上海市行知中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026-2027上海市行知中学高三第一学期10月月考 2026.10 一、填空题(本大题共有12题,满分54分.第1~6题每题4分,7~12题每题满分5分) 1.设集合A={-1,gm},若0∈A,则实数m= 2.复数2= 品,则 .在到 的展开式中,含x项的系数是 4.甲、乙两名运动员进行一次射击比赛,若乙中靶的概率为,两人都中靶的概率为石, 且甲乙射击互不影响,则甲中靶的概率为, 5.已知数列{an}为等比数列,a3,a1是方程x2-2026x+2027=0的两个实数根,则a,= 6.已知面数f(d)是定义城为R的偶函数,当x>0时,)=,则/n》 7.若关于x的不等式x-366+x-500≤a的解集非空,则a的取值范围是 8.锐角 4BC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, a-b sin C-sin B C sinA+sinB’且 a=√6,则 ABC周长的取值范围是 9.已知风自线C:千-茶-=1口>06>0,圆M为以实轴44为直径的圆,试跑发现 将圆M竖直上移√3个单位或水平右移√6个单位后均与双曲线的渐近线相切,则该双曲 线C的离心率为 10.函数y=sinox+√2 cos@x(o>0)对应的图象如图,点A 为图象与x轴的交点,点B为图象的最高点,点C为图象的最 低点,若AB AC=0,则0的值为 1.商放=文会g)- x,若对于任意x∈(0,1),存在x2∈[,3]使 得∫(x)≥g(x2)成立,则正数k的最小值为 12.已知四个平面向量a、万、g、g,g和e2是两个互相垂直的单位向量,若 a-4g=22,5-8+5+8=22,则6在a方向上的数量投影的最大值为一 二、选择题(本大题共有4题,满分18分.13-14题每题4分,15-16题每题5分) 13.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-2m-是幂函数,且在(0,+oo)上是严格减函数,则实 数m的值为() A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 14.如图,在正四棱台ABCD-A,B,C,D中,E,F,G,H分别为棱A,D,B,C,BC,AD的 中点,则( B A.直线HE与直线GF是异面直线 B.直线HE与直线BB,是异面直线 C.直线HE与直线CC,共面 D.直线HE与直线BF共面 15.已知正数x,y,z满足2x=3=6,则下列结论正确的是() A.1+1、1 B.1+1< C.x+y<4z D.x+y>4z x y Z x y Z 16.若实数a、6、c、d满足 b+-2na+e-d+3=0,则 a2+b2+c2+d2-2ac-2bd的最小值为( 81 9 81 A. B. c.92 8 D. 2 4 4 三、解答题(本大题共有5题,满分78分) 17.某中学高二年级的甲、乙两个班级,需根据某次数学预赛成 甲 乙 绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取 4 35 x42 y 得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班5名学 0 9 01 生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86. (1)求出x,y的值,并分别求出甲、乙两个班5名学生成绩的方差,子; (2)从成绩在85分及以上的学生中任意抽取3名,求至少有1名来自甲班的概率 18.如图,在直三棱柱ABC-AB,C1中,AB⊥BC,AB=BC=BB,E,F分别为棱A,B, E BC的中点. B (1)求证:EF∥平面AA,CC; (2)求平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值. B 19.如图,两条相互垂直的公路l,12交于点O,有一个湖泊,其边界如曲线C所示,现要 建一条笔直的小路I连通湖泊与公路l,1,,要求1的端点A,B分别在L,12上,且1与曲线 C相切于点P.现以O为原点,1,1,所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系xO少, 曲线C近似符合函数y=是(0,5≤x≤4,单位:百米)设点P的横坐标为t B 12 (1)求点A,B的坐标(用t表示); (2)求小路1长度的最小值,及此时t的值. 20.已知椭圆C:2+2=Ia>b>0),过定点T(G,0)的直线交椭圆于P,9两点,其 中t∈(0,a T (1)若椭圆短轴长为4且经过点 3V3 2,1 求椭圆方程; (2)对(1)中的椭圆,若t=V5,求 OP9面积的最大值; (3)在x轴上是否存在点S(s,0)使得∠PST=∠QST恒成立?如果存在,求出S,t的关系; 如果不存在,说明理由. 21.设函数f(x)在非空数集M上的取值集合为N,即N={f(x)x∈M,若N∈M, 则称f(x)为M上的“集中函数” (1)分别判断(x)=V:,g(x)=x2是否为[0,2]上的“集中函数”,并说明理由; (2)设a≥0,若存在实数b,使得f(x)=(x-a)+b为[0,1]上的“集中函数”,求实 数a的取值范围; a)若f(e=1:(2-刂为[s小上的集中函数”,求证:1<2. 参考答案 一、填空题(本大题共有12题,满分54分.第1~6题每题4分,7~12题每题满分5分) 1.设集合A={-1,lgm},若0∈A,则实数m= 【答案】1 2.复数z= 2i-1 i+1 则= 10 【答案】 2 3.在 的展开式中,含x2项的系数是 【答案】40 4.甲、乙两名运动员进行一次射击比赛,若乙中靶的概率为,两人都中靶的概率为: 6 且甲乙射击互不影响,则甲中靶的概率为 【答案】 2 5.已知数列{an}为等比数列,a3,41是方程x2-2026x+2027=0的两个实数根,则a,= 【答案】√2027 6.已知函数f()是定义城为R的偶函数,当x>0时,f()=e,则∫n引 【答案】2 7.若关于x的不等式x-366+x-500≤a的解集非空,则a的取值范围是 【答案】[134,+∞) 8.锐角 MBC中,内角小、B、C所对的边分别为a、b、c,a-b_si血C-sinB c sin A+sin B ,且 a=√6,则 ABC周长的取值范围是 【答案】(32+V6,36 9.已如双商线C:三广=1a>0b>0,国M为以实箱私为的径的国,达发现 将圆M竖直上移√3个单位或水平右移√6个单位后均与双曲线的渐近线相切,则该双曲 线C的离心率为 【答案】 6 2 10.函数y=sin@x+√2 cos@x(w>0)对应的图象如图,点A为图象与x轴的交点,点B 为图象的最高点,点C为图象的最低点,若ABAC=0,则 的值为 【答案1 1.高微=会&=-,若对于任意写a),存在气儿使 得f(x)≥g(x2)成立,则正数k的最小值为 【答案】3-2√2 12.已知四个平面向量a、万、、e2,和e是两个互相垂直的单位向量,若 a-4e=2V2,B-g+6+g=2巨,则方在 方向上的数量投影的最大值为 每案6 【解析】不妨设g=(0,1),e2=(1,0),OA=a,OB=b, 由a-4g=22,可得点A在以C(0,4)为圆心,半径为2√2的圆上, 同理5-6+5+6=22,可得点B在椭因之+广=1上, 显然对于任意的点A,做OA的垂线与椭圆相切时,得到切点B,此时数量投影最大, 易猜得在OA为圆的切线时,做OA的垂线与椭圆相切,得到B,求解答案为 6 下证为何在OA为圆的切线时数量投影最大: 不妨取消掉A的限制,即求解椭圆上的B所形成的OB在某OA直线上的投影长度的最大值, 为了方很计算,取OA的单位向量O网=((com0),B(x,,0∈0,号引。 故显然数量投影为 OA OB =xcos0+ysine=d, 4 故直线xcos0+ysin=d与椭圆有交点,且当与椭圆相切时取最大值, xcos0+ysine=d 故 21+c050)x-4dcos0x+2d3-2sim00 故 =16d2cos20-41+cos20)(2d2-2sin20)=0 d=V1+cos20, 故当 最小时取到最大值,回到题目,显然当OA为圆的切线时数量投影最大 二、选择题(本大题共有4题,满分18分.13-14题每题4分,15-16题每题5分) 13.已知函数f(x)=(m2-m-x-2m-3是幂函数,且在(0,+o)上是严格减函数,则实 数m的值为() A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 【答案】A 14.如图,在正四棱台ABCD-ABC,D中,E,F,G,H分别为棱AD,B,C,BC,AD的 D 中点,则() A.直线HE与直线GF是异面直线 D B.直线HE与直线BB,是异面直线 B C.直线HE与直线CC,共面 D.直线HE与直线BF共面 【答案】C 15.已知正数x,y,z满足2=3'=6,则下列结论正确的是( A. 1+1>1 B. 1+1<1 C.x+y<4z D.x+y>4z x y z 【答案】D 16.若安数a.6、c、d清是6+0-2b'+e-dr9叭-0,则 a2+b2+c2+d2-2ac-2bd的最小值为( A. 81 9 9W2 C. D. 81 B. 8 2 4 4 【答案】A 【解折1由题意,b=2na-2,d=6+3散设f()=2hx,8()=x+3 故(a-c)2+(b-d)最小值即f'(x)=1的切线与g(x)之间的距离, 易得了()=子x=1 x=1,故易得切线方程为y=x 2 d=92 3 4 d-81 8 三、解答题(本大题共有5题,满分78分) 17.某中学高二年级的甲、乙两个班级,需根据某次数学预赛成 甲 乙 绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取 4 7 35 x 4 8 得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班5名学 9 01 生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86. (1)求出x,y的值,并分别求出甲、乙两个班5名学生成绩的方差s,s子; (2)从成绩在85分及以上的学生中任意抽取3名,求至少有1名来自甲班的概率 9 【答案】(1)x=5,y=6,s2=27.2,s2=57.2 (2) 10 18.如图,在直三棱柱ABC-AB,C中,AB⊥BC,A E B C AB=BC=BB,E,F分别为棱AB1,BC的中点. (1)求证:EF/∥平面AA,CC; (2)求平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值. B 【答案】(1)证明略 (2)2V5 19.如图,两条相互垂直的公路l,12交于点O,有一个湖泊, 其边界如曲线C所示,现要建一条笔直的小路1连通湖泊与公 B 路l,12,要求1的端点A,B分别在l,2上,且1与曲线C 相切于点P.现以O为原点,I,L2所在直线分别为x轴和y 轴建立平面直角坐标系xOy,曲线C近似符合函数y=三(0.5≤x≤4,单位:百米).设 点P的横坐标为t. (1)求点A,B的坐标(用t表示); (2)求小路1长度的最小值,及此时t的值, 【140 ,t=√2 2 20.已知椭圆c:女+ 2+3=Ia>b>0,过定点TG,0的直线交椭圆于P,2两点, 中t∈(0,a): (1)若椭圆短轴长为4且经过点 3v3 求椭圆方程; 2 (2)对(1)中的椭圆,若t=√5,求 OPQ面积的最大值; (3)在x轴上是否存在点S(s,0)使得∠PST=∠QST恒成立?如果存在,求出s,t的关系; 如果不存在,说明理由. 【答案】()由题意,b=2,+4 2+1 a=3 号+-1. 9 4 (2)由题意,xo=my+V5,设P(x,),Q(x2,2), 85m gam9rahiw6- y+y2= 由 4m2+9 -16 4m2+9 -5Nm+1=24 放心5+-40吾号 —≤3, 6(m++ 25 5 当且仅当m2+1=二 m= 二时等号成立,故 OP9面积的最大值为3. 4 (3)由题意,设xpe=my+t,设P(x,),2(x2,y2),假设存在S(s,0),故kps+kes=0, x2,y2 y+2= 2mtb2 由a+F=l (bm2+a')y2+2mby+b2-ab2=0 b2m2+a2 b212-a'b2 x=my+t y= b2m2+a2 故片+=0今y(my,+)+2(my+)-s(以+h)=0, x1-s x2-S 放2g%+-0*)=02-=0, 2mtb2 故2mb2[t2-a2-t(t-s]=0 2-a2-t(t-s)=0 st=a2, 故x轴上是存在点S(s,0)使得∠PST=∠QST恒成立,此时st=a2. 21.设函数f(x)在非空数集M上的取值集合为N,即N={f(x)x∈M},若N二M, 则称f(x)为M上的“集中函数” (1)分别判断f(x)=√x,g(x)=x2是否为[0,2]上的“集中函数”,并说明理由; (2)设a≥0,若存在实数b,使得f(x)=(x-a)+b为[0,1]上的“集中函数”,求实 数a的取值范围; 《3)若f()-oe(2-为上的架中睡激”,求证:+1<2. 【答案】(1)由题意,f(x)=Vx∈[0,V2]=[0,2],故f(x)=Vx是[0,2]上的“集中 函数”; g(x)=x2∈[0,4]不是[0,2]的子集,故g(x)=x2不是[0,2]上的“集中函数”. (2)由f(x)在[0,]上的值域Ns[0,],f(x)=(x-a)2+b对称轴为x=a,分类讨论: ①当a≤0时,f(x)在[0,1上单调递增,N=[f(0),f()]=[a2+b,1-a)2+b], 由Nc[0,],需满足: a2+b≥0 a2+b≥0 1-a)2+b≤1-1-a)2-b≥-1 两个不等式相加消去b得:a2-(1-a)≥-1 a≥0,结合a≤0,得a=0. ②当0<a<1,f(x)在[0,ad递减、[a,1递增,设max{m,n}表示m,n中最大的数, 值域N=[f(a),max{f(0),f(1)}]=[b,max{a2+b,(1-a)2+b] b≥0 由Nca,放max{a+6,0-ar+b}≤1故maxa2,-aiy<1, 故存在b∈[0,1-max{a2,(1-a)2}]满足条件,因此0<a<1均成立. ③当a≥1,此时f(x)在[0,]上单调递减,值域N=[f(1),f(0)][(1-a)2+b,a2+b] 由wc0,,故0-a+b≥0令,b0,故0-a-a2-山,解得a≤1 a2+b≤1 由a≥1,得a=1. 综上所述,实数a的取值范围是[O, 设x,x2是(-0,3)内任意两个实数,且x<x2,则有x<2<3, r)=e(i2-小r)=g(i2- 小 由x<x2<3,得2-2>0,1+2>0,1+2>0, 数-小2即f>). 故f(x)在[s,t]上单调递减,且s<t<3, 值域N=[f(),f(s] 由“集中函数”定义可得N[s,t],得: f()2s 1og2 ≥5 2≥2 8-222+22 822+2+2 f(s)≤t log2 8-2 ≤t 1+2 8-2≤2今8-2≤2+22 8≤2+2+2", 1+2 故2+2+2+b=8, 令m=2,n=2', 由a<b<3得0<m<n<8,故8=m+n+mn, 故8-mn=m+n>2√mn (Nmn-2(Nmn+4<0 0<vmn<2 所以0<mn=2.2<4 a+b<2.