精品解析：江苏省太湖高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二年级数学练习卷 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线：的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3. 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A. B. C. D. 4. 已知实数满足，则的最小值（ ） A. B. C. D. 5. 光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，点满足，点在线段上，，则（ ） A. B. C. D. 8. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，若直线上一动点，直线上一动点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若三个非零空间向量、、满足，，则 B. “存在实数，，使”是“与，共面”的充分不必要条件 C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 10. 已知直线：，：，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则直线，之间的距离为 B. 原点到直线的最大距离为 C. 若直线不过第四象限，则 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则或 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当时， 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，圆的半径为2，则_______________． 13. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_________________ 14. 在三棱锥中，，，若点在棱上，满足二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值为__________． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知空间中三点，，． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 16. 如图，在平行六面体中，为中点，，，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面交于点，求线段的长度． 17. 直线：，其中为实数． （1）求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点的坐标； （2）设，若直线过点，且点到直线的距离等于3，求直线的方程； （3）若直线过点，且与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点，试求面积的最小值及此时直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知在中，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求所在的直线方程； （2）求外接圆方程； （3）若点，四个点，，，在直线：的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学练习卷 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 2. 直线：的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率得到其一个方向向量，再判断选项中与该向量共线的即为所求. 【详解】已知直线：的斜率为，则的一个方向向量为， 因为向量，则为直线的一个方向向量，故A正确； 而向量，向量，向量与方向向量都不共线，故B选项，C选项，D选项错误. 3. 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B. 4. 已知实数满足，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当取最小值时， 即为点到直线的距离． 5. 光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求入射点关于反射直线的对称点，推导反射光线所在直线方程，代入选项横坐标验证纵坐标是否匹配即可. 【详解】根据光线反射的性质，入射点关于反射直线的对称点在反射光线所在直线上. 设点关于直线的对称点为， 两点连线与直线垂直，直线斜率为，故两点连线斜率为，即； 两点中点在直线上，故. 联立解得，即反射光线过点. 已知反射光线还过点，计算得反射光线斜率， 由点斜式得反射光线方程为. 验证各选项： 当时，，A、B均不符合； 当时，，C不符合，D符合. 6. 在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 7. 在四面体中，点满足，点在线段上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算将用基底表示，结合空间向量基本定理对应系数相等求解，进而计算. 【详解】由，可得； 因点在线段上，设，则； 由向量减法法则得：； 将展开，其中，代入得：； 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等，列方程组： ，解得，； 计算得. 8. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，若直线上一动点，直线上一动点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，两动点位于异面直线上，则线段长度的最小值即为异面直线间的距离的长度，利用空间向量法进行求解即可． 【详解】因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面． 故以点为坐标原点，以、所在直线为轴、轴， 在平面内，过点作平面的垂线，并以此作出轴，如图所示： 因为公共边，为等腰直角三角形， 所以，，． 因为为含的直角三角形，所以． 因为点是直线上一动点，点是直线上一动点， 所以线段长度的最小值，也就是异面直线与间的距离的长度． 直线的方向向量，直线的方向向量． 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，解得，，即． 因为， 所以异面直线与间的距离， 所以线段长度的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若三个非零空间向量、、满足，，则 B. “存在实数，，使”是“与，共面”的充分不必要条件 C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 【答案】BD 【解析】 【详解】 对于选项A，若三个非零空间向量、、满足，， 不妨令、都垂直于，但与不平行，故A错误； 对于 选项B，充分性：若存在，使，根据向量线性运算的几何意义，与，一定共面，充分性成立， 必要性：若与，共面，当，共线且与不共线时，不存在，使得，必要性不成立， 因此是充分不必要条件，故B正确； 对于选项C，若是空间基底，则，，不共面，但， 说明，，三个向量共面，不能作为空间基底，故C错误； 对于选项D，首先计算，方向向量的模， ， 点到直线的距离，故D正确． 10. 已知直线：，：，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则直线，之间的距离为 B. 原点到直线的最大距离为 C. 若直线不过第四象限，则 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A利用平行求出参数再结合两平行线距离公式求解，对B先将直线：，整理为，恒过定点， 再求原点到动直线最大距离，对C转化为斜率与纵截距范围判断直线经过的象限，对D分截距为和不为两类讨论截距相等的情况，逐一判断选项正误． 【详解】选项A，若，则斜率相等，斜率为，斜率为，故，即， 此时方程为，两平行线距离，A正确； 选项B，将变形为，可知恒过定点， 原点到的最大距离为原点到定点的距离（当时取等），，B正确； 选项C， 将写为斜截式，不过第四象限需满足斜率且纵截距， 解得，C错误； 选项D，截距相等分两种：①截距均为，得，符合； ②截距均不为，令得纵截距，令得横截距， ，解得，符合； 故或，D正确． 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】设分别为在直线上的垂足，设的单位向量为，记，从而得到，且，求出，，，选项A，由的范围得到的范围，从而得到结论；选项B，求出，结合向量的垂直公式得到结论；选项C，由得到，从而求出，计算，得到故，即，结合线面垂直的判定定理得到结论；选项D ，设直线与的夹角为，利用向量的数量积公式求出，求出，结合已知条件得到，从而得到结论. 【详解】设分别为在直线上的垂足，设方向的单位向量为， 并记， 由题意，，且， 则， 因为， 所以， 选项A，因为，所以， 当且仅当时取等号，则选项A正确. 选项B，因为， 所以不一定有，则选项B错误. 选项C，当时，必有，从而， 又，故； 即，直线是平面内两条相交直线， 所以平面，则选项C正确. 选项D ，设直线与的夹角为， 因为， 所以，， 因为，， 所以， 则， 因为，所以，解得，则选项D正确. 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，圆的半径为2，则_______________． 【答案】 【解析】 【详解】由圆，其半径为2， 所以，又，则. 13. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_________________ 【答案】 【解析】 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或， 即k的取值范围是. 14. 在三棱锥中，，，若点在棱上，满足二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，再过点作平面，垂足为，从而可得及，进而可得就是与平面所成角，解直角三角形可得所求线面角的正弦值. 【详解】 取的中点，连接. 因为，所以，且. 过点作平面，垂足为，连接. 因为平面，平面，所以. 因为，，，平面， 所以平面，且平面，所以. 因此就是二面角的平面角，所以. 在直角三角形中，，，所以. 又因为平面，所以就是与平面所成角， 因此在直角三角形中，，，所以. 因此与平面所成角的正弦值为. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知空间中三点，，． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由，，可得， 故； 【小问2详解】 易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； 【小问3详解】 因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因， ， 解得．故． 16. 如图，在平行六面体中，为中点，，，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面交于点，求线段的长度． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点在平面上，根据共面向量定理， 利用且的条件， 建立方程组求解，从而求出的长度. 【小问1详解】 由题可知，，，，因为为中点， 所以， 即. 因为，且， 所以， ， ，即. 即线段的长度为. 【小问2详解】 设， 因为点在平面上，所以，即， 故. 即线段的长度为. 17. 直线：，其中为实数． （1）求证：无论取何值，直线恒过定点，并求出点的坐标； （2）设，若直线过点，且点到直线的距离等于3，求直线的方程； （3）若直线过点，且与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点，试求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）直线：的方程可化为： ，因为该等式对任意实数成立， 所以，解得， 即无论取何值，直线恒过定点. （2）或. （3），. 【解析】 【分析】（1）先将直线的形式转化为，再求定点坐标； （2）分两种情况，斜率存在和斜率不存在，结合点到直线的距离即可求解； （3）先求出，两点的坐标，再利用三角形面积公式结合基本不等式求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题可知，直线过点， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于，满足题意； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 此时点到直线的距离为， 即，即，即， 解得：，此时直线的方程为，即. 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 由题可知，直线过点， 易知直线的斜率存在，且大于0，则设直线的方程为， 因为直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于，两点， 令得，即，故， 令得，即，故， 所以的面积为， 当且仅当，即时等号成立， 此时直线的方程为，即. 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得侧面，建立空间直角坐标系，利用求解； （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为， 利用求解； （3）设，求出，利用点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 因为侧面底面，侧面底面，， 底面，所以侧面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以、、、， 因为侧棱，，所以，所以， 所以，故， 所以，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 因为侧面，所以平面的一个法向量为， ，，设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得. ，故锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 若存在，设，，则， 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离为，， 解得，此时，即. 19. 已知在中，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求所在的直线方程； （2）求外接圆方程； （3）若点，四个点，，，在直线：的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）点到直线：的距离为，因为四个点，，，在直线：的两侧，设一侧的点满足，则另一侧的点满足，又因为直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等， 所以，化简得即，代入化简得，所以直线过定点 【解析】 【分析】（1）设点，则边上的中线过点，边上的高所在的直线方程与直线垂直，从而求出点坐标；设点，则边上的中线过的中点，边上的高过点，从而求出点的坐标，即可求解； （2）设外接圆方程为，待定系数法求解； （3）因为四个点，，，在直线：的两侧，设一侧的点满足，则另一侧的点满足，又因为直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，所以四个点坐标代入相加等于零. 【小问1详解】 设点，因为边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为， 所以，解得，所以. 设点，则的中点坐标为，因为边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，所以，解得，所以. 所以所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 的坐标为，，，设外接圆方程为，则，解得， 所以外接圆方程为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $