精品解析：江苏南京市第十二中学2026-2027学年第一学期10月调研考试高二数学试题

南京12中 2026-2027学年第一学期10月调研考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 复数满足，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据3，3，4，6，6，8，9，9，则（ ） A. 这组数据的百分位数为 B. 这组数据的中位数为 C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的平均数为 4. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 浙江省博物馆中陈列着2019年在浙江余姚井头山遗址出土的8000年前先民用的“海鲜火锅”——带支脚的陶釜，是我国沿海地区最早的炊具．上面的陶釜可近似地看成一个圆柱和半球的组合体（如图所示），其中圆柱下底面和半球的横截面重合．已知该陶釜的容积为，圆柱部分底面半径为，则圆柱的高为（ ） A. 2 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 12 cm 6. 已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到朝下底面上的数字分别是，则的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点M在圆C：上，若Q是直线上的点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 过点，的直线方程为 C. 直线恒过定点 D. 方程表示圆，则实数的取值范围为 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，，记事件为“两人都击中”，事件为“至少人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与相互独立 D. 11. 已知正方体的棱长为4，E为的中点，P是上的动点，则（ ） A. B. 平面截正方体的截面面积为 C. 的最小值为 D. 过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，直线：，若，则________． 13. 已知，则__． 14. 已知圆C的方程为，过直线上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离为，则点P的坐标为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是、、. （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程. 16. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的物理成绩分成六段：，，…，后得到如下频率分布直方图． （1）求分数在内被抽取的学生人数； （2）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试物理成绩的平均分； （3）用分层抽样的方法在60分以下的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于50分的概率． 17. 如图，四棱锥中，平面，若，，，且，． （1）证明：平面； （2）若的中点为E，边上的三等分点（靠近点B）为F，求四面体的体积． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求角A的大小； （2）若边上的中线长为，求的面积S； （3）若是锐角三角形，以为边作正三角形（A与D位于边两侧），求的取值范围． 19. 已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． （1）若直线l过点，求直线l的方程； （2）①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京12中 2026-2027学年第一学期10月调研考试 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【详解】直线与x轴垂直，则倾斜角为. 2. 复数满足，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数等式变形求出，分母实数化化简得到代数形式，再利用复数模的计算公式算出模． 【详解】由，得， 所以． 3. 已知一组数据3，3，4，6，6，8，9，9，则（ ） A. 这组数据的百分位数为 B. 这组数据的中位数为 C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的平均数为 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，再分别根据百分位数、中位数、极差、平均数的定义逐一验证各选项即可. 【详解】将所给数据从小到大排列得：，共个数据， 对于A，计算，根据百分位数的定义，选取排序后第个数据作为分位数，即，故A错误； 对于B，数据总个数为偶数，中位数为排序后第个、第个数据的算术平均值，即，故B正确； 对于C，极差为数据最大值减去最小值，即，故C错误； 对于D，平均数为所有数据之和除以数据个数，即，故D错误. 4. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式，由系数相等得到夹角的关系式，从而求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为，其中为与的夹角，且，因为在上的投影向量为，所以, 将，代入得，解得，因为，且，所以. 5. 浙江省博物馆中陈列着2019年在浙江余姚井头山遗址出土的8000年前先民用的“海鲜火锅”——带支脚的陶釜，是我国沿海地区最早的炊具．上面的陶釜可近似地看成一个圆柱和半球的组合体（如图所示），其中圆柱下底面和半球的横截面重合．已知该陶釜的容积为，圆柱部分底面半径为，则圆柱的高为（ ） A. 2 cm B. 6 cm C. 10 cm D. 12 cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆柱与球的体积公式建立方程求解即可. 【详解】设圆柱的高为，圆柱部分底面半径为，则 ，即， 代入， 可得，解得 所以圆柱的高为10 cm. 6. 已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 7. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到朝下底面上的数字分别是，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定两次抛掷正四面体骰子的全部基本事件总数，再列举满足的有序数对，利用古典概型公式，用有利事件数除以总事件数求出概率． 【详解】连续抛掷两次正四面体骰子，记两次结果为， 则样本空间的基本事件总数， 符合的基本事件为，共个， 根据古典概型概率公式，得． 8. 已知点，点M在圆C：上，若Q是直线上的点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】通过作点关于直线的对称点将转化为到对称点的距离，结合圆上点到定点的最小距离公式求解最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由对称点性质，直线与垂直， 故，整理得，解得，即. 由对称性可知对直线上任意点，有，故. 圆的圆心为，半径， 对圆上任意点，（当且仅当为线段与圆的交点时取等号）， 因此 ， 又（当且仅当为线段与的交点时取等号）. ， 所以（当且仅当为线段与圆的交点， 为线段与的交点时取等号）， 所以的最小值为10. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 过点，的直线方程为 C. 直线恒过定点 D. 方程表示圆，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题综合考查圆的方程、直线方程、直线过定点、二元二次方程表示圆的条件等基础知识点，需逐一推导验证各选项 【详解】选项A：将圆的一般方程配方得，可知圆心为，半径为1，A正确; 选项B：过、的直线斜率，直线方程为，即，与给出的不符，B错误； 选项C：将直线方程整理为，令，得定点，与的取值无关，C正确； 选项D：二元二次方程表示圆的条件为，代入得，即，解得或，即，D正确. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，，记事件为“两人都击中”，事件为“至少人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先计算各事件的概率，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义，以及概率的运算公式逐一判断选项. 【详解】首先计算各事件概率：甲乙独立射击，，，， 对于A，事件是“两人都击中”，事件是“无人击中”，两事件不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件是“至少1人击中”，事件是“无人击中”，两事件的并集包含所有可能的射击结果，且交集为空，是对立事件，故B正确； 对于C，若相互独立，则需满足， 因为发生时一定发生，故，而，故不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以，故，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为4，E为的中点，P是上的动点，则（ ） A. B. 平面截正方体的截面面积为 C. 的最小值为 D. 过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用空间向量数量积判断线线垂直；B选项确定截面梯形并计算面积；C选项沿展开，结合图形用余弦定理即可求得最小值；D选项作，求球心到截面平面的最大距离即得． 【详解】如图1，以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则 对于A：因为，，且则，A正确； 对于B：取的中点，连接,则，,因,则, 故截面为梯形，又因，，且， 则梯形的高 则，故B错误； 对于C：如图2，将沿展开到,使之与平面共面且与在直线的两侧，则，连接，由图知，当且仅当点为与的交点时，取得最小值.在中，，，由余弦定理，， 则，即的最小值为，故C正确； 对于D：由A项建系，易得正方体外接球的球心为，半径． 过作，垂足为，如图3所示． 因，则 于是 设球心到任一过直线的截面的距离为． 因为，所以，当取过且垂直于的平面时，取得最大为， 此时球截面圆的面积最小， ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，直线：，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由两直线平行的充要条件可知， ，即，解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足题意. 当时，直线：，直线：，两直线平行，满足题意. 综上所述， 13. 已知，则__． 【答案】 【解析】 【分析】 利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，又由. 故答案为：． 14. 已知圆C的方程为，过直线上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离为，则点P的坐标为________ 【答案】 或 【解析】 【分析】先通过弦长公式计算圆心到切点弦的距离，再利用射影定理求出点到原点的距离，结合在已知直线上列方程求解坐标.  【详解】记圆的圆心为，半径，设两切点为，的中点为. 由弦长性质可知，， 由勾股定理得： . 因为是圆的切线，故， 由射影定理可得，代入得： ，所以. 设，因在直线上，故， 又，所以， 联立解得，或，. 经验证两点均满足作圆两条切线的条件，故点的坐标为或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是、、. （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，进而可求出直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程； （2）求出直线的斜率，进而可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可知，线段的中点为，故， 故边上的中线所在直线方程为，即. 【小问2详解】 由题意可得，因为，则， 故边上的高所在直线方程为，即. 16. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的物理成绩分成六段：，，…，后得到如下频率分布直方图． （1）求分数在内被抽取的学生人数； （2）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试物理成绩的平均分； （3）用分层抽样的方法在60分以下的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于50分的概率． 【答案】（1）18 （2）71 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出的值，进而计算对应区间的频数； （2） 利用各组中点值乘以对应频率之和估计平均分； （3） 根据分层抽样确定各分数段抽取的人数，利用古典概型概率公式计算即可。 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为10， 所有小矩形的面积之和为1，即： ， 解得 ， 所以分数在  内的频率为 ， 因为样本容量为60， 所以分数在  内被抽取的学生人数为 （人）； 【小问2详解】 根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试物理成绩的平均分为：     ， 所以估计平均分为71分； 【小问3详解】 分数在  内的频率为 ，人数为 （人）； 分数在  内的频率为 ，人数为 （人）； 60分以下的学生总人数为 （人）； 用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，抽样比为 ； 所以在  分数段抽取的人数为 （人），记为 ，他们的分数低于50分； 在  分数段抽取的人数为 （人），记为 ，他们的分数不低于50分； 从这5人中任意选取2人，所有的基本事件有： ，共10种， 其中恰有1人的分数不低于50分（即1人来自 ，1人来自 ）的基本事件有： ，共6种， 故所求概率 . 17. 如图，四棱锥中，平面，若，，，且，． （1）证明：平面； （2）若的中点为E，边上的三等分点（靠近点B）为F，求四面体的体积． 【答案】（1）在中，由余弦定理： ， 所以， 因为，所以由勾股定理逆定理：， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理得到，再由勾股定理逆定理得到，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）首先求到底面的距离，再根据体积转化，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 体积等换：， 因为是中点，平面， 所以到底面的高， 又因为边上的三等分点（靠近点B）为F， 所以， 因为为等腰直角三角形， 所以， 和同顶点，底边在上，面积之比等于底之比： ， 所以. 所以四面体的体积为. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求角A的大小； （2）若边上的中线长为，求的面积S； （3）若是锐角三角形，以为边作正三角形（A与D位于边两侧），求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，由角化边，求出三角形边长的关系，进而根据余弦定理解三角形； （2）根据向量数量积的运算律，求出中线长和三角形边长之间的关系，进而根据列出方程组，求出，根据三角形正弦面积公式，求出结果； （3）根据三角形的形状，判断点的运动轨迹，判断线段的最长和最短时的情况，根据三角形外接圆的性质求出结果. 【小问1详解】 由可得，化简得， 所以，即. 【小问2详解】 可知，因为，所以， 设边上的中线长为，则， 可得，即，可得， 可得，解得， 则. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 如图所示，作外接圆，因为，所以外接圆是定圆，外接圆半径为， 过作，，因为，所以点在上运动， 连接并延长至，交圆于，过作于， 可知，所以， 在中，， 所以，即，解得， 当在时，取得最小值，此时，可得， 当在时，取得最大值，此时， 所以的取值范围. 19. 已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． （1）若直线l过点，求直线l的方程； （2）①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】（1）或 （2） ① ②如图所示，设，直线， 由点，可得， 则， 由（1）可知当时，直线和圆必有两个交点， 联立方程组，消去得， 当时，，可知， 则，即为定值. 【解析】 【分析】（1）根据弦长和半径求出弦心距，根据点斜式方程和点到直线距离公式，列出方程，求出参数，求出结果； （2）①根据（1）结论，判断点的运动轨迹是个圆，写出圆的方程即可； ②根据直线和圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理和两点间的斜率公式，求出的表达式，化简求出结果，说明为定值. 【小问1详解】 可知圆心，半径，当时，圆心到直线的距离， 依题意，当直线l的斜率存在时，可设直线，化简得， 由到直线的距离为，解得， 即直线，变形得； 当直线l的斜率不存在时，直线到圆心距离为，符合条件； 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 ①由（1）可知线段的中点到圆心的距离为，所以点D的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $