专题07 相似三角形中的动点问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以分类讨论、相似转化为核心方法，系统构建相似三角形动点问题的多解、最值、函数图像及探究题型训练体系，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|5类共15题|分类讨论（多解问题）、相似比转化（最值）、函数建模（图像问题）、归纳推理（探究问题）|以相似三角形判定性质为基础，通过动点运动构建"位置关系→分类讨论→数量关系→模型应用"的逻辑链条| |综合攻坚|12题（选择4/填空4/解答4）|综合运用分类讨论与几何直观，强化模型观念|整合多知识点，提升复杂情境下的问题转化与推理能力|

专题07 相似三角形中的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题（难） 题型4 相似三角形中的动点问题与函数图像问题（高频） 题型5 相似三角形中的动点与几何图形探究问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，在矩形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以为顶点的三角形和相似时，的值为___________． 【答案】1或4或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意可得当点在上时，始终满足，故该组角邻边对应成比例即可满足三角形相似，当在边上时，始终满足，同样该组角邻边对应成比例即可满足三角形相似，由此进行比例的计算，得出的值． 【详解】解：当点在上，， ∵，故满足或， 均满足以为顶点的三角形和相似， 即，解得； 或，解得； 当点在上，∵，结合，， 由勾股定理可得 则， ∵，故满足或， 均满足以为顶点的三角形和相似， 即，解得； 或，解得（此时点不在上，故舍去）； 综上所述，当的值为、、时，满足以为顶点的三角形和相似， 故答案为：1或4或． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则______． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． 根据题意和坐标与图形性质求得，和，分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，，，， 当时， ∵点B的坐标为， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述：或． ◆题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 4．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图所示，等边中，D点为边上一动点，E为边上一动点，将沿着折叠，点A落在边的三等分点F处，若，则线段的长度为_______．    【答案】或 【分析】本题考查了翻折问题，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质．分两种情况讨论：当时，当时，再结合相似三角形的判定与性质，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵等边三角形， ∴，， ∵点A落在边的三等分点F处， 当时，点F在线段上，如图所示，由折叠性质可知   ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴，， 设，则，， ∴ 解得， ∵， ∴， 解得，经检验符合题意； ∴； 当时， ∴，， 设，则，， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得，经检验符合题意； ∴； 故答案为：或 5．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，．点为的中点，连接，点为上一个动点，点为矩形另一边上的一个动点，过直线将矩形折叠，使点的对应点始终落在上，当与相似时，的长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 当与相似时，则为直角三角形， ①当时，，如图，则， ∴，即：， 解得； ②当时，，则：， ∴，即：， 解得； 综上：或； 故答案为：或． 6．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，，点为边上一动点，点为边上一动点，，当是等腰三角形时，的长为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．分、和三种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设， ∵， 则，， 当时，作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当时， ∴， 解得， ∴； 当时，作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，的长为或或． 故答案为：或或． ◆题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，点在边上，且，动点在边上，连接和，若，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，延长到F，使得，连接，过点D作于G，可证明垂直平分，得到，则当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明，得到，则，由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到F，使得，连接，过点D作于G， ∵中，， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，已知，，，点、分别是、边上的两个动点，且始终保持，连接，则当取最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形和全等三角形的综合应用，同时涉及勾股定理和最值问题．本题综合性较强，能合理构建出全等三角形以及转化线段是学生解决本题的关键．先构建出，转化，即可利用三角形三边关系得出，进一步根据以及勾股定理进行分析即可． 【详解】解：将移动至，使与、与分别重合， 则，，, ， 当三点共线时，, ， , , ，， ， 此时, ， 在中由勾股定理可得， ， ． 故答案为：． 9．（25-26九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在中，，，，动点D在内，且使得的面积为10，点E为的中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作的垂线交于点M，延长，取，连接，，过点E作于点F，证明，得出，求出，，证明垂直平分，得出，得出，根据两点之间线段最短，得出当点N，D，E三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点D作的垂线交于点M，延长，取，连接，，过点E作于点F，如图所示： ∵，，， ， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ，， ，则， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ， ∵两点之间线段最短， ∴当点N，D，E三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， 即最小值为． 故答案为：． ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题 10．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，，点是边的中点，动点以的速度从点出发向点运动，当点运动到点时，停止运动．设点运动时间为（单位：），的周长为（单位：）．图2是关于的函数图象，其中点是图象上的最低点．（1）________；（2）点的坐标为_________． 【答案】 【分析】（1）由图象知，当时，点运动到点，得，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （2）过点作，使得，连接交于点、连接，先证明，得到，根据两点之间线段最短，可知当三点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，利用线段中点的定义以及勾股定理求出的长，再证明，得出，求出的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：（1）由图象知，当时，点运动到点， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴； （2）如图1，过点作，使得，连接交于点、连接， 则， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴的周长的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与重合时，， ∵点是图象上的最低点， ∴点的坐标为． 11．（2026·湖北襄阳·一模）如图1，在中，，，．动点从点出发，沿边以的速度向终点匀速运动．当点出发后，以为边作正方形，使点和点始终在边同侧．设点的运动时间为（单位：），正方形与重叠部分图形的面积为（单位：）、与的关系如图2所示． （1）____； （2）___． 【答案】 【分析】（1）过点作于，可得是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理解直角三角形可得、的长，即可得解； （2）过点作于，交于点，根据函数图象代入计算可得的长，证明，可得的长，，在中，由勾股定理可得的长，即可得解 ． 【详解】解：（1）如图，过点作于， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得（负值已舍去）， ， 当时，点和点重合，点和点重合，此时， 即； （2）如图，过点作于，交于点， 由（1）可知，，， 由函数图象可知，当时，点位于、之间， 此时， ， 解得， 四边形是正方形， ， ， ， ，即， ，， 在中，， ， 即． 12．（2026·湖北孝感·二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点，若点的运动速度为，设点的运动时间为，长度为，与函数图象如图2所示，则： （1）__________； （2）当恰好平分时，点运动的时间__________． 【答案】 72 【分析】（1）根据函数图像可得，则，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）如图：作的平分线，则，即，进而得到，由相似三角形的性质求出的长，然后求运动时间即可． 【详解】解：（1）点的运动速度为，结合图2可知：， ∴， ∵， ∴； （2）如图，作的平分线，则 ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即 ，解得：（已舍去负值）， ∴． ◆题型5 相似三角形中的动点与几何图形探究问题 13．（25-26九年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． (1)求证：； (2)某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，猜想，证明见解析 【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论； （2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果； ②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； （2）解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； 14．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）综合探究：如图，在矩形中，E是对角线上一动点，连接．    (1)【操作探究】 如图①，，过点E作交线段于点F，根据题意在图①中画出，图中的值为 ； (2)【问题探究】 如图②，，过点E作交线段于点F，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，，过点E作交射线于点F，当为等腰三角形时，求的长. 【答案】(1)见解析，1 (2)，理由见解析 (3)或4 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质及判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据等腰三角形的判定和性质求边长，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据题意画出图形即可，过点作于点，过点作于点，根据条件得出四边形为正方形，证明即可求解； （2）过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形，证明和，利用对应边成比例即可求解； （3）分情况进行讨论，当点F在线段上时，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H，证明，得出对应角相等，利用勾股定理求出相关线段的长度，用表示出相关线段的长度，证明，，，利用对应边成比例列出方程进行求解即可；当点F在的延长线上时，延长交于点H，找出相等角，利用等角对等边进行求解即可． 【详解】（1）解：画出如图①，理由如下：    过点作于点，过点作于点， 在矩形中，当时，四边形为正方形， ∴平分对角， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：，理由如下： 如图②，过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形.      ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵, ∴， ∴, ∴ , ∴ ； （3）解：当点F在线段上时，如图③，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H.        ∵， ∴当为等腰三角形时，则有. 在和中 ∴， ∴， ∵在矩形中，， 由勾股定理得， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴, ∴ ，即， ∴， ， ∴， ， 由(2)知， ∴ ，即 ，化简得， ∴. 又∵， ∴， ∴，    ∴ ，即 ，解得(已舍去)； 当点F在的延长线上时，如图④，延长交于点H．    ∵， ∴当为等腰三角形时，则有， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴. 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或4． 15．（2025·四川广元·模拟预测）【探究】如图1，已知四边形是正方形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接并延长，交于点    （1）求证：； （2）如图2，延长交边于点H，若，求的值； 【拓展】 （3）如图3，已知四边形是矩形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接CF，延长CF，BF交边于点G，H，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 或 【分析】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握利用全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，根据折叠的性质结合“同角的余角相等”进行等量代换证得，从而证明三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）连接，由，可设，，令，根据等边对等角结合两直线平行，内错角相等，进行等量代换得到，从而得到，，，最后根据，求出的值即可； （3）分点H在点D左侧，点H在点D右侧两种情况进行讨论．通过证明，得到，从而可设出、、、，结合，即可求解得到的值． 【详解】（1）证明：将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，连接， 由，可设，，令， 又 ， 在和中 由勾股定理得： 解得：或不合题意，舍去 ； （3）解：由，可设，，令，则 ①当点H在点D左侧时，如图3，    由（2）知， 将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， 又 ，即 ， 在和中 由勾股定理得： 解得或不合题意，舍去， ； ②当点H在点D右侧时，如图4，    则， 同理可得 ， 或不合题意，舍去 综上所述，或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．则运动（   ）时，以点、、为顶点的三角形与相似 A．4或6 B．5 C．6或 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动或时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故选：C． 2．（2026·浙江绍兴·二模）如图，已知固定点，动点，动点（t为实数），则的最小值是（     ） A．24 B．26 C．28 D．以上答案都不正确 【答案】D 【分析】此题考查一定点两动点最小值问题，需要构建模型作把转化为，从而的值是，则根据两点之间，线段最短，当A、B、N三点共线时，最短，因为动点是沿运动，经过计算当A、B、N三点共线时，此时正好垂直于轴，最短，所以的最小值就是当A、B、N三点共线时． 【详解】 设定点，动点可看作由沿x轴向右平移t个单位得到，因此； 作轴于点，则垂足， 即点由沿x轴向右平移个单位得到， 由此可得， ． 在x轴上方构造（相似比为），且保证轴． 由相似三角形的性质可得：， 已知，得， 因此点为定点．且． 原式可转化为： 当A、B、N三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度． 由可知，点纵坐标恒为6，其轨迹为平行于x轴的定直线； 根据直线外一点到直线的连线中，垂线段最短， 当时，最小，此时． 将代入坐标解析式，得，对应动点，该位置恰好满足A、B、N三点共线，且值最小． 将代入，则计算各段线段长度： ， ， 则， ， 因此，的最小值为：． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形 ，则下列结论错误的是（   ） A．若交对角线于点，则 B．若点 在边上时， C．若射线经过点，则线段、互相平分 D．若， ，点、两点间距离最小为 【答案】D 【分析】根据点、的运动速度可知，根据矩形的性质可以判断，根据相似三角形的性质可得；若点在边上时，四边形 为矩形，根据点、的运动速度可知；若射线经过点，可知，，，可证，根据全等三角形对应边相等可证、互相平分；连接交于点，连接，作于点，可得点 在以为圆心，以为半径的圆弧上，当垂直平分时，点、两点间距离最小为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知， 又， ， ， 故A选项正确； 如下图所示，若点在边上时，四边形 为矩形， ， ， 故B选项正确； 如下图所示， 若射线经过点， 则， ， 设 ，则， ，   ， 又， ， ，    ， ，， 、互相平分， 故C选项正确； 如下图所示，连接交于点，连接，作于点， ，， ，，， ， ， ， ， 点 在以为圆心，以为半径的圆弧上， ， ， 垂直平分， 即， 点、两点间距离最小为， 故D选项错误． 4．（2026·河南三门峡·三模）如图1，四边形为菱形，动点P从点A出发，以的速度沿线段运动到点D处停止，与此同时，动点Q以的速度沿折线运动到点D处停止．设点P运动的时间为x（s），的面积为y（），图2为点P，Q运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】.结合函数图象可得当时，点Q运动到点B处，当时，此时点Q在的中点处，分别计算即可解答． 【详解】解：由题意，可知当时，点Q运动到点B处， 此时，， 过点B作于点H，如解图1， 则，解得． 当时，点Q运动的路程为， ， 所以此时点Q在的中点处，此时． 过点Q作交的延长线于点M，如解图2， ， ， ， ． ． 的值为． 二、填空题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，连接、，若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】通过四边形内角和求出是解题的关键，构造“一线三直角”模型证明三角形相似，证明，利用垂线段最短求最小值即可． 【详解】解：过点作于点，于点， 四边形是矩形， ，，， 在四边形中，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， 点在对角线上， ， ， 当时，的值最小，此时的值最小， 在中，， ， ， 的最小值为． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，正方形的边长为4，，那么当______时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的边长为4， ， 在中，由勾股定理得：， 与相似， 分两种情况： ①，即， 解得； ②，即， 解得， 因此，当或时，与相似， 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·河南信阳·期末）将矩形如图所示放置在平面直角坐标系中，点，直线交于点E，F，动点P从点F出发以每秒2个单位速度沿方向向点O运动；同时，动点Q从点E出发以每秒1个单位速度沿方向向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止，与相交于点M，连接，则线段的长为________；过点A作，垂足为点H，连接，则线段长度的最小值为________． 【答案】 / 【分析】证明，设运动时间为t，则，可得，再在中，由勾股定理即可求出的长度；然后连接，取中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有，此时有最小值，过I点作于N，连接，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设运动时间为t，则， ∴， ∵点，直线交于点E，F， ∴，， ∴， 在中，， 如图所示，连接，取中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有，此时有最小值，过I点作于N，连接， ∵，且I是的中点， ∴，即N为的中点， ∴是梯形的中位线，， ∴， 在中，由勾股定理：， 在中， 在中，I是的中点， ∴， ∴当C、H、I三点共线时，有最小值为， 故答案为：；． 三、解答题 9．（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)，，， (2)为，可使 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； （3）解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 10．（2025·宁夏吴忠·一模）综合与实践 【问题提出】 （1）如图1，正方形中，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，正方形中，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，射线交于点H．若，点H为的中点，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在矩形中，，，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，射线交直线于点H．当时，求的长 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ∴； （2）， （3）的长 【分析】（1）正方形的性质得，结合垂直得，可得，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得，则有，结合正方形的性质得，有，即可得，则，设，则，利用勾股定理得，即可求得； （3）可证明，则，设，则，当时，由（2）得，得，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 点H为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ； （3）∵四边形为矩形形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ， ∵，， ∴， 设，则， 如图（3），当时， 则由（2）得， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 则； 11．（2026·重庆黔江·模拟预测）探究不同情境，解决下面问题： (1)问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空： ① ； ②的度数为 ． (2)拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 【答案】(1)①1；②； (2)，，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； (3)或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可得出结果； （2）先证明，得出，再证明，得出，由相似三角形的性质即可得出结果； （3）过点作于点，分两种情况：当点在上时，当点在的延长线上时，分别结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ②由①可得； （2）略； （3）解：过点作于点，当点在上时，如图： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在的延长线上时，如图： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 12．（25-26九年级下·广西防城港·期中）【概念提出】“逆等线问题”是几何最值问题中的一个热点问题．两条位置错开、长度始终相等，且分别连接一个动点和一个定点的线段，就叫“逆等线段”（简称逆等线）．它的主要特征：在某一个几何图形中，两个动点分别在两条定直线上运动，且它们分别到各自对应定点的距离始终相等．以此来求该两个动点连线的最值问题，即为“逆等线问题”． 【方法研究】 (1)如图1，在等腰直角中，，，，分别是线段，上的两个动点．若，连接，，试求的最小值．我们往往使用构造等腰三角形的方法，过点作，且，连接，易证，所以，由此我们可以得出结论：当，，三点________时，的值最小，即取得最小值． 【问题解决】 (2)如图2，在矩形中，，，是边上的一个动点，是射线上的一个动点，且，连接，，求的最小值（提示：在图2中，延长至点，使，连接）． 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形中，，．若，分别是，上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1)共线 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系作答即可； （2）仿照1得到当三点共线时，最小，等于的长度，根据勾股定理计算即可； （3）根据菱形的性质得到，，在上方构造线段，且，连接，根据相似三角形的判定和性质得到，即的最小值为，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据三角形三边关系可知， ∴当，，三点共线时，的值最小，即取得最小值． （2）解：在图2中，延长至点，使，连接， 矩形中，， 又，， ∴， 得． 因此， 可知当三点共线时，最小，等于的长度． 由勾股定理得， 因此的最小值为． （3）解：菱形中，，， ∴， ∴， 如图，在上方构造线段，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07相似三角形中的动点问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型2相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题（难） 题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题（高频） 题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1,(25-26九年级上河南平顶山~期中)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,延长BC到点E,使 CE=2,连接DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BE→ED→DA向终点A运动，设点P 的运动时间为秒，当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE相似时，t的值为 B 2.(25-26九年级上·黑龙江绥化阶段检测)如图，在△ABC中，AB=4cm,AC=8cm,点P从B点出发 沿BA方向向终点A以lCm/s的速度移动：同时，点从A出发沿AC方向向终点C以2m/s的速度移动. 设运动时间为()，当1= 时，△ABC与△APQ相似. 3.(25-26九年级上河北石家庄阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(12,8)，现有两动点P,Q,点P以每秒3个单位的速度从点O出 发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接PC,P巴，CQ.设运 动时间为t秒(t>0).若A,卫，Q为顶点的三角形与△OCP相似时，则1=一· ◆题型2相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 4.(25-26九年级上河南安阳期末)如图所示，等边△ABC中，D点为AB边上一动点，E为边AC上一 动点，将△ADE沿着DE折叠，点A落在边BC的三等分点F处，若AB=3,则线段AE的长度为」 D 5.(25-26九年级上·河南郑州期中)如图，矩形ABCD中，AB=12,AD=10.点E为AD的中点，连 接BE,点P为BC上一个动点，点Q为矩形另一边上的一个动点，过直线PQ将矩形折叠，使点C的对应 点始终落在BE上，当△PMB与△ABE相似时，CP的长为. B 6.(2026辽宁鞍山模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=1,AB=2,点D为AB边上一 动点，点p为4C边上一动点，需号5，当。40F是等限三角形，AD的长为一 CF 25 2111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B D ◆题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 7.(2025·黑龙江哈尔滨三模)如图，在Rt△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，且CD:BD=2:1,动 点E在AB边上，连接ED和EC,若AC=3,求ED+EC的最小值为 B D 8.(2025陕西西安模拟预测)如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=4,BC=2V5,点D、E 分别是AB、AC边上的两个动点，且始终保持AD=CE,连接BE、CD,则当CD+BE取最小值时，AE= E B 9.(25-26九年级下山东青岛自主招生)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5,AC=13,动点 D在△ABC内，且使得△ABD的面积为10，点E为AC的中点，则DE+DC的最小值为一 E D B ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题 10.(2026湖北襄阳模拟预测)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点E是边AB的中点， 3111 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动点P以lcm/s的速度从点B出发向点C运动，当点P运动到点C时，停止运动.设点P运动时间为t (单位：s),△PAE的周长为少（单位：Cm)·图2是y关于t的函数图象，其中点H是图象上的最低点。 (1)AB= cm;(2)点H的坐标为 Ay/cm B H E 4店 图1 图2 11.(2026湖北襄阳一模)如图1，在△ABC中，AB=3V2cm,BC=ncm,∠BAC=45°.动点P从点 A出发，沿边AC以lCm/s的速度向终点C匀速运动.当点P出发后，以AP为边作正方形APDE,使点 D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为t(单位：s),正方形APDE与△ABC重叠部分图形的 面积为s(单位：cm2)、S与t的关系如图2所示. S/cm2 9 B m--- D P 3 5 t/s 图1 图2 (1)m= (2)n=_. 12.(2026湖北孝感二模)如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A-B-C匀速运 动至点C,若点P的运动速度为lcm/s,设点P的运动时间为(s),AP长度为y(cm),y与t函数图象如 图2所示，则： (1)∠A= (2)当AP恰好平分∠BAC时，点P运动的时间t=」 Ay/cm 8亦於 图1 图2 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题 13.(25-26九年级下·河南郑州：期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D是AC上的一个动点，过点D 作DE⊥BC于点E,延长ED交BA延长线于点F. D B (I)求证：AD=AF: DF AD AD 1 DF AD 2 DF 4 (②)某兴趣小组探究DE与DC的关系，该小组探究发现，当DC2时，D =l；当DC5时，DE5· 请你继续探究： AD 2 DF ①当DC-3时，直接写出DE的值： AD n DE ②当DCm时，猜想DE的值（用含m,n的式子表示），并证明。 14.(25-26九年级上河南洛阳·期中)综合探究：如图，在矩形ABCD中，E是对角线AC上一动点，连 接DE. A D D B B C 图① 图② 图③ (1)【操作探究】 DE 如图①，AB=4D'过点B作EF⊥DE交线段BC于点E,根据题意在图D中画出EF,图中EF的值为_； (2)【问题探究】 如图②，AB=3,AD=4,过点E作EF⊥DE交线段BC于点F,探究线段DE与EF的数量关系，并说明 理由； (3)【拓展延伸】 5111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图③，AB=3,AD=4,过点E作EF⊥DE交射线BC于点F,当△EFC为等腰三角形时，求AE的长， 15.(2025四川广元·模拟预测)【探究】如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E是CD上一动点，连 接BE,将△BCE沿着BE折叠，点C落在四边形ABCD内部的点F处，连接CF并延长，交AD于点G. G D GH A GH D E 图1 图2 图3 (1)求证：CE=DG: HD 2 DE (2)如图2，延长BF交边AD于点H,若HG3,求EC的值： 【拓展】 (3)如图3，已知四边形ABCD是矩形，点E是CD上一动点，连接BE,将△BCE沿着BE折叠，点C落 CD 1 HD 2 在四边形HBCD内部的点F处，连接CB,延长CR,BP交边MAD于点G,H,若BC2,HG有，求 D EC的值. 综合攻坚知能拔高 一、 单选题 1.(25-26九年级上广西来宾阶段检测)如图，在△ABC中，AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A 开始沿AB边向点B匀速运动，运动速度为lCm/S,动点O从点B开始沿BC边向点C匀速运动，运动速度 为2cms,点P和点Q同时出发.则运动()s时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似 D B 12 A.4或6 B.5 C.6或5 D.3 2.(2026浙江绍兴二模)如图，已知固定点A(0,-6),动点B(-12+4,0),动点C(-12+3,6)(t为实 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数)，则4B+AC+BC的最小值是《) B A A.24 B.26 C.28 D.以上答案都不正确 3.(2026:安徽合肥·一模)如图，在矩形ABCD中，动点P从D点出发，以lCm/s的速度沿着DA向A点 运动，同时动点Q从B点出发以2Cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也 同时停止.将四边形PDCO以直线P为轴进行翻折，得到四边形PD'C',则下列结论错误的是() A.若PO交对角线BD于点E,则QE=2PE B.若点D'在AD边上时， BO=2CO C.若射线QC经过点A,则线段AP、CD'互相平分 D.若AB=3cm, BC=3V2cm,点A、C两点间距离最小为(N5-1)cm 4.(2026河南三门峡三模)如图1，四边形ABCD为菱形，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段 AD运动到点D处停止，与此同时，动点O以3cm/s的速度沿折线AB-BC-CD运动到点D处停止.设点 P运动的时间为x(s),△AP吧的面积为y(cm2),图2为点P,Q运动时y随x变化的关系图象，则m 的值为() v/cm2 m 5 D 2 图1 图2 25 5 A.3 B.4 C.6 D.35 7111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(2026陕西西安模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD=6,AB=8,点P是对角线BD上一动点， 点9是AB上一动点，连接CP、PO,若∠POB+∠BCP=180°，则PO的最小值是 O B 6.(25-26九年级上江苏徐州阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4，AE=MN=2,那么当CM= 时，Rt△ADE与Rt△MWC相似.(M为BC边上的动点，N为CD边上的动点) B M 7.(25-26九年级上·安徽合肥期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,现有动点P从 点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度 是2cm/s,点Q的速度是lcms,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时 间为t秒， (1)求运动时间为多少 秒时，P、Q两点之间的距离为2W5cm (2)当t为 时，以点C,卫，Q为顶点的三角形与△ABC相似. 8.(25-26九年级上河南信阳期末)将矩形0ABC如图所示放置在平面直角坐标系x0y中，点B(4,3), 直线x=2交BC,OA于点E,F,动点P从点F出发以每秒2个单位速度沿A0方向向点O运动：同时，动 点Q从点E出发以每秒1个单位速度沿CB方向向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止， PO与EF相交于点M,连接AM,则线段AM的长为 一；过点A作AH上P巴，垂足为点H,连接 CH,则线段CH长度的最小值为 8111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA E B OP F 三、解答题 9.(25-26九年级上·天津河北期末)如图，在△ABC中，∠B=90,AB=6cm,BC=8cm,动点P从点 A出发沿边AB向点B以lcm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B出发沿边B-C-A向点A以 2cms的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动.如果点P,Q分别从点A,B 同时出发，设运动的时间为s,当t=1时，点P,Q位置如图所示，回答下列问题： B O (1)填空：当0<t<4时，AP= BP=」 BO= CO= (用含有t的代数式作答) (2)当1<t<4时，t为何值时，可使AP=CQ； (3)当t为何值时，△BPO的面积为5cm2. 10.(2025·宁夏吴忠·一模)综合与实践 【问题提出】 (I)如图1，正方形ABCD中，点E是BC边上的动点，连接DE.过点A作AF⊥DE于点F,过点C作 CGL DE于点G,求证：△ADF≌aDCG; 【类比探究】 (2)如图2，正方形ABCD中，点E是BC边上的动点，连接DE.过点A作AF⊥DE于点F,过点C作 CG⊥DE于点G,射线AG交BC于点H.若AB=4,点H为EC的中点，求CH的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AD=6,AB=4,点E是边BC上的动点，连接DE.过点A作AF⊥DE 于点F,过点C作CG L DE于点G,射线AG交直线BC于点H.当EH=HC时，求GF的长 9111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D F F GA G G B E C B EH C B EHC 图1 图2 图3 11,(2026重庆黔江模拟预测)探究不同情境，解决下面问题： D P A 图1 图2 图3 AB )问题发现：如图1，在R△MBC中，∠B4C=0,ACL,点p是边BC上一动点（不与点B重合）， ∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,填空： PB ①cD-: ②∠ACD的度数为_· (②)拓展探究：如图2，在Rt△4BC中，∠BAC=90°，AC -k,点p是边C上一动点（不与点g重合）， ∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,请判断PB与CD之间的数量关系以及∠ACD与∠B的数量关系，并 说明理由， (3)解决问题：如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=-4V2,BC=4+2V14,P是边BC上一动点（不与点 B重合)，∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长. 12.(25-26九年级下·广西防城港·期中)【概念提出】“逆等线问题”是几何最值问题中的一个热点问题. 两条位置错开、长度始终相等，且分别连接一个动点和一个定点的线段，就叫“逆等线段”（简称逆等 线)·它的主要特征：在某一个几何图形中，两个动点分别在两条定直线上运动，且它们分别到各自对应 定点的距离始终相等.以此来求该两个动点连线的最值问题，即为“逆等线问题”， 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D E B E 图1 图2 图3 【方法研究】 (①)如图1，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,D,E分别是线段AC,BC上的两个动点. 若CD=BE,连接BD,AE,试求BD+AE的最小值.我们往往使用构造等腰三角形的方法，过点B作 BF∥AC,且BF=BC,连接EF,易证△BDC≌△FEB,所以DB=EF,由此我们可以得出结论：当A, E,F三点时，EF+AE的值最小，即BD+AE取得最小值. 【问题解决】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E是边AB上的一个动点，F是射线BC上的一个动点， 且BF=AE,连接AF,CE,求AF+CE的最小值（提示：在图2中，延长DA至点G,使AG=AB,连 接EG). 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2.若E,F分别是AD,BD上的两个动点，且 BF=DE,连接AF·CE:求2AP+CE的最小值， 11/11函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07相似三角形中的动点问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型2相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题（难） 题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题（高频） 题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1.1或4或6+V5 4 2.2或5 0 3.2√5-2或9 ◆题型2相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 77 4.4或5 24120 5.5或17 6 5.20 6或13或55-10 ◆题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 7.2W5 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 8.5 5727 9 22 ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题 10.25 （得而-5 11.2 5 12.72 2W5+2 ◆题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题 13. 【答案】(1)证明见解析 4 AD n DF 2n (203:②当DCm时，猜想DEm,证明见解析 【详解】(1)证明：，AB=AC, .∠B=∠C. DE⊥BC, .∠BEF=∠CED=90°」 .∠F=90°-∠B,∠CDE=90°-∠C,且∠CDE=∠ADF, ∴.∠F=∠ADF, .AD=AF: AD 1 (2)解：①当DC2时，DE DE=1,当0品5时，DE5 .AD 2 DF 4 DF AD ·总结规律得：DE是DC的2倍， AD 2 DF 4 ∴当DC3时，DE=3: AD n DF 2n ②当DCm时，猜想DE=m, 证明：作AG⊥EF于点G, 2/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A G D B E DE⊥BC, .AG∥CE, .△AGD△CED, 提 GD AD n ·DE DC m' 由(I)知AD=AF,又AG⊥EF, .DG=FG,即DF=2DG, DF2GD_2n 六DE=DEm: 14. 【答案】()EF见解析，1 DE 4 (②EF3,理由见解析 7 (3)5或4 DE 【详解】(1)解：画出EF如图O,F=1理由如下： H B G F 图① 过点E作EH⊥CD于点H,过点E作EG⊥BC于点G, 在矩形ABCD中，当AB=AD时，四边形ABCD为正方形， 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC平分对角， .'EH=EG. 又，∠EGC=∠EHC=∠BCD=90°， 四边形EGCH为正方形， .∠GEH=90°， ,EF⊥DE, .∠DEF=90° ∴.∠GEF=∠HED=9O°-∠FEH, .△EGF≌△EHD(ASA), .DE=EF, DE :.EF =1, 故答案为：1： DE 4 (2)解：EF3,理由如下： 如图②，过点E作MN⊥BC分别交AD,BC于点M,N,则四边形MNCD是矩形 A M D E B NF 图② .∠DEF=90° ∴.∠DEM+∠FEN=90° .∠DEM+∠EDM=90°， .∠FEN=∠EDM, ∴aDME∽aENF, DE DM CN ·EF=ENE' .EN∥AB, :.∠CNE=∠B,∠CEN=∠CAB .△CEN∽△CAB, 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CN CB 4 EN AB3 DE 4 EF=3 (3)解：当点F在线段BC上时，如图③，过点E作MN⊥BC分别交AD,BC于点M,N,连接DF交 AC于点H. A M E B NF 图③ :∠EFC>90° ∴当△EFC为等腰三角形时，则有FE=FC. DF DF, 在R△DEF和RtaDCF中{EF=CF, RtADEFRtADCF (HL). .LEFD=LCFD」 在矩形ABCD中，AB=3,AD=4, 由勾股定理得AC=5, EH CH=1CE=5-AE 2 AH =5+AE 2 .MN∥DC, ∴.∠AME=∠ADC,∠AEM=∠ACD, ∴.△AME△ADC, AM ME AE .即AM_ME=AE AD=DC=AC,即4=3=5， 、4AM=4AB,ME=2AE」 5 5 .MD=4-AE.NE=3-3 AE 5 由(2)知△MEAENF, 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4、4 AE 3 AE 5 DMME,即 51 33 AE =NF,化简得NE-94E EN NF 5 20 ∴.CF=BC-BN-NF=4 5 又，AD∥CF, .∠ADH=∠CFH,∠DAH=∠FCH, ∴.△ADHACFH, A M D E H. B NF 5+AE 4 2 ADAH,即 4-5AE 】5一角军寻 已舍去)： AE= 7( CF CH 2 5AE=0 当点F在BC的延长线上时，如图④，延长DE交BC于点H A D E B HCF 图④ .∠ECF>90°， ∴当△EFC为等腰三角形时，则有CE=CF, .∠FEH=90°，CE=CF, ∴.∠CEF=∠CFE」 ∴，∠HEC+∠CEF=∠CFE+∠EHC=90°， ∴.∠HEC=∠EHC :AD∥BC, .∠ADE=∠CHE. 又：∠AED=∠CEH, ∴.∠AED=∠ADE, 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AE=AD=4. 综上所述，当aEFC为等腰三角形时，AE的长为5或4. 15. 【答案】(1)见解析：(2) V3 5:(3) √105.3 10或2 【详解】(I)证明：：将△BCE沿着BE折叠，点C落在四边形ABCD内部的点F处， .BE⊥CF, ∴.∠ECF+∠BEC=90°， :四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠D=∠BCE=90°， .∠ECF+∠CGD=90°， ∴.∠BEC=∠CGD, 在△BCE和△CDG中， [∠BEC=∠CGD ∠BCE=∠D BC=CD ∴.△BCE≌aCDG(AAS). :.CE=DG: (2)解：如图2，连接HE, G H A D B 图2 HD 2 DE二, 由HG3,可设DH=2m'HG=3m'令 .BC=BF .∠BCF=∠BFC AD‖BC ∴.∠HGF=∠BCF 又∠GFH=∠BFC 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠HGF=∠GFH .HF=HG=3m,EC=FE=DG=DH+HG=2m+3m=5m ∴.DE=xEC=5mx 在Rt△HFE和Rt△EDH中 由勾股定理得：HF2+FE2=DH+DE2 ∴.(3m)2+(5m)2=(2m)2+(5mx)2 解得：x=30成.V50 5或 (不合题意，舍去) DE 30 EC 5: HD 2 (3)解：由HG3,可设DH=2a'HG=3a,令EC DE-x,则DE=xEC ①当点H在点D左侧时，如图3， GH D 图3 由(2)知，HF=HG=3a :将△BCE沿着BE折叠，点C落在四边形ABCD内部的点F处， .BE⊥CF ∴.∠ECF+∠BEC=90° .∠D=90° .∠ECF+∠CGD=90° ∴.∠BEC=∠CGD 又：∠BCE=∠D=90° .△BCE∽ACDG DG CD 1 5a CD 1 CE=BC2,即CEBC2 .CE=10a=FE,DE=xEC=10ax 在RtHFE和Rt△EDH中 由勾股定理得：HF2+FE2=DH+DE2 ∴.(3a)2+(10a)2=(2a)2+10ax)2 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .9a2+100a2=4a2+100a2x2 解得r=105 V10 10 或 5 (不合题意，舍去) DE 105 EC 10 ②当点H在点D右侧时，如图4， G D H ⊙ 图4 则HG=HF=3a,HD=2a ..DG=a 同理可得△BCE∽△CDG DG_CD_1 CE BC 2 ..CE=2a=FE,DE =xEC=2ax .HF2+FE2=DH2+DE2 ∴(3a)2+(2a)2=(2a)2+(2ax)2 3 3 x=2或2（不合题意，含去） DE 3 EC 2 DEV105.3 综上所述， EC 10或2 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.D 3.D 9/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.B 二、填空题 18 5.5 6. 254V5 5或5 32 7.2秒 2.4s或173 8.2V2 √13-√2/-√2+13 三、解答题 9. 【答案】()tcm,(6-)cm,2cm, (8-2t)cm 8 (②)，为35，可使AP=C0 ③，=16或=15-6网 2 【详解】(1)解：由题意可知，当0<t<4时，AP=cm,BP=(6-)cm,BQ=2cm,CQ=(8-2)cm, 故答案为：tcm,(6-t)cm,2tcm,(8-2r)cm: (2)解：当1<t<4时，AP=tcm,C0=(8-2r)cm ..AP=CO. .t=8-2t 解得18 3 8 ∴，为3S,可使AP=CQ: (3)解：：△BPO的面积为5cm2, a0当0c1<4时，8vpp, ..BP=(6-t)cm,BO=2tcm, :6-0-21=5,整理得-6+5=0 解得=1,42=5， 0<t<4, 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..t=1s; ②当4≤1≤6时，如图所示，过点2作QD⊥AB,交AB于点D, .∠AD0=90° .∠ABC=90°， .∠AD0=∠ABC, .DOll BC, .△ADQ∽aABC. DO OA ∴BCAC Q D P B C 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm, .AC=V62+82=10cm, QD_18-2t 810 解得QD=72-& 5 D5m BP-6-)em 6-小2,8-5，整遥得4-6+191=0 解得(=15-V34 15+V34 2 .4≤t≤6. t=15-34 28, 综上可如，当，=16安-15， 2 -s时，△BPg的面积为5cm2: 10. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD为正方形， 11/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=CD,∠ADC=90°， ∴.∠ADF+∠CDG=90°， AF⊥DE,CG⊥DE, .∠AFD=LDGC=90°， 则∠ADF+∠DAF=90°， ∴.∠DAF=∠CDG, .△ADF≌△DCG: (2)CH=1, 3v10 (3)GF的长5 【详解】(1)略 (2)解：.CG⊥DE, .CGE=90°， :点H为EC的中点， GM-EC-CH-EH. .∠HGE=∠HEG. ,四边形ABCD为正方形， .ADI‖BC, .∠ADG=∠HEG, .∠HGE=∠AGD .∠ADG=∠AGD, AB=4, .AG=AD=4. 设GH=CH=x,则BH=4-x,AH=4+x, .AB2+BH2=AH2, .4+(4-x)2=(4+x2, 解得x=1, ..CH=1; (3):四边形ABCD为矩形形， .∠ADC=90°， 12/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADF+∠CDG=90°， ,AF⊥DE,CG⊥DE, ∠AFD=∠DGC=90°， 则∠ADF+∠DAF=90°， .∠DAF=∠CDG, .ADCG△ADF, AD=6,AB=4, CG DG CD 4 2 DF-AF-DA63' 设CG=4k,则DF=6k, 如图(3)，当EH=HC时， O F B EHC (图3) 则由(2)得AG=AD, AF⊥DE, ∴GF=DF=6k, ..CG2+DG2 CD2, 六(2)+(4=4，解得k= 10 则GF=6xi0_3V10 105 11. 【答案】(1)①1：②45°： PB =太，∠ACD=∠B理由如下： CD .∠BAC=∠PAD=90°，∠APD=∠B, .△ABC△APD. AB AP k, ·ACAD 13/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°， .∠BAP=∠CAD, ∴.△ABP∽△ACD, PB AB 六∠ACD=∠B'CDAC =k; 321 3)2或2 AB 【详解】(1)解：①：∠BAC=90,AC, .'AB=AC, ∴.∠B=45°， ∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°， ∴.AP=AD,∠PAD-∠CAP=∠BAC-∠CAP,即∠BAP=∠CAD 在△BAP和△CAD中， AB=AC ∠BAP=∠CAD AP=AD .△BAP≌aCAD(SAS). .PB=CD,∠ACD=∠B=45, PB c01; ②由①可得∠ACD=∠B=45°： (2)略： (3)解：过点A作AH⊥BC于点H,当点P在BH上时，如图： 图3 .∠B=45°， ∴.△ABH为等腰直角三角形， 14/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB=4V2, ·H=h= AB=4, 2 .BC=4+2V14, .CH=214, .AC=CH2+AH2=6V2,PH=PA-AH2=3, ∴.PB=BH-PH=1, ,∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B, .△ABC∽△APD」 AB AC AB AP ·AP=AD,即AC=AD, :∠PAD=∠BAC,即∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD, ∴，∠BAP=∠CAD .△ABPAACD. AB PB AC CD' 421 62CD' .c- 当点P在BH的延长线上时，如图： H 图4 ∠B=45°， ∴.△ABH为等腰直角三角形， :AB=4V2, H-AB4. .BC=4+2V14, 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CH=214, .AC=CH2+AH2=6V2,PH=PAP-AH2=3, .'PB=BH+PH=7. :∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B, .△ABC∽△APD. AB AP ·.ACAD' .∠PAD=∠BAC,即∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD ∴.∠BAP=∠CAD .△ABP△ACD AB PB :.AC CD' 4v27 ∴6N2CD' CD=21 2 321 综上所述，CD的长为2或2： 12. 【答案】(1)共线 (2)213 (3)25 【详解】(1)解：如图，连接AF, D B 图1 根据三角形三边关系可知EF+AE≥AF, ∴，当A,E,F三点共线时，EF+AE的值最小，即BD+AE取得最小值. (2)解：在图2中，延长DA至点G,使AG=AB,连接EG, 16/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F G 图2 矩形ABCD中，∠GAE=∠ABF=90°， 又AE=BF,AG=AB, △GAE≌△ABF(SAS), 得GE=AF 因此AF+CE=GE+CE≥CG, 可知当C,E,G三点共线时，GE+CE最小，等于CG的长度. 由勾股定理得CG=√42+(2+4)}=16+36=2V3, 因此AF+CE的最小值为2W13 (3)解：菱形ABCD中，AB=AD=CD=2,∠ABC=60°， ,∠ABD=30°，∠ADC=60° .∠ADB=∠ABD=30°， 如图，在AD上方构造线段DG=2AB=4,且∠GDE=30°，连接GE,GC, G5: D 图3 BF-IDE 2 ∴.DE=2BF, .△ABF∽△GDE, 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GE DE 小F部-2， 即GE=2AF, ∴2AF+CE=GE+CE≥CG, .2AF+CE的最小值为CG, .∠ADC=60°，∠GDE=30°， .∠GDC=90° .CG=V22+42=2W5」 18/18