1.3 等式与不等式的性质 训练-2027高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦等式与不等式的性质，分层设计清晰，通过例题示范与基础练习结合，培养推理能力与运算能力，实现从性质理解到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|取值范围、大小比较|通过典型例题示范性质应用，引导逻辑推理| |基础夯实|性质判断、条件关系、综合运算|选择填空结合，强化基础概念与运算能力|

第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第3节 等式与不等式的性质 同步练 2027高三数学一轮复习 【例题精练】 【例1】（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 【例2】（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 【分析】（1）利用作差法，即可求解； （2）通过不等式的性质，即可求解. 【详解】（1），理由略； （2），理由略. 【基础夯实】 一、单选题 1．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，故充分性成立； 当，时，不等式成立，但，故必要性不成立． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 3．已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 4．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C 5．若，是任意实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项ABC：例如，满足， 但，即，故A错误； 且无意义，故B错误； 可得，故C错误； 对于选项D：因为在定义域内单调递减， 因为，所以，故D正确. 6．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 7．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的范围，然后利用作商法结合对数的运算判断的大小，利用指数函数的性质可得的范围，综合可得解. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ，则， ∵，∴， 综上，. 故选：C. 二、多选题 9．已知， ，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件判断出；再利用不等式的性质进行判断即可得出答案. 【详解】， ， . 对于选项A，因为，，由不等式性质得，故选项A正确； 对于选项B，因为，所以.又因为，由不等式性质得，故选项B错误； 对于选项C，因为，由不等式性质得，故选项C正确； 对于选项D，因为，所以.又因为，由不等式性质得，故选项D正确. 故选：ACD. 10．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数的单调性判断A；根据不等式的基本性质利用作差法判断B；根据对数函数的单调性判断C；根据对勾函数的单调性判断D. 【详解】对于A，由，且函数在上为减函数， 则，故A错误； 对于B，由，则， 所以，故B正确； 对于C，由，且函数在上为增函数， 则，故C正确； 对于D，由对勾函数的性质可知，函数在上为增函数， 而，则，故D正确. 故选：BCD 11．设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质，变形求解. 【详解】，两式相乘得，所以，A正确； 由题得，又，两式相乘得，所以，B错误； 因为，所以两式相乘得，C正确； 因为，所以两式相乘得，D错误． 故选：AC 三、填空题 12．若a，b同时满足下列两个条件： ①；②． 请写出一组a，b的值____________． 【答案】或其他任意合理答案 【分析】根据不等式的性质，判断a和b的正负及绝对值的大小即可. 【详解】容易发现，若将①式转化为②式，需使 即与异号，显然应使， 当时，需使，则，可取； 当时，需使，则，可取. 综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 故答案为：或其他任意合理答案. 13．已知，则与的大小是__________． 【答案】 【分析】利用作差法求解即可 【详解】， ，， ， 故答案为： 14．已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第3节 等式与不等式的性质 同步练 2027高三数学一轮复习 【例题精练】 【例1】（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【例2】（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【基础夯实】 一、单选题 1．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 4．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．若，是任意实数，且，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 7．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知， ，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若a，b同时满足下列两个条件： ①；②． 请写出一组a，b的值____________． 13．已知，则与的大小是__________． 14．已知，，则的取值范围为_____________________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $