基本不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

基本不等式 一、知识点梳理 （一）基本不等式及其成立条件 若 ，，则 ，当且仅当 时取等号。这个不等式叫基本不等式，它说的是两个正数的几何平均数不超过算术平均数。证明只需一步：，两边除以 就得到原式。等号成立的条件是 ，即 。教材在第二章用「探究」栏目从平方非负推出它，再给出几何解释，这条不等式是整个不等式一章的核心工具。 基本不等式有三种常用写法，互相等价：；；。第一种适合比较两个平均数，第二种适合求和的最小值，第三种适合求积的最大值。三种写法都要求 、，且都在 时取等。做题时按目标选形式：要求「和最小」，用第二种；要求「积最大」，用第三种。 条件「，」不能省。若 、，左边 ，右边 ，不等式显然不成立。负数情形要先转化：、 时考虑 、，一正一负时 没有意义，更不能套用。另一处容易忽略的是等号条件：用基本不等式求出「最小值 」之后，必须回头确认 能否真的取到，取不到就说明这个值只是下界，不是最小值。 （二）一正、二定、三相等 用基本不等式求最值要过三关，简称「一正二定三相等」。「一正」指参与运算的每一项都为正，遇到负项先提负号；「二定」指和或积中有一个是定值，没有定值就凑不出最值；「三相等」指等号条件在给定范围内能取到。三关缺一关，结论都不成立。检查时按这三条逐项过一遍，比笼统地「感觉对」可靠。 两种基本模型要分清。积为定值时求和的最小值：若 （定值），则 ，当 时取最小值。和为定值时求积的最大值：若 （定值），则 ，当 时取最大值。两句话方向相反：积定求和取最小，和定求积取最大，记反了就会把最大写成最小。 「三相等」最容易被跳过。例如求 在 上的最小值，直接套公式得 ，等号要求 ，但 ，取不到，故 不是最小值。正确做法是看函数在 上随 增大而增大，最小值在 处取得，为 。等号取不到时，基本不等式只能给出一个下界，真正的最值要另找办法。 （三）常用变形与「1」的代换 凑项是最常用的变形。求 （）的最小值，直接看不出定值，把 拆成 ，原式变成 ，前两项积为定值 ，故不小于 ，当 即 时取等。凑项的关键是让两项的积成为常数，系数不匹配时先配系数再拆。 「 的代换」适用于已知和或积为定值、求含倒数的式子的问题。例如已知 、 且 ，求 的最小值：把 写成 ，展开得 ，后两项积为定值 ，故不小于 ，当 即 时取等。这种「乘以已知的 」的手法，本质是把两个式子配成可约的形式。 代换时两处易错。一是乘的「」不是真正的 ：已知 时，要乘的是 ，直接乘 会把结果放大 倍。二是展开后忘记检查取等条件： 化为 ，还要与 联立，确认解出的 、 都为正。 （四）实际应用与综合易错 实际应用题分三步：设变量并写出定义域，把目标量写成关于变量的式子，再用基本不等式求最值。定义域不能漏，「长为 米」隐含 ，「用篱笆围成矩形」隐含边长有上界。求出最值后要回答原问题：题目问的是面积还是造价，单位是什么，这一步丢分最冤。 连续两次使用基本不等式时，两次的等号条件必须能同时成立，否则最后的结果取不到。例如先用 ，再对 用一次，两次分别要求 与另外一组量相等，这些条件若互相矛盾，整个链条就只是给出了一个取不到的下界。遇到这种情况，宁可换元或改用单调性，也不要硬套两次。 最后是把关的三问。一问是否都为正：有负项先提负号，提负号后不等号方向要翻转。二问和或积是否有定值：没有定值先凑项或代换。三问等号能否取到：把取等条件代回原式解一遍，解出的值落在定义域内才算通过。三问都过，答案才可靠。 自查：用之前先确认两项都为正；积定求和取最小、和定求积取最大，方向别记反；算出结果后一定回头验证等号能否取到。 二、典型例题 例1　积定求和：等号在两项相等处 已知 ，则 的最小值是 A． B． C． D． ①确认两项为正　，，满足「一正」。 ②确认积为定值　，乘积是常数，满足「二定」。 ③套用基本不等式并验等号　，等号要求 ，即 ，在 内能取到，故最小值为 。 注：「三相等」这一步不能省。等号在 处成立，此时 ，与公式给出的一致。若把条件改成 ，等号就取不到了，最小值要另算。 【答案】C。 因为 ，所以 ， 当且仅当 即 时取等号， 故最小值为 。故选 C。 变式1　积定求和：系数不为 1 已知 ，则 的最小值是 A． B． C． D． ①确认条件　两项都为正，乘积 为定值。 ②套用基本不等式　。 ③验证等号　等号要求 ，即 ，在 内可取，故最小值为 。 注：系数放在根号里：，不是 。选项 是把乘积当成了 ，对应的是 的情形。套公式前先把乘积算清楚，这一类错误就能避免。 【答案】D。 因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 。故选 D。 例2　积定求和：系数提到根号外 已知 ，则 的最小值是 A． B． C． D． ①确认两项为正　 时 ，。 ②算两项的积　，是定值。 ③套公式并验等号　，等号要求 ，即 ，在 内可取，故最小值为 。 注：本题与变式的区别只在系数。两项的积是 而不是 ，所以结果是 。公式里根号内放的是「两项的积」，不是某一项本身，这是最容易混淆的地方。 【答案】A。 ， 当且仅当 即 时取等号， 故最小值为 。故选 A。 变式2　积定求和：正整数系数 已知 ，则 的最小值是 A． B． C． D． ①确认积为定值　。 ②套用基本不等式　。 ③验证等号　等号要求 ，在 内可取，故最小值为 。 注：，不是 。根号外的 与根号内的 相乘后要开方，顺序是「先开方、再乘 」。选项 是乘积本身，选项 是只开方没乘 ，两者都是半途而废的结果。 【答案】B。 ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 。故选 B。 例3　积定求和：先看清积是多少 已知 ，，且 ，则 的最小值是 A． B． C． D． ①确认两项为正　题目已给 、。 ②确认积为定值　，正是「二定」的要求。 ③套公式并验等号　，等号要求 ，与 相容，故最小值为 。 注：验证等号时要联立两个条件： 与 同时成立，解得 ，确实存在。若题目改成 且 ，等号条件 就落在范围外，最小值不再是 。 【答案】D。 因为 ，，所以 ， 当且仅当 时取等号， 故最小值为 。故选 D。 变式3　和定求积：等号在中点 已知 ，，且 ，则 的最大值是 A． B． C． D． ①确认和是定值　，符合「二定」。 ②套用积的形式　。 ③验证等号　等号要求 ，与 相容，故最大值为 。 注：和定求积用 最直接。等号在 处取得，此时积为 。选项 是把和当成了积，选项 是把 乘以 ，都没有依据。 【答案】C。 因为 ，，所以 ， 当且仅当 时取等号，故最大值为 。故选 C。 例4　和定求积：二次式的最大值 已知 ，则 的最大值是 A． B． C． D． ①确认两项为正　 时 ，，满足「一正」。 ②确认和为定值　，和是定值。 ③套公式并验等号　，等号要求 ，即 ，落在 内，故最大值为 。 注： 是开口向下的二次式，配方得 ，最大值也是 。两种方法结果一致，基本不等式的写法更短，但定义域必须保证两项都为正，本题 正好满足。 【答案】B。 因为 ，所以 ，， ， 当且仅当 即 时取等号，故最大值为 。故选 B。 变式4　和定求积：负系数先提出来 已知 ，则 取最大值时 的值是 A． B． C． D． ①写出取等条件　由 得到取等的方程。 ②解方程　，得 。 ③检验范围　，落在定义域内，故 。 注：本题只问取等时的 ，不必算出最大值。这类问法在中档题里很常见，看清「问的是 还是最大值」能省一半时间。若把题目改成求最大值，答案是 而不是 。 【答案】A。 由基本不等式，等号成立的条件是 ， 解得 ，且 ， 所以 时取最大值。故选 A。 例5　1 的代换：乘上已知的定值 已知 ，，且 ，则 的最小值是 A． B． C． D． ①把目标写成乘积　，因为括号里的式子等于 ，乘上去不改变大小。 ②展开并整理　展开得 。 ③对后两项用基本不等式　，等号要求 ，即 ；代入 得 、，均为正，故最小值为 。 注：乘的这个「」是题目白送的： 恰好等于 ，乘上去既不改变 的值，又能把分母约掉。若把条件改成 ，就要乘 ，否则结果会大一倍。 【答案】C。 由 得 。 因为 ，所以 。 当且仅当 且 ，即 、 时取等号。故选 C。 变式5　1 的代换：系数为 4 已知 ，，且 ，则 的最小值是 A． B． C． D． ①乘上等于 1 的式子　。 ②展开　得 。 ③用基本不等式并验等号　，故 ；等号要求 ，代入条件得 、，均为正。 注：展开后的常数项是两组「对角相乘」之和：，再加上后两项的最小值 ，合计 。这个「」的结构值得记住：常数项来自已知条件的系数和，后两项的最小值来自两系数乘积开方再乘 。 【答案】D。 。 因为 ，所以 。 当且仅当 且 ，即 、 时取等号。故选 D。 例6　恒成立求参：把最值当门槛 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最小值是 A． B． C． D． ①把问题转成最值　恒成立意味着左边在 上的最小值不小于 。 ②求左边的最小值　 时 ，等号在 处取得。 ③列不等式解 a　需 ，即 ，故 ，最小值是 。 注：本题隐含 ：若 ， 在 很大时会趋于负无穷，不可能恒不小于 。所以先由「恒成立」反推出 ，才能用基本不等式。这一步不写，推理就有漏洞。 【答案】A。 若 ，取充分大的 可使 ，不合题意，故 。 此时 ，当且仅当 时取等号。 由恒成立得 ，即 ， 所以 的最小值为 。故选 A。 变式6　恒成立求参：求参数的最大值 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值是 A． B． C． D． ①求左边的最小值　，等号在 处取得。 ②把恒成立翻译成不等式　左边的最小值为 ，要它对一切 都不小于 ，只需 。 ③读出最大值　 最大取到 。 注：本题与例题问的方向相反：例题求 的最小值，本题求 的最大值。原因在于 出现的位置不同：在分子上时 越大左边越大，故有最小值；在不等式右边时 越小越容易成立，故有最大值。 【答案】B。 ，当且仅当 时取等号， 即左边的最小值为 。 由恒成立得 ，所以 的最大值为 。故选 B。 三、巩固练习 1．已知 ，则 的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B。 时 ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 。故选 B。 2．已知 ，则 的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C。 ， 当且仅当 即 时取等号，故最小值为 。故选 C。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值是 A． B． C． D． 【答案】A。 ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 。故选 A。 4．已知 ，，且 ，则 的最大值是 A． B． C． D． 【答案】C。 ， 当且仅当 时取等号，故最大值为 。故选 C。 5．已知 ，，且 ，则 的最小值是 A． B． C． D． 【答案】D。 由 得 ， 。 当且仅当 时取等号，故最小值为 。故选 D。 6．已知 ，则 的最小值是 A． B． C． D． 【答案】D。 令 ，则 ，且 ， 原式 。 当且仅当 即 时取等号，故最小值为 。故选 D。 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式 一、知识点梳理 （一）基本不等式及其成立条件 若 ，，则 ，当且仅当 时取等号。这个不等式叫基本不等式，它说的是两个正数的几何平均数不超过算术平均数。证明只需一步：，两边除以 就得到原式。等号成立的条件是 ，即 。教材在第二章用「探究」栏目从平方非负推出它，再给出几何解释，这条不等式是整个不等式一章的核心工具。 基本不等式有三种常用写法，互相等价：；；。第一种适合比较两个平均数，第二种适合求和的最小值，第三种适合求积的最大值。三种写法都要求 、，且都在 时取等。做题时按目标选形式：要求「和最小」，用第二种；要求「积最大」，用第三种。 条件「，」不能省。若 、，左边 ，右边 ，不等式显然不成立。负数情形要先转化：、 时考虑 、，一正一负时 没有意义，更不能套用。另一处容易忽略的是等号条件：用基本不等式求出「最小值 」之后，必须回头确认 能否真的取到，取不到就说明这个值只是下界，不是最小值。 （二）一正、二定、三相等 用基本不等式求最值要过三关，简称「一正二定三相等」。「一正」指参与运算的每一项都为正，遇到负项先提负号；「二定」指和或积中有一个是定值，没有定值就凑不出最值；「三相等」指等号条件在给定范围内能取到。三关缺一关，结论都不成立。检查时按这三条逐项过一遍，比笼统地「感觉对」可靠。 两种基本模型要分清。积为定值时求和的最小值：若 （定值），则 ，当 时取最小值。和为定值时求积的最大值：若 （定值），则 ，当 时取最大值。两句话方向相反：积定求和取最小，和定求积取最大，记反了就会把最大写成最小。 「三相等」最容易被跳过。例如求 在 上的最小值，直接套公式得 ，等号要求 ，但 ，取不到，故 不是最小值。正确做法是看函数在 上随 增大而增大，最小值在 处取得，为 。等号取不到时，基本不等式只能给出一个下界，真正的最值要另找办法。 （三）常用变形与「1」的代换 凑项是最常用的变形。求 （）的最小值，直接看不出定值，把 拆成 ，原式变成 ，前两项积为定值 ，故不小于 ，当 即 时取等。凑项的关键是让两项的积成为常数，系数不匹配时先配系数再拆。 「 的代换」适用于已知和或积为定值、求含倒数的式子的问题。例如已知 、 且 ，求 的最小值：把 写成 ，展开得 ，后两项积为定值 ，故不小于 ，当 即 时取等。这种「乘以已知的 」的手法，本质是把两个式子配成可约的形式。 代换时两处易错。一是乘的「」不是真正的 ：已知 时，要乘的是 ，直接乘 会把结果放大 倍。二是展开后忘记检查取等条件： 化为 ，还要与 联立，确认解出的 、 都为正。 （四）实际应用与综合易错 实际应用题分三步：设变量并写出定义域，把目标量写成关于变量的式子，再用基本不等式求最值。定义域不能漏，「长为 米」隐含 ，「用篱笆围成矩形」隐含边长有上界。求出最值后要回答原问题：题目问的是面积还是造价，单位是什么，这一步丢分最冤。 连续两次使用基本不等式时，两次的等号条件必须能同时成立，否则最后的结果取不到。例如先用 ，再对 用一次，两次分别要求 与另外一组量相等，这些条件若互相矛盾，整个链条就只是给出了一个取不到的下界。遇到这种情况，宁可换元或改用单调性，也不要硬套两次。 最后是把关的三问。一问是否都为正：有负项先提负号，提负号后不等号方向要翻转。二问和或积是否有定值：没有定值先凑项或代换。三问等号能否取到：把取等条件代回原式解一遍，解出的值落在定义域内才算通过。三问都过，答案才可靠。 自查：用之前先确认两项都为正；积定求和取最小、和定求积取最大，方向别记反；算出结果后一定回头验证等号能否取到。 二、典型例题 例1　积定求和：等号在两项相等处 已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 变式1　积定求和：系数不为 1 已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 例2　积定求和：系数提到根号外 已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 变式2　积定求和：正整数系数 已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 例3　积定求和：先看清积是多少 已知 ，，且 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 变式3　和定求积：等号在中点 已知 ，，且 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 例4　和定求积：二次式的最大值 已知 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 变式4　和定求积：负系数先提出来 已知 ，则 取最大值时 的值是（　　） A． B． C． D． 例5　1 的代换：乘上已知的定值 已知 ，，且 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 变式5　1 的代换：系数为 4 已知 ，，且 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 例6　恒成立求参：把最值当门槛 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 变式6　恒成立求参：求参数的最大值 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，且 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，且 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，且 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $