培优专题 第三章与动点有关的相似三角形的存在性问题专项训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

与动点有关的相似三角形的存在性问题 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 3．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段检测）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 4．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 5．（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 6．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图， 在中，， 点D以每秒2个单位长度的速度由点 B向点A运动，同时点 E以每秒1个单位长度的速度由点 C向点 B运动，当点 D停止运动时，点E也随之停止．设运动时间为 t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，则_________． 7．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，．点在上移动，当以，为顶点的三角形与相似时，则的长为_____． 8．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 10．（26-27九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 11．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 12．（25-26九年级上·山东青岛·周测）如图，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，若点以的速度从点出发向点运动，点以的速度从点出发向点运动，且两点同时出发，则出发时间为___________秒时与相似． 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 14．（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，中，，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连接，当与相似时，线段的长是__________． 16．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿向点C匀速运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也停止运动．经过几秒时，与相似？ 17．（26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少秒？ 18．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 19．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 20．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿的方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，解答下列问题： (1)________；______；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以为顶点的三角形与相似？ (3)当t为何值时，的面积为面积的？ 21．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒，的面积等于面积的？ (2)求经过几秒，与相似？ 23．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 24．（26-27九年级上·广东·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 25．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 26．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 ． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 27．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 28．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 29．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 30．（26-27九年级上·全国·阶段检测）如图①，中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为（秒）． (1)线段的长是 ． (2)当点在内部时，则的取值范围是 ． (3)当线段与的某条边平行时，求此时的值． (4)如图②，作，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，直线与直线交于点，当时，请直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 答案 D C D 1．D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 2．C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键.分两种情况讨论，可得或，据此解答即可． 【详解】解：∵， ①设经过后，， 根据已知条件，可得，，则， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 故选：D． 4．或 【分析】设运动时间为，用表示、的长度；为公共角，分两组相似对应情况列比例方程求解． 【详解】解：设运动时间为． 由题意得，， 则． 是公共角，分两种情况讨论： ①当时， 解得． ②当时， ， ， 解得． 综上所述，当运动时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 5．或或 【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 6． 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， 点运动到点所用时间为（秒）， ∵， ∴当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，则， ∴， 解得； 综上. 7．或或 【分析】根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：若， ∴， 设， ， ， 解得； 若， ∴， 设， ， ， 解得； 综上所述，的长度为或2或12. 8．4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 9． 2秒 或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 10．或 【分析】利用勾股定理求出，由题意得到，再根据以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况①当时，②当时，结合相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解： ，，， ， 运动时间为秒， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①当时， 有， ， 解得； ②当时， 有， ， 解得； 综上，的值为或． 11．或 【分析】此题考查了相似三角形的性质，分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒， 由题意可得，， ∵是的中点， ∴， 当时， , ∴，解得， 当时， , ∴，解得， 综上可知，点的运动时间为或， 故答案为：或 12．或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与矩形的性质，分两种情况进行分析，分别是或，利用相似三角形的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经秒后，与相似． 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上，经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 13．或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出的长，用含t的式子表示出的长，根据题意只存在和这两种情况，据此利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， 解得， 当时，则，即， 解得， ∵， ∴， ∴和都符合题意， 故答案为：或． 14．2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 15．或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理．首先根据直角三角形两锐角互余可知，根据可知，所以可得，可证，设，则有、，当与相似时，分两种情况：一种是；另一种是．再根据相似三角形对应边成比例得到关于的方程，解方程求出的值即为线段的长度． 【详解】解： 中，90°，，， ，， ， ， ， ； ∵， ， ， 设，则有， ， ； ， ， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：； 综上所述，线段的长是或． 故答案为：或． 16．经过或时，与相似 【分析】设经过，与相似，则，，分为两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出关于t的方程，求解即可． 【详解】解：设经过，与相似， 则，，． ， ∴可分为两种情况： ①若，则，即，解得； ②若，则，即，解得． ∴经过或时，与相似． 17．或 【分析】设运动时，根据相似三角形的判定和性质，，分当时，和当时，两种情况讨论，利用相似三角形的对应线段成比例解得的值即可． 【详解】解：设运动时，以为顶点的三角形与相似，则， ， ， 当时，有， ， ， ； 当时，有， ， ， ， 当以为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或． 18．(1)存在， 或 (2) 或 【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间． （2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值． 【详解】（1）解：由勾股定理： 点速度2，点速度1，故： ， 考虑到达需 即 ， 到达需 ，共同停止条件取较小者，故：， 在 和 中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一： 交叉相乘：， 因为 ，所以符合． 情形二： 交叉相乘： 又因为 ，也符合． 所以存在两个符合条件的 值： 和 ． （2）解：过点作 于，过点作 于． 因为 （都是直角），且 （都与角A相同），所以 ， 则有， 从而， 三角形的面积：； 三角形的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于 ： ， 两边同乘156：， 展开：， 整理：， 用十字相乘法：， 所以或 ， 两个值都在 范围内，都成立． 19．(1)4或6 (2)2或5 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【详解】（1）解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． （2）解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 20．(1)； (2)或 (3)2或8 【分析】（1）先根据勾股定理求得，结合题意用t表示出、即可解答； （2）分两种情况：①当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可；②当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可； （3）先求出的面积，然后过点作于点，此时，得到，从而可用t表示出，然后根据得到关于t的一元二次方程，解方程即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 根据题意可知，， ∴． （2）解：①当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当t为或时，以为顶点的三角形与相似． （3）解：， ∴， 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 整理得， 解得，， ∴当t为2或8时，的面积为面积的． 21．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，根据题意得，则，然后分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式求解； （2）过点Q作于点H，证明，得到，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，过点P作于点E，利用角平分线的性质得到，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据题意得，，则， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与相似； （2）解：如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点P作于点E， ∵，则， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 22．(1)2； (2)或 【分析】（1）设经过x秒，的面积等于面积的，根据题意列出关于x的一元二次方程即可求解； （2）设经过t秒，与相似，分①当 ，②当 ，分别列出比例式即可求解 【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于面积的， 由题意得：， 解得：， 答：经过2秒，的面积等于面积的， （2）解：设经过t秒，与相似， ①当 ，则， ∴，解得：； ②当 ，则， ∴，解得：； 综上所述，经过或秒，与相似． 23．(1)或秒 (2)解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； （2）略 24．(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 25．(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 26．(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 27．(1)或 (2) 解：不能，理由如下， 作轴于，轴于， ，， ， ， ， 当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）略 28．(1)10 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用勾股定理解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可； （3）根据当时，可得，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴． （2）解：由题意得，，， 因此， 与相似有两种情况， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得； 综上所述，当为或时，与相似； （3）解：当时，， 由（2）可知，． 所以当为时，． 29．(1)秒或秒 (2)3秒 (3)秒或秒 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴， 设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 在中，， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴秒或秒后，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 30．(1)10 (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）先根据题意可知点D在以点C为圆心，6为半径的圆上，，再分两种情况：当点D落在边上时，此时，然后根据面积相等求出，最后根据勾股定理求出，即可得出；当点D落在边上时，此时，作，再说明，可得，然后根据求出，进而得出答案； （3）先根据不能与平行可知有两种情况：当时，延长，交于点M，再说明，即可表示出，进而得出，接下来根据勾股定理求出答案；当时，交于点N，则，可说明，即可表示出，最后根据勾股定理求出答案； （4）分两种情况：作，根据题意得，再设，则，根据勾股定理得，然后由上可知，再说明，可得，接下来说明，根据比例式可得答案； 作，交的延长线于点F，交直线于点O，过点O作，交于点T，则，再根据题意得，下面说明，可得，然后结合题意表示出，根据勾股定理得，最后说明根据比例求出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：根据题意可知点D在以点C为圆心，6为半径的圆上， 当点D落在边上时，此时， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得， ∴； 当点D落在边上时，此时， 过点P作，交于点H， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得． 所以当点D在内部时，； （3）解：不能与平行， 则有两种情况：当时，延长，交于点M， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得； 当时，交于点N，则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 综上所述，或； （4）解：过点O作，交于点L， 根据题意，得， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得． 由上述可知． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 过点E作，交的延长线于点F，交直线于点O，过点O作，交于点T，则， 根据题意，得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 则， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 所以或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与动点有关的相似三角形的存在性问题 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 3．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段检测）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 4．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 5．（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 6．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图， 在中，， 点D以每秒2个单位长度的速度由点 B向点A运动，同时点 E以每秒1个单位长度的速度由点 C向点 B运动，当点 D停止运动时，点E也随之停止．设运动时间为 t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，则_________． 7．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，．点在上移动，当以，为顶点的三角形与相似时，则的长为_____． 8．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 10．（26-27九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 11．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 12．（25-26九年级上·山东青岛·周测）如图，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，若点以的速度从点出发向点运动，点以的速度从点出发向点运动，且两点同时出发，则出发时间为___________秒时与相似． 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 14．（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，中，，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连接，当与相似时，线段的长是__________． 16．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿向点C匀速运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也停止运动．经过几秒时，与相似？ 17．（26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少秒？ 18．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 19．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 20．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿的方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，解答下列问题： (1)________；______；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以为顶点的三角形与相似？ (3)当t为何值时，的面积为面积的？ 21．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒，的面积等于面积的？ (2)求经过几秒，与相似？ 23．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 24．（26-27九年级上·广东·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 25．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 26．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 ． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 27．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 28．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 29．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 30．（26-27九年级上·全国·阶段检测）如图①，中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为（秒）． (1)线段的长是 ． (2)当点在内部时，则的取值范围是 ． (3)当线段与的某条边平行时，求此时的值． (4)如图②，作，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，直线与直线交于点，当时，请直接写出的值． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $