第25章《一元二次方程》期中复习讲义——考点 5：一元二次方程——考点 5：实际问题与一元二次方程 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 5：实际问题与一元二次方程 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 5：平均变化率 · 传播问题 · 单循环与双循环 · 数字与方阵 · 销售利润 知识总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 5 专项（实际问题与一元二次方程），共 24 道；除变式 10 选自 2024 年期末试卷（题面、答案与官方解析均已核对）外，其余全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷（中考、模拟、期中、期末、月考等）的网络原题，每题题干均已逐题标注出处与时间，题面、答案与详解均已逐题独立核对。 全卷按题型分层编排：选择题 8 道、填空题 12 道、解答题 4 道；例题组（2 选＋3 填＋1 解）、变式组（4 选＋4 填＋2 解）、拔高组（2 选＋5 填＋1 解），每组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 5。 限时建议 40 分钟完成：选择题约每道 1 分钟、填空题约每道 1.5 分钟、解答题约每道 3.5 分钟，合计约 40 分钟；建议整卷限时训练后再核对答案。 五大模型是本考点的主干：平均增长率与平均下降率 a＝b、传播问题 1＋x＋x(1＋x)、单循环 、双循环 x(x－1)、销售利润 (售价－成本)×销量——模型对上，方程就成功了一半。 应用题五步规范：设、列、解、验、答——设未知数要带单位，列方程要明确等量关系，解出后先检验（负根、不合实际的根舍去并写明理由），最后单独作答；检验与作答是实际应用题最稳定的失分点。 建议用法：例题教师精讲五大模型各一遍；变式学生限时独立完成；拔高组多轮传播辨析、覆盖率、方阵与定价综合，供学有余力的学生冲击压轴；本系列考点 1 至考点 4 复习资料可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），与前面的考点一脉相承：概念与解法是工具，判别式用于判断目标能否达到，实际应用是本章的最终落脚点。 PART 01 考点 5 知识主线：实际问题与一元二次方程 考点范围：一元二次方程的实际应用——平均增长率与平均下降率、传播问题、单循环与双循环计数、数字与方阵问题、销售利润问题五大模型；从审题找等量关系、设未知数列方程，到解方程并检验作答的完整建模流程。实际应用题是期中卷解答题的固定题型，也是检验前面各考点成果的落脚点。 主线一、平均增长率与平均下降率——a＝b ◆ 模型：起始量为 a，平均变化率为 x，两轮变化后为 b，则增长满足 a＝b，下降满足 a＝b；变化三轮时指数相应为 3。 ◆ 要点：①『平均』指每一轮都按同一变化率变化，不是两轮总变化的一半；②求出的变化率要检验——增长率为正、下降率在 0 与 1 之间，不合实际的解要舍去；③起始量是『变化前』的量，别把两轮后的量当起始量。 主线二、传播问题——1＋x＋x(1＋x) ◆ 模型：源头 1 人先传给 x 人，第一轮后共 1＋x 人；第二轮每个人都再传给 x 人，两轮后共 1＋x＋x(1＋x) 人，化简得 1＋2x＋；三轮则在两轮总数的基础上再乘 (1＋x)。 ◆ 要点：①『两轮后共多少人』包含最初的源头；②每轮新增人数是『当时所有人的 x 倍』，不是只有源头在传；③负根必须舍去，人数必须是正整数。 主线三、循环计数——单循环与双循环 ◆ 模型：n 个人两两握手一次（单循环），共 次，方程为 x(x－1)＝2×总次数；n 个人两两互赠贺卡一张（双循环），共 x(x－1) 张；赛程『每两人赛一场』是单循环，火车票『两站之间往返各一种』是双循环。 主线四、数字、方阵与销售利润问题 ◆ 模型：①数字问题——两位数、连续整数用代数式表示后找等量关系；②方阵问题——实心方阵相邻排相差 k 人，x(x＋k)＝总人数；③销售利润——(售价－成本)×销量＝利润，售价每变动一次销量随之变动，用 x 表示变动量后列方程。 实际问题与一元二次方程考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 平均变化率 a＝b 增长率、下降率、覆盖率（选择·填空·解答） 起始量取错、负根不舍 传播问题 1＋x＋x(1＋x)＝总数 两轮传染、转发求人数（选择·填空） 漏掉源头 1 人 单循环计数 ＝总次数 握手、碰杯、合同（选择·填空） 忘了除以 2 双循环计数 x(x－1)＝总数 互赠贺卡、火车票（填空·解答） 错除了 2 数字·方阵·利润 (售价－成本)×销量＝利润 定价、方阵人数（填空·解答） 销量随售价变动漏改 ◆ 审题建模四步：①读题圈出起始量、变化率、轮数与目标量；②设未知数——求谁设谁，或设变动量；③按模型列方程；④解方程后先检验再作答——负根、超范围根、不合实际的根都要舍去，这是实际应用题的收尾步骤。 四、易错警示与综合提分——实际应用题的高频陷阱 ◆ 五大高频陷阱：①平均变化率把『平均』当成两轮总变化的一半；②传播问题漏掉源头或漏乘第二轮；③单循环忘除以 2、双循环错除以 2；④销售问题售价变动后销量还用原销量；⑤解出双根后不检验直接作答——实际量必须是正数且符合题设。 ◆ 舍根检验规范：增长率为负、人数为分数的根都可能解出但不合实际——舍根必须写明理由（『不合题意，舍去』）；涉及成本、上限等隐藏条件时，先代回检验再取舍。 ◆ 结果规范：增长率、下降率通常写成百分数；人数、场次、张数必须是正整数；应用题最后必须单独一句作答，作答句里的单位别漏。 PART 02 考点 5 考点分析——模型识别 · 列方程 · 解与检验作答 考点特点 实际问题与一元二次方程是人教版九上第 25 章的落脚点：期中卷解答题固定一道应用题，选择填空也常以列方程辨析的形式出现，全国各地卷的考查密度都很高。 本考点考的是『翻译』：把文字情境翻译成五大模型之一——平均变化率、传播、单循环、双循环、销售利润；模型对上，方程就出来了一半。 列方程是得分主体：设、列、解、验、答五步齐全才满分；只列不解、只解不验都是失分点。 拔高走向：多轮传播辨析、覆盖率与房价的百分率、方阵与数字的整数解、销售定价的双根取舍与用判别式判断目标能否达到——检验与作答是压轴落点。 答题方法（三步法） 第一步·定模型：看到『增长率、下降、两轮』想 a＝b；看到『传染、转发、分支』想 1＋x＋x(1＋x)；看到『每两人握手一次』想 ；看到『互赠、往返』想 x(x－1)。 第二步·设与列：设未知数后按等量关系列方程——起点、轮数、目标量对号入座；单位要统一，百分数写成小数参与运算。 第三步·解与验答：解方程取正根、合实际根，写明舍根理由后作答——方程的解不等于题目的答案，检验后作答才收尾。 注意事项（易错警示） 第一错点是『模型选错』：握手与互赠贺卡一字之差——单循环除以 2，双循环不除；往返车票与单程票同理。 第二错点是『漏检验』：增长率为负、人数为分数的根都存在，但不合实际——舍根理由写清楚才算完整。 第三错点是『量找错』：平均变化率的起始量是变化前的值；传播问题两轮后的总数包含源头；销售问题涨价后销量要减不是不变。 应用题答题规范：设、列、解、验、答五步缺一不可；含隐藏条件（成本上限、让利目标）的题，双根都要代回比较后再取舍。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 平均增长率 a＝b 增长率、覆盖率（选择·填空·解答） ★☆ 平均下降率 a＝b 成本、遗忘率（填空·解答） ★☆ 传播问题 1＋x＋x(1＋x)＝总数 传染、转发、分支（选择·填空） ★★☆ 单循环计数 ＝总次数 握手、碰杯、合同（选择·填空） ★★☆ 双循环计数 x(x－1)＝总数 贺卡、赛程、车票（填空·解答） ★★☆ 数字·方阵·利润 (售价－成本)×销量＝利润 定价、方阵（填空·解答） ★★★ 命题边界：本考点只考第 25 章『实际问题与一元二次方程』——平均增长率与下降率、传播问题、单循环与双循环计数、数字与方阵、销售利润五大模型的应用；解方程可直接使用配方法、公式法与因式分解（由本系列考点 1、考点 2 复习资料承接），判别式仅用于判断目标能否达到。本资料不涉及根与系数的关系（由考点 4 复习资料承接）、不涉及二次函数利润最值。题目全部选自全国各地各级各类考试试卷，逐题标注出处与时间；其中变式 10 选自 2024 年期末试卷（题面与官方解析均已核对），其余均为 2025 年与 2026 年试题。 PART 03 考点 5 例题精讲（6 题）—— 平均变化率 · 传播 · 单循环 · 双循环 · 增长判断 例题覆盖：景区游客增长率（选择·例 1）→ 宴会握手求人数（选择·例 2）→ 微博两轮转发求好友数（填空·嵌空·例 3）→ 互送贺卡列方程（填空·嵌空·例 4）→ 种植面积平均增长（填空·嵌空·例 5）→ 芯片产量判断目标（解答·例 6）→ 工艺品产量选方程（选择·变 1）→ 聚餐碰杯求人数（选择·变 2）→ 元旦贺卡求人数（选择·变 3）→ 流感传染辨析结论（选择·变 4）→ 植物分支求个数（填空·嵌空·变 5）→ 药品成本求下降率（填空·嵌空·变 6）→ 火车票种数求站数（填空·嵌空·变 7）→ 签订合同求家数（填空·嵌空·变 8）→ 足球联赛求队数（解答·变 9）→ 吉祥物定价（解答·嵌空·变 10）→ 季度票房月增长率（选择·拔 1）→ 森林覆盖率选方程（选择·拔 2）→ 技能遗忘率（填空·嵌空·拔 3）→ 诗歌年龄（填空·嵌空·拔 4）→ 阅兵方队求排数（填空·嵌空·拔 5）→ 篮球赛场次求队数（填空·嵌空·拔 6）→ 房价上涨率（填空·嵌空·拔 7）→ 商品降价定售价（解答·嵌空·拔 8）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教平均增长率（选择·游客 25 万到 36 万）：设年平均增长率为 x，列 25＝36，取正值收尾； ◆ 例 2 教单循环计数（选择·握手 28 次）：两人握手一次，＝28，解出后检验人数为正整数； ◆ 例 3 教传播问题（填空·嵌空·两轮 111 人）：1＋x＋x(1＋x)＝111，化简后直接开平方，负根舍去； ◆ 例 4 教双循环计数（填空·嵌空·互送贺卡 72 张）：互赠贺卡一张算一次，x(x－1)＝72——与握手的除以 2 对比记忆； ◆ 例 5 教平均增长列方程（填空·嵌空·5000 到 7500）：按 a＝b 的模型直接列方程； ◆ 例 6 教完整解答流程（解答·芯片 64 到 100）：(1) 求年平均增长率并检验；(2) 按增长率预测下一轮，与目标比较后作答。 例 1　选择题 （2025·重庆·中考）随着旅游业持续升温，某景区 2022 年接待游客 25 万人次，2024 年接待游客 36 万人次．设该景区接待游客人次的年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．25(1＋x)＝36　　　B．25(1＋2x)＝36 C．25＝36　　　D．25＋25(1＋x)＋25＝36 例 2　选择题 （2026·湖南怀化·期中）某班同学组织聚会，聚会上每两位同学之间都握手 1 次，共握手 28 次，则参加这次聚会的同学共有（　　） A．7 人　　　B．8 人 C．9 人　　　D．10 人 例 3　填空题 （2026·湖北武汉·期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他先邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推．已知经过两轮传播后，共有 111 人参与了传播活动，则 n 的值为________． 例 4　填空题 （2025·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送 72 张贺卡，设该小组共有 x 人，则可列方程为________． 例 5　填空题 （2025·山东青岛·期末）沧州金丝小枣又名西河红枣，是中国国家地理标志产品．2022 年至 2024 年沧州某地的金丝小枣种植面积由 5000 亩增加到 7500 亩，设种植面积的年平均增长率为 x，则可列方程为_______． 例 6　解答题 （2026·辽宁大连·期末）某芯片厂 2026 年第一季度生产芯片 64 万个，由于订单持续增加，产量逐季度增长，第三季度产量达到 100 万个． (1)求该芯片厂第二、三季度产量的平均增长率； (2)若按此增长率继续增长，第四季度的产量能否达到 130 万个？请说明理由． PART 04 考点 5 变式练习（10 题）—— 模型识别 · 传播与循环 · 下降率 · 联赛与定价 与例题同模型、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 4 练模型识别（选择）：变 1 增长率选方程、变 2 碰杯求人数、变 3 贺卡求人数、变 4 流感三轮辨析——先定模型再动手； ◆ 变 5 ～ 变 8 练传播与循环（填空·嵌空）：变 5 植物分支、变 6 药品下降率、变 7 火车票种数、变 8 签订合同——四题覆盖四条小模型； ◆ 变 9 、变 10 练完整过程（解答）：变 9 足球联赛双循环求队数；变 10 吉祥物定价——注意成本上限的舍根依据要写明； ◆ 易错聚焦：变 2 忘除以 2；变 4 三轮总数漏乘最后一轮；变 6 下降率取负根；变 10 舍根不写理由。 变式 1　选择题 （2025·河北廊坊安次区·期末）安次区某漆器厂的脱胎漆器技艺是国家级非物质文化遗产．该厂 2024 年生产脱胎漆器 50 万件，2026 年产量达到 60.5 万件．设该厂脱胎漆器产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．50(1＋x)＝60.5　　　B．50(1＋2x)＝60.5 C．50＝60.5　　　D．50＋50(1＋x)＋50＝60.5 变式 2　选择题 （2025·广东汕头·期末）某班同学组织聚餐，聚餐中每两位同学之间都碰杯一次，共碰杯 66 次，则参加这次聚餐的同学共有（　　） A．9 人　　　B．10 人 C．11 人　　　D．12 人 变式 3　选择题 （2026·天津·期中）某班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学之间都互赠一张贺卡，共互赠贺卡 30 张，则该合唱小组共有（　　） A．5 人　　　B．6 人 C．29 人　　　D．30 人 变式 4　选择题 （2026·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有 144 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则下列结论不正确的是（　　） A．第一轮后有 (x＋1) 个人患了流感 B．第二轮后又增加了 x(x＋1) 个人患了流感 C．依题意可列方程 x＋1＋x(x＋1)＝144 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 1000 人患了流感 变式 5　填空题 （2026·湖北荆州松滋·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是 43，则每个支干长出________个小分支． 变式 6　填空题 （2025·江西吉安·期中）某制药厂两年前生产 1 吨某种药品的成本是 100 万元，由于改进生产工艺，现在生产 1 吨这种药品的成本是 81 万元，则这种药品成本的年平均下降率为________． 变式 7　填空题 （2026·辽宁沈阳沈河·期末）某铁路线路上共有若干个车站，若任意两个车站之间都需要准备一种车票，共需准备 72 种不同的车票，则这条线路上的车站共有________个． 变式 8　填空题 （2026·黑龙江绥化海伦·期末）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同 45 份，则共有________个商家参加了这次交易会． 变式 9　解答题 （2026·江西宜春·期中）2025 年江西省举行“赣超”足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛．本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区 6 个队，北区 n 个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队之间进行两场比赛），各区取前四名晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，求宜春队第一阶段共参与了几场比赛； (2)如果北区第一阶段比赛的总场数为 20，求 n 的值． 变式 10　解答题 （2024·广东广州黄埔区·期末）第九届亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套 40 元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于 50 元．据市场分析，若按每套 50 元销售，一个月能售出 500 套；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 套．针对这种商品的销售情况，解答下列问题： (1)当销售单价定为 55 元时，该商品的月销售量为________套，月销售利润为________元； (2)若该商场想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使每月销售利润达到 8000 元，则该商品的销售单价应定为多少元？ PART 05 考点 5 拔高巩固（8 题）—— 三轮和 · 覆盖率 · 方阵年龄 · 降价与目标判断 压轴视角——多轮传染辨析、覆盖率与房价的百分率、方阵与数字的整数解、销售定价的双根取舍与判别式判断目标，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1 练三轮和（选择·票房）：10＋10(1＋x)＋10＝33.1，化简后用求根公式，取正值； ◆ 拔 2 、拔 3 练覆盖率与遗忘率（选择／填空·嵌空）：拔 2 按模型选方程；拔 3 由 100＝49 直接开平方取正； ◆ 拔 4 、拔 5 练数字与方阵（填空·嵌空）：拔 4 由数字关系列方程，双根按年龄的实际意义取舍；拔 5 方阵 x(x＋11)＝350，取正整数解； ◆ 拔 6 、拔 7 练场次与房价（填空·嵌空）：拔 6 ＝36；拔 7 10000＝12100 直接开平方； ◆ 拔 8 练销售定价综合（解答·嵌空）：售价变动销量随之变动，双根中一个超隐藏条件舍去；判别式小于零说明目标利润达不到——检验与作答是压轴落点。 拔高 1　选择题 （2026·上海普陀·月考）某影院 7 月份的票房收入为 10 亿元，8、9 月份票房收入持续增长，且月增长率相同，第三季度（7 至 9 月）的票房总收入为 33.1 亿元，则票房收入的月平均增长率为（　　） A．10%　　　B．15% C．20%　　　D．25% 拔高 2　选择题 （2025·天津滨海新区·期末）某地区 2024 年底森林覆盖率为 64%，计划经过两年植树造林，到 2026 年底森林覆盖率达到 75%．设森林覆盖率的年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．0.64(1＋x)＝0.75　　　B．0.64(1＋2x)＝0.75 C．0.64＝0.75　　　D．0.64＝0.75 拔高 3　填空题 （2026·上海长宁·月考）在技能学习中，有“一天不练手生，两天不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法．小聪对某项技能的初始掌握程度为 100 分，且每天“遗忘”的百分比相同．若经过 2 天后，技能掌握程度剩余 49 分，则每天“遗忘”的百分比为________． 拔高 4　填空题 （2026·广东潮州潮安·期中）“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”这首诗隐藏了周瑜去世时的年龄信息：年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小 3，且个位数字的平方恰好等于这个两位数，则周瑜去世时的年龄为________岁． 拔高 5　填空题 （2025·河北邯郸·期末）建国 70 周年阅兵式中，三军女兵方队共 352 人，其中领队 2 人，方队中每排的人数比排数多 11，则女兵方队共有________排． 拔高 6　填空题 （2025·黑龙江哈尔滨南岗·月考）某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了 36 场比赛，则这次参加比赛的球队个数为________． 拔高 7　填空题 （2025·江苏金湖·一模）某学区房房价连续两次上涨，由原来的每平方米 10000 元涨至每平方米 12100 元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为________． 拔高 8　解答题 （2026·广东深圳宝安·开学考）某超市以每个 30 元的价格购进 A 种商品，销售数据表明：当每个 A 种商品售价为 40 元时，平均每月售出 600 个；若售价每下降 1 元，其月销售量就增加 200 个． (1)若售价下降 5 元，每月能售出________个 A 种商品，若售价下降 x 元，每月能售出________个 A 种商品； (2)若本月最多购进 1210 个 A 种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为 8400 元，求每个 A 种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到 9600 元？请说明理由． 附录 考点 5 过关自查——按题号核对考点主线，写出错因并订正 题号 考点主线 写出错因 订正完成 例 1 平均增长率——景区游客求增长率 □ 例 2 单循环计数——握手次数求人数 □ 例 3 传播问题——微博转发求好友数 □ 例 4 双循环计数——互赠贺卡列方程 □ 例 5 平均增长率——种植面积列方程 □ 例 6 平均增长率——芯片产量判断目标 □ 变式 1 平均增长率——工艺品产量选方程 □ 变式 2 单循环计数——聚餐碰杯求人数 □ 变式 3 双循环计数——互赠贺卡求人数 □ 变式 4 传播问题——流感传染辨析结论 □ 变式 5 传播问题——植物分支求个数 □ 变式 6 平均下降率——药品成本求下降率 □ 变式 7 双循环计数——火车票种数求站数 □ 变式 8 单循环计数——签订合同求家数 □ 变式 9 双循环计数——足球联赛求队数 □ 变式 10 销售利润——吉祥物提价定售价 □ 拔高 1 平均增长率——季度票房求月增长率 □ 拔高 2 平均增长率——森林覆盖率选方程 □ 拔高 3 平均下降率——技能遗忘求遗忘率 □ 拔高 4 数字问题——诗歌年龄求年龄 □ 拔高 5 方阵问题——阅兵方队求排数 □ 拔高 6 单循环计数——篮球赛场次求队数 □ 拔高 7 平均增长率——房价涨价求百分率 □ 拔高 8 销售利润——商品降价定售价 □ 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾、在写出错因栏用自己的话写一句错因，并保留本表至考前——考前只重做写得出错因但当时没做对的题。本考点口诀：审题先定模型，等量关系翻译；握手贺卡分清，是否除以二；传播记含源头，两轮层层相乘；变化率平方乘，负根必须舍去；利润看双变量，检验作答收尾。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 5：实际问题与一元二次方程 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 5：平均变化率 · 传播问题 · 单循环与双循环 · 数字与方阵 · 销售利润 知识总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 5 专项（实际问题与一元二次方程），共 24 道；除变式 10 选自 2024 年期末试卷（题面、答案与官方解析均已核对）外，其余全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷（中考、模拟、期中、期末、月考等）的网络原题，每题题干均已逐题标注出处与时间，题面、答案与详解均已逐题独立核对。 全卷按题型分层编排：选择题 8 道、填空题 12 道、解答题 4 道；例题组（2 选＋3 填＋1 解）、变式组（4 选＋4 填＋2 解）、拔高组（2 选＋5 填＋1 解），每组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 5。 限时建议 40 分钟完成：选择题约每道 1 分钟、填空题约每道 1.5 分钟、解答题约每道 3.5 分钟，合计约 40 分钟；建议整卷限时训练后再核对答案。 五大模型是本考点的主干：平均增长率与平均下降率 a＝b、传播问题 1＋x＋x(1＋x)、单循环 、双循环 x(x－1)、销售利润 (售价－成本)×销量——模型对上，方程就成功了一半。 应用题五步规范：设、列、解、验、答——设未知数要带单位，列方程要明确等量关系，解出后先检验（负根、不合实际的根舍去并写明理由），最后单独作答；检验与作答是实际应用题最稳定的失分点。 建议用法：例题教师精讲五大模型各一遍；变式学生限时独立完成；拔高组多轮传播辨析、覆盖率、方阵与定价综合，供学有余力的学生冲击压轴；本系列考点 1 至考点 4 复习资料可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），与前面的考点一脉相承：概念与解法是工具，判别式用于判断目标能否达到，实际应用是本章的最终落脚点。 PART 01 考点 5 知识主线：实际问题与一元二次方程 考点范围：一元二次方程的实际应用——平均增长率与平均下降率、传播问题、单循环与双循环计数、数字与方阵问题、销售利润问题五大模型；从审题找等量关系、设未知数列方程，到解方程并检验作答的完整建模流程。实际应用题是期中卷解答题的固定题型，也是检验前面各考点成果的落脚点。 主线一、平均增长率与平均下降率——a＝b ◆ 模型：起始量为 a，平均变化率为 x，两轮变化后为 b，则增长满足 a＝b，下降满足 a＝b；变化三轮时指数相应为 3。 ◆ 要点：①『平均』指每一轮都按同一变化率变化，不是两轮总变化的一半；②求出的变化率要检验——增长率为正、下降率在 0 与 1 之间，不合实际的解要舍去；③起始量是『变化前』的量，别把两轮后的量当起始量。 主线二、传播问题——1＋x＋x(1＋x) ◆ 模型：源头 1 人先传给 x 人，第一轮后共 1＋x 人；第二轮每个人都再传给 x 人，两轮后共 1＋x＋x(1＋x) 人，化简得 1＋2x＋；三轮则在两轮总数的基础上再乘 (1＋x)。 ◆ 要点：①『两轮后共多少人』包含最初的源头；②每轮新增人数是『当时所有人的 x 倍』，不是只有源头在传；③负根必须舍去，人数必须是正整数。 主线三、循环计数——单循环与双循环 ◆ 模型：n 个人两两握手一次（单循环），共 次，方程为 x(x－1)＝2×总次数；n 个人两两互赠贺卡一张（双循环），共 x(x－1) 张；赛程『每两人赛一场』是单循环，火车票『两站之间往返各一种』是双循环。 主线四、数字、方阵与销售利润问题 ◆ 模型：①数字问题——两位数、连续整数用代数式表示后找等量关系；②方阵问题——实心方阵相邻排相差 k 人，x(x＋k)＝总人数；③销售利润——(售价－成本)×销量＝利润，售价每变动一次销量随之变动，用 x 表示变动量后列方程。 实际问题与一元二次方程考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 平均变化率 a＝b 增长率、下降率、覆盖率（选择·填空·解答） 起始量取错、负根不舍 传播问题 1＋x＋x(1＋x)＝总数 两轮传染、转发求人数（选择·填空） 漏掉源头 1 人 单循环计数 ＝总次数 握手、碰杯、合同（选择·填空） 忘了除以 2 双循环计数 x(x－1)＝总数 互赠贺卡、火车票（填空·解答） 错除了 2 数字·方阵·利润 (售价－成本)×销量＝利润 定价、方阵人数（填空·解答） 销量随售价变动漏改 ◆ 审题建模四步：①读题圈出起始量、变化率、轮数与目标量；②设未知数——求谁设谁，或设变动量；③按模型列方程；④解方程后先检验再作答——负根、超范围根、不合实际的根都要舍去，这是实际应用题的收尾步骤。 四、易错警示与综合提分——实际应用题的高频陷阱 ◆ 五大高频陷阱：①平均变化率把『平均』当成两轮总变化的一半；②传播问题漏掉源头或漏乘第二轮；③单循环忘除以 2、双循环错除以 2；④销售问题售价变动后销量还用原销量；⑤解出双根后不检验直接作答——实际量必须是正数且符合题设。 ◆ 舍根检验规范：增长率为负、人数为分数的根都可能解出但不合实际——舍根必须写明理由（『不合题意，舍去』）；涉及成本、上限等隐藏条件时，先代回检验再取舍。 ◆ 结果规范：增长率、下降率通常写成百分数；人数、场次、张数必须是正整数；应用题最后必须单独一句作答，作答句里的单位别漏。 PART 02 考点 5 考点分析——模型识别 · 列方程 · 解与检验作答 考点特点 实际问题与一元二次方程是人教版九上第 25 章的落脚点：期中卷解答题固定一道应用题，选择填空也常以列方程辨析的形式出现，全国各地卷的考查密度都很高。 本考点考的是『翻译』：把文字情境翻译成五大模型之一——平均变化率、传播、单循环、双循环、销售利润；模型对上，方程就出来了一半。 列方程是得分主体：设、列、解、验、答五步齐全才满分；只列不解、只解不验都是失分点。 拔高走向：多轮传播辨析、覆盖率与房价的百分率、方阵与数字的整数解、销售定价的双根取舍与用判别式判断目标能否达到——检验与作答是压轴落点。 答题方法（三步法） 第一步·定模型：看到『增长率、下降、两轮』想 a＝b；看到『传染、转发、分支』想 1＋x＋x(1＋x)；看到『每两人握手一次』想 ；看到『互赠、往返』想 x(x－1)。 第二步·设与列：设未知数后按等量关系列方程——起点、轮数、目标量对号入座；单位要统一，百分数写成小数参与运算。 第三步·解与验答：解方程取正根、合实际根，写明舍根理由后作答——方程的解不等于题目的答案，检验后作答才收尾。 注意事项（易错警示） 第一错点是『模型选错』：握手与互赠贺卡一字之差——单循环除以 2，双循环不除；往返车票与单程票同理。 第二错点是『漏检验』：增长率为负、人数为分数的根都存在，但不合实际——舍根理由写清楚才算完整。 第三错点是『量找错』：平均变化率的起始量是变化前的值；传播问题两轮后的总数包含源头；销售问题涨价后销量要减不是不变。 应用题答题规范：设、列、解、验、答五步缺一不可；含隐藏条件（成本上限、让利目标）的题，双根都要代回比较后再取舍。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 平均增长率 a＝b 增长率、覆盖率（选择·填空·解答） ★☆ 平均下降率 a＝b 成本、遗忘率（填空·解答） ★☆ 传播问题 1＋x＋x(1＋x)＝总数 传染、转发、分支（选择·填空） ★★☆ 单循环计数 ＝总次数 握手、碰杯、合同（选择·填空） ★★☆ 双循环计数 x(x－1)＝总数 贺卡、赛程、车票（填空·解答） ★★☆ 数字·方阵·利润 (售价－成本)×销量＝利润 定价、方阵（填空·解答） ★★★ 命题边界：本考点只考第 25 章『实际问题与一元二次方程』——平均增长率与下降率、传播问题、单循环与双循环计数、数字与方阵、销售利润五大模型的应用；解方程可直接使用配方法、公式法与因式分解（由本系列考点 1、考点 2 复习资料承接），判别式仅用于判断目标能否达到。本资料不涉及根与系数的关系（由考点 4 复习资料承接）、不涉及二次函数利润最值。题目全部选自全国各地各级各类考试试卷，逐题标注出处与时间；其中变式 10 选自 2024 年期末试卷（题面与官方解析均已核对），其余均为 2025 年与 2026 年试题。 PART 03 考点 5 例题精讲（6 题）—— 平均变化率 · 传播 · 单循环 · 双循环 · 增长判断 例题覆盖：景区游客增长率（选择·例 1）→ 宴会握手求人数（选择·例 2）→ 微博两轮转发求好友数（填空·嵌空·例 3）→ 互送贺卡列方程（填空·嵌空·例 4）→ 种植面积平均增长（填空·嵌空·例 5）→ 芯片产量判断目标（解答·例 6）→ 工艺品产量选方程（选择·变 1）→ 聚餐碰杯求人数（选择·变 2）→ 元旦贺卡求人数（选择·变 3）→ 流感传染辨析结论（选择·变 4）→ 植物分支求个数（填空·嵌空·变 5）→ 药品成本求下降率（填空·嵌空·变 6）→ 火车票种数求站数（填空·嵌空·变 7）→ 签订合同求家数（填空·嵌空·变 8）→ 足球联赛求队数（解答·变 9）→ 吉祥物定价（解答·嵌空·变 10）→ 季度票房月增长率（选择·拔 1）→ 森林覆盖率选方程（选择·拔 2）→ 技能遗忘率（填空·嵌空·拔 3）→ 诗歌年龄（填空·嵌空·拔 4）→ 阅兵方队求排数（填空·嵌空·拔 5）→ 篮球赛场次求队数（填空·嵌空·拔 6）→ 房价上涨率（填空·嵌空·拔 7）→ 商品降价定售价（解答·嵌空·拔 8）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教平均增长率（选择·游客 25 万到 36 万）：设年平均增长率为 x，列 25＝36，取正值收尾； ◆ 例 2 教单循环计数（选择·握手 28 次）：两人握手一次，＝28，解出后检验人数为正整数； ◆ 例 3 教传播问题（填空·嵌空·两轮 111 人）：1＋x＋x(1＋x)＝111，化简后直接开平方，负根舍去； ◆ 例 4 教双循环计数（填空·嵌空·互送贺卡 72 张）：互赠贺卡一张算一次，x(x－1)＝72——与握手的除以 2 对比记忆； ◆ 例 5 教平均增长列方程（填空·嵌空·5000 到 7500）：按 a＝b 的模型直接列方程； ◆ 例 6 教完整解答流程（解答·芯片 64 到 100）：(1) 求年平均增长率并检验；(2) 按增长率预测下一轮，与目标比较后作答。 例 1　选择题 （2025·重庆·中考）随着旅游业持续升温，某景区 2022 年接待游客 25 万人次，2024 年接待游客 36 万人次．设该景区接待游客人次的年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．25(1＋x)＝36　　　B．25(1＋2x)＝36 C．25＝36　　　D．25＋25(1＋x)＋25＝36 【答案】C 【解析】“2022 年到 2024 年”共增长了 2 次，每次增长率相同为 x，故在初始量 25 的基础上连乘两个 (1＋x)，等于 2024 年的 36． 【详解】设年平均增长率为 x，由 2022 年的 25 万增长 2 次到 2024 年的 36 万，得 25＝36， 故选：C． 例 2　选择题 （2026·湖南怀化·期中）某班同学组织聚会，聚会上每两位同学之间都握手 1 次，共握手 28 次，则参加这次聚会的同学共有（　　） A．7 人　　　B．8 人 C．9 人　　　D．10 人 【答案】B 【解析】x 人中每两人握手 1 次，握手总次数为从 x 人中任选 2 人的组合数，即 x(x－1) 除以 2，据此列一元二次方程求解，并舍去不合题意的负根． 【详解】设参加聚会的同学共有 x 人，则每人与其他 (x－1) 人各握手 1 次， 共握手 ＝28 次， 整理，得 －x－56＝0， 因式分解，得 (x－8)(x＋7)＝0， 解得 x＝8 或 x＝－7（人数为正，舍去）， ∴参加这次聚会的同学共有 8 人， 故选：B． 例 3　填空题 （2026·湖北武汉·期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他先邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推．已知经过两轮传播后，共有 111 人参与了传播活动，则 n 的值为____10____． 【答案】10 【解析】两轮传播的参与人数：原有 1 人，第一轮增加 n 人，第二轮由这 n 人各邀请 n 人、增加 人，总和为 1＋n＋，据此列方程． 【详解】由题意，两轮传播后参与人数为 1＋n＋， ∴1＋n＋＝111， 整理，得 ＋n－110＝0， 因式分解，得 (n－10)(n＋11)＝0， 解得 n＝10 或 n＝－11（人数为正，舍去）， 故答案为：10． 例 4　填空题 （2025·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送 72 张贺卡，设该小组共有 x 人，则可列方程为____x(x－1)＝72____． 【答案】x(x－1)＝72 【解析】互送（互赠）贺卡是“双循环”问题：每人要送给其他 (x－1) 人各一张，x 人共送出 x(x－1) 张贺卡． 【详解】∵小组共有 x 人，每人送出 (x－1) 张贺卡， ∴共送出贺卡 x(x－1) 张， 由共送 72 张，得 x(x－1)＝72． 故答案为：x(x－1)＝72． 例 5　填空题 （2025·山东青岛·期末）沧州金丝小枣又名西河红枣，是中国国家地理标志产品．2022 年至 2024 年沧州某地的金丝小枣种植面积由 5000 亩增加到 7500 亩，设种植面积的年平均增长率为 x，则可列方程为____5000＝7500____． 【答案】5000＝7500 【解析】从 2022 年到 2024 年经过 2 年、增长率相同，属于平均增长率问题：初始量 5000 连乘两个 (1＋x) 等于 7500． 【详解】∵2022 年种植面积为 5000 亩，年平均增长率为 x， ∴2023 年为 5000(1＋x) 亩，2024 年为 5000 亩， 由 2024 年达到 7500 亩，得 5000＝7500． 故答案为：5000＝7500． 例 6　解答题 （2026·辽宁大连·期末）某芯片厂 2026 年第一季度生产芯片 64 万个，由于订单持续增加，产量逐季度增长，第三季度产量达到 100 万个． (1)求该芯片厂第二、三季度产量的平均增长率； (2)若按此增长率继续增长，第四季度的产量能否达到 130 万个？请说明理由． 【答案】(1)平均增长率为 25%；(2)不能达到 130 万个． 【解析】(1)从第一季度到第三季度共增长 2 次，用 64＝100 求平均增长率；(2)用第三季度产量乘 (1＋增长率) 预测第四季度产量，再与 130 万个比较大小． 【详解】(1)设产量的平均增长率为 x， 由题意，得 64＝100， 则 ＝＝， ∵1＋x＞0，∴1＋x＝， 解得 x＝＝25%， ∴产量的平均增长率为 25%； (2)按此增长率，第四季度的产量为 100×(1＋25%)＝100×1.25＝125（万个）， ∵125＜130， ∴第四季度的产量不能达到 130 万个． PART 04 考点 5 变式练习（10 题）—— 模型识别 · 传播与循环 · 下降率 · 联赛与定价 与例题同模型、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 4 练模型识别（选择）：变 1 增长率选方程、变 2 碰杯求人数、变 3 贺卡求人数、变 4 流感三轮辨析——先定模型再动手； ◆ 变 5 ～ 变 8 练传播与循环（填空·嵌空）：变 5 植物分支、变 6 药品下降率、变 7 火车票种数、变 8 签订合同——四题覆盖四条小模型； ◆ 变 9 、变 10 练完整过程（解答）：变 9 足球联赛双循环求队数；变 10 吉祥物定价——注意成本上限的舍根依据要写明； ◆ 易错聚焦：变 2 忘除以 2；变 4 三轮总数漏乘最后一轮；变 6 下降率取负根；变 10 舍根不写理由。 变式 1　选择题 （2025·河北廊坊安次区·期末）安次区某漆器厂的脱胎漆器技艺是国家级非物质文化遗产．该厂 2024 年生产脱胎漆器 50 万件，2026 年产量达到 60.5 万件．设该厂脱胎漆器产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．50(1＋x)＝60.5　　　B．50(1＋2x)＝60.5 C．50＝60.5　　　D．50＋50(1＋x)＋50＝60.5 【答案】C 【解析】从 2024 年到 2026 年共经过 2 年，年平均增长率相同，属于“a＝b”型：初始量 50 连乘两个 (1＋x) 等于 60.5，注意不是 1＋2x，也不是三年产量的和． 【详解】2024 年产量为 50 万件，年平均增长率为 x， 则 2025 年为 50(1＋x) 万件，2026 年为 50 万件， 由 2026 年产量达到 60.5 万件，得 50＝60.5， 故选：C． 变式 2　选择题 （2025·广东汕头·期末）某班同学组织聚餐，聚餐中每两位同学之间都碰杯一次，共碰杯 66 次，则参加这次聚餐的同学共有（　　） A．9 人　　　B．10 人 C．11 人　　　D．12 人 【答案】D 【解析】与握手问题同型：x 人中每两人碰杯 1 次，总次数为 x(x－1) 除以 2，列方程后舍去负根． 【详解】设参加聚餐的同学共有 x 人， 则共碰杯 ＝66 次， 整理，得 －x－132＝0， 因式分解，得 (x－12)(x＋11)＝0， 解得 x＝12 或 x＝－11（人数为正，舍去）， ∴参加这次聚餐的同学共有 12 人， 故选：D． 变式 3　选择题 （2026·天津·期中）某班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学之间都互赠一张贺卡，共互赠贺卡 30 张，则该合唱小组共有（　　） A．5 人　　　B．6 人 C．29 人　　　D．30 人 【答案】B 【解析】互赠贺卡是“双循环”计数：每人送出 (x－1) 张，x 人共送 x(x－1) 张，注意除以 2 的是握手类“单循环”问题，互赠不要误除以 2． 【详解】设该合唱小组共有 x 人， 则每人送出 (x－1) 张贺卡，共互赠 x(x－1) 张， 由题意，得 x(x－1)＝30， 整理，得 －x－30＝0， 因式分解，得 (x－6)(x＋5)＝0， 解得 x＝6 或 x＝－5（人数为正，舍去）， ∴该合唱小组共有 6 人， 故选：B． 变式 4　选择题 （2026·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有 144 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则下列结论不正确的是（　　） A．第一轮后有 (x＋1) 个人患了流感 B．第二轮后又增加了 x(x＋1) 个人患了流感 C．依题意可列方程 x＋1＋x(x＋1)＝144 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 1000 人患了流感 【答案】D 【解析】先理清传播链：第一轮 1 人传染 x 人，共 (x＋1) 人；第二轮 (x＋1) 人每人又传染 x 人，新增 x(x＋1) 人；两轮合计为 x＋1＋x(x＋1)，恰好是完全平方式，由此求出 x，再验证 D 中三轮后的总人数． 【详解】∵每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， ∴第一轮后有 (x＋1) 个人患了流感，选项 A 正确； 第二轮后又增加了 x(x＋1) 个人患流感，选项 B 正确； 两轮传染后共有 x＋1＋x(x＋1) 人患流感， 由题意得 x＋1＋x(x＋1)＝144，即 ＝144， 解得 x＝11 或 x＝－13（舍去），选项 C 正确； 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 144＋144×11＝1728（人）患流感， 不是 1000 人，选项 D 错误， 故选：D． 变式 5　填空题 （2026·湖北荆州松滋·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是 43，则每个支干长出____6____个小分支． 【答案】6 【解析】设每个支干长出 x 个小分支，则支干有 x 个、小分支有 个，加主干 1 个共 1＋x＋＝43，与传播问题同一模型． 【详解】设每个支干长出 x 个小分支， 则主干 1 个，支干 x 个，小分支 个， 由题意，得 1＋x＋＝43， 整理，得 ＋x－42＝0， 因式分解，得 (x－6)(x＋7)＝0， 解得 x＝6 或 x＝－7（舍去）， 故答案为：6． 变式 6　填空题 （2025·江西吉安·期中）某制药厂两年前生产 1 吨某种药品的成本是 100 万元，由于改进生产工艺，现在生产 1 吨这种药品的成本是 81 万元，则这种药品成本的年平均下降率为____10%____． 【答案】10% 【解析】平均下降率问题与增长率问题同型：初始量 100 连乘两个 (1－x) 等于 81，即 100＝81，解出 x 后舍去使 1－x 为负的根． 【详解】设成本的年平均下降率为 x， 由题意，得 100＝81， 则 ＝， ∵1－x＞0，∴1－x＝， 解得 x＝＝10%， 故答案为：10%． 变式 7　填空题 （2026·辽宁沈阳沈河·期末）某铁路线路上共有若干个车站，若任意两个车站之间都需要准备一种车票，共需准备 72 种不同的车票，则这条线路上的车站共有____9____个． 【答案】9 【解析】“任意两站之间一种车票”是双循环计数：x 个站中每个站都要发往其余 (x－1) 个站各一种车票，共 x(x－1) 种，不要误除以 2． 【详解】设这条线路上的车站共有 x 个， 则共需准备 x(x－1) 种车票， 由题意，得 x(x－1)＝72， 整理，得 －x－72＝0， 因式分解，得 (x－9)(x＋8)＝0， 解得 x＝9 或 x＝－8（舍去）， 故答案为：9． 变式 8　填空题 （2026·黑龙江绥化海伦·期末）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同 45 份，则共有____10____个商家参加了这次交易会． 【答案】10 【解析】“每两个商家之间签订一份合同”是单循环计数：x 个商家中每两家签 1 份，共签 份，列方程求解并检验． 【详解】设共有 x 个商家参加了这次交易会， 则共签订合同 ＝45 份， 整理，得 －x－90＝0， 因式分解，得 (x－10)(x＋9)＝0， 解得 x＝10 或 x＝－9（舍去）， 故答案为：10． 变式 9　解答题 （2026·江西宜春·期中）2025 年江西省举行“赣超”足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛．本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区 6 个队，北区 n 个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队之间进行两场比赛），各区取前四名晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，求宜春队第一阶段共参与了几场比赛； (2)如果北区第一阶段比赛的总场数为 20，求 n 的值． 【答案】(1)10 场；(2)n＝5． 【解析】(1)南区共 6 个队，宜春队与其余 5 个队每队都要交手 2 场（双循环），用 2×5 直接计算；(2)n 个队双循环的总场数为 n(n－1)，据此列方程，舍去负根后还要检验队数为正整数． 【详解】(1)南区共有 6 个队，宜春队要与区内其余 6－1＝5 个队各比赛 2 场， 所以宜春队第一阶段共参与 2×5＝10（场）比赛； (2)北区 n 个队进行双循环比赛，每两个队之间比赛 2 场， 总场数为 2×＝n(n－1)（场）， 由题意，得 n(n－1)＝20， 整理，得 －n－20＝0， 因式分解，得 (n－5)(n＋4)＝0， 解得 n＝5 或 n＝－4（舍去）， ∴n 的值为 5． 变式 10　解答题 （2024·广东广州黄埔区·期末）第九届亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套 40 元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于 50 元．据市场分析，若按每套 50 元销售，一个月能售出 500 套；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 套．针对这种商品的销售情况，解答下列问题： (1)当销售单价定为 55 元时，该商品的月销售量为____450____套，月销售利润为____6750____元； (2)若该商场想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使每月销售利润达到 8000 元，则该商品的销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)450 套，6750 元；(2)销售单价应定为 80 元． 【解析】(1)单价从 50 元涨到 55 元、涨了 5 元，销量减少 10×5＝50 套；利润＝单件利润×销量；(2)设单价为 x 元，销量为 500－10(x－50)＝(1000－10x) 套，单件利润为 (x－40) 元，列方程解出两根后，必须再用“月销售成本不超过 10000 元”检验舍根． 【详解】(1)当销售单价定为 55 元时，比 50 元上涨 5 元， 月销售量为 500－10×5＝450（套）， 月销售利润为 (55－40)×450＝15×450＝6750（元）； (2)设该商品的销售单价应定为 x 元（x≥50）， 则每套的销售利润为 (x－40) 元， 月销售量为 500－10(x－50)＝(1000－10x) 套， 根据题意，得 (x－40)(1000－10x)＝8000， 整理，得 －140x＋4800＝0， 因式分解，得 (x－60)(x－80)＝0， 解得 x＝60 或 x＝80， 当 x＝60 时，月销售量为 1000－10×60＝400（套）， 月销售成本为 40×400＝16000（元）＞10000 元，不合题意，舍去； 当 x＝80 时，月销售量为 1000－10×80＝200（套）， 月销售成本为 40×200＝8000（元）＜10000 元，符合题意， ∴该商品的销售单价应定为 80 元． PART 05 考点 5 拔高巩固（8 题）—— 三轮和 · 覆盖率 · 方阵年龄 · 降价与目标判断 压轴视角——多轮传染辨析、覆盖率与房价的百分率、方阵与数字的整数解、销售定价的双根取舍与判别式判断目标，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1 练三轮和（选择·票房）：10＋10(1＋x)＋10＝33.1，化简后用求根公式，取正值； ◆ 拔 2 、拔 3 练覆盖率与遗忘率（选择／填空·嵌空）：拔 2 按模型选方程；拔 3 由 100＝49 直接开平方取正； ◆ 拔 4 、拔 5 练数字与方阵（填空·嵌空）：拔 4 由数字关系列方程，双根按年龄的实际意义取舍；拔 5 方阵 x(x＋11)＝350，取正整数解； ◆ 拔 6 、拔 7 练场次与房价（填空·嵌空）：拔 6 ＝36；拔 7 10000＝12100 直接开平方； ◆ 拔 8 练销售定价综合（解答·嵌空）：售价变动销量随之变动，双根中一个超隐藏条件舍去；判别式小于零说明目标利润达不到——检验与作答是压轴落点。 拔高 1　选择题 （2026·上海普陀·月考）某影院 7 月份的票房收入为 10 亿元，8、9 月份票房收入持续增长，且月增长率相同，第三季度（7 至 9 月）的票房总收入为 33.1 亿元，则票房收入的月平均增长率为（　　） A．10%　　　B．15% C．20%　　　D．25% 【答案】A 【解析】连续三个月的增长率相同：7 月为 10 亿元，8 月为 10(1＋x) 亿元，9 月为 10 亿元，三个月之和为 33.1，列方程后可用换元法或直接展开求解． 【详解】设票房收入的月平均增长率为 x， 由题意，得 10＋10(1＋x)＋10＝33.1， 整理，得 10＋30x＋30＝33.1， 即 100＋300x－31＝0， 这里 Δ＝－4×100×(－31)＝90000＋12400＝102400＝， ∴x＝＝＝10%（另一根 x＝－3.1 舍去）， 故选：A． 拔高 2　选择题 （2025·天津滨海新区·期末）某地区 2024 年底森林覆盖率为 64%，计划经过两年植树造林，到 2026 年底森林覆盖率达到 75%．设森林覆盖率的年平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A．0.64(1＋x)＝0.75　　　B．0.64(1＋2x)＝0.75 C．0.64＝0.75　　　D．0.64＝0.75 【答案】C 【解析】从 2024 年底到 2026 年底共经过 2 年，年平均增长率相同，用 0.64 连乘两个 (1＋x) 得 0.75；注意“两年”对应指数 2，不是 1＋2x． 【详解】∵2024 年底森林覆盖率为 0.64，年平均增长率为 x， ∴2025 年底为 0.64(1＋x)，2026 年底为 0.64， 由 2026 年底达到 0.75，得 0.64＝0.75， 故选：C． 拔高 3　填空题 （2026·上海长宁·月考）在技能学习中，有“一天不练手生，两天不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法．小聪对某项技能的初始掌握程度为 100 分，且每天“遗忘”的百分比相同．若经过 2 天后，技能掌握程度剩余 49 分，则每天“遗忘”的百分比为____30%____． 【答案】30% 【解析】“每天遗忘的百分比相同”就是平均下降率问题：100 连乘两个 (1－x) 等于 49，即 100＝49． 【详解】设每天“遗忘”的百分比为 x， 由题意，得 100＝49， 则 ＝， ∵1－x＞0，∴1－x＝， 解得 x＝＝30%， 故答案为：30%． 拔高 4　填空题 （2026·广东潮州潮安·期中）“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”这首诗隐藏了周瑜去世时的年龄信息：年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小 3，且个位数字的平方恰好等于这个两位数，则周瑜去世时的年龄为____36____岁． 【答案】36 【解析】设十位数字为 x，则个位数字为 (x＋3)，年龄为 10x＋(x＋3)＝11x＋3；“个位平方与寿符”即 ＝11x＋3，解出两根后用“而立之年”（不小于三十岁）检验取舍． 【详解】设周瑜年龄的十位数字为 x，则个位数字为 (x＋3)， 这个两位数为 10x＋(x＋3)＝11x＋3， 由“个位平方与寿符”，得 ＝11x＋3， 整理，得 ＋6x＋9＝11x＋3， 即 －5x＋6＝0， 因式分解，得 (x－2)(x－3)＝0， 解得 x＝2 或 x＝3， 当 x＝2 时，年龄为 11×2＋3＝25（岁），未到“而立之年”，舍去； 当 x＝3 时，年龄为 11×3＋3＝36（岁），符合题意， 故答案为：36． 拔高 5　填空题 （2025·河北邯郸·期末）建国 70 周年阅兵式中，三军女兵方队共 352 人，其中领队 2 人，方队中每排的人数比排数多 11，则女兵方队共有____14____排． 【答案】14 【解析】方队人数＝352－2＝350 人；设排数为 x，则每排 (x＋11) 人，由 x(x＋11)＝350 列方程，解出两根后舍去负根． 【详解】方队中的人数为 352－2＝350（人）， 设女兵方队共有 x 排，则每排有 (x＋11) 人， 由题意，得 x(x＋11)＝350， 整理，得 ＋11x－350＝0， 因式分解，得 (x＋25)(x－14)＝0， 解得 x＝14 或 x＝－25（舍去）， 故答案为：14． 拔高 6　填空题 （2025·黑龙江哈尔滨南岗·月考）某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了 36 场比赛，则这次参加比赛的球队个数为____9____． 【答案】9 【解析】单循环赛制：x 个队每两队赛一场，总场数为 ，由 ＝36 列方程求解． 【详解】设这次参加比赛的球队共有 x 支， 则比赛的场数为 ＝36， 整理，得 －x－72＝0， 因式分解，得 (x－9)(x＋8)＝0， 解得 x＝9 或 x＝－8（舍去）， 故答案为：9． 拔高 7　填空题 （2025·江苏金湖·一模）某学区房房价连续两次上涨，由原来的每平方米 10000 元涨至每平方米 12100 元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为____10%____． 【答案】10% 【解析】连续两次涨价、百分率相同：10000 连乘两个 (1＋x) 等于 12100，注意“连续两次”对应指数 2． 【详解】设每次涨价的百分率为 x， 由题意，得 10000＝12100， 则 ＝＝1.21， ∵1＋x＞0，∴1＋x＝1.1， 解得 x＝0.1＝10%， 故答案为：10%． 拔高 8　解答题 （2026·广东深圳宝安·开学考）某超市以每个 30 元的价格购进 A 种商品，销售数据表明：当每个 A 种商品售价为 40 元时，平均每月售出 600 个；若售价每下降 1 元，其月销售量就增加 200 个． (1)若售价下降 5 元，每月能售出____1600____个 A 种商品，若售价下降 x 元，每月能售出____(600＋200x)____个 A 种商品； (2)若本月最多购进 1210 个 A 种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为 8400 元，求每个 A 种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到 9600 元？请说明理由． 【答案】(1)1600 个，(600＋200x) 个；(2)每个 A 种商品的售价应定为 37 元；(3)不能达到 9600 元． 【解析】(1)降价 5 元，销量增加 200×5＝1000 个；(2)设售价下降 x 元，单件利润为 (10－x) 元，销量为 (600＋200x) 个，列方程解出两根后，用“本月最多购进 1210 个”检验舍根；(3)把月获利 9600 元代入同样的利润方程，由判别式小于 0 说明无解． 【详解】(1)若售价下降 5 元，每月能售出 600＋200×5＝1600（个）， 若售价下降 x 元，每月能售出 (600＋200x) 个； (2)设每个 A 种商品的售价下降 x 元（0＜x＜10）， 则每个的利润为 (40－30－x)＝(10－x) 元，月销售量为 (600＋200x) 个， 根据题意，得 (10－x)(600＋200x)＝8400， 整理，得 －7x＋12＝0， 因式分解，得 (x－3)(x－4)＝0， 解得 x＝3 或 x＝4， 当 x＝4 时，月销售量为 600＋200×4＝1400（个）＞1210 个，本月货源不足，舍去； 当 x＝3 时，月销售量为 600＋200×3＝1200（个）＜1210 个，符合题意， 此时售价为 40－3＝37（元）， ∴每个 A 种商品的售价应定为 37 元； (3)设经销商月获利达到 9600 元，售价下降 y 元， 则 (10－y)(600＋200y)＝9600， 整理，得 －7y＋18＝0， 这里 Δ＝－4×1×18＝49－72＝－23＜0，原方程无实数根， ∴经销商月获利不能达到 9600 元． 附录 考点 5 过关自查——按题号核对考点主线，写出错因并订正 题号 考点主线 写出错因 订正完成 例 1 平均增长率——景区游客求增长率 □ 例 2 单循环计数——握手次数求人数 □ 例 3 传播问题——微博转发求好友数 □ 例 4 双循环计数——互赠贺卡列方程 □ 例 5 平均增长率——种植面积列方程 □ 例 6 平均增长率——芯片产量判断目标 □ 变式 1 平均增长率——工艺品产量选方程 □ 变式 2 单循环计数——聚餐碰杯求人数 □ 变式 3 双循环计数——互赠贺卡求人数 □ 变式 4 传播问题——流感传染辨析结论 □ 变式 5 传播问题——植物分支求个数 □ 变式 6 平均下降率——药品成本求下降率 □ 变式 7 双循环计数——火车票种数求站数 □ 变式 8 单循环计数——签订合同求家数 □ 变式 9 双循环计数——足球联赛求队数 □ 变式 10 销售利润——吉祥物提价定售价 □ 拔高 1 平均增长率——季度票房求月增长率 □ 拔高 2 平均增长率——森林覆盖率选方程 □ 拔高 3 平均下降率——技能遗忘求遗忘率 □ 拔高 4 数字问题——诗歌年龄求年龄 □ 拔高 5 方阵问题——阅兵方队求排数 □ 拔高 6 单循环计数——篮球赛场次求队数 □ 拔高 7 平均增长率——房价涨价求百分率 □ 拔高 8 销售利润——商品降价定售价 □ 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾、在写出错因栏用自己的话写一句错因，并保留本表至考前——考前只重做写得出错因但当时没做对的题。本考点口诀：审题先定模型，等量关系翻译；握手贺卡分清，是否除以二；传播记含源头，两轮层层相乘；变化率平方乘，负根必须舍去；利润看双变量，检验作答收尾。 1 学科网（北京）股份有限公司 $