专题3.4 相似三角形的性质（专题训练）-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题3.4 相似三角形的性质（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1··证明三角形的对应线段成比例】 1 【题型 2·利用相似三角形的性质求解】 2 【题型 3·相似三角形的判定与性质综合】 4 【题型 4··在网格中画与己知三角形相似的三角形】 5 【题型 5·相似三角形--动点问题】 7 【题型 6··相似三角形实际应用】 9 【题型 7·相似三角形的综合问题】 11 【题型1··证明三角形的对应线段成比例】 1．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 3．已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 4．如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【题型 2·利用相似三角形的性质求解】 5．已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．若与的相似比为2，则与的面积比为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 7．如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 8．如图，，，，，在同一直线上，连接．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，平分，当的长为_______时，． 10．如图，已知：． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 【题型 3·相似三角形的判定与性质综合】 11．如图，在正方形中，E是边上任意一点，连接，过点E作交于点F，若，，求的长． 12．如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)若，，求的长度． 13．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，边上的高为．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形零件的边长？ 14．如图，在中，分别为边上的点，连结，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 【题型 4··在网格中画与己知三角形相似的三角形】 15．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 16．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 17．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的网格中确定一点，连接，，使与全等； (2)在图②中的边上确定一点，在边上确定一点，连接，使，且相似比为3：4． 18．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； (2)在图②中，在边上找一点，连接，使． 19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【题型 5·相似三角形--动点问题】 20．如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 21．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 22．如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 23．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，如果P、Q同时出发，当他们移动多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【题型 6··相似三角形实际应用】 24．如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的距离为l．具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半？ 25．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后，再选定点E，使，用视线确定和的交点D．此时如果测得，，，求河的宽度．（精确到0.1m） 26．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 27．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 28．【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【题型 7·相似三角形的综合问题】 29．如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 30．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 31．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 32．如图，，，，且，，求的长． 33．如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 相似三角形的性质（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1··证明三角形的对应线段成比例】 1 【题型 2·利用相似三角形的性质求解】 4 【题型 3·相似三角形的判定与性质综合】 7 【题型 4··在网格中画与己知三角形相似的三角形】 12 【题型 5·相似三角形--动点问题】 18 【题型 6··相似三角形实际应用】 23 【题型 7·相似三角形的综合问题】 28 【题型1··证明三角形的对应线段成比例】 1．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 2．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 3．已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【答案】证明：∵、分别是、的高， ∴、是直角三角形， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∵、分别是、的高，， ∴． 【分析】先证得 ，再证得，最后，根据相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比即可证得结论． 【详解】略 4．如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到 ，据此代值计算即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ， ∵, , , ， ∴． 【题型 2·利用相似三角形的性质求解】 5．已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 6．若与的相似比为2，则与的面积比为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵与的相似比为2， ∴与的面积比为． 7．如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】由可得，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ． ∵， ，， ， ． ， ， ． 8．如图，，，，，在同一直线上，连接．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，设，由相似三角形的性质可得，，进而可得，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合）， ∴， 故选：． 9．如图，平分，当的长为_______时，． 【答案】 【分析】已知平分可得一组角相等；要使，利用两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理列出比例式，把代入求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵要使得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去） 10．如图，已知：． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) ， (2) 的长为 【分析】（1）先根据三角形内角和等于求出，再结合相似三角形对应角相等即可求解； （2）先根据得出，再结合即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，． （2）解：， ， ，， ， ， ， 解得， 的长为． 【题型 3·相似三角形的判定与性质综合】 11．如图，在正方形中，E是边上任意一点，连接，过点E作交于点F，若，，求的长． 【答案】 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：在正方形中，，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 12．如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：如图，在矩形中，，，， ，． ， ． 又平分， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）由矩形的性质得到，，然后结合得到，然后等量代换推出，即可证明； （2）证明，得到，推出，然后证明，得到，推出，求出，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知． 又， ， ， ，即， ∴， ∴， 由（1）可知． 又， ， ， ， ， 解得（负值已舍去）， ． 13．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，边上的高为．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形零件的边长？ 【答案】这个正方形零件的边长为． 【分析】设正方形零件的边长为，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】解：设正方形的边长为， 四边形是正方形， 。 。 设高与交于点。 ， ，且四边形为矩形。 。 由，得。 根据相似三角形对应高之比等于相似比得， 代入得：， 解得：， 所以，这个正方形零件的边长为． 14．如图，在中，分别为边上的点，连结，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：， ，即， ． ， ， ， ； (2) 【分析】（1）利用同角的余角相等求得，即可证明； （2）利用勾股定理求得．再根据相似三角形的性质列式计算求得，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴ ∴， 是的中点， ∴， ． 在中，由勾股定理，得． ， ，即， ． 是斜边的中点， ． 【题型 4··在网格中画与己知三角形相似的三角形】 15．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 16．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 17．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的网格中确定一点，连接，，使与全等； (2)在图②中的边上确定一点，在边上确定一点，连接，使，且相似比为3：4． 【答案】(1) 如图中，点中任取一个即为所求； (2) 如图，即为所求； 【分析】本题考查作图−−应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据全等三角形的判定，取格点D，使且，或者且，作出图形即可； （2）取格点，连接交于点，连接、交于点，连接交于点，连接即为所求，然后结合网格，利用平行四边形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求证即可． 【详解】（1）略 （2）证明：由图得点为的一个四等分点，即，且为矩形的中心， ， 将矩形平移得矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 相似比为． 18．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； (2)在图②中，在边上找一点，连接，使． 【答案】(1) 如图，点、即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）找到的中点，连接，则为的中位线，得到，，进而得到，且相似比为； （2）取格点正上方一个格点处，格点正下方2个格点处，连接这两个格点，交于点，可得相似三角形，得到，进而得到，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【答案】(1) (2) ①如图2所示，点P即为所要找的点； ②如图3所示，点P即为所要找的点． 【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）①根据勾股定理得的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P； ②作点A的对称点，连接与的交点即为要找的点P，使． 【详解】（1）解：图1中， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P， ∵， ∴， 解得：， ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A的对称点， 连接，交于点P， ∵， ∴， ∴点P即为所要找的点． 【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形． 【题型 5·相似三角形--动点问题】 20．如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 【答案】秒和2秒后和相似． 【分析】先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动， 可得，， 因为，所以， 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得， 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 21．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 22．如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 23．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，如果P、Q同时出发，当他们移动多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】秒或秒 【分析】本题综合考查相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，掌握相似三角形的性质是解题关键． 根据若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，分，两种情况讨论，据此可解出两三角形相似时所需时间， 【详解】解：设当移动x秒时，两三角形相似， ∵动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，，，， ∴x的取值范围为，，， ∴， （1）当时，则， ∴， 解得：； （2）当时，则， ∴， 解得：， 验证可知（1）（2）两种情况下所求的x的值均满足条件， 综上所述，当运动时间为秒或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【题型 6··相似三角形实际应用】 24．如图，这是“小孔成像”的实验示意图．已知蜡烛与光屏之间的距离为l．具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半？ 【答案】具有“小孔”的纸板放在与蜡烛距离为的地方时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半 【分析】设交于点O，具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为x，根据得到，据此求出x即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设交于点O，具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为x， 由题意得，，且， ∴， ∴， ∴， ∴具有“小孔”的纸板与蜡烛的距离为， 答：具有“小孔”的纸板放在与蜡烛距离为的地方时，蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半． 25．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后，再选定点E，使，用视线确定和的交点D．此时如果测得，，，求河的宽度．（精确到0.1m） 【答案】河的宽度大致为96.7米 【分析】观察图中的对顶角相等和一组直角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，然后根据“相似三角形对应边成比例”，求解未知边长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 26．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 27．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 28．【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)点到地面的高度的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （）由题意得，，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可； （）先求出，由题意得，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴的长为； （2）解：由（）得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴点到地面的高度的长为． 【题型 7·相似三角形的综合问题】 29．如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，在Rt 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在Rt中，勾股定理求得，进而根据，即可求出答案． 【详解】（1）在中，，， 在中，，， ，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，，，， ，． 延长交于点，如图所示． ， ， ， ， ，． 由（1）可得， ， ． 在中，． ，， ，， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 30．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】 （1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 31．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）EB=2FD． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 32．如图，，，，且，，求的长． 【答案】的长为 【分析】先证明可得，进而即可求解． 【详解】解：， ． 又， ． ． ． 又， ． 33．如图，在平行四边形  中，，点E是的中点，连接，作，交于点F． (1)若，，求的长； (2)若G为延长线上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明：延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接． ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， ∴， 即． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用直角三角形的斜边的中线的性质即可解决问题； （2）延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接．想办法证明是的中位线即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $