第25章《一元二次方程》期中复习讲义——考点 3：根的判别式 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 3：根的判别式 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 3：判别式的定义 · 三种根的情况 · 根的情况判断 · 由根定参数值与范围 · 系数含参综合 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 3 专项（根的判别式），共 24 道，全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷（中考、模拟、期中、期末、月考等）的网络原题；每题题干均已逐题标注出处与时间，题面、答案与详解均已逐题独立核对。 全卷按题型分层编排：选择题 15 道、填空题 6 道、解答题 3 道；例题组（4 选＋1 填＋1 解）、变式组（5 选＋4 填＋1 解）、拔高组（6 选＋1 填＋1 解），每组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 3。 根的判别式是第 25 章的枢纽考点：判断根的情况不求根、只算 Δ；由根的情况反求参数的值与范围是期中卷选择填空的高频设问，系数含参的双条件处理与几何、函数综合则是压轴小题的常客——先化一般形式、再算 Δ、最后按符号对号入座，是本考点答题的三步主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲四条主线各一遍；变式学生限时独立完成；拔高组系数含参、等腰分类、抛物线弦长与恒成立证明，供学有余力的学生冲击压轴；本系列后续按考点 4、5 逐个推出，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），四条主线：一判别式的定义——Δ＝⟦SUP:b|2⟧－4ac，带符号读系数；二三种根的情况——Δ 的正、零、负对号两不等、两相等、无实根；三由根定参数——相等列方程、范围解不等式；四系数含参与综合——系数非零挖点、几何函数情境回代检验。 PART 01 考点 3 知识主线：根的判别式 考点范围：一元二次方程根的判别式——判别式 Δ 的定义与符号意义，由 Δ 判断根的情况，由根的情况反求参数的值与取值范围，二次项系数含参的双条件处理，以及判别式与等腰三角形、抛物线交点的综合应用。本考点是第 25 章的枢纽，期中卷选择填空的高频得分点。 主线一、判别式的定义——Δ＝－4ac ◆ 定义来源：对 ＋bx＋c＝0（a≠0）配方，可得 x＝，根号下的式子 －4ac 叫做根的判别式，记作 Δ——Δ 的符号决定根号能否开出，从而决定根的情况。 ◆ 读系数三步：先化一般形式（去括号、移项、合并），再带符号确认 a、b、c，最后代入 Δ——c 带负号、b 是负数都是符号高发点；不化一般形式就读系数，是本考点第一失分点。 主线二、三种根的情况——Δ 的符号定根 ◆ 对应关系：Δ＞0 ⇔ 两个不相等的实数根；Δ＝0 ⇔ 两个相等的实数根；Δ＜0 ⇔ 没有实数根——结论与条件互为充要，正用『算 Δ 判根』、逆用『由根定 Δ』。 ◆ 问法对照：『有实数根』对应 Δ≥0（含相等）；『有两个实数根』同样对应 Δ≥0；『没有实数根』对应 Δ＜0；『有两个不相等的实数根』对应 Δ＞0——一字之差，含不含等号完全不同。 主线三、由根定参数——相等列方程，范围解不等式 ◆ 两类基本题：①由『两相等实根』得 Δ＝0，列关于参数的方程求值（常数项非零时开方取双值）；②由『有实根／无实根／两不等实根』得 Δ≥0／Δ＜0／Δ＞0，解关于参数的不等式求范围——先化简 Δ 再解，注意不等号方向。 主线四、系数含参与综合应用——挖点与回代检验 ◆ 二次项系数含参：『一元二次方程』四字自带前提 a≠0——先由根的情况解出参数范围，再挖去使二次项系数为零的点，双条件取交集才是完整答案。◆ 几何函数综合：等腰三角形中『两边是方程的根』按底、腰分类，判别式定相等后还要用三边关系检验取舍；抛物线与 x 轴交点问题中，弦长等于两根之差的绝对值——解完必须回代检验。 根的判别式考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 判别式定义 Δ＝－4ac 由一般形式读系数、判断能否用公式 c 带负号、b 是负数代入错 三种根的情况 Δ＞0／Δ＝0／Δ＜0 根的情况判断（选择） 有实根与无实根符号弄反 由根定参数值 两相等实根 ⇔ Δ＝0 求参数的值（填空） 开方漏负值 由根定参数范围 有实根 Δ≥0、无实根 Δ＜0 求参数取值范围 含不含等号搞错 系数含参综合 Δ 条件＋二次项系数≠0 双条件求参数范围 忘挖系数为零的点 ◆ 判别式计算规范：先化一般形式 → 带符号写出 a、b、c → 代入 Δ＝－4ac 化简 → 按正零负对号入座——四步走完再下结论，不求根就能判根。 四、易错警示与综合提分——判别式题的高频陷阱 ◆ 三大高频陷阱：①不化一般形式就读系数——先移项合并再定 a、b、c；②『有实根 ≥0』与『无实根 ＜0』符号弄反——抓住设问含不含『没有』两个字；③常数项是整体（如 m－2）代入 Δ 不加括号——展开时逐项核对符号。 ◆ 参数值与参数范围：相等列方程（Δ＝0，常数非零开方取双值，漏负值是第一失分）；范围解不等式（先化简 Δ 再移项，注意除以负数变号）；含参字母若在二次项上，先挖去使系数为零的点再取交集。◆ 恒成立问题：把 Δ 整理成『平方＋正数』的形式，由平方非负直接判号，无需分类讨论。 ◆ 结果规范：求参数值时两个都要写（如 m＝±2），漏负值不得分；求范围时写清含不含等号；几何情境（等腰、三角形三边）解出参数后必须回代检验三边关系；函数情境解出后回代检验弦长。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 根的判别式是第 25 章的枢纽考点，期中卷选择填空的高频设问：判断根的情况不求根、只算 Δ；由根的情况反求参数的值或范围，几乎每卷必到、分值稳定。 本考点考的是『双向转化』：正用——算 Δ 判断两不等、两相等、无实根；逆用——由根的情况反推 Δ 的符号，列方程求值或解不等式求范围——一条 Δ 通道，双向都通。 系数含参是本考点的压轴小题形态：『一元二次方程』自带二次项系数非零的前提，先解 Δ 条件、再挖去系数为零的点，双条件交并是最常见的压轴设问。 几何与函数综合是判别式的压轴延伸：等腰三角形两边是方程的根要按底腰分类并用三边关系检验；抛物线与 x 轴交点、弦长问题把两根之差与 Δ 挂钩——解后回代检验是共同的收尾动作。 答题方法（三步法） 第一步·化一般形式：去括号、移项、合并同类项，带符号确认 a、b、c——不化一般形式就代入，是第一失分点。 第二步·算 Δ 化简：代入 Δ＝－4ac，含参先整理成『平方＋常数』的形式，能合并同类项的先合并——化简到位，符号才不易错。 第三步·对号作答：由题设根的情况取 Δ＞0／Δ＝0／Δ≥0／Δ＜0，列方程或解不等式；系数含参先挖点，几何函数情境回代检验后作答。 注意事项（易错警示） 第一错点是『符号』：b、c 代入漏负号；『有实数根』写成 Δ＞0（丢掉相等的情形）——设问里有没有『没有』两个字，决定 ≥ 与 ＜ 的方向。 第二错点是『漏负值』：两相等实根列 Δ＝0 后，常数项非零时开方得双值（如 m＝±2）——只写正值丢一半的分。 第三错点是『忘挖点』：二次项系数含参（如 (m－k)）时，只解 Δ 条件不挖去使系数为零的参数值——双条件交并才是完整答案。 综合题收尾必须『回代检验』：等腰情境用三边关系检验取舍（两腰之和大于底边）；抛物线情境检验弦长与交点——解出的参数要能还原题设才算过关。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 判别式的定义 Δ＝－4ac，先化一般形式 由求根公式反读方程／求 Δ 的值 ★☆ 判断根的情况 算 Δ → 正零负对号 方程的根的情况是（　） ★☆ 由根定参数值 两相等实根 ⇔ Δ＝0 列方程 两相等实根，求参数的值 ★★☆ 由根定参数范围 有实根 Δ≥0／无实根 Δ＜0 有（没有）实数根，求范围 ★★☆ 系数含参双条件 Δ 条件＋二次项系数≠0 (m－k)＋… 两实根求参 ★★★ 几何函数综合 判别式＋三边关系／弦长 等腰两边是根／抛物线 AB 长 ★★★ 命题边界：本考点只考第 25 章『根的判别式』——判别式的定义与计算、由 Δ 判断根的情况、由根的情况反求参数的值与取值范围、二次项系数含参的双条件处理，以及判别式与等腰三角形、抛物线交点的简单综合。本资料不涉及一元二次方程的概念与一般形式（由本系列考点 1 复习资料承接）、不涉及四种解法的完整解题过程（由考点 2 复习资料承接）、不涉及根与系数的关系、不涉及实际应用题——分别由本系列后续复习资料承接。题目全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷，逐题标注出处与时间。 PART 03 考点 3 例题精讲（6 题）—— 判断根的情况 · 由根定参数值 · 由根定参数范围 · 整数根检验 例题覆盖：判断两不等实根（选择·例 1）→ 判断根的情况（选择·例 2）→ 由两实根定范围（选择·例 3）→ 由无实根定范围（选择·例 4）→ 由两相等根定参数值（填空·例 5）→ 含参方程求 k 范围与整数根（解答·例 6）→ 根的情况判断与恒成立（选择·变 1～变 4）→ 由两相等根求参数（选择·变 5，填空·变 7）→ 无实根与两不等定范围（填空·变 6、变 8，解答·变 10）→ 开放填空（填空·变 9）→ 系数含参双条件（选择·拔 1、拔 2）→ 两不等实根定范围（选择·拔 3、拔 4）→ 逐项算 Δ（选择·拔 6）→ 等腰分类综合（选择·拔 5）→ 抛物线弦长（填空·拔 7）→ 恒成立证明与倍数根（解答·拔 8）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教判断两不等实根（选择·逐项算 Δ）：四个方程分别算 Δ，正零负对号——不求根就判根； ◆ 例 2 教判断根的情况（选择·先化一般形式）：－2x＝0 缺常数项，Δ＝4＞0，两不相等实根； ◆ 例 3 教由两实根定范围（选择·Δ≥0）：『有两个实数根』含相等情形，解不等式注意含等号； ◆ 例 4 教由无实根定范围（选择·Δ＜0）：与例 3 对照，一字之差符号相反； ◆ 例 5 教由两相等根定参数值（填空·嵌空·Δ＝0 列方程）：解出后回代检验方程确有两相等实根； ◆ 例 6 教含参方程综合（解答）：(1) 由两不等实根定 k 范围；(2) 在范围内取整数并逐个检验整数根——含参 Δ 化简与整数检验两步走。 例 1　选择题 （2025·安徽·中考）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．＋1＝0　　　B．－2x＋1＝0 C．＋x＋1＝0　　　D．＋x－1＝0 例 2　选择题 （2025·河南·中考）一元二次方程 －2x＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　　B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根　　　D．没有实数根 例 3　选择题 （2025·甘肃·中考）关于 x 的一元二次方程 3－6x＋m＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜3　　　B．m≤3 C．m＞3　　　D．m≥3 例 4　选择题 （2025·新疆·中考）若关于 x 的一元二次方程 －2x＋a＝0 无实数根，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a＜1　　　B．a＞1 C．a≤1　　　D．a≥1 例 5　填空题 （2025·四川巴中·中考）关于 x 的一元二次方程 －4x＋m＝0 有两个相等的实根，则 m＝________． 例 6　解答题 （2025—2026学年·山东菏泽经开区·期中）已知 x₁，x₂ 是关于 x 的方程 －2kx＋－k＋1＝0 的两个不相等的实数根． (1) 求 k 的取值范围； (2) 若 k＜5，且 k，x₁，x₂ 都是整数，求 k 的值． PART 04 考点 3 变式练习（10 题）—— 根的情况判断 · 参数值与范围 · 恒成立问题 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 5 练根的情况判断与定值（选择）：变 1 两相等定 a、变 2 算 Δ 判根、变 3 有实根定范围、变 4 Δ 整理成平方加正数恒成立、变 5 两相等求 b 双值； ◆ 变 6 ～ 变 9 练定值与定范围（填空·嵌空）：变 6 无实根、变 7 两相等、变 8 两不等、变 9 先化一般形式再开放作答——注意问法含不含『没有』； ◆ 变 10 练完整过程（解答）：常数项是整体 m－2，代入 Δ 加括号展开，解不等式求范围； ◆ 易错聚焦：变 1、变 5 开方取双值漏负值；变 9 先化一般形式再定系数；变 3、变 6、变 8 含不含等号。 变式 1　选择题 （2025·北京·中考）若关于 x 的一元二次方程 ＋2x＋1＝0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（　　） A．a＝－2　　B．a＝－1　　C．a＝1　　D．a＝4 变式 2　选择题 （2025·江苏扬州·中考）方程 －3x＋1＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．只有一个实数根 变式 3　选择题 （2025·四川遂宁·中考）关于 x 的一元二次方程 －3x＋m＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m≤　　B．m＜　　C．m≤－　　D．m≥ 变式 4　选择题 （2026·四川遂宁·中考）关于 x 的一元二次方程 ＋mx－1＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．无法确定 变式 5　选择题 （2026·四川广元·中考）若关于 x 的一元二次方程 ＋bx＋3＝0 有两个相等的实数根，则 b 的值为（　　） A．b＝3　　B．b＝±2　　C．b＝±　　D．b＝－3 变式 6　填空题 （2025·上海·中考）若关于 x 的一元二次方程 2＋x＋m＝0 没有实数根，则 m 的取值范围是________． 变式 7　填空题 （2025·江苏镇江·中考）若关于 x 的一元二次方程 ＋mx＋1＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值为________． 变式 8　填空题 （2026·河南信阳潢川县·二模）若关于 x 的一元二次方程 2－4x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是________． 变式 9　填空题 （2025·江苏宜兴市·二模）若关于 x 的方程 －2x＝m 有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的 m 的值：________（答案不唯一，m＞－1 即可）． 变式 10　解答题 （2025—2026学年·广东汕头潮阳区海田学校·期中）已知关于 x 的一元二次方程 －4x＋m－2＝0 有两个不相等的实数根．求 m 的取值范围． PART 05 考点 3 拔高巩固（8 题）—— 系数含参 · 等腰分类 · 抛物线弦长 · 恒成立证明 系数含参与压轴视角——双条件交并、等腰分类检验、弦长与判别式挂钩、恒成立证明，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1、拔 2 练系数含参双条件（选择）：先由根的情况解 Δ 不等式，再挖去使二次项系数为零的点，交并取完整答案——拔 2 题干只说『方程』，系数为零时是一次方程只有一个根，不合设问，更要挖点； ◆ 拔 3、拔 4 练两不等实根定范围（选择）：拔 3 干扰项『且 k≠0』——二次项系数是 1，与参数无关，无须挖点；拔 4 常数含参直接解一元一次不等式； ◆ 拔 5 练等腰分类综合（选择）：底为 3 时两腰相等 ⇔ Δ＝0 定 k；腰为 3 时代入定 k——两情形都要用三边关系检验取舍； ◆ 拔 6 练逐项算 Δ（选择）：四个方程的 Δ 依次算出，只有 Δ＝0 的是两相等实根； ◆ 拔 7、拔 8 练函数综合与恒成立（填空·嵌空／解答）：拔 7 弦长 AB 等于两根之差的绝对值、恰为根号 Δ 除以首项系数，建立关于 m 的方程；拔 8 先展开证明 Δ＝9＞0 恒成立，再用求根公式表出两根、按倍数关系分两种情况解 k。 拔高 1　选择题 （2025·四川雅安·中考）若关于 x 的一元二次方程 (m－3)＋6x＋3＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m≤6　　B．m≤6 且 m≠3　　C．m≥6　　D．m＞6 拔高 2　选择题 （2025·山东淄博·二模）若关于 x 的方程 (m－2)＋4x＋2＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜4　　B．m≤4　　C．m＜4 且 m≠2　　D．m≤4 且 m≠2 拔高 3　选择题 （2025·吉林长春·模拟）若关于 x 的一元二次方程 －4x＋k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k≥4　　B．k＞4　　C．k＜4 且 k≠0　　D．k＜4 拔高 4　选择题 （2025—2026学年·广东汕头潮阳区海田学校·期中）若关于 x 的一元二次方程 ＋6x＋k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＞9　　B．k≥9　　C．k＜9　　D．k≤9 拔高 5　选择题 （2025—2026学年·四川广元朝天区·期中）等腰三角形一边长为 3，另两边长恰好是关于 x 的一元二次方程 －10x＋k＝0 的两个根．则 k 的值为（　　） A．21　　B．25　　C．21 或 25　　D．25 或 21 且三角形存在 拔高 6　选择题 （2025—2026学年·山东菏泽经开区·期中）下列关于 x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．－6x＝0　　B．－9＝0　　C．－6x＋6＝0　　D．－6x＋9＝0 拔高 7　填空题 （2026·四川南充·中考）抛物线 y＝＋mx＋m－2 与 x 轴交于 A、B 两点，且 AB＝，则 m 的值为________． 拔高 8　解答题 （2026·四川南充·中考）已知关于 x 的一元二次方程 －(2k＋1)x＋＋k－2＝0． （1）求证：无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是另一根的 2 倍，求 k 的值． 附录 过关自查——按题号逐题打勾，把不会的题目标红回炉 题号 考点主线 若错，写出错因 订正完成 例 1 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 2 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 3 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 4 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 5 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 6 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 变式 1 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 2 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 3 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 4 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 5 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 6 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 7 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 8 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 9 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 10 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 拔高 1 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 2 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 3 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 4 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 5 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 6 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 7 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 8 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——考前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式，符号要带全；Δ 定三情况，正零负无根；相等列方程，开方双值全；范围解不等，等号看设问；系数含字母，非零先挖点；几何函数题，回代再检验。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 3：根的判别式 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 3：判别式的定义 · 三种根的情况 · 根的情况判断 · 由根定参数值与范围 · 系数含参综合 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 3 专项（根的判别式），共 24 道，全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷（中考、模拟、期中、期末、月考等）的网络原题；每题题干均已逐题标注出处与时间，题面、答案与详解均已逐题独立核对。 全卷按题型分层编排：选择题 15 道、填空题 6 道、解答题 3 道；例题组（4 选＋1 填＋1 解）、变式组（5 选＋4 填＋1 解）、拔高组（6 选＋1 填＋1 解），每组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 3。 根的判别式是第 25 章的枢纽考点：判断根的情况不求根、只算 Δ；由根的情况反求参数的值与范围是期中卷选择填空的高频设问，系数含参的双条件处理与几何、函数综合则是压轴小题的常客——先化一般形式、再算 Δ、最后按符号对号入座，是本考点答题的三步主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲四条主线各一遍；变式学生限时独立完成；拔高组系数含参、等腰分类、抛物线弦长与恒成立证明，供学有余力的学生冲击压轴；本系列后续按考点 4、5 逐个推出，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），四条主线：一判别式的定义——Δ＝⟦SUP:b|2⟧－4ac，带符号读系数；二三种根的情况——Δ 的正、零、负对号两不等、两相等、无实根；三由根定参数——相等列方程、范围解不等式；四系数含参与综合——系数非零挖点、几何函数情境回代检验。 PART 01 考点 3 知识主线：根的判别式 考点范围：一元二次方程根的判别式——判别式 Δ 的定义与符号意义，由 Δ 判断根的情况，由根的情况反求参数的值与取值范围，二次项系数含参的双条件处理，以及判别式与等腰三角形、抛物线交点的综合应用。本考点是第 25 章的枢纽，期中卷选择填空的高频得分点。 主线一、判别式的定义——Δ＝－4ac ◆ 定义来源：对 ＋bx＋c＝0（a≠0）配方，可得 x＝，根号下的式子 －4ac 叫做根的判别式，记作 Δ——Δ 的符号决定根号能否开出，从而决定根的情况。 ◆ 读系数三步：先化一般形式（去括号、移项、合并），再带符号确认 a、b、c，最后代入 Δ——c 带负号、b 是负数都是符号高发点；不化一般形式就读系数，是本考点第一失分点。 主线二、三种根的情况——Δ 的符号定根 ◆ 对应关系：Δ＞0 ⇔ 两个不相等的实数根；Δ＝0 ⇔ 两个相等的实数根；Δ＜0 ⇔ 没有实数根——结论与条件互为充要，正用『算 Δ 判根』、逆用『由根定 Δ』。 ◆ 问法对照：『有实数根』对应 Δ≥0（含相等）；『有两个实数根』同样对应 Δ≥0；『没有实数根』对应 Δ＜0；『有两个不相等的实数根』对应 Δ＞0——一字之差，含不含等号完全不同。 主线三、由根定参数——相等列方程，范围解不等式 ◆ 两类基本题：①由『两相等实根』得 Δ＝0，列关于参数的方程求值（常数项非零时开方取双值）；②由『有实根／无实根／两不等实根』得 Δ≥0／Δ＜0／Δ＞0，解关于参数的不等式求范围——先化简 Δ 再解，注意不等号方向。 主线四、系数含参与综合应用——挖点与回代检验 ◆ 二次项系数含参：『一元二次方程』四字自带前提 a≠0——先由根的情况解出参数范围，再挖去使二次项系数为零的点，双条件取交集才是完整答案。◆ 几何函数综合：等腰三角形中『两边是方程的根』按底、腰分类，判别式定相等后还要用三边关系检验取舍；抛物线与 x 轴交点问题中，弦长等于两根之差的绝对值——解完必须回代检验。 根的判别式考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 判别式定义 Δ＝－4ac 由一般形式读系数、判断能否用公式 c 带负号、b 是负数代入错 三种根的情况 Δ＞0／Δ＝0／Δ＜0 根的情况判断（选择） 有实根与无实根符号弄反 由根定参数值 两相等实根 ⇔ Δ＝0 求参数的值（填空） 开方漏负值 由根定参数范围 有实根 Δ≥0、无实根 Δ＜0 求参数取值范围 含不含等号搞错 系数含参综合 Δ 条件＋二次项系数≠0 双条件求参数范围 忘挖系数为零的点 ◆ 判别式计算规范：先化一般形式 → 带符号写出 a、b、c → 代入 Δ＝－4ac 化简 → 按正零负对号入座——四步走完再下结论，不求根就能判根。 四、易错警示与综合提分——判别式题的高频陷阱 ◆ 三大高频陷阱：①不化一般形式就读系数——先移项合并再定 a、b、c；②『有实根 ≥0』与『无实根 ＜0』符号弄反——抓住设问含不含『没有』两个字；③常数项是整体（如 m－2）代入 Δ 不加括号——展开时逐项核对符号。 ◆ 参数值与参数范围：相等列方程（Δ＝0，常数非零开方取双值，漏负值是第一失分）；范围解不等式（先化简 Δ 再移项，注意除以负数变号）；含参字母若在二次项上，先挖去使系数为零的点再取交集。◆ 恒成立问题：把 Δ 整理成『平方＋正数』的形式，由平方非负直接判号，无需分类讨论。 ◆ 结果规范：求参数值时两个都要写（如 m＝±2），漏负值不得分；求范围时写清含不含等号；几何情境（等腰、三角形三边）解出参数后必须回代检验三边关系；函数情境解出后回代检验弦长。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 根的判别式是第 25 章的枢纽考点，期中卷选择填空的高频设问：判断根的情况不求根、只算 Δ；由根的情况反求参数的值或范围，几乎每卷必到、分值稳定。 本考点考的是『双向转化』：正用——算 Δ 判断两不等、两相等、无实根；逆用——由根的情况反推 Δ 的符号，列方程求值或解不等式求范围——一条 Δ 通道，双向都通。 系数含参是本考点的压轴小题形态：『一元二次方程』自带二次项系数非零的前提，先解 Δ 条件、再挖去系数为零的点，双条件交并是最常见的压轴设问。 几何与函数综合是判别式的压轴延伸：等腰三角形两边是方程的根要按底腰分类并用三边关系检验；抛物线与 x 轴交点、弦长问题把两根之差与 Δ 挂钩——解后回代检验是共同的收尾动作。 答题方法（三步法） 第一步·化一般形式：去括号、移项、合并同类项，带符号确认 a、b、c——不化一般形式就代入，是第一失分点。 第二步·算 Δ 化简：代入 Δ＝－4ac，含参先整理成『平方＋常数』的形式，能合并同类项的先合并——化简到位，符号才不易错。 第三步·对号作答：由题设根的情况取 Δ＞0／Δ＝0／Δ≥0／Δ＜0，列方程或解不等式；系数含参先挖点，几何函数情境回代检验后作答。 注意事项（易错警示） 第一错点是『符号』：b、c 代入漏负号；『有实数根』写成 Δ＞0（丢掉相等的情形）——设问里有没有『没有』两个字，决定 ≥ 与 ＜ 的方向。 第二错点是『漏负值』：两相等实根列 Δ＝0 后，常数项非零时开方得双值（如 m＝±2）——只写正值丢一半的分。 第三错点是『忘挖点』：二次项系数含参（如 (m－k)）时，只解 Δ 条件不挖去使系数为零的参数值——双条件交并才是完整答案。 综合题收尾必须『回代检验』：等腰情境用三边关系检验取舍（两腰之和大于底边）；抛物线情境检验弦长与交点——解出的参数要能还原题设才算过关。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 判别式的定义 Δ＝－4ac，先化一般形式 由求根公式反读方程／求 Δ 的值 ★☆ 判断根的情况 算 Δ → 正零负对号 方程的根的情况是（　） ★☆ 由根定参数值 两相等实根 ⇔ Δ＝0 列方程 两相等实根，求参数的值 ★★☆ 由根定参数范围 有实根 Δ≥0／无实根 Δ＜0 有（没有）实数根，求范围 ★★☆ 系数含参双条件 Δ 条件＋二次项系数≠0 (m－k)＋… 两实根求参 ★★★ 几何函数综合 判别式＋三边关系／弦长 等腰两边是根／抛物线 AB 长 ★★★ 命题边界：本考点只考第 25 章『根的判别式』——判别式的定义与计算、由 Δ 判断根的情况、由根的情况反求参数的值与取值范围、二次项系数含参的双条件处理，以及判别式与等腰三角形、抛物线交点的简单综合。本资料不涉及一元二次方程的概念与一般形式（由本系列考点 1 复习资料承接）、不涉及四种解法的完整解题过程（由考点 2 复习资料承接）、不涉及根与系数的关系、不涉及实际应用题——分别由本系列后续复习资料承接。题目全部选自 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试试卷，逐题标注出处与时间。 PART 03 考点 3 例题精讲（6 题）—— 判断根的情况 · 由根定参数值 · 由根定参数范围 · 整数根检验 例题覆盖：判断两不等实根（选择·例 1）→ 判断根的情况（选择·例 2）→ 由两实根定范围（选择·例 3）→ 由无实根定范围（选择·例 4）→ 由两相等根定参数值（填空·例 5）→ 含参方程求 k 范围与整数根（解答·例 6）→ 根的情况判断与恒成立（选择·变 1～变 4）→ 由两相等根求参数（选择·变 5，填空·变 7）→ 无实根与两不等定范围（填空·变 6、变 8，解答·变 10）→ 开放填空（填空·变 9）→ 系数含参双条件（选择·拔 1、拔 2）→ 两不等实根定范围（选择·拔 3、拔 4）→ 逐项算 Δ（选择·拔 6）→ 等腰分类综合（选择·拔 5）→ 抛物线弦长（填空·拔 7）→ 恒成立证明与倍数根（解答·拔 8）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教判断两不等实根（选择·逐项算 Δ）：四个方程分别算 Δ，正零负对号——不求根就判根； ◆ 例 2 教判断根的情况（选择·先化一般形式）：－2x＝0 缺常数项，Δ＝4＞0，两不相等实根； ◆ 例 3 教由两实根定范围（选择·Δ≥0）：『有两个实数根』含相等情形，解不等式注意含等号； ◆ 例 4 教由无实根定范围（选择·Δ＜0）：与例 3 对照，一字之差符号相反； ◆ 例 5 教由两相等根定参数值（填空·嵌空·Δ＝0 列方程）：解出后回代检验方程确有两相等实根； ◆ 例 6 教含参方程综合（解答）：(1) 由两不等实根定 k 范围；(2) 在范围内取整数并逐个检验整数根——含参 Δ 化简与整数检验两步走。 例 1　选择题 （2025·安徽·中考）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．＋1＝0　　　B．－2x＋1＝0 C．＋x＋1＝0　　　D．＋x－1＝0 【答案】D 【解析】判断根的情况不解方程、只算判别式：逐项计算 －4ac——A 无实数根，B 有两个相等的实数根，C 无实数根，D 有两个不相等的实数根。 【详解】A．－4ac＝0－4×1×1＝－4＜0，无实数根； B．－4ac＝－4×1×1＝0，有两个相等的实数根； C．－4ac＝1－4×1×1＝－3＜0，无实数根； D．－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，有两个不相等的实数根． 故选：D． 例 2　选择题 （2025·河南·中考）一元二次方程 －2x＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　　B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根　　　D．没有实数根 【答案】A 【解析】缺常数项的方程先把系数读准：a＝1，b＝－2，c＝0，判别式为 4＞0——两个不相等的实数根；常数项为 0 不影响计算，别把 c 误当成 1。 【详解】这里 a＝1，b＝－2，c＝0， －4ac＝－4×1×0＝4＞0， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 例 3　选择题 （2025·甘肃·中考）关于 x 的一元二次方程 3－6x＋m＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜3　　　B．m≤3 C．m＞3　　　D．m≥3 【答案】B 【解析】『有两个实数根』包含两不等、两相等两种情形，对应判别式大于或等于 0（带等号）；只有『有两个不相等的实数根』才是严格大于——等号带不带，先看题目怎么说根。 【详解】这里 a＝3，b＝－6，c＝m， －4ac＝－4×3×m＝36－12m． ∵ 方程有两个实数根， ∴ 36－12m≥0， 解得 m≤3． 故选：B． 例 4　选择题 （2025·新疆·中考）若关于 x 的一元二次方程 －2x＋a＝0 无实数根，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a＜1　　　B．a＞1 C．a≤1　　　D．a≥1 【答案】B 【解析】『无实数根』对应判别式严格小于 0——与『有实数根（大于或等于 0，带等号）』恰好相反；这里参数 a 在常数项上，与二次项系数 1 无关，不存在 a≠0 的限制。 【详解】二次项系数为 1，一次项系数为－2，常数项为 a， －4ac＝－4×1×a＝4－4a． ∵ 方程无实数根， ∴ 4－4a＜0， 解得 a＞1． 故选：B． 例 5　填空题 （2025·四川巴中·中考）关于 x 的一元二次方程 －4x＋m＝0 有两个相等的实根，则 m＝____4____． 【答案】4 【解析】『有两个相等的实根』对应判别式等于 0——由判别式列方程反求参数值，这是『由根的情况定参数』最标准的填空形态。 【详解】∵ 方程 －4x＋m＝0 有两个相等的实根， ∴ －4ac＝－4×1×m＝0， 即 16－4m＝0， 解得 m＝4． 例 6　解答题 （2025—2026学年·山东菏泽经开区·期中）已知 x₁，x₂ 是关于 x 的方程 －2kx＋－k＋1＝0 的两个不相等的实数根． (1) 求 k 的取值范围； (2) 若 k＜5，且 k，x₁，x₂ 都是整数，求 k 的值． 【答案】(1) k＞1；(2) k＝2 【解析】(1) 『两个不相等的实数根』对应判别式大于 0，代入系数得到关于 k 的不等式；(2) k 是整数且 1＜k＜5，逐个检验 k＝2、3、4 时判别式是否为完全平方数（根才是整数）——两问同一条主线：先算判别式，再按条件筛选。 【详解】(1) 这里 a＝1，b＝－2k，c＝－k＋1， －4ac＝－4×1×(－k＋1) ＝4－4＋4k－4＝4k－4． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 4k－4＞0，解得 k＞1． (2) ∵ k 是整数，且 k＞1，k＜5， ∴ k＝2，3，4． 当 k＝2 时，方程为 －4x＋3＝0，判别式为 4，两根 x₁＝1，x₂＝3，都是整数，符合； 当 k＝3 时，判别式为 4k－4＝8，不是完全平方数，两根不是整数，舍去； 当 k＝4 时，判别式为 4k－4＝12，不是完全平方数，两根不是整数，舍去． ∴ k＝2． PART 04 考点 3 变式练习（10 题）—— 根的情况判断 · 参数值与范围 · 恒成立问题 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 5 练根的情况判断与定值（选择）：变 1 两相等定 a、变 2 算 Δ 判根、变 3 有实根定范围、变 4 Δ 整理成平方加正数恒成立、变 5 两相等求 b 双值； ◆ 变 6 ～ 变 9 练定值与定范围（填空·嵌空）：变 6 无实根、变 7 两相等、变 8 两不等、变 9 先化一般形式再开放作答——注意问法含不含『没有』； ◆ 变 10 练完整过程（解答）：常数项是整体 m－2，代入 Δ 加括号展开，解不等式求范围； ◆ 易错聚焦：变 1、变 5 开方取双值漏负值；变 9 先化一般形式再定系数；变 3、变 6、变 8 含不含等号。 变式 1　选择题 （2025·北京·中考）若关于 x 的一元二次方程 ＋2x＋1＝0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（　　） A．a＝－2　　B．a＝－1　　C．a＝1　　D．a＝4 【答案】C 【解析】方程有两个相等的实数根，等价于判别式 Δ＝0。注意二次项系数 a≠0 这个前提，解出 a 的值后要回头检验。 【详解】∵ 方程 ＋2x＋1＝0 有两个相等的实数根， ∴ Δ＝－4×a×1＝4－4a＝0， 解得 a＝1。 又 a＝1≠0，满足二次项系数不为 0，符合题意。 故选 C。 变式 2　选择题 （2025·江苏扬州·中考）方程 －3x＋1＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．只有一个实数根 【答案】A 【解析】求出判别式的值，按正、零、负三种情况对号入座即可，不需要真正解方程。 【详解】∵ a＝1，b＝－3，c＝1， ∴ Δ＝－4×1×1＝9－4＝5＞0。 ∴ 方程有两个不相等的实数根。 故选 A。 变式 3　选择题 （2025·四川遂宁·中考）关于 x 的一元二次方程 －3x＋m＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m≤　　B．m＜　　C．m≤－　　D．m≥ 【答案】A 【解析】“有实数根”包含两个相等和两个不相等两种情形，对应 Δ≥0；“没有实数根”才是 Δ＜0。两种问法一字之差，符号方向完全相反。 【详解】∵ 关于 x 的一元二次方程 －3x＋m＋1＝0 有实数根， ∴ Δ＝－4×1×(m＋1)≥0， 即 9－4m－4≥0， 解得 m≤。 故选 A。 变式 4　选择题 （2026·四川遂宁·中考）关于 x 的一元二次方程 ＋mx－1＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．无法确定 【答案】A 【解析】含参字母 m 同时出现在一次项，把 Δ 整理成关于 m 的式子后，要观察它能否化成“平方＋正数”的形式，从而对一切 m 恒成立。 【详解】∵ a＝1，b＝m，c＝－1， ∴ Δ＝－4×1×(－1)＝＋4。 ∵ ≥0，∴ ＋4＞0 对任意实数 m 恒成立。 ∴ 无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 故选 A。 变式 5　选择题 （2026·四川广元·中考）若关于 x 的一元二次方程 ＋bx＋3＝0 有两个相等的实数根，则 b 的值为（　　） A．b＝3　　B．b＝±2　　C．b＝±　　D．b＝－3 【答案】B 【解析】两相等实数根⇔Δ＝0，得到关于 b 的方程；常数项 3 不为零，开方结果是带根号的双值，不要与选项 C 混淆——B 已把 化简到最简根式。 【详解】∵ 方程 ＋bx＋3＝0 有两个相等的实数根， ∴ Δ＝－4×1×3＝－12＝0， 即 ＝12， ∴ b＝±＝±2。 故选 B。 变式 6　填空题 （2025·上海·中考）若关于 x 的一元二次方程 2＋x＋m＝0 没有实数根，则 m 的取值范围是____m＞____． 【答案】m＞ 【解析】没有实数根⇔Δ＜0。移项解不等式时，两边同除以正数 8，不等号方向不变。 【详解】∵ 方程 2＋x＋m＝0 没有实数根， ∴ Δ＝－4×2×m＜0， 即 1－8m＜0， 解得 m＞。 故答案为：m＞。 变式 7　填空题 （2025·江苏镇江·中考）若关于 x 的一元二次方程 ＋mx＋1＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值为____m＝±2____． 【答案】m＝±2 【解析】两相等实数根⇔Δ＝0。常数项为 1，Δ 化简后恰是完全平方，直接开方得双值，注意“值”是两个，漏负值是高频失分点。 【详解】∵ 方程 ＋mx＋1＝0 有两个相等的实数根， ∴ Δ＝－4×1×1＝0， 即 ＝4， ∴ m＝2 或 m＝－2。 故答案为：m＝±2。 变式 8　填空题 （2026·河南信阳潢川县·二模）若关于 x 的一元二次方程 2－4x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是____m＜2____． 【答案】m＜2 【解析】两不相等实数根⇔Δ＞0，是严格不等式，解出来不含等号；与“有实数根（≥）”对比记忆。 【详解】∵ 方程 2－4x＋m＝0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ＝－4×2×m＞0， 即 16－8m＞0， 解得 m＜2。 故答案为：m＜2。 变式 9　填空题 （2025·江苏宜兴市·二模）若关于 x 的方程 －2x＝m 有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的 m 的值：____0____（答案不唯一，m＞－1 即可）． 【答案】0（答案不唯一，m＞－1 即可） 【解析】题干不是一般形式，必须先移项化成 －2x－m＝0 再取 a、b、c，此时常数项是－m 而不是 m，这是本题最大的坑。 【详解】将方程化为一般形式：－2x－m＝0。 ∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ Δ＝－4×1×(－m)＝4＋4m＞0， 解得 m＞－1。 故 m 取大于 －1 的任意一个实数均可，如 m＝0。 故答案为：0（答案不唯一，m＞－1 即可）。 变式 10　解答题 （2025—2026学年·广东汕头潮阳区海田学校·期中）已知关于 x 的一元二次方程 －4x＋m－2＝0 有两个不相等的实数根．求 m 的取值范围． 【答案】m＜6 【解析】常数项是整体“m－2”，代入 Δ 时必须加括号展开，漏括号会错算成 16－4m＋2 的形式。 【详解】∵ 关于 x 的一元二次方程 －4x＋m－2＝0 有两个不相等的实数根， ∴ a＝1，b＝－4，c＝m－2， Δ＝－4×1×(m－2)＞0， 即 16－4m＋8＞0， 整理得 24－4m＞0， 解得 m＜6。 ∴ m 的取值范围是 m＜6。 PART 05 考点 3 拔高巩固（8 题）—— 系数含参 · 等腰分类 · 抛物线弦长 · 恒成立证明 系数含参与压轴视角——双条件交并、等腰分类检验、弦长与判别式挂钩、恒成立证明，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1、拔 2 练系数含参双条件（选择）：先由根的情况解 Δ 不等式，再挖去使二次项系数为零的点，交并取完整答案——拔 2 题干只说『方程』，系数为零时是一次方程只有一个根，不合设问，更要挖点； ◆ 拔 3、拔 4 练两不等实根定范围（选择）：拔 3 干扰项『且 k≠0』——二次项系数是 1，与参数无关，无须挖点；拔 4 常数含参直接解一元一次不等式； ◆ 拔 5 练等腰分类综合（选择）：底为 3 时两腰相等 ⇔ Δ＝0 定 k；腰为 3 时代入定 k——两情形都要用三边关系检验取舍； ◆ 拔 6 练逐项算 Δ（选择）：四个方程的 Δ 依次算出，只有 Δ＝0 的是两相等实根； ◆ 拔 7、拔 8 练函数综合与恒成立（填空·嵌空／解答）：拔 7 弦长 AB 等于两根之差的绝对值、恰为根号 Δ 除以首项系数，建立关于 m 的方程；拔 8 先展开证明 Δ＝9＞0 恒成立，再用求根公式表出两根、按倍数关系分两种情况解 k。 拔高 1　选择题 （2025·四川雅安·中考）若关于 x 的一元二次方程 (m－3)＋6x＋3＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m≤6　　B．m≤6 且 m≠3　　C．m≥6　　D．m＞6 【答案】B 【解析】“一元二次方程”三个字自带前提：二次项系数 m－3≠0。本题是“Δ≥0＋系数非零”双条件交模型，先由根的情况解不等式，再挖去使系数为零的点。 【详解】∵ 关于 x 的一元二次方程 (m－3)＋6x＋3＝0 有两个实数根， ∴ m－3≠0，即 m≠3； 且 Δ＝－4×(m－3)×3≥0， 即 36－12m＋36≥0，整理得 72－12m≥0， 解得 m≤6。 综上，m≤6 且 m≠3。 故选 B。 拔高 2　选择题 （2025·山东淄博·二模）若关于 x 的方程 (m－2)＋4x＋2＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m＜4　　B．m≤4　　C．m＜4 且 m≠2　　D．m≤4 且 m≠2 【答案】C 【解析】本题同时考查两个得分点：①题干只说“方程”而非“一元二次方程”，若 m－2＝0 则原方程是一次方程，只有一个根，不符合“两个不相等的实数根”，故必须 m－2≠0；②“两个不相等的实数根”对应 Δ＞0（严格不等，排除 B、D）。两者取交集才是完整答案。 【详解】∵ 关于 x 的方程 (m－2)＋4x＋2＝0 有两个不相等的实数根， ∴ m－2≠0，即 m≠2； 且 Δ＝－4×(m－2)×2＞0， 即 16－8m＋16＞0，整理得 32－8m＞0， 解得 m＜4。 综上，m＜4 且 m≠2。 故选 C。 拔高 3　选择题 （2025·吉林长春·模拟）若关于 x 的一元二次方程 －4x＋k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k≥4　　B．k＞4　　C．k＜4 且 k≠0　　D．k＜4 【答案】D 【解析】本题的干扰项是 C：二次项系数是 1，与字母 k 无关，不需要附加 k≠0；只有当字母出现在二次项系数上时才需要挖去系数为零的情形。由 Δ＞0 解不等式即可。 【详解】∵ 关于 x 的一元二次方程 －4x＋k＝0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ＝－4×1×k＝16－4k＞0， 解得 k＜4。 又二次项系数为 1，与 k 无关，无须附加条件。 故选 D。 拔高 4　选择题 （2025—2026学年·广东汕头潮阳区海田学校·期中）若关于 x 的一元二次方程 ＋6x＋k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＞9　　B．k≥9　　C．k＜9　　D．k≤9 【答案】C 【解析】常数含参、二次项系数为 1 的最简模型：直接由 Δ＞0 解一元一次不等式即可，重点训练计算的准确性。 【详解】∵ 关于 x 的一元二次方程 ＋6x＋k＝0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ＝－4×1×k＞0， 即 36－4k＞0， 解得 k＜9。 故选 C。 拔高 5　选择题 （2025—2026学年·四川广元朝天区·期中）等腰三角形一边长为 3，另两边长恰好是关于 x 的一元二次方程 －10x＋k＝0 的两个根．则 k 的值为（　　） A．21　　B．25　　C．21 或 25　　D．25 或 21 且三角形存在 【答案】B 【解析】判别式与三角形三边关系的几何综合题，须按“长为 3 的边是底还是腰”分类讨论：①3 是底边时两腰相等⇔两根相等⇔Δ＝0；②3 是腰时把 x＝3 代入方程求 k，再检验三角形任意两边之和大于第三边。 【详解】分两种情况讨论： ① 若长为 3 的边是底边，则两腰相等，即方程有两个相等的实数根， ∴ Δ＝－4×1×k＝100－4k＝0， 解得 k＝25， 此时方程为 －10x＋25＝0，两根均为 5， 三边 3、5、5 满足任意两边之和大于第三边，成立； ② 若长为 3 的边是腰，则 3 是方程的一个根， 代入得 9－30＋k＝0，解得 k＝21， 此时方程为 －10x＋21＝0，两根为 3 和 7， 三边 3、3、7 中 3＋3＝6＜7，不满足三角形任意两边之和大于第三边，舍去。 综上，k＝25。 故选 B。 拔高 6　选择题 （2025—2026学年·山东菏泽经开区·期中）下列关于 x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．－6x＝0　　B．－9＝0　　C．－6x＋6＝0　　D．－6x＋9＝0 【答案】D 【解析】逐项计算 Δ 再对号入座，四个方程的 Δ 分别为 36、36、12、0，其中只有 D 的 Δ 为 0。训练目标是“不求根、只算 Δ”的快速判断习惯。 【详解】A．Δ＝－4×1×0＝36＞0，两不等实根，不合题意； B．Δ＝－4×1×(－9)＝36＞0，两不等实根，不合题意； C．Δ＝－4×1×6＝36－24＝12＞0，两不等实根，不合题意； D．Δ＝－4×1×9＝36－36＝0，有两个相等的实数根，符合题意。 故选 D。 拔高 7　填空题 （2026·四川南充·中考）抛物线 y＝＋mx＋m－2 与 x 轴交于 A、B 两点，且 AB＝，则 m 的值为____m＝1 或 m＝3____． 【答案】m＝1 或 m＝3 【解析】抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根，AB 长即两根之差的绝对值。用求根公式把两根表示出来，其差的绝对值恰为根的判别式的算术平方根除以首项系数，由此建立关于 m 的方程。 【详解】令 y＝0，得 ＋mx＋m－2＝0。 ∵ Δ＝－4×1×(m－2)＝－4m＋8， 由求根公式得两根 x₁、x₂ 分别为 x＝， ∴ AB＝|x₁－x₂|＝。 ∵ AB＝， ∴ －4m＋8＝5， 即 －4m＋3＝0， 分解得 (m－1)(m－3)＝0， ∴ m＝1 或 m＝3。 故答案为：m＝1 或 m＝3。 拔高 8　解答题 （2026·四川南充·中考）已知关于 x 的一元二次方程 －(2k＋1)x＋＋k－2＝0． （1）求证：无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是另一根的 2 倍，求 k 的值． 【答案】（1）证明见详解（Δ＝9＞0 恒成立）；（2）k＝4 或 k＝－5 【解析】（1）把 Δ 展开、消去含 与 k 的同类项，得到与 k 无关的常数 9，故恒正；（2）用求根公式解出两根为 k＋2 与 k－1，再按“谁是谁的 2 倍”分两种情况列方程，并逐一回代检验。 【详解】（1）∵ a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝＋k－2， ∴ Δ＝－4×1×(＋k－2) ＝(4＋4k＋1)－(4＋4k－8) ＝4＋4k＋1－4－4k＋8 ＝9＞0。 ∴ 无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）由（1）Δ＝9，由求根公式得 x＝， 即两根分别为 x₁＝k＋2，x₂＝k－1。 分两种情况： ① 若 x₁＝2x₂，则 k＋2＝2(k－1)， 解得 k＝4， 此时两根为 6 和 3，满足 6＝2×3，成立； ② 若 x₂＝2x₁，则 k－1＝2(k＋2)， 解得 k＝－5， 此时两根为 －3 和 －6，满足 －6＝2×(－3)，成立。 综上，k＝4 或 k＝－5。 附录 过关自查——按题号逐题打勾，把不会的题目标红回炉 题号 考点主线 若错，写出错因 订正完成 例 1 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 2 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 3 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 4 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 5 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 例 6 判断根的情况 / 由根定参数值与范围 变式 1 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 2 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 3 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 4 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 5 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 6 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 7 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 8 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 9 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 变式 10 根的情况判断 / 参数值与范围（含恒成立） 拔高 1 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 2 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 3 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 4 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 5 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 6 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 7 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 拔高 8 系数含参 / 恒成立证明 / 几何函数综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——考前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式，符号要带全；Δ 定三情况，正零负无根；相等列方程，开方双值全；范围解不等，等号看设问；系数含字母，非零先挖点；几何函数题，回代再检验。 1 学科网（北京）股份有限公司 $