第1讲 不等式的性质与一元二次不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

不等式的性质与一元二次不等式 等式与不等式 · 专题篇 不等式性质的判断 （一）基本性质 ① 传递性　， 推出 ② 可加性　 ③ 同向可加　， 推出 ④ 可乘性　， 推出 ⑤ 可乘性（负）　， 推出 （二）附加条件后才成立 ⑥ 推出 ⑦ 推出 ⑧ 推出 ⑨ ， 推出 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【切入点】四项都是「由 、 推结论」，所以逐项回到性质条目上对号，推不出结论的举一个反例即可。 【关键】 项把两个不等式直接相乘 —— 性质里只有同向可加（③），没有「同向可乘」， 错（反例 、、、，得 ）。 项是倒数，要同号才行（性质⑨），取 、 即可否定， 错。 项正是同向可加（③）， 对。 项两边乘 —— 时两边相等，不成立， 错。故选 C。 【易错】一是误以为「同向不等式可以相乘」（ 项就是设这个坑）；二是把 直接等价于 （漏了「同正」）；三是 项忘了 可以为 。 【答案】C 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【切入点】题干问假命题，与前三道方向相反，所以三个真、一个假 —— 逐项验证时，只要找到一个反例就定下来。 【关键】 项： 在 上递增， 必有 ，真。 项： 说明 ，两边同除 得 ，真。 项： 时 、 同号且均为负，由性质⑨（同号）得 ，真。 项：、 中、 的符号完全没限制，取 、、、，得 ，不满足「大于」，故 是假命题。故选 D。 【易错】一是漏看「假命题」三个字，按「找正确的」去做；二是 项想不起构造同值反例（让两边相等最省事），而去凑别的数，越算越乱。 【答案】D 变式1-2（多选·★★★☆☆） 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 【切入点】四项之间没有共同条件，所以每一项都当成一道独立的小题，各自找反例或走性质。 【关键】 项：由 得 需要 ，取 、 得 ， 错。 项：由 得 （两边同减 再比较 与 ），而 递增，故 ， 对。 项：取 、、，左边 、右边 ，显然 ， 错。 项： 且 说明 、 同号，符合性质⑨的条件，得 ， 对。故选 BD。 【易错】一是 项忘了「乘 要定号」；二是 项没意识到分母可能为负，误用「分母越大值越小」；三是 项忽略了 正是那个必需的附加条件。 【答案】BD 例2（单选·★☆☆☆☆） 若，，则必有（ ） A. B. C. D. 【切入点】已知只有 与 ，所以凡是还要用到 、 符号或大小关系之外信息的选项都要警惕。 【关键】 项： 并不是 的必然结果 —— 取 、 得 ，不满足「大于」， 错。 项： 只能保证乘它不翻方向，但 与 的大小无从谈起（取 、 得 ）， 错。 项：（因为 ），由可乘性（④）两边乘 即得 ， 对。 项：分母 、 的符号未知，取 、、 即得 ， 错。故选 C。 【易错】一是看到 就以为「所有含 的式子都保序」—— 成立（），但 项的关键在 、，与 的符号无关；二是 项做成同分母比较，忘了 、 可能异号。 【答案】C 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是一条全序 ，所以每项都要问「只靠 能不能推出来」——推不出的，举一个反例就够了。 【关键】 项：由 得 ，由 得 。两个正数里分母大的反而小，故 ， 对。 项：，取 （如 、），两边都是 ，不满足「大于」， 错。 项：取 、、，则 ，不满足「大于」， 错。 项：若 ，由 得 ；若 ，由 得 。两种情形都有 ， 对。故选 AD。 【易错】一是 项看到分母带减号就不敢比较，其实先判出两个分母都正、再比大小就行。二是 项忘了 可能为 ，把「大于」当成了「大于等于」。三是 项只顾着找正数反例 —— 条件里没有正数限制，反例要往负数上找。 【答案】AD 变式2-2（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 四个量都是正的，所以分式比较可以放心地作差、约分 ——这一题的关键是先看分母的正负，再看差。 【关键】 项： 与 的大小由 、、 的具体差决定，取 、、 得 ， 错。 项：由 、 得 、，所以 ， 对。 项：由 得 （分子相同、分母越大值越小），开方保序，故 ， 对。 项：作差，。分子中 、 为负，分母中 、 为正，故差为负， 对。故选 BCD。 【易错】一是 项想不到「与 比较」这个快捷办法；二是 项作差后不化简就判号，看不出 的整体符号；三是漏看「都是正的」这个条件，不敢用开方保序。 【答案】BCD 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知、、均为实数，若且，则下列不等关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里只保证 ，不保证同号 —— 所以凡是要用「同号」或「同正」的选项都可以直接怀疑。 【关键】 项： 时两边均为 ，不成立， 错。 项：取 、，则 ，方向反了， 错。 项：同样取 、，， 错。 项：，这实际上就是可加性（②）的变形， 对。故选 D。 【易错】一是把 当成「、 同号」；二是 项看不出它就是「两边同时减 、加 」，非要去构造。 【答案】D 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干问「不成立的是」，与前几道方向相反 ——先由 读出 ，再逐项验证，凡是恒成立的都排除掉。 【关键】由 得 。 项：、，所以 、， 即 ，也就是 。而 、 都是正数，积当然更大， 成立。 项：同理 、， 即 ，两个正数与更大的正数相乘，同样成立。 项：由 得 ，取相反数得 ；又 ，两式同向相加得 ， 成立。 项：由 与 同向相加，得 ，所以 不成立。故选 D。 【易错】一是 、 两项直接拿 、 去比大小，忘了它们都是负数，要先换成 、。二是 项忘了「同号取倒数要翻方向」这一步，把 写反。三是漏看「不成立」三个字，按「找正确的」去选。 【答案】D 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是 （正）与 （负），一正一负 —— 所以每一项都要单独定号，尤其注意「乘负数要翻方向」。 【关键】 项：由 得 （性质⑨）；两边乘 要翻方向，得 ， 对。 项：，移项即得 ， 对。 项： 只给出 、 的大小，取 、、、 得 ，不满足「大于」， 错。 项：（两个负数之和），由 及负指数的单调性得 ， 对。故选 ABD。 【易错】一是 项忘了「乘负数翻方向」；二是 项把「同向相乘」再一次当成性质（与例 1 的 项是同一个坑）；三是 项不看出指数为负，误按「底数大则幂大」判断。 【答案】ABD 由性质求范围 ① 同向可加　， 推出 ② 取相反数　 推出 ③ 数乘（正）　： ④ 数乘（负）　： ⑤ 恒等式　把目标式写成已知两式的线性组合，系数由比较系数定出 例4（单选·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 空集 【切入点】目标是 ，而条件给的是 与 各自的范围。 不能由两个范围直接相减，要先把它写成 。 【关键】由 两边乘 （性质②④），得 。再由 与 同向相加（性质①），得 。故选 A。 【易错】一是直接写成 ，即 （结果对但推理错，换个题就会错）。二是取相反数时忘了端点也要换位置。三是把开区间写成闭区间。 【答案】A 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为_______． 【切入点】 的系数是负的，先把 的范围乘 ，再与 相加。 【关键】由 两边乘 （性质④），得 ；又有 。两式同向相加，得 。 【易错】一是 的范围算成 ，漏了换位。二是看到 就以为 。三是两个开区间相加仍是开区间，别写成闭。 【答案】 变式4-2（单选·★★★☆☆） 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】这一题条件给的是两个组合（、），目标是第三个组合（），所以要先找出目标式与已知两式的线性关系。 【关键】设 ，比较系数得 、，解得 、。由条件得 ，且 ，两式同向相加得 。故选 A。 【易错】一是把两个条件的端点直接相加凑 ，得出 之类的错答案（必须先解出正确系数）。二是解系数方程组时符号搞错。三是忘了 为负，乘的时候端点要换位。 【答案】A 例5（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为________． 【切入点】目标 是 、 的线性组合，两个系数都为正，所以分两步：先数乘、再相加。 【关键】由 两边乘 （性质③），得 ；条件已给 。两式同向相加（性质①），得 ，即取值范围为 。 【易错】一是把 的范围算成 ，漏乘系数。二是相加时端点凑错。三是把开区间写成闭区间。 【答案】 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若，，则的取值范围是________． 【切入点】目标 里 的系数是 ，关键一步是把 的范围乘 并换位。 【关键】由 两边乘 （性质④），得 ；又有 。两式同向相加，得 ，即取值范围为 。 【易错】一是 的范围错算成 。二是相加时端点算错。三是忘了「同向」才能相加。 【答案】 变式5-2（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为______. 【切入点】与变 4 同一套路：先用待定系数找出 与两个条件的线性关系。 【关键】设 ，比较系数得 、，解得 、，即 。由条件得 ，而 。两式同向相加得 。 【易错】一是待定系数解错。二是把 的范围写错，漏了对端点的加倍。三是相加后端点写反。 【答案】 例6（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为______． 【切入点】目标里的 系数是负的，所以要先把 的范围乘 ，端点换位，再与 相加。 【关键】由 得 ；由 两边乘 （性质④，端点换位），得 。两式同向相加，得 ，即取值范围为 。 【易错】一是乘 时忘了端点换位，写成 。二是把闭区间写成开区间（条件都是「」，端点取得到）。三是只对 乘 ，忘了 要单独算。 【答案】 变式6-1（填空·★★☆☆☆） 若，则的取值范围是________. 【切入点】与上一题完全同型，只是字母换成了 、。照做：把 的范围乘 再相加。 【关键】由 两边乘 （性质②），得 ；又有 。两式同向相加，得 ，即取值范围为 。 【易错】一是被希腊字母吓住不敢动手，其实看的是运算结构，字母换成什么都一样。二是 的范围方向算反。三是漏了乘 这一步。 【答案】 变式6-2（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围是________． 【切入点】与上两题同一套路：先待定系数，再分别求范围、同向相加。 【关键】设 ，比较系数得 、，解得 、，即 。由 得 ；又有 。两式同向相加得 。 【易错】一是待定系数方程列错（把 、 的系数对错行）。二是解出 、 后忘了 要乘回整个括号。三是两个开区间相加，端点 与 都取不到。 【答案】 解不等式（含绝对值与分式） ① 一元二次不等式（， 为 的两根）： 　： 的解集为 　：解集为 　：解集为 　（「小于」号取上述集合的补集） ② 二次项系数为负时，先同乘 化为正，不等号方向翻转 ③ ④ 且 ⑤ （） ⑥ 或 （） ⑦ 换元　；遇到 型先按 配方 例7（填空·★★★☆☆） 满足不等式的的取值范围是______. 【切入点】只含一个绝对值、且右边是正常数，直接用性质⑤把它拆成双边不等式。 【关键】由 得 ，各边加 得 。即解集为 。 【易错】一是把 里的 漏掉，直接写成 。二是拆的时候忘了右边那步是「两边同时加 」。 【答案】 变式7-1（填空·★★★☆☆） 不等式的解集为______． 【切入点】分式不等式，不能两边乘分母（分母的符号未知）；正确做法是移项、通分、化为整式。 【关键】移项通分：，即 ，即 。零点为 、，奇点为 ；按符号分布得 或 。所以解集为 。 【易错】一是两边直接乘 —— 分母可能为负，不等号方向不定，答案必错。二是忘了分母不能为零，把 也写进解集。三是 处分子为零、商为 ，能取到，要写闭端点。 【答案】 例8（填空·★★★☆☆） 关于的方程的解集为_______． 【切入点】左边是两个绝对值之和，右边是 ——而 恰好是 的绝对值，所以要用绝对值三角不等式。 【关键】由绝对值三角不等式，，等号成立当且仅当 与 同号或其中一个为零，即 ，解得 。所以解集为 。 【易错】一是直接分区间去绝对值，要分三段、很费事（用三角不等式一步到位）。二是取等条件写错 —— 是「两个式子的积 」，不是「都为正」。三是忘了端点能取到（等号成立），把答案写成开区间。 【答案】 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先由一次不等式的解集把 、 的关系定下来，再代入二次不等式。 【关键】 的解集为 ，说明 （否则解集方向相反），且解集端点 是方程 的根，即 ，得 。代入 得 ，约去正数 得 ，即 ，解得 。故选 B。 【易错】一是忘了先判断 （解集是「 > 」而不是「 < 」，正说明 为正）。二是不用「解集端点即根」这条捷径，老老实实解 再比。三是约去 时没确认 。 【答案】B 例9（单选·★★★☆☆） 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】式子里同时出现 与 ，利用 把整个式子只含 。 【关键】原不等式即 。令 （），得 ，即 ，解得 。结合 得 ，即 ，所以 。故选 B。 【易错】一是不知道 ，从而不会换元。二是解出 后忘了 的约束（本题恰好不影响，但习惯要养成）。三是把 写成 。 【答案】B 由解集反求参数 ① 解集端点即根　若 的解集为 ，则 、 是 的两根，且 ② 开口定向　解集为「两根之间」推出 与不等号方向相反；解集为「两根之外」推出 与不等号方向相同 ③ 韦达定理　， ④ 求另一个不等式的解集时，先把 、 用 表示，代入后约去 （注意 的符号决定是否翻转） ⑤ 「解集中恰有 个整数」型：把含参解集解出来，再画数轴数点 ⑥ 「在区间上有两个实根」型：联立三个条件 ——、对称轴落在区间内、两端点函数值非负 例10（填空·★★★☆☆） 设、，若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【切入点】先由一次不等式的解集把 、 的关系定下来，再代入第二个不等式。 【关键】 即 ，由它的解集为 知 ，且解集端点 是方程 的根，得 。代入 得 。因为 ，两边同除 要翻转，得 ，解得 。 【易错】一是没判断 ，直接得 ，答案变成「两根之外」。二是不用「解集端点即根」，绕远路。三是约去 时漏了翻转方向。 【答案】 变式10-1（单选·★★★☆☆） 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】解集为 ，同样先定开口（），再用韦达把 用 表示。 【关键】由解集为「两根之间」知 ，且 、 是 的两根。两根之积 ，得 ；两根之和 ，得 。于是 。由 得 ，故 ，最大值 的相反数是 。故选 B。 【易错】一是忘记用「两根之积等于 1/k」这条捷径，去硬解 。二是求最大值时忘了 有上界（），误当作没有最大值。三是 的范围没考虑（由 才成立）。 【答案】B 例11（填空·★★★☆☆） 不等式的解集为，则的解集为______. 【切入点】由第一个不等式的解集 ，用韦达定理把 、 都用 表示，再代入第二个不等式。 【关键】 的解集为 ，说明 ，且 、 是 的两根。由韦达定理 得 ； 得 。代入 得 。因为 ，两边同除 翻转，得 ，即 。因式分解得 ，故 或 ，即解集为 。 【易错】一是没先判断 ，约去 时忘了翻转，得到完全相反的答案。二是韦达定理里 的符号写错（这里是 ，常数项是 ）。三是最后一个二次不等式的两根算错。 【答案】 变式11-1（填空·★★★☆☆） 关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是______． 【切入点】先把含参不等式因式分解，解出含参解集，再画数轴数正整数。 【关键】由 得 ，即 。由 知 ，故解集为 。其中正整数依次为 、、……要求恰有 个，即恰好是 ，所以 ，解得 。 【易错】一是因式分解时把 的符号弄错（移项过来是 与 的配对）。二是没讨论 与 的大小就写解集。三是端点： 时恰含 三个（可取）， 时含 四个（不可取），所以左闭右开。 【答案】 例12（单选·★★★☆☆） 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 【切入点】解集是「两根之间」，说明 ；用韦达把 、 用 和 表示，再求目标式的最小值。 【关键】由解集 （）知 ，且 、 是 的两根。由韦达定理：、，得 、。于是 。令 ，则 ，，当且仅当 （即 ）时取等。故选 A。 【易错】一是没判断 ，导致分母 的符号不定。二是韦达里 的负号漏掉。三是换元后忘了用基本不等式（）。 【答案】A 变式12-1（填空·★★★☆☆） 若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围为________． 【切入点】「在闭区间上有两个不同实根」要同时满足三件事：判别式为正、对称轴落在区间内、两端点函数值非负。 【关键】设 。① ，即 ，解得 或 。② 对称轴 要在 内，得 。③ 恒成立；，得 。三者取交集：由①与②得 ，再与③合并得 ，即 的取值范围为 。 【易错】一是只列 ，忘了对称轴与端点值这两个条件（那只是「有根」，不是「在区间上有两个根」）。二是 的 算成 。三是端点 时 ，此时 是根，仍算「区间上」（闭区间），可以取。 【答案】 含参不等式与不等式组 ① 解集 = 各不等式解集的交集（在同一条数轴上取公共部分） ② 端点开闭由原不等号决定：「小于」「大于」取开端点；「小于等于」「大于等于」取闭端点 ③ 解集端点为 时，有解 （注意开闭） ④ 「解集中恰有 个整数」：先把含参解集解出来，再画数轴把 个整数点标上，用两端整数点夹出参数的取值范围 ⑤ 「整数对 共有几对」：分别求出 、 各自的可取整数个数，再相乘 例13（单选·★★★☆☆） 已知，若关于的不等式恰有1个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】含参二次不等式，先把左边因式分解，解出含参解集，再让这个解集里恰好落进一个整数。 【关键】原不等式即 。由 知 ，故解集为 。这个区间里的整数有且只有一个 —— 它只能是 ，所以 且 ，即 且 ，解得 。故选 D。 【易错】一是忘记先判断 与 的大小（ 正是为此而给）。二是只写 就收手，忘了还要保证 不在区间内（否则会有 、 两个整数解）。三是端点 时 ，区间为 ，整数只有 ，仍符合，所以可以取（左闭）。 【答案】D 变式13-1（填空·★★★★☆） 若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 【切入点】两个不等式，第二个含参。先各自解出来，再让交集中恰好只有两个整数。 【关键】由 得 ；由 得 。故解集为 。因为左端点是 ，落在 与 之间，所以解集里最小的整数只能是 。恰有两个整数解，说明它们是 和 ，于是 。由 得 ，结合 得 ；另一侧 对 恒成立。故 。 【易错】一是没看出「最小整数只能是 」（因为 恰好卡在 与 之间）。二是忘了解不等式 时 的符号会影响方向。三是把右端点写成开区间 —— 原不等式是「」， 能取到。 【答案】 例14（填空·★★★☆☆） 关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对。 【切入点】两个不等式各带一个参数，先把解集写出来，再由「整数解恰为 和 」分别卡出 、 的范围 —— 与 互不影响，最后相乘即可。 【关键】由 得 ；由 得 。故解集为 。因为整数解有且只有 和 ，所以： 要能取到，得 ； 不能取到，得 。两式合并得 ，即 ，所以 可取 、、，共 个。再看 ： 要能取到（且 本身取不到，所以要严格大于 ），得 ； 不能取到，得 。两式合并得 ，所以 可取 、，共 个。两者独立，故整数对共 对。 【易错】一是把 写成 —— 解集右端点是开的， 取不到，若 则 反而取不到，与题意矛盾。二是忘了「 不在解集内」这个条件，导致 的取值范围放宽。三是最后忘了 、 互相独立，去穷举数对而不用乘法。 【答案】 变式14-1（填空·★★★★☆） 若满足不等式组的整数的个数为，则的取值集合为_______． 【切入点】两个不等式，第二个含参。因为 已经给了一个上界，所以要先定 的正负（否则解集方向不同）。 【关键】 与 要同时成立。若 ，则 ，解集是 ，整数有无穷多个，不合题意；故 ，此时 变形为 ，解集为 。其中的整数从上往下数：；个数为 ，所以最后一个（最小的）是 ，因此 。由 解这个双向不等式：取倒数要翻转，得 ，即 。 【易错】一是没讨论 的正负，直接按 做，得出「无穷多个整数」的荒谬结论。二是数整数个数时数错（从 到 共 个，可用 核对）。三是取倒数时忘了翻转方向、忘了 。 【答案】 例15（填空·★★★☆☆） 若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【切入点】先解出解集（含参数 ），再让「所有整数解之和为 」—— 注意整数解是连续的一串，和要凑成 有两组可能。 【关键】由 得 ；由 得 。故解集为 。其中的整数是从 到 的连续整数。设这串整数为 ，共 个数。① 若最大三个是 、、，和恰为 ，此时 ，即 ；② 若整数串更长，需继续往下取：，此时 且 ，即 。综上， 的取值范围是 或 。 【易错】一是只找出一组解（漏掉负整数那一组）。二是 的端点开闭搞反 —— 左端点由「」决定， 本身取不到，但 作为参数可以取等号所在的值，要按整数串的起止去卡。三是把解集写成 （ 取不到）。 【答案】 或 二次不等式恒成立（Δ 法） ① 对一切 成立 且 ② 对一切 成立 且 ③ 对一切 成立 且 ④ 对一切 成立 且 ⑤ 二次项系数可能为零时，先单独讨论 ⑥ 区间型　 在 上恒成立 ⑦ 无理不等式 型，可先平方再回到二次恒成立 例16（填空·★★★☆☆） 关于的不等式对于一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 【切入点】移项后二次项系数是 ， 可能为零，所以第一件事是分开讨论 与 。 【关键】原不等式即 。① 若 ，左边为 ，恒成立，符合题意。② 若 ，要让它对一切 成立，需要开口向上且判别式为负： 且 ，解得 。两种情况合并得 ，即 。 【易错】一是漏掉 的讨论，直接写 ，把 丢掉。二是 与 混：本题是严格「大于零」，所以 必须严格小于 ， 时左边为 ，会取到 ，不合。三是解 时把 写成 。 【答案】 变式16-1（单选·★★★☆☆） 已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「对任意 恒成立」交给判别式，换来一个 、 之间的不等式；再在这个不等式下求 的最大值。 【关键】二次项系数 ， 对一切实数 成立，由性质②得 ，即 ，也就是 。三项 、、 都是正的，和为定值不超过 ，由三元均值不等式 ，即 ，故 。当且仅当 且 ，即 、 时取等。故选 B。 【易错】一是恒成立时把 写成 （这里是「大于等于 恒成立」，等号能取）。二是把 、 直接拿去用基本不等式 —— 约束是 ，不是 的形式。三是配三元均值时凑不出定值：要拆成 ，才与 对上。 【答案】B 例17（单选·★★★☆☆） 下列条件中，是"关于的不等式对一切实数都成立"的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先求出「对一切实数成立」的充要条件（即 的完整范围），再在四个选项里找它的真子集（充分不必要 ⇔ 真子集）。 【关键】设 。① 时 ，恒成立。② 时需开口向下且判别式为负： 且 ，解得 。合并得充要条件是 。四个选项中， 是 ，它是 的真子集，所以由 能推出结论、但不能反推，正是充分不必要。故选 C。 【易错】一是漏掉 的情形，把充要条件错写成 —— 那样 就变成充要条件了。二是把「充分不必要」与「必要不充分」的方向弄反：充分不必要 = 真子集（范围更小）。三是 、 里带了等号，范围与充要条件相同或更大，都不满足。 【答案】C 变式17-1（单选·★★★☆☆） 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【切入点】先把 的最小值求出来，恒成立就变成解一个关于 的二次不等式。 【关键】由 且 知 、。于是 ，当且仅当 时取等。因为 恒成立，所以只需 ，即 ，解得 。故选 C。 【易错】一是配凑时把 与 的系数写错（要保证积为定值）。二是漏掉常数项 。三是恒成立的方向：要求左边大于右边恒成立，最小值都要大于右边，所以是 ，不是 。 【答案】C 例18（填空·★★★☆☆） 对任意实数，不等式恒成立，则实数x的取值范围是__________． 【切入点】题目说「对任意 恒成立」，而 在式子里是一次的 —— 所以要把 当变量、把 当常数，这就是主元变换。 【关键】原不等式整理成关于 的一次式：，即 ，即 。对任意 恒成立，需要 与 同号。① 若 （即 ）：需 对一切 成立，只需 ，即 ，与 合并得 ；② 若 （即 ）：需 对一切 成立，只需 ，即 ，与 合并得 。故 或 。 【易错】一是不会主元变换，去按 的二次不等式做，越算越乱。二是同号条件写成「都为正」，漏掉「都为负」（那就是 那一支）。三是端点： 时左边为 ，不满足「大于零」； 时 ，满足，可取。 【答案】 或 变式18-1（填空·★★★☆☆） 若，，对满足时，都有恒成立，则的最小值是_________． 【切入点】这次是区间上的恒成立（ 即 ），不能再用「对一切实数」的判别式法，要转成区间上的最值。 【关键】由 得 。设 ，要求 在 上恒成立。取 ：，即 。取 ：。把 代入第二个式子检验：，即 ，与 的情形相容。再由 得 ，即 ，与 不矛盾。故 的最小值为 。 【易错】一是对区间上的恒成立套用判别式法（那是「对一切实数」才适用）。二是只代一个端点就下结论 —— 本题需要两个端点都满足，而 恰好给出下界。三是把「求最小值」当成「求取值范围」，答案写成一串。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式的性质与一元二次不等式 等式与不等式 · 专题篇 不等式性质的判断 （一）基本性质 ① 传递性　， 推出 ② 可加性　 ③ 同向可加　， 推出 ④ 可乘性　， 推出 ⑤ 可乘性（负）　， 推出 （二）附加条件后才成立 ⑥ 推出 ⑦ 推出 ⑧ 推出 ⑨ ， 推出 例1（单选·★☆☆☆☆） 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 变式1-2（多选·★★★☆☆） 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 例2（单选·★☆☆☆☆） 若，，则必有（ ） A. B. C. D. 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 变式2-2（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知、、均为实数，若且，则下列不等关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 由性质求范围 ① 同向可加　， 推出 ② 取相反数　 推出 ③ 数乘（正）　： ④ 数乘（负）　： ⑤ 恒等式　把目标式写成已知两式的线性组合，系数由比较系数定出 例4（单选·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 空集 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为_______． 变式4-2（单选·★★★☆☆） 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例5（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为________． 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若，，则的取值范围是________． 变式5-2（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为______. 例6（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围为______． 变式6-1（填空·★★☆☆☆） 若，则的取值范围是________. 变式6-2（填空·★★★☆☆） 已知，，则的取值范围是________． 解不等式（含绝对值与分式） ① 一元二次不等式（， 为 的两根）： 　： 的解集为 　：解集为 　：解集为 　（「小于」号取上述集合的补集） ② 二次项系数为负时，先同乘 化为正，不等号方向翻转 ③ ④ 且 ⑤ （） ⑥ 或 （） ⑦ 换元　；遇到 型先按 配方 例7（填空·★★★☆☆） 满足不等式的的取值范围是______. 变式7-1（填空·★★★☆☆） 不等式的解集为______． 例8（填空·★★★☆☆） 关于的方程的解集为_______． 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 例9（单选·★★★☆☆） 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 由解集反求参数 ① 解集端点即根　若 的解集为 ，则 、 是 的两根，且 ② 开口定向　解集为「两根之间」推出 与不等号方向相反；解集为「两根之外」推出 与不等号方向相同 ③ 韦达定理　， ④ 求另一个不等式的解集时，先把 、 用 表示，代入后约去 （注意 的符号决定是否翻转） ⑤ 「解集中恰有 个整数」型：把含参解集解出来，再画数轴数点 ⑥ 「在区间上有两个实根」型：联立三个条件 ——、对称轴落在区间内、两端点函数值非负 例10（填空·★★★☆☆） 设、，若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________． 变式10-1（单选·★★★☆☆） 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 例11（填空·★★★☆☆） 不等式的解集为，则的解集为______. 变式11-1（填空·★★★☆☆） 关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是______． 例12（单选·★★★☆☆） 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 变式12-1（填空·★★★☆☆） 若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围为________． 含参不等式与不等式组 ① 解集 = 各不等式解集的交集（在同一条数轴上取公共部分） ② 端点开闭由原不等号决定：「小于」「大于」取开端点；「小于等于」「大于等于」取闭端点 ③ 解集端点为 时，有解 （注意开闭） ④ 「解集中恰有 个整数」：先把含参解集解出来，再画数轴把 个整数点标上，用两端整数点夹出参数的取值范围 ⑤ 「整数对 共有几对」：分别求出 、 各自的可取整数个数，再相乘 例13（单选·★★★☆☆） 已知，若关于的不等式恰有1个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式13-1（填空·★★★★☆） 若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 例14（填空·★★★☆☆） 关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对。 变式14-1（填空·★★★★☆） 若满足不等式组的整数的个数为，则的取值集合为_______． 例15（填空·★★★☆☆） 若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 二次不等式恒成立（Δ 法） ① 对一切 成立 且 ② 对一切 成立 且 ③ 对一切 成立 且 ④ 对一切 成立 且 ⑤ 二次项系数可能为零时，先单独讨论 ⑥ 区间型　 在 上恒成立 ⑦ 无理不等式 型，可先平方再回到二次恒成立 例16（填空·★★★☆☆） 关于的不等式对于一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 变式16-1（单选·★★★☆☆） 已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 例17（单选·★★★☆☆） 下列条件中，是"关于的不等式对一切实数都成立"的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 变式17-1（单选·★★★☆☆） 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 例18（填空·★★★☆☆） 对任意实数，不等式恒成立，则实数x的取值范围是__________． 变式18-1（填空·★★★☆☆） 若，，对满足时，都有恒成立，则的最小值是_________． 学科网（北京）股份有限公司 $