第25章《一元二次方程》期中复习讲义——考点 1：概念与一般形式 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 1：概念与一般形式 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 1：定义三条件 · 一般形式 · 各项系数 · 根的定义 知识点总结 → 考点分析 → 例题 7 · 变式 10 · 拔高 7 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 1 专项（概念与一般形式），共 24 道题，以 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试（期中、期末、月考、模拟、学情评估等）的网络试卷原题为主，其中例 7 因概念类解答题在真实试卷中极少单独命制，选用 2022 年福建龙岩校考期中原题；每题均为无图题，题面、答案与详解均已逐题独立核对，每题题面均标注出处。 全卷按题型分层编排：选择题 11 道、填空题 9 道、解答题 4 道；例题组（3 选＋3 填＋1 解）、变式组（5 选＋4 填＋1 解）、拔高组（3 选＋2 填＋2 解）——每组均同时包含选择、填空、解答三类题型，组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 1。 概念与一般形式是第 25 章的地基：概念判定与化一般形式稳定出现在期中卷的选择、填空，含参数 a≠0 是隐含条件类题的固定陷阱——先化简、再核对、最后带符号读系数，是本考点答题的三步主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高组概念综合与含参讨论，供学有余力的学生冲击压轴。全卷限时 40 分钟：选择约 1 分钟一道、填空约 1.5 分钟一道、解答约 4 分钟一道；本系列后续按考点 2～5 逐个推出，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），三条主线：一定义与三条件——先化简再核对；二一般形式与各项系数——带符号读系数、缺项补 0；三根的定义与含参数——代入检验、降次代换，a≠0 是前提。 PART 01 考点 1 知识主线：概念与一般形式 考点范围：一元二次方程的概念与一般形式——定义三条件（整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2）；一般形式 ＋bx＋c＝0（a≠0）与各项系数的识别；根的定义与代入检验；含参数问题中 a≠0 的隐含条件。本考点是第 25 章的地基，期中卷选择、填空稳定考查。 主线一、定义与三条件——先化简，再核对 ◆ 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。判断一个方程『是不是』，必须先化简整理、再核对三条件——分式方程、二元方程、化简后二次项系数为 0 的方程都要排除。 ◆ 一般形式：＋bx＋c＝0（a≠0）中， 是二次项、a 是二次项系数，bx 是一次项、b 是一次项系数，c 是常数项；a、b、c 都要带符号读，缺项时该系数为 0，唯独 a 永远不能为 0。 主线二、根的定义——代入检验与降次代换 ◆ 根的定义：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）；检验某值是不是根，把它分别代入左边和右边，只有左边＝右边才算。 ◆ 根的定义的第二用途——降次代换：已知 m 是方程的根，把 x＝m 代入得到关于 m 的等式（如 －m＝1），不解方程就能整体代换求代数式的值。 主线三、含参数的方程——a≠0 是前提 ◆ 含参数分类：『是一元二次方程』即二次项系数不为 0；『是一元一次方程』即二次项系数＝0 且一次项系数不为 0；若指数或根号中还含参数，要同时满足次数条件与有意义条件——每个限制都单独检验、最后联立。 概念与一般形式考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 考点主线：定义与三条件 整式方程 · 一元 · 最高次数 2（以化简合并后的结果为准） 概念判定、个数统计 不化简就判断 一般形式与系数 ＋bx＋c＝0（a≠0），a、b、c 带符号读 化一般形式、读系数、系数求和 系数不带符号、缺项漏补 0 根的定义 使方程左、右两边相等的未知数的值 代入检验、降次代换求值 只代入一边就下结论 含参数的方程 『是』即二次项系数≠0；『一元一次』即二次项系数＝0 且一次项系数≠0 求参数取值范围、分类讨论 漏 a≠0 或漏一次项限制 几何等背景验根 根要过实际背景关（三边关系、正数、整数） 三角形背景验根判形 解出即答、不验范围 ◆ 化一般形式的操作规范：先去括号、再移项（右边化为 0）、最后合并同类项并按 x 的降幂排列；读系数要带符号，b、c 可以是 0（缺项），a 决不能是 0——这一步是全章一切运算的起点。 四、易错警示与综合提分——概念题的高频陷阱 ◆ 三大高频陷阱：①不化简就判断——如 ＋2x＋3＝x(x＋1) 化简后是一次方程；②分母含未知数——是分式方程，不进『整式方程』的门；③含参数漏 a≠0——『是』要二次项系数不为 0，『一元一次』要二次项系数为 0 且一次项系数不为 0。 ◆ 根的定义两用要写规范：正向检验——代入后左边＝右边才是根；反向构造——已知根就代入得等式，再整体代换求值；『根』与『解』在本章同义，检验别只代入一边。 ◆ 概念题答题三步：先化简整理 → 再核对三条件（整式、一元、最高次数 2）→ 含参数先定二次项系数是否为 0；读系数、判根都在一般形式下进行，答完回看有没有漏限制。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 概念与一般形式是第 25 章的地基，也是期中卷选择、填空的稳定考点：概念判定、化一般形式几乎每卷必到，难度不高、但易错率高——『先化简再判断』这一步省不得。 本考点考的是『识别』：判断一个方程是不是一元二次方程，看化简合并后是否同时满足整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数是 2；判断含参数的方程，先看二次项系数是否为 0。 化一般形式是全章一切运算的起点：解方程、用判别式、用根与系数的关系，都要先写出一般形式、带符号认清 a、b、c——系数读错，后面全错。 根的定义承担『检验』与『代换』两个功能，是后续降次、整体代入方法的源头；把『代入后左边＝右边』写规范，概念题就稳了。 答题方法（三步法） 第一步·化简整理：去括号、移项、合并同类项，把方程整理成最简形式——概念判定题不做这步就直接判断，是第一失分点。 第二步·核对条件：整式方程（分母不含未知数）· 只含一个未知数 · 化简后未知数的最高次数是 2——三个条件同时满足才算一元二次方程。 第三步·按需作答：化一般形式按 x 的降幂排列、带符号读系数；含参数题由『是／不是』反推二次项系数的限制，别漏 a≠0。 注意事项（易错警示） 概念判定第一错点是『不化简就判断』：如 ＋2x＋3＝x(x＋1) 化简后是一次方程；分母含未知数的是分式方程——凡判断，先化简。 含参数方程的两个限制：『是一元二次方程』则二次项系数不为 0；『是一元一次方程』则二次项系数为 0 且一次项系数不为 0——两个条件缺一不可。 化一般形式的书写规范：按 x 的降幂排列（＋bx＋c＝0），常数项全部移到左边；各项系数带符号，缺项时系数按 0 处理。 根的检验要算对：把候选值分别代入左边和右边，只有左右两边的值相等才是根——运算马虎会把检验变成走过场。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 概念判定 化简后核对三条件 下列方程中，是一元二次方程的是 ★☆ 含字母系数讨论 含 a、b、c 的方程先看二次项系数 含字母系数的方程是不是一元二次方程 ★★ 化一般形式与读系数 去括号、移项、合并、降幂排列 二次项系数、一次项系数、常数项 ★☆ 指数含参判定 次数为 2 与二次项系数不为 0 联立 m 为何值时，方程是一元二次方程 ★★☆ 根的定义 代入构造等式、整体代换求值 已知 m 是方程的根，求代数式的值 ★★ 新定义与几何背景验根 定义转化、验根分类（三边关系） 新定义运算、同伴方程、等腰验根 ★★★ 命题边界：本考点以第 25 章「概念与一般形式」为主线——一元二次方程的定义三条件（整式方程、只含一个未知数、化简后未知数最高次数 2）、化一般形式并带符号读 a、b、c、根的定义（代入检验与降次代换）、含参数问题中 a≠0 的隐含条件。部分真题以三角形三边关系、新定义为背景，此类题以概念与验根为主线，解简单方程（因式分解法、直接开平方）仅作为工具步骤；解方程的系统方法由本系列考点 2 复习资料承接，根的判别式、根与系数的关系分别由考点 3、考点 4 承接（个别拔高题按原卷解法确需用到判别式处，已在解析中明确说明）。 PART 03 考点 1 例题精讲（7 题）—— 概念判定 · 含参 a≠0 · 定义分类讨论 例题覆盖：概念判定（选择·例 1、例 2）→ 化一般形式与读系数（选择·例 3）→ 指数含参的定义判定（填空·例 4、例 5）→ 根的定义代入求参（填空·例 6）→ 一元一次与一元二次的双向分类讨论（解答·例 7）→ 变式覆盖：绝对值指数含参（变 1）、化一般形式读一次项系数（变 2）、a＋b＋c＝0 判根（变 3）、系数识别纠错（变 4）、代入求 m（变 5）、等腰验根求周长（变 6）、整体求 m＋n（变 7）、第三边取值范围（变 8）、新定义列方程（变 9）、纠错与规范书写（变 10）→ 拔高覆盖：降次整体代换（拔 1）、三角形验根分类（拔 2、拔 3）、等腰两根与判别式（拔 4）、看错系数联立消元（拔 5）、新定义运算（拔 6）、同伴方程定义综合（拔 7）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教概念判定（选择）：先化简再核对三条件——分式方程（分母含未知数）、二元方程、化简后降次为一次的方程，都要排除； ◆ 例 2 教概念判定辨析（选择）：紧扣定义三条件逐项判断——一次方程、二元方程、分式方程逐一排除，留下唯一选项； ◆ 例 3 教化一般形式与读系数（选择）：移项、合并、按 x 的降幂排列，a、b、c 带符号读，缺项补 0； ◆ 例 4 教指数含参的定义判定（填空·嵌空）：由『次数为 2』解出参数，再回头检验二次项系数不为 0——两步缺一不可； ◆ 例 5 教绝对值指数含参（填空·嵌空）：｜m－2｜＝2 解出两个候选值，用二次项系数 m－4≠0 舍去一个； ◆ 例 6 教根的定义代入求参（填空·嵌空）：已知根就代入方程，把方程问题转化为关于参数的一次方程； ◆ 例 7 教定义双向分类讨论（解答）：「是一元一次方程」看二次项系数为 0、指数为 1、指数为 0 三类情形，「是一元二次方程」看指数为 2 且二次项系数不为 0，解绝对值方程后逐一代回检验； 例 1　选择题 （2025 秋·河北·第二十一章学情评估）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x＋1＝0　　　　B．a＋bx＋c＝0 C．－1＝0　　　　D．x＋y＝2 【答案】C 【解析】一元二次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③整式方程。 A 是一元一次方程；B 中二次项系数 a 未限定 a≠0，当 a＝0 时不是一元二次方程； C 化简为 ＝1，只含一个未知数 x、次数为 2、是整式方程，是一元二次方程； D 含两个未知数 x、y，是二元一次方程。故选 C。 【详解】逐项判断： A．2x＋1＝0，未知数次数是 1，不是一元二次方程； B．a＋bx＋c＝0，当 a＝0 时未知数次数不足 2，不一定是二次方程； C．－1＝0，满足一元二次方程的全部条件； D．x＋y＝2，含两个未知数，不是一元二次方程。 故选：C。 例 2　选择题 （2025—2026 学年·江苏徐州树人初级中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x＋2＝1　　　　B．＋y＝2 C．2＋x＝1　　　　D．＋＝2 【答案】C 【解析】按定义逐个判断：A 未知数次数为 1；B 含两个未知数； C 只含未知数 x、最高次数为 2、是整式方程，是一元二次方程； D 中分母含未知数 x，不是整式方程，是一元二次方程定义中的易错点。故选 C。 【详解】逐项判断： A．x＋2＝1，是一元一次方程； B．＋y＝2，含两个未知数，是二元二次方程； C．2＋x＝1，满足一元二次方程的定义； D．＋＝2，分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程。 故选：C。 例 3　选择题 （2025 春·黑龙江哈尔滨香坊区·校级期中）将一元二次方程 3＝5x－2 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（　　） A．3，－5，－2　　　　B．3，－5x，2　　　　C．3，5x，－2　　　　D．3，－5，2 【答案】D 【解析】先把方程化为一般形式 ＋bx＋c＝0（a≠0），移项得 3－5x＋2＝0，再按项读系数。 【详解】移项，得 3－5x＋2＝0。 ∴ 二次项为 3，二次项系数为 3； 一次项为 －5x，一次项系数为 －5；常数项为 2。 故选：D。 例 4　填空题 （2025 春·安徽安庆·期中）若关于 x 的方程 (k－2)＋4x－3＝0 是一元二次方程，则 k＝____－2____。 【答案】－2 【解析】一元二次方程要求未知数最高次数为 2 且二次项系数不为 0，故 －2＝2 且 k－2≠0，联立求解。 【详解】由题意得 －2＝2， 解得 k＝2 或 k＝－2。 又∵ 二次项系数 k－2≠0，∴ k≠2， ∴ k＝－2。 例 5　填空题 （2025 春·安徽合肥·期中）若关于 x 的方程 (m－4)＋2x－5＝0 是一元二次方程，则 m＝____0____。 【答案】0 【解析】由未知数次数为 2 得｜m－2｜＝2，解出 m 后再用二次项系数 m－4≠0 筛选。 【详解】由题意得 ｜m－2｜＝2， ∴ m－2＝2 或 m－2＝－2， 解得 m＝4 或 m＝0。 又∵ m－4≠0，∴ m≠4， ∴ m＝0。 例 6　填空题 （2025—2026 学年·江苏徐州树人初级中学·期中）若 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 －kx＋6＝0 的一个根，则 k＝____5____。 【答案】5 【解析】由根的定义，把 x＝2 代入方程使等式成立，得到关于 k 的一元一次方程，解出即可。 【详解】把 x＝2 代入 －kx＋6＝0，得 －2k＋6＝0， 即 4－2k＋6＝0， 解得 k＝5。 例 7　解答题 （2025 秋·四川月考）方程． （1）当取何值时是一元二次方程？ （2）当取何值时是一元一次方程？ 【答案】 ； 或． 【考点】 一元二次方程的定义 【解析】 （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【解答】 （1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． PART 04 考点 1 变式练习（10 题）—— 概念判定 · 化一般形式 · 含参 a≠0 · 根的定义 与例题同考点、同方法的 2025／2026 年各地考试真题，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色部分），自测时先遮住红色部分再核对。 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 练概念判定（选择）：变 1 逐项核对三条件，变 2 抓『一定』——字母系数须恒不为 0（|a|＋2＞0）； ◆ 变 3 ～ 变 5 练含参与根的定义（选择）：变 3 二次项系数不为 0、变 4 降次代换整体求值、变 5 一次项系数为 0 定参数； ◆ 变 1～变 5 选择题练概念判定、化一般形式读系数、根的定义代入：先化简再判断，含字母系数的先看二次项系数，含绝对值指数的先解绝对值方程； ◆ 变 6～变 9 填空题练根的定义与几何背景验根——解出根后必须用三边关系检验再作答；变 10 解答题练找错与规范书写：两边除以含未知数的式子之前，先确认它不为 0。 变式 1　选择题 （2025 春·山东淄博高青县·期中）若 (m－3)－x－5＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．1　　　　B．3　　　　C．－1　　　　D．± 【答案】C 【解析】由次数为 2 得｜m－1｜＝2，解得 m＝3 或 m＝－1，再用二次项系数 m－3≠0 排除 m＝3。 【详解】由题意得 ｜m－1｜＝2， ∴ m－1＝2 或 m－1＝－2， 解得 m＝3 或 m＝－1。 又∵ m－3≠0，∴ m≠3， ∴ m＝－1。 故选：C。 变式 2　选择题 （2025 春·黑龙江哈尔滨南岗区·校级月考）将方程 x＝－2＋1 化为一般形式后，二次项系数为 2，则一次项系数为（　　） A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2 【答案】A 【解析】先把方程移项化为一般形式，注意符号变化，再读出一次项系数。 【详解】移项，得 2＋x－1＝0。 ∴ 二次项系数为 2，一次项系数为 1。 故选：A。 变式 3　选择题 （2026 春·上海闵行区·校级期末）已知关于 x 的一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0）满足 a＋b＋c＝0，那么下列判断中正确的是（　　） A．该方程一定有两个相等的实数根 B．该方程一定有两个不相等的实数根 C．该方程一定有一个实数根为 x＝1 D．该方程一定有一个实数根为 x＝－1 【答案】C 【解析】由根的定义，把 x＝1 代入方程左边，恰好得 a＋b＋c＝0，故 x＝1 一定是方程的根； 而判别式的情况由 a、b、c 的具体取值决定，无法断定两根相等或不相等，A、B 不成立。 【详解】当 x＝1 时，a＋b×1＋c＝a＋b＋c＝0， ∴ x＝1 一定是该方程的一个实数根，C 成立； 取 a＝1，b＝0，c＝－1，方程 －1＝0 有两个不相等的实数根，A 不成立； 取 a＝1，b＝－2，c＝1，方程 －2x＋1＝0 有两个相等的实数根，B 不成立； x＝－1 时左边为 a－b＋c，其值不一定为 0，D 不成立。 故选：C。 变式 4　选择题 （2025—2026 秋·湖北孝感孝南区·期中）对于一元二次方程 2－3x＋1＝0，下列说法中错误的是（　　） A．二次项是 2 B．一次项系数是 3 C．常数项是 1 D．x＝1 是它的一个根 【答案】B 【解析】已是一般形式，直接按项读系数；一次项是 －3x，一次项系数是 －3 而不是 3，B 的说法错误。 【详解】方程 2－3x＋1＝0 已是一般形式： 二次项为 2，A 正确； 一次项为 －3x，一次项系数是 －3，B 错误； 常数项为 1，C 正确； 把 x＝1 代入：2×1－3×1＋1＝0，D 正确。 故选：B。 变式 5　选择题 （2025·广东东莞·模拟）若 x＝1 是关于 x 的方程 ＋mx＋1＝0 的一个解，则 m 的值为（　　） A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2 【答案】D 【解析】把 x＝1 代入方程，得关于 m 的一元一次方程，解出 m。 【详解】把 x＝1 代入 ＋mx＋1＝0，得 1＋m＋1＝0， 解得 m＝－2。 故选：D。 变式 6　填空题 （2025 春·浙江·期中）如果一元二次方程 x(x－8)＝4(x－8) 的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为____20____。 【答案】20 【解析】先解方程求出两根，再按等腰三角形的边分腰、底分类讨论，并用三边关系（两边之和大于第三边）检验。 【详解】移项，得 x(x－8)－4(x－8)＝0， 提公因式，得 (x－8)(x－4)＝0， 解得 ＝8，＝4。 当腰为 4、底为 8 时，∵ 4＋4＝8，不满足两边之和大于第三边，舍去； 当腰为 8、底为 4 时，∵ 8＋4＞8，能构成三角形， ∴ 周长为 8＋8＋4＝20。 变式 7　填空题 （2025—2026 秋·湖北孝感孝南区·期中）已知 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 ＋mx＋n＝0 的一个根，则 m＋n＝____－1____。 【答案】－1 【解析】把 x＝1 代入方程得 1＋m＋n＝0，整体整理即得 m＋n 的值。 【详解】把 x＝1 代入 ＋mx＋n＝0，得 1＋m＋n＝0， ∴ m＋n＝－1。 变式 8　填空题 （2025 年·上海杨浦区·八年级上学期期中）已知一个三角形的两条边长分别是方程 －5x＋6＝0 的两个根，若第三条边长为 c，则 c 的取值范围是____1＜c＜5____。 【答案】1＜c＜5 【解析】先解方程求出两根，再由三角形三边关系（两边之差＜第三边＜两边之和）确定 c 的范围。 【详解】解方程 －5x＋6＝0： 因式分解，得 (x－2)(x－3)＝0， 解得 ＝2，＝3。 ∴ 两条边长分别为 2 和 3。 由三角形三边关系，得 3－2＜c＜3＋2， 即 1＜c＜5。 变式 9　填空题 （2025·山东德州乐陵·期中）小华设计了一个魔术盒，将任意实数对 (a，b) 放入其中，会得到一个新的实数 －2b－3．若将实数对 (2x，－x) 放入其中得到实数 －1，则 x 的值为____－1 或 ____。 【答案】－1 或 【解析】按规则先列式，再把 －1 代入得到关于 x 的一元二次方程，用因式分解法求解。 【详解】由规则，得 －2×(－x)－3＝－1， 即 4＋2x－3＝－1， 整理，得 4＋2x－2＝0， 两边同除以 2，得 2＋x－1＝0， 因式分解，得 (2x－1)(x＋1)＝0， 解得 ＝，＝－1。 变式 10　解答题 （2025 春·浙江湖州吴兴区·期末）对于解方程 ＝2x＋6，小刚的做法如下： 解：等号右边提取公因式 2，得 ＝2(x＋3)，……步骤 1 等号两边同时除以 (x＋3)，得 x＋3＝2，……步骤 2 移项，得 x＝2－3，……步骤 3 合并同类项，得 x＝－1．……步骤 4 已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程。 【答案】开始出错的步骤为步骤 2；正确解得 ＝－3，＝－1 【解析】等式两边同时除以一个含未知数的式子时，必须保证它不为 0；(x＋3) 可以为 0，两边除以 (x＋3) 会失根，故步骤 2 开始出错。正确做法是移项后提公因式。 【详解】小刚从步骤 2 开始出错。 ∵ 两边同时除以 (x＋3) 时，x＋3 可能为 0， 当 x＋3＝0 即 x＝－3 时方程两边都为 0，也是方程的解，被漏掉了。 正确解答：移项，得 －2(x＋3)＝0， 提公因式，得 (x＋3)(x＋3－2)＝0， 即 (x＋3)(x＋1)＝0， 解得 ＝－3，＝－1。 PART 05 考点 1 拔高巩固（7 题）—— 概念综合 · 含参 a≠0 跨考点组合命题——概念综合与含参讨论，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1～拔 3 选择题：根的定义降次代换与整体代换求值、三角形背景验根分类——『解出即答、不验范围』是最大失分点； ◆ 拔 4 填空题：等腰三角形两腰与方程两根的对应——分『两根相等』与『一根等于腰长』两类，逐一检验三边关系； ◆ 拔 5 填空题：看错系数问题——看错的系数当未知数设出，把两个根分别代入联立消元； ◆ 拔 6、拔 7 解答题：新定义运算与「同伴方程」——先读懂定义再动笔，把定义条件全部转化为方程与根的检验。 拔高 1　选择题 （2025 春·安徽六安金安区·校级期中）若 m 是一元二次方程 －4x＋2＝0 的一个根，则代数式 2020－2＋8m 的值为（　　） A．2016　　　　B．2018　　　　C．2022　　　　D．2024 【答案】D 【解析】由根的定义得 －4m＋2＝0，整理出 －4m 的值，再把所求式整体代换。 【详解】∵ m 是方程 －4x＋2＝0 的根， ∴ －4m＋2＝0， ∴ －4m＝－2。 ∴ 2020－2＋8m＝2020－2(－4m) ＝2020－2×(－2)＝2020＋4＝2024。 故选：D。 拔高 2　选择题 （2025·四川泸县·一模）已知 △ABC 中，AB＝3，AC＝5，第三边 BC 的长为一元二次方程 －7x＋10＝0 的一个根，则三角形的周长为（　　） A．10　　　　B．11　　　　C．12　　　　D．13 【答案】D 【解析】先解方程求出两个根，逐一代入 BC，用三边关系检验能否构成三角形，再算周长。 【详解】解方程 －7x＋10＝0： 因式分解，得 (x－2)(x－5)＝0， 解得 ＝2，＝5。 当 BC＝2 时，∵ AB＋BC＝3＋2＝5＝AC， 不满足两边之和大于第三边，舍去； 当 BC＝5 时，∵ 3＋5＞5，能构成三角形， ∴ 周长为 3＋5＋5＝13。 故选：D。 拔高 3　选择题 （2025—2026 学年·山东德州陵城区第五中学·第一次阶段性质量检测）若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 －10x＋9＝0 的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．16　　　　B．19　　　　C．20　　　　D．21 【答案】B 【解析】解方程得两根后，按腰、底分类：两根相等与否直接决定形状，再逐一用三边关系检验。 【详解】解方程 －10x＋9＝0： 因式分解，得 (x－1)(x－9)＝0， 解得 ＝1，＝9。 当腰为 1、底为 9 时，∵ 1＋1＜9，不能构成三角形，舍去； 当腰为 9、底为 1 时，∵ 9＋1＞9，能构成三角形， ∴ 周长为 9＋9＋1＝19。 故选：B。 拔高 4　填空题 （2026 春·浙江绍兴新昌县·期中）已知等腰 △ABC 中，BC＝4，AB，AC 是关于 x 的一元二次方程 －6x＋m＝0（m 是常数）的两实数根，则 m 的值为____8 或 9____。 【答案】8 或 9 【解析】按 AB 与 AC 是否相等分两类：AB＝AC 时两根相等，用根的判别式；AB＝BC 或 AC＝BC 时 4 是方程的一个根，代入求 m，两种情况都要检验三边关系。 【详解】①当 AB＝AC 时，方程有两个相等的实数根， ∴ Δ＝－4m＝0，即 36－4m＝0， 解得 m＝9，此时 AB＝AC＝3， ∵ 3＋3＞4，能构成三角形，m＝9 符合题意； ②当 AB＝BC＝4 或 AC＝BC＝4 时， 把 x＝4 代入方程，得 16－24＋m＝0， 解得 m＝8，此时方程为 －6x＋8＝0， 两根为 2 和 4，即三边为 4，4，2， ∵ 2＋4＞4，能构成三角形，m＝8 符合题意。 综上，m 的值为 8 或 9。 拔高 5　填空题 （2025·青海）小明、小刚同解一个关于 x 的一元二次方程 ＋bx＋c＝0．小明看错了一次项系数 b，解得方程的两个根为 2 和 3；小刚看错了常数项 c，解得方程的两个根为 1 和 5．则这个一元二次方程为____－6x＋6＝0____。 【答案】－6x＋6＝0 【解析】小明看错 b，说明常数项 c 是正确的，把 2 和 3 分别代入（含错误系数 b′ 的）方程，联立可求出 c；小刚看错 c，说明 b 是正确的，把 1 和 5 代入（含错误系数 c′ 的）方程，联立可求出 b，从而写出原方程。 【详解】设小明看错的一次项系数为 b′，其方程为 ＋b′x＋c＝0。 把 x＝2 代入，得 4＋2b′＋c＝0……① 把 x＝3 代入，得 9＋3b′＋c＝0……② ②－①，得 5＋b′＝0，解得 b′＝－5， 代入①，得 4－10＋c＝0，解得 c＝6。 设小刚看错的常数项为 c′，其方程为 ＋bx＋c′＝0。 把 x＝1 代入，得 1＋b＋c′＝0……③ 把 x＝5 代入，得 25＋5b＋c′＝0……④ ④－③，得 24＋4b＝0，解得 b＝－6。 ∴ 原方程为 －6x＋6＝0。 拔高 6　解答题 （2025 春·浙江金华永康市·期末）对于任意两个非零实数 a，b，定义运算「◎」如下：a◎b＝（a≥b），a◎b＝ab（a＜b）．例如：4◎3＝，2◎3＝2×3＝6．根据上述定义，解决下列问题： (1)计算：1000◎10＝___100___； 　　　　2◎(8＋1)＝____18__。 (2)若 (x－1)◎(x＋1)＝2x＋2，求 x 的值。 【答案】(1)100，18；(2)x＝3 或 x＝－1 【解析】新定义题先辨明用哪条规则：(1)按大小关系选分支直接计算；(2)由 x－1＜x＋1 恒成立确定用乘法规则，把定义式化为一元二次方程求解。 【详解】(1)∵ 1000≥10，∴ 1000◎10＝＝100； ∵ 2＜8＋1，∴ 2◎(8＋1)＝2×(8＋1)＝2×9＝18。 (2)∵ x－1＜x＋1 恒成立， ∴ (x－1)◎(x＋1)＝(x－1)(x＋1)， ∴ (x－1)(x＋1)＝2x＋2， 即 －1＝2x＋2， 整理，得 －2x－3＝0， 因式分解，得 (x－3)(x＋1)＝0， 解得 ＝3，＝－1。 拔高 7　解答题 （2025—2026 秋·广东湛江廉江市实验学校·期中·第 22 题）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为「同伴方程」．例如 ＝4 和 (x－2)(x＋3)＝0 有且只有一个相同的实数根 x＝2，所以这两个方程为「同伴方程」．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列方程属于「同伴方程」的有___①②___（只填写序号即可）； ①＝9；②＋4x＋4＝0；③(x＋4)(x－2)＝0 (2)关于 x 的一元二次方程 －2x＝0 与 ＋3x＋m－1＝0 为「同伴方程」，求 m 的值； (3)若关于 x 的一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足 a＋b＋c＝0 和 a－b＋c＝0，且与 (x＋2)(x－n)＝0 互为「同伴方程」，求 n 的值． 【答案】(1)①②；(2)m＝1 或 m＝－9；(3)n＝1 或 n＝－1 【解析】(1)先分别解出三个方程的根，再看哪两个方程恰有唯一公共根；(2)先解 －2x＝0 得根 0 和 2，把公共根逐一代入第二个方程分类求 m；(3)由 a＋b＋c＝0 得 x＝1 是根，由 a－b＋c＝0 得 x＝－1 是根，故该方程的根恰为 1 和 －1，再与 (x＋2)(x－n)＝0 的根比较．（原卷官方答案未随卷公布，以上为本方逐题独立复算结果） 【详解】(1)解①：直接开平方，得 x－1＝±3， 解得 ＝4，＝－2； 解②：因式分解，得 ＝0， 解得 ＝＝－2； 解③：由 (x＋4)(x－2)＝0， 解得 ＝－4，＝2。 ①与②恰有唯一公共根 x＝－2，是同伴方程； ①与③没有公共根，②与③没有公共根，都不是同伴方程。 ∴ 属于同伴方程的是①②。 (2)解 －2x＝0，提公因式，得 x(x－2)＝0， 解得 ＝0，＝2。 ①当公共根为 x＝0 时，把 x＝0 代入 ＋3x＋m－1＝0， 得 m－1＝0，解得 m＝1， 此时方程为 ＋3x＝0，根为 0 和 －3， 与 －2x＝0 的公共根只有 0，符合； ②当公共根为 x＝2 时，把 x＝2 代入，得 4＋6＋m－1＝0，解得 m＝－9， 此时方程为 ＋3x－10＝0，根为 2 和 －5， 与 －2x＝0 的公共根只有 2，符合。 ∴ m＝1 或 m＝－9。 (3)∵ a＋b＋c＝0，把 x＝1 代入方程左边： a×1＋b×1＋c＝a＋b＋c＝0， ∴ x＝1 是方程 a＋bx＋c＝0 的根； ∵ a－b＋c＝0，把 x＝－1 代入方程左边： a×1－b＋c＝a－b＋c＝0， ∴ x＝－1 也是该方程的根。 ∴ 方程 a＋bx＋c＝0 的根为 1 和 －1。 方程 (x＋2)(x－n)＝0 的根为 －2 和 n。 ①当公共根为 x＝1 时，n＝1， 此时根为 －2 和 1，与 1 和 －1 恰有唯一公共根 1，符合； ②当公共根为 x＝－1 时，n＝－1， 此时根为 －2 和 －1，与 1 和 －1 恰有唯一公共根 －1，符合。 ∴ n＝1 或 n＝－1。 附录 过关自查——按题号逐题打勾，把不会的题目标红回炉 题号 考点主线 若错，写出错因 订正完成 例 1 概念判定（三条件排除） 例 2 概念判定（三条件排除） 例 3 化一般形式·带符号读系数 例 4 指数含参·二次项系数检验 例 5 绝对值指数含参 例 6 根的定义代入求参 例 7 定义分类讨论（一次·二次） 变式 1 绝对值指数含参（含舍去） 变式 2 化一般形式·一次项系数 变式 3 a＋b＋c＝0 判根 变式 4 系数识别纠错 变式 5 根的定义代入求 m 变式 6 等腰验根·周长分类 变式 7 根的定义·整体求 m＋n 变式 8 三角形第三边取值范围 变式 9 新定义列方程·因式分解 变式 10 纠错·两边除以含未知数式 拔高 1 根的定义·降次整体代换 拔高 2 三角形验根·周长分类 拔高 3 等腰验根·周长分类 拔高 4 等腰两根分类＋判别式 拔高 5 看错系数·联立消元 拔高 6 新定义运算◎ 拔高 7 同伴方程定义综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——考前只重做打不了勾的题。本考点口诀：概念判定先化简，含参先保 a≠0；读系数要带符号，根的定义代两边；化一般形式按降幂排，缺项补 0 切莫忘。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 1：概念与一般形式 ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 1：定义三条件 · 一般形式 · 各项系数 · 根的定义 知识点总结 → 考点分析 → 例题 7 · 变式 10 · 拔高 7 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 1 专项（概念与一般形式），共 24 道题，以 2025 年与 2026 年全国各地各级各类考试（期中、期末、月考、模拟、学情评估等）的网络试卷原题为主，其中例 7 因概念类解答题在真实试卷中极少单独命制，选用 2022 年福建龙岩校考期中原题；每题均为无图题，题面、答案与详解均已逐题独立核对，每题题面均标注出处。 全卷按题型分层编排：选择题 11 道、填空题 9 道、解答题 4 道；例题组（3 选＋3 填＋1 解）、变式组（5 选＋4 填＋1 解）、拔高组（3 选＋2 填＋2 解）——每组均同时包含选择、填空、解答三类题型，组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 1。 概念与一般形式是第 25 章的地基：概念判定与化一般形式稳定出现在期中卷的选择、填空，含参数 a≠0 是隐含条件类题的固定陷阱——先化简、再核对、最后带符号读系数，是本考点答题的三步主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高组概念综合与含参讨论，供学有余力的学生冲击压轴。全卷限时 40 分钟：选择约 1 分钟一道、填空约 1.5 分钟一道、解答约 4 分钟一道；本系列后续按考点 2～5 逐个推出，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），三条主线：一定义与三条件——先化简再核对；二一般形式与各项系数——带符号读系数、缺项补 0；三根的定义与含参数——代入检验、降次代换，a≠0 是前提。 PART 01 考点 1 知识主线：概念与一般形式 考点范围：一元二次方程的概念与一般形式——定义三条件（整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数是 2）；一般形式 ＋bx＋c＝0（a≠0）与各项系数的识别；根的定义与代入检验；含参数问题中 a≠0 的隐含条件。本考点是第 25 章的地基，期中卷选择、填空稳定考查。 主线一、定义与三条件——先化简，再核对 ◆ 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。判断一个方程『是不是』，必须先化简整理、再核对三条件——分式方程、二元方程、化简后二次项系数为 0 的方程都要排除。 ◆ 一般形式：＋bx＋c＝0（a≠0）中， 是二次项、a 是二次项系数，bx 是一次项、b 是一次项系数，c 是常数项；a、b、c 都要带符号读，缺项时该系数为 0，唯独 a 永远不能为 0。 主线二、根的定义——代入检验与降次代换 ◆ 根的定义：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）；检验某值是不是根，把它分别代入左边和右边，只有左边＝右边才算。 ◆ 根的定义的第二用途——降次代换：已知 m 是方程的根，把 x＝m 代入得到关于 m 的等式（如 －m＝1），不解方程就能整体代换求代数式的值。 主线三、含参数的方程——a≠0 是前提 ◆ 含参数分类：『是一元二次方程』即二次项系数不为 0；『是一元一次方程』即二次项系数＝0 且一次项系数不为 0；若指数或根号中还含参数，要同时满足次数条件与有意义条件——每个限制都单独检验、最后联立。 概念与一般形式考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 考点主线：定义与三条件 整式方程 · 一元 · 最高次数 2（以化简合并后的结果为准） 概念判定、个数统计 不化简就判断 一般形式与系数 ＋bx＋c＝0（a≠0），a、b、c 带符号读 化一般形式、读系数、系数求和 系数不带符号、缺项漏补 0 根的定义 使方程左、右两边相等的未知数的值 代入检验、降次代换求值 只代入一边就下结论 含参数的方程 『是』即二次项系数≠0；『一元一次』即二次项系数＝0 且一次项系数≠0 求参数取值范围、分类讨论 漏 a≠0 或漏一次项限制 几何等背景验根 根要过实际背景关（三边关系、正数、整数） 三角形背景验根判形 解出即答、不验范围 ◆ 化一般形式的操作规范：先去括号、再移项（右边化为 0）、最后合并同类项并按 x 的降幂排列；读系数要带符号，b、c 可以是 0（缺项），a 决不能是 0——这一步是全章一切运算的起点。 四、易错警示与综合提分——概念题的高频陷阱 ◆ 三大高频陷阱：①不化简就判断——如 ＋2x＋3＝x(x＋1) 化简后是一次方程；②分母含未知数——是分式方程，不进『整式方程』的门；③含参数漏 a≠0——『是』要二次项系数不为 0，『一元一次』要二次项系数为 0 且一次项系数不为 0。 ◆ 根的定义两用要写规范：正向检验——代入后左边＝右边才是根；反向构造——已知根就代入得等式，再整体代换求值；『根』与『解』在本章同义，检验别只代入一边。 ◆ 概念题答题三步：先化简整理 → 再核对三条件（整式、一元、最高次数 2）→ 含参数先定二次项系数是否为 0；读系数、判根都在一般形式下进行，答完回看有没有漏限制。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 概念与一般形式是第 25 章的地基，也是期中卷选择、填空的稳定考点：概念判定、化一般形式几乎每卷必到，难度不高、但易错率高——『先化简再判断』这一步省不得。 本考点考的是『识别』：判断一个方程是不是一元二次方程，看化简合并后是否同时满足整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数是 2；判断含参数的方程，先看二次项系数是否为 0。 化一般形式是全章一切运算的起点：解方程、用判别式、用根与系数的关系，都要先写出一般形式、带符号认清 a、b、c——系数读错，后面全错。 根的定义承担『检验』与『代换』两个功能，是后续降次、整体代入方法的源头；把『代入后左边＝右边』写规范，概念题就稳了。 答题方法（三步法） 第一步·化简整理：去括号、移项、合并同类项，把方程整理成最简形式——概念判定题不做这步就直接判断，是第一失分点。 第二步·核对条件：整式方程（分母不含未知数）· 只含一个未知数 · 化简后未知数的最高次数是 2——三个条件同时满足才算一元二次方程。 第三步·按需作答：化一般形式按 x 的降幂排列、带符号读系数；含参数题由『是／不是』反推二次项系数的限制，别漏 a≠0。 注意事项（易错警示） 概念判定第一错点是『不化简就判断』：如 ＋2x＋3＝x(x＋1) 化简后是一次方程；分母含未知数的是分式方程——凡判断，先化简。 含参数方程的两个限制：『是一元二次方程』则二次项系数不为 0；『是一元一次方程』则二次项系数为 0 且一次项系数不为 0——两个条件缺一不可。 化一般形式的书写规范：按 x 的降幂排列（＋bx＋c＝0），常数项全部移到左边；各项系数带符号，缺项时系数按 0 处理。 根的检验要算对：把候选值分别代入左边和右边，只有左右两边的值相等才是根——运算马虎会把检验变成走过场。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 概念判定 化简后核对三条件 下列方程中，是一元二次方程的是 ★☆ 含字母系数讨论 含 a、b、c 的方程先看二次项系数 含字母系数的方程是不是一元二次方程 ★★ 化一般形式与读系数 去括号、移项、合并、降幂排列 二次项系数、一次项系数、常数项 ★☆ 指数含参判定 次数为 2 与二次项系数不为 0 联立 m 为何值时，方程是一元二次方程 ★★☆ 根的定义 代入构造等式、整体代换求值 已知 m 是方程的根，求代数式的值 ★★ 新定义与几何背景验根 定义转化、验根分类（三边关系） 新定义运算、同伴方程、等腰验根 ★★★ 命题边界：本考点以第 25 章「概念与一般形式」为主线——一元二次方程的定义三条件（整式方程、只含一个未知数、化简后未知数最高次数 2）、化一般形式并带符号读 a、b、c、根的定义（代入检验与降次代换）、含参数问题中 a≠0 的隐含条件。部分真题以三角形三边关系、新定义为背景，此类题以概念与验根为主线，解简单方程（因式分解法、直接开平方）仅作为工具步骤；解方程的系统方法由本系列考点 2 复习资料承接，根的判别式、根与系数的关系分别由考点 3、考点 4 承接（个别拔高题按原卷解法确需用到判别式处，已在解析中明确说明）。 PART 03 考点 1 例题精讲（7 题）—— 概念判定 · 含参 a≠0 · 定义分类讨论 例题覆盖：概念判定（选择·例 1、例 2）→ 化一般形式与读系数（选择·例 3）→ 指数含参的定义判定（填空·例 4、例 5）→ 根的定义代入求参（填空·例 6）→ 一元一次与一元二次的双向分类讨论（解答·例 7）→ 变式覆盖：绝对值指数含参（变 1）、化一般形式读一次项系数（变 2）、a＋b＋c＝0 判根（变 3）、系数识别纠错（变 4）、代入求 m（变 5）、等腰验根求周长（变 6）、整体求 m＋n（变 7）、第三边取值范围（变 8）、新定义列方程（变 9）、纠错与规范书写（变 10）→ 拔高覆盖：降次整体代换（拔 1）、三角形验根分类（拔 2、拔 3）、等腰两根与判别式（拔 4）、看错系数联立消元（拔 5）、新定义运算（拔 6）、同伴方程定义综合（拔 7）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教概念判定（选择）：先化简再核对三条件——分式方程（分母含未知数）、二元方程、化简后降次为一次的方程，都要排除； ◆ 例 2 教概念判定辨析（选择）：紧扣定义三条件逐项判断——一次方程、二元方程、分式方程逐一排除，留下唯一选项； ◆ 例 3 教化一般形式与读系数（选择）：移项、合并、按 x 的降幂排列，a、b、c 带符号读，缺项补 0； ◆ 例 4 教指数含参的定义判定（填空·嵌空）：由『次数为 2』解出参数，再回头检验二次项系数不为 0——两步缺一不可； ◆ 例 5 教绝对值指数含参（填空·嵌空）：｜m－2｜＝2 解出两个候选值，用二次项系数 m－4≠0 舍去一个； ◆ 例 6 教根的定义代入求参（填空·嵌空）：已知根就代入方程，把方程问题转化为关于参数的一次方程； ◆ 例 7 教定义双向分类讨论（解答）：「是一元一次方程」看二次项系数为 0、指数为 1、指数为 0 三类情形，「是一元二次方程」看指数为 2 且二次项系数不为 0，解绝对值方程后逐一代回检验； 例 1　选择题 （2025 秋·河北·第二十一章学情评估）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x＋1＝0　　　　B．a＋bx＋c＝0 C．－1＝0　　　　D．x＋y＝2 例 2　选择题 （2025—2026 学年·江苏徐州树人初级中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x＋2＝1　　　　B．＋y＝2 C．2＋x＝1　　　　D．＋＝2 例 3　选择题 （2025 春·黑龙江哈尔滨香坊区·校级期中）将一元二次方程 3＝5x－2 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（　　） A．3，－5，－2　　　　B．3，－5x，2　　　　C．3，5x，－2　　　　D．3，－5，2 例 4　填空题 （2025 春·安徽安庆·期中）若关于 x 的方程 (k－2)＋4x－3＝0 是一元二次方程，则 k＝________。 例 5　填空题 （2025 春·安徽合肥·期中）若关于 x 的方程 (m－4)＋2x－5＝0 是一元二次方程，则 m＝________。 例 6　填空题 （2025—2026 学年·江苏徐州树人初级中学·期中）若 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 －kx＋6＝0 的一个根，则 k＝________。 例 7　解答题 （2025 秋·四川月考）方程． （1）当取何值时是一元二次方程？ （2）当取何值时是一元一次方程？ PART 04 考点 1 变式练习（10 题）—— 概念判定 · 化一般形式 · 含参 a≠0 · 根的定义 与例题同考点、同方法的 2025／2026 年各地考试真题，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色部分），自测时先遮住红色部分再核对。 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 练概念判定（选择）：变 1 逐项核对三条件，变 2 抓『一定』——字母系数须恒不为 0（|a|＋2＞0）； ◆ 变 3 ～ 变 5 练含参与根的定义（选择）：变 3 二次项系数不为 0、变 4 降次代换整体求值、变 5 一次项系数为 0 定参数； ◆ 变 1～变 5 选择题练概念判定、化一般形式读系数、根的定义代入：先化简再判断，含字母系数的先看二次项系数，含绝对值指数的先解绝对值方程； ◆ 变 6～变 9 填空题练根的定义与几何背景验根——解出根后必须用三边关系检验再作答；变 10 解答题练找错与规范书写：两边除以含未知数的式子之前，先确认它不为 0。 变式 1　选择题 （2025 春·山东淄博高青县·期中）若 (m－3)－x－5＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．1　　　　B．3　　　　C．－1　　　　D．± 变式 2　选择题 （2025 春·黑龙江哈尔滨南岗区·校级月考）将方程 x＝－2＋1 化为一般形式后，二次项系数为 2，则一次项系数为（　　） A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2 变式 3　选择题 （2026 春·上海闵行区·校级期末）已知关于 x 的一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0）满足 a＋b＋c＝0，那么下列判断中正确的是（　　） A．该方程一定有两个相等的实数根 B．该方程一定有两个不相等的实数根 C．该方程一定有一个实数根为 x＝1 D．该方程一定有一个实数根为 x＝－1 变式 4　选择题 （2025—2026 秋·湖北孝感孝南区·期中）对于一元二次方程 2－3x＋1＝0，下列说法中错误的是（　　） A．二次项是 2 B．一次项系数是 3 C．常数项是 1 D．x＝1 是它的一个根 变式 5　选择题 （2025·广东东莞·模拟）若 x＝1 是关于 x 的方程 ＋mx＋1＝0 的一个解，则 m 的值为（　　） A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2 变式 6　填空题 （2025 春·浙江·期中）如果一元二次方程 x(x－8)＝4(x－8) 的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为________。 变式 7　填空题 （2025—2026 秋·湖北孝感孝南区·期中）已知 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 ＋mx＋n＝0 的一个根，则 m＋n＝________。 变式 8　填空题 （2025 年·上海杨浦区·八年级上学期期中）已知一个三角形的两条边长分别是方程 －5x＋6＝0 的两个根，若第三条边长为 c，则 c 的取值范围是________。 变式 9　填空题 （2025·山东德州乐陵·期中）小华设计了一个魔术盒，将任意实数对 (a，b) 放入其中，会得到一个新的实数 －2b－3．若将实数对 (2x，－x) 放入其中得到实数 －1，则 x 的值为________。 变式 10　解答题 （2025 春·浙江湖州吴兴区·期末）对于解方程 ＝2x＋6，小刚的做法如下： 解：等号右边提取公因式 2，得 ＝2(x＋3)，……步骤 1 等号两边同时除以 (x＋3)，得 x＋3＝2，……步骤 2 移项，得 x＝2－3，……步骤 3 合并同类项，得 x＝－1．……步骤 4 已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程。 PART 05 考点 1 拔高巩固（7 题）—— 概念综合 · 含参 a≠0 跨考点组合命题——概念综合与含参讨论，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1～拔 3 选择题：根的定义降次代换与整体代换求值、三角形背景验根分类——『解出即答、不验范围』是最大失分点； ◆ 拔 4 填空题：等腰三角形两腰与方程两根的对应——分『两根相等』与『一根等于腰长』两类，逐一检验三边关系； ◆ 拔 5 填空题：看错系数问题——看错的系数当未知数设出，把两个根分别代入联立消元； ◆ 拔 6、拔 7 解答题：新定义运算与「同伴方程」——先读懂定义再动笔，把定义条件全部转化为方程与根的检验。 拔高 1　选择题 （2025 春·安徽六安金安区·校级期中）若 m 是一元二次方程 －4x＋2＝0 的一个根，则代数式 2020－2＋8m 的值为（　　） A．2016　　　　B．2018　　　　C．2022　　　　D．2024 拔高 2　选择题 （2025·四川泸县·一模）已知 △ABC 中，AB＝3，AC＝5，第三边 BC 的长为一元二次方程 －7x＋10＝0 的一个根，则三角形的周长为（　　） A．10　　　　B．11　　　　C．12　　　　D．13 拔高 3　选择题 （2025—2026 学年·山东德州陵城区第五中学·第一次阶段性质量检测）若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 －10x＋9＝0 的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．16　　　　B．19　　　　C．20　　　　D．21 拔高 4　填空题 （2026 春·浙江绍兴新昌县·期中）已知等腰 △ABC 中，BC＝4，AB，AC 是关于 x 的一元二次方程 －6x＋m＝0（m 是常数）的两实数根，则 m 的值为_______。 拔高 5　填空题 （2025·青海）小明、小刚同解一个关于 x 的一元二次方程 ＋bx＋c＝0．小明看错了一次项系数 b，解得方程的两个根为 2 和 3；小刚看错了常数项 c，解得方程的两个根为 1 和 5．则这个一元二次方程为________。 拔高 6　解答题 （2025 春·浙江金华永康市·期末）对于任意两个非零实数 a，b，定义运算「◎」如下：a◎b＝（a≥b），a◎b＝ab（a＜b）．例如：4◎3＝，2◎3＝2×3＝6．根据上述定义，解决下列问题： (1)计算：1000◎10＝______； 　　　　2◎(8＋1)＝______。 (2)若 (x－1)◎(x＋1)＝2x＋2，求 x 的值。 拔高 7　解答题 （2025—2026 秋·广东湛江廉江市实验学校·期中·第 22 题）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为「同伴方程」．例如 ＝4 和 (x－2)(x＋3)＝0 有且只有一个相同的实数根 x＝2，所以这两个方程为「同伴方程」．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列方程属于「同伴方程」的有______（只填写序号即可）； ①＝9；②＋4x＋4＝0；③(x＋4)(x－2)＝0 (2)关于 x 的一元二次方程 －2x＝0 与 ＋3x＋m－1＝0 为「同伴方程」，求 m 的值； (3)若关于 x 的一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足 a＋b＋c＝0 和 a－b＋c＝0，且与 (x＋2)(x－n)＝0 互为「同伴方程」，求 n 的值． 附录 过关自查——按题号逐题打勾，把不会的题目标红回炉 题号 考点主线 若错，写出错因 订正完成 例 1 概念判定（三条件排除） 例 2 概念判定（三条件排除） 例 3 化一般形式·带符号读系数 例 4 指数含参·二次项系数检验 例 5 绝对值指数含参 例 6 根的定义代入求参 例 7 定义分类讨论（一次·二次） 变式 1 绝对值指数含参（含舍去） 变式 2 化一般形式·一次项系数 变式 3 a＋b＋c＝0 判根 变式 4 系数识别纠错 变式 5 根的定义代入求 m 变式 6 等腰验根·周长分类 变式 7 根的定义·整体求 m＋n 变式 8 三角形第三边取值范围 变式 9 新定义列方程·因式分解 变式 10 纠错·两边除以含未知数式 拔高 1 根的定义·降次整体代换 拔高 2 三角形验根·周长分类 拔高 3 等腰验根·周长分类 拔高 4 等腰两根分类＋判别式 拔高 5 看错系数·联立消元 拔高 6 新定义运算◎ 拔高 7 同伴方程定义综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——考前只重做打不了勾的题。本考点口诀：概念判定先化简，含参先保 a≠0；读系数要带符号，根的定义代两边；化一般形式按降幂排，缺项补 0 切莫忘。 1 学科网（北京）股份有限公司 $