第2讲 基本不等式专项训练-2027届高考数学一轮复习

基本不等式 等式与不等式 · 专题篇 直接套用 ① （，），等号当且仅当 ② （，） ③ ④ ⑤ （） ⑥ （） ⑦ 使用口诀：一正、二定、三相等 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 不存在 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知正数，满足，则的最大值为______. 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知且，则（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 的最大值是（ ） A. 9 B. 3 C. 18 D. 6 例3（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 若实数和的等差中项为1，则的最小值为__________. 配凑法 ① （，） ② 时 （） ③ 时 ④ 添项　 ⑤ （用于「和定求积」） ⑥ 乘 1　把 乘到目标式上（和定用， 为定值） 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知均为非负数，且，则的最小值为______. 例5（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若正实数满足。则的最小值为__________. 例6（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最小值为6 C. 最大值为4 D. 最大值为6 乘 1 法 ① 若 （），则 　 ② 若 （），则 可当作 来「乘 1」 ③ 已知 时， ④ 已知 时， ⑤ 分式拆分　 ⑥ 口诀：条件等于 1，就把它乘上去；或者拿它去替换 1 例7（填空·★★☆☆☆） 已知正实数满足，则的最小值为_________ 例8（填空·★★★☆☆） 已知实数，则的最小值是___________. 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 例9（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 变式9-1（单选·★★☆☆☆） 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 消元法 ① （）—— 把 与 一起框住 ② 条件形如 ：凑成 ③ 条件形如 ：两边除 得 ④ 条件可解出一元（如 ）时，代入目标式化单变量 ⑤ 代入后形如 ，用 ⑥ 条件含 这类一次式时，代完再换元 例10（填空·★★☆☆☆） 若且，则的取值范围为__________. 变式10-1（单选·★★☆☆☆） 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 例11（填空·★★☆☆☆） 若a，b∈R+，满足a+b+3=ab，则a+b的取值范围是________. 变式11-1（单选·★★☆☆☆） 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 例12（单选·★★☆☆☆） 若a，，且，则ab的最小值为（ ） A. 5 B. 17 C. 25 D. 36 变式12-1（单选·★★☆☆☆） 已知实数，，且满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 换元法（指对背景） ① ，（） ② ③ ④ 换底公式：（，） ⑤ （），等号当且仅当 ⑥ ；（ 取等） 例13（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 变式13-1（单选·★★★☆☆） 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 例14（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 例15（填空·★★★☆☆） 若正实数，满足条件：（是自然对数的底数），则的最大值是______. 变式15-1（单选·★★★☆☆） 的最大值为（ ） A. B. C. D. 多选判断 ① 。 ② 分式和型：把条件式整体乘到目标式上，再展开用基本不等式。 ③ 。 ④ ；（配系数）。 例16（多选·★★★☆☆） 若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 变式16-1（单选·★★★☆☆） 设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为3 B. ab的最小值为3 C. ab的最大值为9 D. ab的最小值为9 例17（多选·★★★☆☆） 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 例18（多选·★★★☆☆） 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 变式18-1（多选·★★★☆☆） 已知，，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值8 C. 有最大值1 D. 有最小值 多元与复杂条件 ① 三元　（） ② ； ③ （） ④ 条件复杂时：先把条件整理成 = 常数 的形式 ⑤ 含 与 的条件，可令 、 换元，再用 或判别式 ⑥ 出现「恰能构成三角形」时，用两边之和大于第三边化为不等式 例19（单选·★★★☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 例20（填空·★★★☆☆） 已知正实数a，b满足a+b=1，则的最小值为_____． 例21（单选·★★★☆☆） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式 等式与不等式 · 专题篇 直接套用 ① （，），等号当且仅当 ② （，） ③ ④ ⑤ （） ⑥ （） ⑦ 使用口诀：一正、二定、三相等 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 不存在 【切入点】条件是和为定值（），问的是积的最大值，正好对应 。 【关键】由 、 且 ，得 ，当且仅当 时取等。故选 C。 【易错】一是记成 ，把系数丢了。二是忘了验取等： 确实满足 ，所以 是最小值能达到的（这一步不能省）。三是看到「最大值」就想到二次函数配方，绕远路。 【答案】C 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知正数，满足，则的最大值为______. 【切入点】目标是 ，先展开，再把条件 用上（凑成和定）。 【关键】。由 得 （），代入后是 的二次函数，配方可求最大值；更快的做法是令 、，则 ，于是 ，当且仅当 （即 、）时取等。 【易错】一是直接把 当成 与 的关系。二是换元后忘了 的系数（是 不是 ）。三是没验证新的 、 是否为正。 【答案】 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件只给 ，所以要逐项用指对运算律化简，看哪一项能化成与 直接相关的定值。 【关键】 项 是乘积 —— 对数相乘没有化简公式，取 得 ， 错。 项用对数加法：， 错。 项 —— 由 只能推出 ，所以 ， 写成了等号， 错。 项 ，与 、 的具体取值无关， 对。故选 D。 【易错】一是把 当成 。二是 项没看出 是变量（ 会变），把「大于等于 16」误当成「等于 16」。三是 项不敢用 。 【答案】D 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 的最大值是（ ） A. 9 B. 3 C. 18 D. 6 【切入点】根号里是 —— 与 的和是定值 ，直接套 。 【关键】由 知 与 都非负，所以 ，开方得 ，当且仅当 时取等。故选 B。 【易错】一是没注意「根号里」这个前提（需 且 ）。二是把最大值算成 （忘了还要开方）。三是想用求导，绕远路。 【答案】B 例3（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【切入点】条件是 ，看上去不是「 定值」，但把它看成 与 的和为定值即可。 【关键】由 、 且 ，得 ，所以 ，当且仅当 （即 、）时取等。故选 C。 【易错】一是直接把 当作 用，算出 。二是把 与 混，漏除 。三是取等条件没验（ 而不是 ）。 【答案】C 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 若实数和的等差中项为1，则的最小值为__________. 【切入点】先把「等差中项为 」翻译成等式，再看目标 与它的关系。 【关键】等差中项为 即 ，得 。由 ，得 ，当且仅当 时取等。故最小值为 。 【易错】一是把等差中项当成「」（忘了除以 的是中项）。二是用 但算不出 ，卡住。三是忘了这一步用的是「和定 ⇒ 平方和最小」，方向要对应 。 【答案】 配凑法 ① （，） ② 时 （） ③ 时 ④ 添项　 ⑤ （用于「和定求积」） ⑥ 乘 1　把 乘到目标式上（和定用， 为定值） 例4（单选·★☆☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分母是 ，而分子上的 与它差一个系数 —— 所以要换元让两项形式对齐。 【关键】令 ，由 得 ，且 。于是 ，当且仅当 （即 ，）时取等。故选 C。 【易错】一是不换元硬凑，把 拆成 时算错。二是换元后忘了把 也用 表示。三是取等时只写 ，忘了回代求 。 【答案】C 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【切入点】分母是 与 ，而条件是 —— 先换元把条件也变成「 为定值」。 【关键】令 、。由 得 、；且 。于是 。由基本不等式 ，故原式 ，当且仅当 （即 ，、，也就是 、）时取等。 【易错】一是换元后忘记同步改条件（ 这一步）。二是乘的那个「1」写错（应是 ）。三是取等时算出的 、 没检验是否满足 。 【答案】 例5（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】分母是 ，但分子上的 里没有 —— 所以要把 拆出一个 。 【关键】。由 得 ，故 ，所以原式 ，当且仅当 （即 ）时取等。故选 C。 【易错】一是拆项时忘了把多出来的 补上（）。二是不用换元，直接对 与 用不等式 —— 那样乘积不是定值，用不上。三是取等条件解错。 【答案】C 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若正实数满足。则的最小值为__________. 【切入点】条件是分式和等于 ，目标是 —— 先由条件把 用 表示出来。 【关键】由 去分母得 ，移项得 ，所以 ，从而 。（由分母非零知 ；又 可推出 。）令 ，则 ，当且仅当 时取等。故最小值为 。 【易错】一是没看出 与 的关系，试图直接对两个分式用不等式（乘积不是定值）。二是由条件推出 这一步缺失（否则新元 的符号不定）。三是最后化简 时忘了分母有理化。 【答案】 例6（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个分母 与 的和是定值 —— 所以可以「乘 1」把它们凑到一起。 【关键】因为 ，所以 、，且 。于是 。由基本不等式，，故 ，当且仅当 时取等。故选 D。 【易错】一是乘的对象写错（要用 ，而不是随随便便乘一个数）。二是展开时漏项（共四项，别漏了交叉项）。三是两项相乘得 而非 ，开方后是 不是 。 【答案】D 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 若，则的（ ） A. 最小值为4 B. 最小值为6 C. 最大值为4 D. 最大值为6 【切入点】式子里有 ，先用换元把它整体变成一个新变量，化成 的标准型。 【关键】令 。由 得 ，所以 。又 ，故 ，当且仅当 时取等。故选 B。 【易错】一是忘了求新元 的范围（这是最容易丢分的一步）。二是 与 差一个常数 ，漏掉就少加 。三是看到「」就以为要取最大值 —— 这里 ，两项都是正的，是最小值。 【答案】B 乘 1 法 ① 若 （），则 　 ② 若 （），则 可当作 来「乘 1」 ③ 已知 时， ④ 已知 时， ⑤ 分式拆分　 ⑥ 口诀：条件等于 1，就把它乘上去；或者拿它去替换 1 例7（填空·★★☆☆☆） 已知正实数满足，则的最小值为_________ 【切入点】条件 正好是「分式和为 」，而目标是 —— 把它乘上这个 就能凑出定值。 【关键】。由 及基本不等式，，故 ，当且仅当 （即 ，结合条件得 、）时取等。故最小值为 。 【易错】一是忘了乘，直接对 与 用不等式 —— 那样乘积 不是定值，用不上。二是展开时漏项（这里是四项：、、、）。三是取等条件解出来后没代回条件检验。 【答案】 例8（填空·★★★☆☆） 已知实数，则的最小值是___________. 【切入点】条件是 —— 分母是 、，所以换元让式子变干净。 【关键】令 、（由 知 ），则条件化为 ，目标化为 。于是 ，所以 ，当且仅当 时取等。故最小值是 。 【易错】一是不换元，直接对 、 与 硬凑。二是换元后目标式里的 与条件配不上 —— 注意条件是 （都是 ），而目标是 （系数不同），展开后交叉项是 。三是忘了目标式要减去 。 【答案】 变式8-1（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【切入点】与上一题完全同型：条件 ⇒ 目标里的 可以把 换成 。 【关键】由 得 。于是 ，当且仅当 （即 ）时取等。故选 B。 【易错】一是把「」直接乘上去，得到的是 ——也能做，但展开后交叉项多、容易错。二是 展开时写成 （漏了分母）。三是取等条件解错。 【答案】B 例9（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【切入点】目标是 —— 两项的分母分别含 和 ，而条件是 ⇒ 可以把 里的「」换成 。 【关键】由 得 。于是 ，当且仅当 （即 ，结合 得 、）时取等。故选 A。 【易错】一是想不到把 换成 ，去硬套 —— 那要用到 的范围，还得再多一步。二是换的时候只换了一个 ，却忘了 那边也可以同样处理（本题不必）。三是取等条件解出后没回代条件。 【答案】A 变式9-1（单选·★★☆☆☆） 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【切入点】目标是一个分式整体 —— 先把它拆开，再对每一项用「乘 1」。 【关键】。由 得 。由基本不等式 ，故原式 ，当且仅当 （即 ，结合 得 、）时取等。故选 B。 【易错】一是不拆分式，直接对 用不等式（分子分母都在变）。二是拆开时写成 （项与分母配错）。三是乘 后漏掉常数项 。 【答案】B 消元法 ① （）—— 把 与 一起框住 ② 条件形如 ：凑成 ③ 条件形如 ：两边除 得 ④ 条件可解出一元（如 ）时，代入目标式化单变量 ⑤ 代入后形如 ，用 ⑥ 条件含 这类一次式时，代完再换元 例10（填空·★★☆☆☆） 若且，则的取值范围为__________. 【切入点】条件 里 与 同时出现 —— 正好可以用 把两者联系起来。 【关键】由 、，。代入条件得 。令 ，得 ，即 ，结合 得 ，所以 （当且仅当 时取等）。故 的取值范围为 。 【易错】一是看不出用 ，把 解出来代入，得到 之类越算越乱。二是换元后忘了 这个约束。三是解出 或 后，没舍去负的那一支。 【答案】 变式10-1（单选·★★☆☆☆） 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【切入点】条件 是齐次的 —— 两边同除 就变成「分式和为 」，出口是乘 1 法。 【关键】由 及 两边同除 得 。于是 ，当且仅当 （即 ，结合条件得 、）时取等。故选 D。 【易错】一是想不到同除 ，去解 再代入 —— 也能做，但要多一步配方。二是同除后把 写成 。三是乘 1 后交叉项算成 之外的形状。 【答案】D 例11（填空·★★☆☆☆） 若a，b∈R+，满足a+b+3=ab，则a+b的取值范围是________. 【切入点】条件与上一题完全相同，只是问的换成了 —— 做法一字不差，换个未知量而已。 【关键】由 得 。代入 得 。令 ，则 ，即 ，结合 得 （当且仅当 时取等）。故 的取值范围为 。 【易错】一是方向搞反：求 时要用 （把 放大）。二是令 后式子列错。三是与上一题混：同一个条件、同一个 （或 ），求 用 、求 用 —— 方向由「把要消掉的那个量放大还是缩小」决定。 【答案】 变式11-1（单选·★★☆☆☆） 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【切入点】条件里 是一次的，所以直接把 解出来，代入目标式 —— 这就是最标准的「消元」。 【关键】由 得 。因为 ，要使 必须 。于是 ，当且仅当 （即 ）时取等。故选 A。 【易错】一是解 时算错（ ⇒ ）。二是忘记判断 （否则新式子无法用不等式）。三是把 拆成 时漏了分母 的分配。 【答案】A 例12（单选·★★☆☆☆） 若a，，且，则ab的最小值为（ ） A. 5 B. 17 C. 25 D. 36 【切入点】条件 是「 与 、 的混合」—— 先把 的项与 的项各自归拢，凑成乘积形式。 【关键】由 移项得 ，两边加 得 。由 及原式可知 、。令 、，则 。于是 ，当且仅当 （即 、）时取等。故选 C。 【易错】一是不会凑乘积： 要配成 ，补的常数是 （即 ，来自 、 的系数）。二是展开 时漏项。三是忘了验证 、 为正。 【答案】C 变式12-1（单选·★★☆☆☆） 已知实数，，且满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】条件是 、 的混合式，但 是一次的 —— 把 归到一边解出来，代完再换元。 【关键】由 得 ，即 （由 知 ，故 ）。于是 。令 ，则 、，所以 ，当且仅当 （即 、）时取等。故选 B。 【易错】一是把 归拢时符号错（）。二是代完忘记换元，直接对 与 用不等式（两者乘积不为定值）。三是换元后 写成 （应是 ）。 【答案】B 换元法（指对背景） ① ，（） ② ③ ④ 换底公式：（，） ⑤ （），等号当且仅当 ⑥ ；（ 取等） 例13（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【切入点】条件是 ，目标是两个对数之积 —— 先把对数看成一个新的量（换元），再看条件给了什么。 【关键】条件 取以 为底的对数，得 。令 、，则 ，目标是 的最大值。由基本不等式 ，当且仅当 （即 ）时取等。故选 B。 【易错】一是不会把对数积换成新元，盯着 想不出路。二是换元后忘了同步把条件也换（）。三是误用 （那是加法才成立的公式）。 【答案】B 变式13-1（单选·★★★☆☆） 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【切入点】条件两边都是同底（）的幂 —— 先化成同底，再把指数摘下来，条件就变成代数式。 【关键】，，由底数 得 。两边同除 （）得 。于是 ，当且仅当 （即 ）时取等。故选 B。 【易错】一是化同底时算错指数（ ，别写成 ）。二是摘指数时忘了「底数大于 1 才保序」（本题底数 ，可以）。三是同除 后忘了右边也要除（）。四是乘的那个「」来自条件右边的 ，别丢。 【答案】B 例14（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【切入点】目标 里底数在分母上 —— 先用换底把它翻过来。 【关键】由换底公式，，同理 ，所以目标等于 。条件 两边通分得 。令 ，则 ，条件化为 ，即 。由 得 ，结合 解得 ，即 。故 ，最小值为 。故选 D。 【易错】一是不用换底，硬算 。二是解 时两边同除 得 （ 才能除）—— 这一步最易漏，直接写成 就错了。三是忘了 中 的隐含条件。 【答案】D 例15（填空·★★★☆☆） 若正实数，满足条件：（是自然对数的底数），则的最大值是______. 【切入点】条件是 —— 把 整体看成一个数（换元），条件就变成一元方程。 【关键】令 （由 知 ），条件化为 ，即 ，也就是 。由 （当且仅当 取等）得 ，而本题要求等号成立，故只能是 ，即 。所以 ，由 ，得 的最大值为 （当 时取到）。 【易错】一是想不到换元 ，去对 、 分别下手。二是判 时只会「试」不会用 —— 严格说：由 且题设要求 ，而等号只在 时成立。三是求出 后忘了回到 。 【答案】 变式15-1（单选·★★★☆☆） 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三项都是同底对数 —— 先合并成一个对数，再看里面是什么形状。 【关键】。分子分母同除 得 。由 得 ，所以真数 ，故原式 。故选 C。 【易错】一是合并对数时方向搞错（减号对应的是除以）。二是同除 时漏项（ ）。三是两次用基本不等式后忘了验两次取等是否能同时成立 —— 这里 与 都给出 ，一致 。四是最后 的指数算错。 【答案】C 多选判断 ① 。 ② 分式和型：把条件式整体乘到目标式上，再展开用基本不等式。 ③ 。 ④ ；（配系数）。 例16（多选·★★★☆☆） 若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【切入点】条件只有 （），所以四项都要用「」这条最核心的推论来判。 【关键】 项：，所以 ，最大值 ， 对。 项：，最小值 ， 对。 项：， 对。 项：， 错。故选 ABC。 【易错】一是 项忘了「 是上界」，直接代入 算，少一步论证。二是 项记错公式（ 的系数要配进去，是 而不是 ）。三是多选题只选两个就收手（这题三个对）。 【答案】ABC 变式16-1（单选·★★★☆☆） 设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为3 B. ab的最小值为3 C. ab的最大值为9 D. ab的最小值为9 【切入点】条件 与前面「消元法」题型里那道完全相同 —— 所以直接沿用：把 单独框出来。 【关键】由 、，。代入 得 。令 ，得 ，即 ，结合 得 ，所以 ，即 有最小值 （无最大值）。故选 D。 【易错】一是方向搞反，以为 有最大值。二是不换元，直接在 上凑。三是忘了 ，把 也留下。 【答案】D 例17（多选·★★★☆☆） 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项分别考线性式、根式和、对数和、指数差 —— 先把「 且 」这两条基础信息列出来。 【关键】由 且 知 、。 项：，而 ，故 ， 对。 项：同例 1 的 项，， 对。 项：，而 ，所以它 ，是上界而不是下界， 错。 项：（因为 且和为 ），所以 ， 对。故选 ABD。 【易错】一是 项方向写反： ⇒ 对数是 ，选项写的是 。二是 项不会估 的范围 ——用「两边都落在 」最快。三是忘了把「」这个隐含条件用上（ 项全靠它）。 【答案】ABD 例18（多选·★★★☆☆） 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【切入点】四项互不相干，逐项验证；凡是要取值域边界的，先想「、 都小于 」。 【关键】 项：由 得 ， 错。 项：由 及 递增得 ， 对。 项：， 对。 项：， 对。故选 BCD。 【易错】一是 项误以为 就有 （漏了 ）。二是 项的系数 要开方成 ，别算成 。三是多选题不看全四项就交卷。 【答案】BCD 变式18-1（多选·★★★☆☆） 已知，，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值8 C. 有最大值1 D. 有最小值 【切入点】条件是 （系数不是 ），所以每一项都要注意把系数 带上。 【关键】 项：由 得 ，所以 ，最大值 ， 对。 项：，最小值 ， 对。 项：。取 、（极限情形）得 ，但 时恒有 ，取不到 ， 错。 项：， 对。故选 ABD。 【易错】一是 项忘了除 （把 当 ）。二是 项没验取等 ——「最大值 」这个说法要能取到才算，而 使 严格小于 。三是 项配系数时写成 （要用 ，且分母是 —— 由 不对，正确做法是 ，检验： 时两边相等）。 【答案】ABD 多元与复杂条件 ① 三元　（） ② ； ③ （） ④ 条件复杂时：先把条件整理成 = 常数 的形式 ⑤ 含 与 的条件，可令 、 换元，再用 或判别式 ⑥ 出现「恰能构成三角形」时，用两边之和大于第三边化为不等式 例19（单选·★★★☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是 ，次数不齐 —— 先把两边都除以 ，让左边变成两个分式之和。 【关键】由 得 。令 、，则 、，条件化为 ，即 ，目标是 的最小值。令 ，则 ，代入得 ，即 。再令 ，得 。因为 是实数，所以判别式非负：，解得 （）。故选 D。 【易错】一是不换元，硬在 、 上凑 —— 次数对不齐，凑不出来。二是换元时把 、 的系数取错（应取 、，这样才能让条件化成 ）。三是最后忘了用判别式，卡在 上。 【答案】D 例20（填空·★★★☆☆） 已知正实数a，b满足a+b=1，则的最小值为_____． 【切入点】条件是 （和定），目标是分式 —— 把目标式乘上 （也就是 ）展开。 【关键】由 且 得 。由基本不等式 ，故原式 ，当且仅当 （即 ，结合 得 、）时取等。故最小值为 。 【易错】一是不乘 ，直接对 用不等式（分子分母都在变）。二是展开时漏项（应是三项 、、）。三是取等条件解出后没回代 。 【答案】 例21（单选·★★★☆☆） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【切入点】条件是 ，(a>1)、(b>1) —— 先把它因式分解，再看目标 怎么配。 【关键】由 得 ，两边加 得 。令 、，则 。于是 ，当且仅当 （即 、，也就是 、）时取等。故选 C。 【易错】一是不会补常数（ 要补 才能成 ）。二是换元后目标式里的常数算错（，那个 来自 ）。三是忘了题目给的 、 —— 正是它保证 、 为正。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $