y=0,有f(0)f(0)=2(0)-f(0)=0,故f(0)=0,故A错误： 对B:令x=0,有fy)f(-y)=f(0)-(y)=-f(y),又f(x)不恒为零， 故f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x),又xeR,故f(x)是奇函数，故B错误： 对c令r00-fr0=/a网0， 曰f1+x)=f21-x)→f(x)=f(2-x)→f(x)=±f(2-x): 令x=2→f2+y)f2-y)=-fy)→f(2+x)f2-x)=-f(x), 当f(x)=f(2-x)≠0时，有f2+x)=-f(x), f2+x+f2-x)=-fx)+fx)=0: 当f(x)=-f(2-x)≠0，有f2+x)=fx), f(2+x)+f2-x)=f(x)-f(x)=0, 当f(x)=f2-x为=0，结合f(-x)=-f(x),有f(-x)=-f2-x), f(x)=-f(2+x)=0, f(2+x)+f(2-x)=0, 综上，∫(2+x+f(2-x)=0,f2+x)=-f(2-x),"(2+x)="(2-x), ∫'(x)关于直线x=2对称， 所以∫(x+)关于直线x=1对称，故C正确； 第2页共10页 对D:由f(-x)=-f(x),故f()=-f)=-1, 令y=2,有f(x+2)f(x-2)=f(x)-f(2)=f(x), 即f产(x)=f(x+2)f(x-2),则f(4)=f(6)f(2)=0,即f(4)=0, f(6)=f(8)f(4)=0,f(6)=0,f(8)=f10)f(4)=0,即f(⑧)=0， 令y=x-1,有f(2x-1)f()=f2(x-f(x-1), 即f(2x-1)=f(x)-(x-1),则f(3)=2(2)-f()=0-1=-1, f()=(3)-f(2)=1-0=1,f(7)=f2(4)-f2(3)=0-1=-1, 故2f)=-1+0+1+0-1+0+1+0-1+0=-1,故D错误 故选C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是 符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD A:终边在y轴上的角为0=)+2ka,k∈Z或0=)+2m,k∈Z，,合并得6=”+ 所以终边在y轴上的角的集合为{09-受+低ke,A正确： 对于B,因为“是第三象限角，所似+2点<a<孕+2点keZ所以后+空<号受+2空e乙 当k=2时，警号<长，此时号位于第因象限，此时细号<0，B维视 选项C:设扇形的半径为r,弧长为1，圆心角为a. 则2r+1=4, r=1,解得r=1,1=2所以圆心角a=二=2，故C正确 选项D:角a的终边经过P5k,12),k≠0，则r=V5)+12k}=13k, 当k>0时，则sina= 器-景当<0时，则如a祭吕因此动8=号故D销视 故选AC. 10.对A,x=10,y=80,a=-玩=440，故3=-36，故A错： 对B,x=12时，y=-36×12+440=8,B正确： 第3页共10页 对C,x=9.5时，少=-36×9.5+440=98，残差为：y-=100-98=2,C正确. 对D, b 「251巨，，D正确， 2g-列 V3400-i0V6se(030 故选BCD. 11.当a<0时，f(x)=ae“-x2<0,显然不满足题意； 当a=0时，f(x)=-x2,只有1个零点x=0,不满足题意； 当a>0时，由f(=ae24-=0,得a= e 设创-云，则函数g因-三与y0有3个交点，面g问22.24， 令g(x)<0,得x<0或x>1:令g(x)>0,得0<x<1,则函数g(x)在(-o,0)和(1，+∞)上单调递减，在(0，) 上单调递增，而8(0)=0,8)=。，x→+0时，8()→0，如下图： y= y-g() 由图可知，名<0<名<1，a0)则<0，故A正商，B箱误 ee2西=。药 由于x,为2，为成等差数列，则x+为=2x2,故=x,而x·x3<0, 所以-x=x为，故-x,名，为成等比数列， 同理，若-名，为，方成等比数列，可得-x为=号，即xx=, 可得x+为=2x2,即可得到x,x2,书成等差数列，· 所以P是9的充要条件，故C正确： 对于D,由C知，若，名，为成等差数列，则+西=2%，且-x名=号， 所以-x5== 化简得+5+655=0，则+5+1=0， 第4页共10页 解得点=-3-22或点=-3+22， 又号尝-心，则g动=草=2} 即名-=n0，放>1，<山 名 又-3+2√2>-3+2=-1，故舍去， 所u字3-2，则5-=（引-h+2回=21+间，放D正瑰 故选ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 3×4- [e,+) 12.由fx)=2f (引+血x来导得f(-2r得}+cosx, 令x则得/得)-2r}=2)r行解得/周) 所以f(x)=-1+cosx, 13.当n=1时，S=k(4-)=3k,即4=3k; 当n=2时，S2=k(42-)=15k,因此a2=S2-S=15k-3k=12k, 由a2=12,得12k=12,解得k=1,故Sn=4-1, ①当n=1时，a,=S=4'-1=3: ②当n22且neN时，a,=S.-Sn=(4-1)-(4-1)=4”-4-=3×4, 表达式对n=1也成立，综上所述，数列{a,}的通项公式为a,=3×4-(neN) 14.由题意得f)=be,则f(x)=bc,设曲线fx)的切点为4，be), 则直线1的斜率k=f(x)=be,而g(x)=e+b,则g(x)=e, 设曲线g(x)的切点为B(x,e+b),则直线1的斜率k=g'(:)=e, 第5页共10页 联立 [k=be" k=c的，得be=e,又因为直线I过4，B两点， 所以直线1的斜率也可以表示为k=k-c”-c的-b -x2 由be=e两边同时取对数，得lnb+名=x2→x2-为=l血b,把be=e中， 将为-为=nb代入k=be-西-b 得k=-b、b -2 -Inb Inb' 又因为k=c*>0恒成立，所以b >0=b>1, Inb 品6>，则o-.◆西=036e 令)= 即1<b<e时h(b)单调递减，b>e时，()单调递增， 所以h)在b=e时，取最小值h⊙=S=c,即k∈[c,+o). 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.【详解】(1)f(x)=x3+2ax2+a2x的定义域为R,则(x)=3x2+4ax+a2, 由函数f(x)在x=1处取得极小值，得f'()=3+4a+a2=0,解得a=-1,a=-3, 若a=-1,则f()=3x2-4+1,令f)=0,得x=片x=1 当x(时，小>0，（在（上单调递增， 当xe仔时，了(<0，f()在行却上单调递减： 当xe(1,+o)时，f'(x)>0,f(x)在(L,o)上单调递增， 所以x=1是f(x)的极小值点，符合题意， 若a=-3,则(x)=3x2-12x+9,令f'(x)=0,得x=1,x=3 当x∈(-o,1)时，f'(x)>0,f(x)在(-∞，1)上单调递增： 当x∈(1,3)时，"(x)<0,f(x)在(1,3)上单调递减： 当x∈(3，+∞)时，f()>0,f(x)在(3，+o)上单调递增， 所以x=1是∫(x)的极大值点，不符合题意， 综上，=-……(6分) 第6页共10页 (2)由(1)得a=-1,f(x)=x2-2x2+x, 不等式s公ke则在行]恒成立， 即不等式型二1-子在别]恒成立， ◆网12-小， 由e,得，则ge[剖，- 所以x=时，8)取最大值1， 所以k之g(x)=l,即k的取值范围是1，+∞) …(13分) 16.【详解】(1)设P(x,y),则M(4y). 因为A(-2,0）,所以=(-2，)，亚=(x+2,, 则M正=2x-4+y2=-4,所以少=2x,所以曲线E的方程为y2=2x:…(5分) (2)①若1的斜率为0，则1与曲线E只有一个公共点，因此1的斜率不为0， 设直线1的方程为x=my-2,设点B(名，)、C(x,y), 2 得y2-2my+4=0,所以△=4m2-16>0,解得m<-2或m>2, 由韦达定理可得乃+为2=2m,%2=4, 因为点B、D关于x轴对称，所以D(,-), 于是点D到直线的距离为d=:+my+2_2m 1+m2 v1+m2' ac=h+ml所以s=4cd=pml=4ml>8, 因此，△ACD面积S的取值范围是(8，十o∞)… …(15分) 17.【详解】(1)X的可能取值为0,1,2， 当X=0时，甲前2题都答错，此时乙不符要答题，所以P(CX=0=-p=京， 当X=1时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题，甲前2道题只答 对1迪题的概率为c0-p)小宁乙省错第3题的摄半为1-9宁所以PK=小 第7页共10页 当X=2时，有2种情况， ①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题，概率为C1-p)9=子 ②甲答对2恩，此时乙必答第3和第4道题，概率为p: 所以Px=2到- 分布列如下， X 0 1 2 P ￥ 子 期望E(X)=0x2+1x2+2x=三 …（6分) 4 4 24 (2)两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为Cp1-p)g2=2p1-p)92: ②甲答对2题，乙答对1题，概率为p2C29(1-9)=2p2q(1-q): ③甲答对2题，乙答对2题，概率为p2g2 所以获得纪念品的概率P=2p(1-p)g2+2p2q1-g)+p2g2=2p92+2p2q-3p2g2, 又因为2+日=6，所以=6，即p+q=6p9, 对P进行变形，P=pg(2g+2p-3p9)=p9[2(p+g)-3p9]=p9(12p9-3p9)=9p2g2, p=q 由6pg=p+g≥2网可得3pg≥p网，即9(pg°≥9，所以Pm≥行当且仅当任+-6即p=9-号时 p g 等号皮立所以P的最小鱼R=9周号 1 综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为 …（15分） 18.【详解】(1)由题意，X的可能取值为0,1,2， 则Px-o0叭-对x小-号号-导Px=到-对号 所以黑球个数X的分布列如下： 第8页共10页 0 2 6 6 故数学期望为E(X)=0×二+1×二+2×二=1.… …(5分） 6 6 (2)证明：当=1时，显然P(4)=根据游戏抽取规则， 当i≥2时，P4)-号P4+-P4》,即P叫4)-P4)+则P(4)-P4)》 P)-[P(40-周=0，于是P4)-≥2， 综上，P(4)=3 (12分) (3)由(2)知，一轮游戏结束后，每名队员盒子中小球的颜色相同的概率 P=P(4)x+-P(4》x了号，即每名队员中奖的概率为号 则R=c)c÷”o-c)” 由 2之B,解得5≤k≤6.又ke乙，从而k=5或6. P2P …（17分) 19.【详解1a8付h0-,所认得--小产 ^g(x) g-0-可[a-列g)-马2n2+3,即物线的解率为-2n2+.4分) (2)令p(x)=n(x)=xnx-(1-x)h(1-x,(x)=lhx-x)+2=0, 得层得> 当xQ,)时，<0，网)单调递减：当x(引时.(>0，（单调递增。 当0<分招F<g=油-0-0-小x0-} x(nx+1)<0, …（10分) （3)证明：令F()=产+-旷0<x<小，则函数F()的图象关于直线x=号对称， 现证明+-对s5在(0 上恒成立， 第9页共10页 F闪=（←hx1-动-小-功产】 ra41-0-eg9 兴实a 而F份-反，其中显然（←-xnx+1->0, 下面证明-刘≥--血-+x -xInx+1-x 由2)知0<x≤对时，-对≥，即-之1 下面证明-b≤1在引上恒成立， -xInx+1-x -h-2-1台G)=xhx-l-(-+2x-ls0, -xInx+1-x 由2)知，xe0x---s0,2x-1s0, 所以F(x)=x+1-xs2, 所以F目)-日”+-s5,当且仅当a=2时取等号， 所以不等式 0月0-月门se-任表的n2ae对立.分 第10页共10页