不等式的性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

不等式的性质 一、知识点梳理 （一）比较大小的基本原理 比较两个实数 、 的大小，归根到底只看它们的差： 等价于 ； 等价于 ； 等价于 。这条原理把「比大小」变成了「判断一个式子的符号」，而符号可以靠因式分解、配方、通分来确认。作差法的步骤固定为三步：作差、变形、定号。教材在第二章开篇就用它统一处理大小比较，后面所有不等式的证明都建立在这一步上。 变形的目标是把差化成几个因式的积或一个完全平方式，让每个因式的符号都能直接读出。比较 与 时，，符号由 与 共同决定，缺一不可；比较 与 时，，平方项非负，整个式子恒正，一步到位。看到二次式先想配方，看到差就想因式分解，这是两条最常用的路。 两个错误最常见。一是拿几个特殊值代入就下结论：取 、 验证后就说「 时 恒成立」，漏掉了负数情形，取 、 就不成立。二是变形不彻底就定号： 化成 后，若不知道 的符号，仍然无法判断，必须把已知条件用足。作差法的每一步都要能说清依据，说不清的那一步往往就是错的地方。 （二）不等式的基本性质 不等式有以下几条基本性质。对称性：若 ，则 。传递性：若 且 ，则 。可加性：若 ，则 ，即两边同加同一个数，不等号方向不变。这三条是最基础的，后面所有变形都从它们出发。由可加性立刻得到移项法则： 等价于 ，移项就是两边同加一个相反数。 可乘性要分情况：若 且 ，则 ；若 且 ，则 ，方向翻转。乘以负数要变号，这是不等式与等式最大的区别。两条合成性质也常用：同向可加，即 且 时 ；同向同正可乘，即 且 时 。后一条的三个条件「同向、同正、相乘」缺一不可，去掉「同正」就可能出错。 减法与除法没有对应的「同向」性质。 且 时， 与 谁大谁小并不确定，取 、、、 得 、，反过来了。要处理减法，先把 改写成 ，再用同向可加；要处理除法，先把除法改成乘以倒数，再看倒数的符号。这两条转换是范围运算的基本功。 （三）倒数、平方与开方 倒数性质：若 且 （即两数同号），则 。条件是「同号」，因为只有同号时取倒数才会让两个数都落在同一侧，方向才稳定；若 ，取倒数后 ，不等号方向没有改变，但这条性质的前提已被破坏，不能套用。口诀记作「同号取倒数，方向要反过来」。 平方与开方也有条件。若 ，则 ，反过来由 且 可得 。两个数都为正时，平方与开方都保持方向；两个数都为负时，平方会翻转方向： 时 ，故 。一正一负时，平方的大小只取决于绝对值，与原来的大小关系没有必然联系。 这一节最典型的陷阱是「负数平方后大小反转」。已知 ，判断 与 ：不能直接说「 小所以 小」，而要作差：，其中 ，，积为正，故 。负数的绝对值越大，平方越大，这句话可以直接用来快速判断。 （四）范围叠加与综合应用 求 的范围用同向可加：已知 、，两个不等式方向相同，直接相加得 。这里端点都不能取到，因为两个开区间的端点都取不到，加起来自然也取不到。同向可加是同向不等式最基本的运算，方向不同的两个不等式不能相加。 求 的范围要先转化。由 得 ，再与 同向相加，得 。直接把两个不等式相减会得到 ，即 ，数值恰好相同，但推理是错的：相减相当于把 取到最小与最大同时用在两端，条件比实际更强，遇到复杂题目就会算窄。规范写法只有一条：先取相反数，再同向相加。 求积与商要先看符号。两边都为正时，同向可乘；有负数时要逐段讨论，或先把负号提到外面。求 的范围，把除法写成 ，先求 的范围（注意 是否跨过 ），再同向相乘。整个过程中端点能否取到要逐一核对：开区间相加仍是开区间，闭区间相加才是闭区间，一端开一端闭，结果那一端也是开的。 自查：作差后一定要变形到能直接读符号；乘负数记得变号，减法与除法没有同向性质；同号取倒数方向反转，负数平方后大小会翻过来。 二、典型例题 例1　作差比较：负数平方后大小反转 已知 ，则下列关系正确的是 A． B． C． D．不能确定 ①作差　。 ②因式分解并定号　；由 得 ，由 得 ，两个负数相乘为正。 ③下结论　，故 。 注：两个负数比大小，绝对值大的反而小。 说明 离原点更远，，平方之后 自然更大。选项 是把「数小则平方小」的直觉套到了负数上。 【答案】B。 。 由 得 ，，故 。 所以 。故选 B。 变式1　作差比较：正数取倒数 已知 ，则下列关系正确的是 A． B． C．不能确定 D． ①作差　。 ②判断分子分母的符号　由 得 ；由 得 。 ③定号并下结论　负除以正为负，故 ，即 。 注：取倒数要通分作差，不能凭感觉。本题 、 都是正数，分母越大分数越小，所以 大反而 小。若把条件改成 ，方向会再反转一次，结论就变成 。 【答案】D。 。 由 得 ，，故 。 所以 。故选 D。 例2　性质辨析：同向可加最稳 已知 ，，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． ①检验同向可加　 与 方向相同，相加得 ，这一条不需要任何附加条件。 ②用反例排除减法　取 、、、，，， 不成立。 ③用反例排除乘法与除法　取 、、、，，， 不成立；取 时除法无意义，可见除法更没有保障。 注：同向可加是唯一不需要附加条件的一条。同向可乘要求两边都是正数，本题没有给正数条件，所以 不能选。减法与除法连「同向」性质都没有，遇到它们应当先取相反数或改成乘法，再按性质处理。 【答案】C。 由 与 同向，相加得 ，故 C 正确。 取 ，则 ，A 错； 取 ，则 ，B 错； D 中 、 可能为 ，不一定有意义。故选 C。 变式2　性质辨析：乘负数要变号 已知 ，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． ①检验可加性　两边同减 ，不等号方向不变，故 一定成立。 ②用反例排除平方　取 、，则 ，A 错。 ③用反例排除乘法与倒数　取 得 ，C 错；取 、 得 ，D 错。 注：四个选项分别对应四类常见变形：平方、加减、乘字母、取倒数。只有加减不需要看符号，乘字母要知道字母正负，取倒数要知道两数同号，平方要知道两数是否同号。记清每条性质的适用条件，比背结论有用。 【答案】B。 由 ，两边同减 得 ，B 正确。 取 ，则 ，A 错；取 得 ，C 错； 取 得 ，D 错。故选 B。 例3　同号取倒数：方向反转 已知 ，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． ①确认两数同号　 说明两者都是正数，满足「同号」这一前提。 ②套用倒数性质　同号两数取倒数，不等号方向反转，由 得 。 ③用具体数字核对　取 、，，与结论一致。 注：倒数性质的前提「同号」不能省。若 ，两者异号，此时 ，方向没有反转，套用「取倒数必反转」就会出错。 的正负未知，所以 无法确定； 时平方保持方向，故 。 【答案】D。 ，两数同号，取倒数得 ，D 正确。 由 得 ，B 错； 的符号未知， 不一定成立，C 错； 取 得 ，A 错。故选 D。 变式3　同号取倒数：负数同号 已知 ，则下列关系正确的是 A． B． C． D．不能确定 ①确认同号　 说明两者都是负数，仍属同号。 ②作差定号　；，，故差为正。 ③下结论　。 注：两个负数取倒数，方向同样反转：原来 ，取倒数后 。用数字验一下：、，，，确实 。 【答案】A。 。 由 得 ，，故差为正， 所以 。故选 A。 例4　范围叠加：减法先取相反数 已知 ，，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①把减法变成加法　，先求 的范围。 ②对 b 的范围取相反数　 两边乘 ，方向反转，得 。 ③同向相加　 与 相加，得 。 注：直接相减会写成 ，即 ，数值碰巧对了，但推理不成立。相减相当于让 取最大时 也取最小，两个端点不在同一组取值上，换一道题就会算窄。规范做法只有取相反数再相加。 【答案】A。 由 得 。 与 同向相加，得 。 两端都取不到，故取值范围是 。故选 A。 变式4　范围叠加：闭区间的倍数运算 已知 ，，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①先求 2a 的范围　 两边乘 ，方向不变，得 。 ②再求 -b 的范围　 两边乘 ，方向反转，得 。 ③同向相加　，即 。 注：本题四个端点都能取到： 在 、 时取得， 在 、 时取得。所以答案是闭区间 。端点能否取到，要看对应的一组 、 是否都在各自的范围内。 【答案】C。 由 得 ；由 得 。 同向相加得 。 两端分别在 与 处取得，均可取到。故选 C。 例5　作差后配方：平方项定号 设 ，则 与 的大小关系是 A． B． C． D．不能确定 ①作差　。 ②配方　。 ③定号　平方项不小于 ，再加 恒为正，故差恒大于 ， 对一切实数成立。 注：配方后出现「平方加正常数」，符号立刻明确，这是二次式定号的标准手法。若配成 而没有常数项，就只能得到「不小于」，等号在 处成立，结论会从「」降为「」，选项也就变了。 【答案】C。 ， 所以 对一切实数 成立。故选 C。 变式5　作差后配方：等号可以取到 设 ，则 与 的大小关系是 A． B． C．不能确定 D． ①作差　。 ②配方　。 ③定号　平方非负，故差大于等于 ，当且仅当 时取等号。 注：本题与例题只差一个常数：例题配方后多出 ，所以只能取严格大于；本题配方后是纯粹的平方，可以取到 ，故结论为「不小于」。选项「」只在 时成立，不能作为一般结论。 【答案】A。 ， 所以 ，当且仅当 时取等号。故选 A。 例6　商的取值范围：先求倒数再相乘 已知 ，，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①把除法改成乘法　，先求 的范围。 ②求倒数的范围　 且 ，取倒数反转方向，得 。 ③分段相乘　 可正可负，分开处理： 时 ； 时 。合并得 。 注：商的上下界由两组不同的搭配决定：上界 来自 取最大、 取最小；下界 来自 取最小、 也取最小。两个端点对应的 、 不同组，这正是商的取值范围不能靠端点简单相除的原因。选项 是把 与 相乘的结果，那是 取最大时的搭配，不是最坏情况。 【答案】A。 由 得 。 当 时，； 当 时，。 合并得 。故选 A。 变式6　商的取值范围：负区间作分子 已知 ，，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①求倒数的范围　 且 ，取倒数得 。 ②分别处理 a 的正负　 时 ； 时 。 ③合并　得 ，两端都取不到。 注： 可以取到 ，所以 可以取到 ，但这不影响端点的开闭：上下界分别由 与 逼近，取不到。写结果时只看「界能不能达到」，中间的值不影响开闭。 【答案】B。 由 得 。 当 时，；当 时，。 合并得 。故选 B。 三、巩固练习 1．已知 ，则下列关系正确的是 A． B． C． D．不能确定 【答案】C。 由 ，两边同减 ，不等号方向不变， 得 。故选 C。 2．已知 ，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】D。 时两数同号，取倒数方向反转，得 。 由 得 ，，其余三项均错。故选 D。 3．已知 ，，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B。 两个不等式同向，相加得 ， 即 。故选 B。 4．已知 ，，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】D。 由 ，两边同乘负数 ，不等号方向反转，得 。 其余各项方向均写反。故选 D。 5．设 ，则 与 的大小关系是 A． B． C． D．不能确定 【答案】C。 ， 当且仅当 时取等号，故 。故选 C。 6．已知 ，，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D。 由 得 。 当 时 ；当 时 。 合并得 。故选 D。 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式的性质 一、知识点梳理 （一）比较大小的基本原理 比较两个实数 、 的大小，归根到底只看它们的差： 等价于 ； 等价于 ； 等价于 。这条原理把「比大小」变成了「判断一个式子的符号」，而符号可以靠因式分解、配方、通分来确认。作差法的步骤固定为三步：作差、变形、定号。教材在第二章开篇就用它统一处理大小比较，后面所有不等式的证明都建立在这一步上。 变形的目标是把差化成几个因式的积或一个完全平方式，让每个因式的符号都能直接读出。比较 与 时，，符号由 与 共同决定，缺一不可；比较 与 时，，平方项非负，整个式子恒正，一步到位。看到二次式先想配方，看到差就想因式分解，这是两条最常用的路。 两个错误最常见。一是拿几个特殊值代入就下结论：取 、 验证后就说「 时 恒成立」，漏掉了负数情形，取 、 就不成立。二是变形不彻底就定号： 化成 后，若不知道 的符号，仍然无法判断，必须把已知条件用足。作差法的每一步都要能说清依据，说不清的那一步往往就是错的地方。 （二）不等式的基本性质 不等式有以下几条基本性质。对称性：若 ，则 。传递性：若 且 ，则 。可加性：若 ，则 ，即两边同加同一个数，不等号方向不变。这三条是最基础的，后面所有变形都从它们出发。由可加性立刻得到移项法则： 等价于 ，移项就是两边同加一个相反数。 可乘性要分情况：若 且 ，则 ；若 且 ，则 ，方向翻转。乘以负数要变号，这是不等式与等式最大的区别。两条合成性质也常用：同向可加，即 且 时 ；同向同正可乘，即 且 时 。后一条的三个条件「同向、同正、相乘」缺一不可，去掉「同正」就可能出错。 减法与除法没有对应的「同向」性质。 且 时， 与 谁大谁小并不确定，取 、、、 得 、，反过来了。要处理减法，先把 改写成 ，再用同向可加；要处理除法，先把除法改成乘以倒数，再看倒数的符号。这两条转换是范围运算的基本功。 （三）倒数、平方与开方 倒数性质：若 且 （即两数同号），则 。条件是「同号」，因为只有同号时取倒数才会让两个数都落在同一侧，方向才稳定；若 ，取倒数后 ，不等号方向没有改变，但这条性质的前提已被破坏，不能套用。口诀记作「同号取倒数，方向要反过来」。 平方与开方也有条件。若 ，则 ，反过来由 且 可得 。两个数都为正时，平方与开方都保持方向；两个数都为负时，平方会翻转方向： 时 ，故 。一正一负时，平方的大小只取决于绝对值，与原来的大小关系没有必然联系。 这一节最典型的陷阱是「负数平方后大小反转」。已知 ，判断 与 ：不能直接说「 小所以 小」，而要作差：，其中 ，，积为正，故 。负数的绝对值越大，平方越大，这句话可以直接用来快速判断。 （四）范围叠加与综合应用 求 的范围用同向可加：已知 、，两个不等式方向相同，直接相加得 。这里端点都不能取到，因为两个开区间的端点都取不到，加起来自然也取不到。同向可加是同向不等式最基本的运算，方向不同的两个不等式不能相加。 求 的范围要先转化。由 得 ，再与 同向相加，得 。直接把两个不等式相减会得到 ，即 ，数值恰好相同，但推理是错的：相减相当于把 取到最小与最大同时用在两端，条件比实际更强，遇到复杂题目就会算窄。规范写法只有一条：先取相反数，再同向相加。 求积与商要先看符号。两边都为正时，同向可乘；有负数时要逐段讨论，或先把负号提到外面。求 的范围，把除法写成 ，先求 的范围（注意 是否跨过 ），再同向相乘。整个过程中端点能否取到要逐一核对：开区间相加仍是开区间，闭区间相加才是闭区间，一端开一端闭，结果那一端也是开的。 自查：作差后一定要变形到能直接读符号；乘负数记得变号，减法与除法没有同向性质；同号取倒数方向反转，负数平方后大小会翻过来。 二、典型例题 例1　作差比较：负数平方后大小反转 已知 ，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 变式1　作差比较：正数取倒数 已知 ，则下列关系正确的是（　　） A． B． C．不能确定 D． 例2　性质辨析：同向可加最稳 已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式2　性质辨析：乘负数要变号 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 例3　同号取倒数：方向反转 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式3　同号取倒数：负数同号 已知 ，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 例4　范围叠加：减法先取相反数 已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式4　范围叠加：闭区间的倍数运算 已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例5　作差后配方：平方项定号 设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 变式5　作差后配方：等号可以取到 设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C．不能确定 D． 例6　商的取值范围：先求倒数再相乘 已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式6　商的取值范围：负区间作分子 已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．已知 ，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 2．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 6．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $