第25章《一元二次方程》期中复习讲义——考点2 ：四种解法（含配方法的应用） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 2：四种解法（含配方法的应用） ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 2：直接开平方法 · 配方法 · 公式法 · 因式分解法 · 配方法的应用 · 方法选择 知识点总结 → 考点分析 → 例题 7 · 变式 11 · 拔高 9 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 2 专项（四种解法 + 配方法的应用），共 27 道，选自各级各类考试（中考、期中、期末、月考、同步检测等）的网络试卷原题；每题均为无图题，题面、答案与详解均已逐题独立核对。 全卷按题型分层编排：选择题 13 道、填空题 7 道、解答题 7 道；例题组（4 选＋1 填＋2 解）、变式组（5 选＋4 填＋2 解）、拔高组（4 选＋2 填＋3 解），每组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 2。 四种解法是第 25 章的主体、期中卷解答题的第一得分点：直接开平方、配方、公式、因式分解各有适用结构；配方法的应用延伸到配方求最值、配方法构造非负式与恒正证明——先化一般形式、再选最适宜方法、最后按规范书写步步有据，是本考点答题的三步主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲五种主线各一遍；变式学生限时独立完成；拔高组配方含参、新定义运算、配方法求最值与恒正证明，供学有余力的学生冲击压轴；本系列后续按考点 3～5 逐个推出，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），五条主线：一直接开平方法——整体开方、正负两支；二配方法——加一次项系数一半的平方；三公式法——先化一般形式、先算 ⟦SUP:b|2⟧－4ac；四因式分解法与方法选择——提公因式、十字相乘、看结构选方法；五配方法的应用——配方求最值、配方法构造非负式、恒正证明。 PART 01 考点 2 知识主线：四种解法 + 配方法的应用 考点范围：一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，以及根据方程结构选择最适宜方法；含配方求参数、完全平方式、新定义运算、解法纠错等解法直接相关的进阶题型；含配方法的应用——配方求最值、配方法构造非负式、恒正证明。本考点是第 25 章的主体，期中卷解答题的第一得分点。 主线一、直接开平方法——由平方降一次 ◆ 适用形式：形如 ＝p 或 ＝p（p≥0）的方程，把 x 或 x＋m 看成一个整体，两边开平方得到两个一元一次方程；p＜0 时方程无实根，p＝0 时两个根相等。 ◆ 两边都是完全平方式（如 ＝）同样整体开平方——开方后必须取『±』两支，只取一支就丢根；右边不是平方而是含未知数因式时，不能两边开平方。 主线二、配方法——加上一次项系数一半的平方 ◆ 配方步骤：①二次项系数化为 1；②移项，常数项移到右边；③两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成 ＝n 后直接开平方——『加上』必须在两边同时进行。 ◆ 配方法的双重身份：既能解具体方程（二次项系数为 1、一次项系数为偶数时首选），又是推导求根公式、判定 －2kx＋ 是完全平方式（－2k＝±2）的工具。 主线三、公式法——先化一般形式，先算判别式 ◆ 求根公式：对于 ＋bx＋c＝0（a≠0），当 －4ac≥0 时，x＝——代入前必须先化成一般形式、带符号确认 a、b、c，再计算 －4ac，最后化简结果；公式法是万能方法，任何一元二次方程都能用。 主线四、因式分解法与方法选择——提公因式与看结构选方法 ◆ 因式分解法：先移项使右边为 0，左边缺常数项先提公因式 (x＋m)、能十字相乘（常数项＝两数之积、一次项系数＝两数之和）则用十字相乘——两边有相同因式时必须移项提公因式，不能同除（丢根是第一陷阱）。◆ 方法选择：先看能否因式分解（缺常数项、有公因式、十字相乘）→ 再看能否直接开平方（完全平方＝常数）→ 二次项系数为 1 且一次项系数是偶数用配方 → 一般情形用公式法——按『先特殊、后一般』逐个排除。 四种解法考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 考点主线：四种解法 ＝p（p≥0）→ 整体开方取 ± 解平方形式方程、整体开方 只取一支丢根 配方法 a＝1 → 移项 → 加 → 开方 配方、完全平方式、求参数 m、n 只加一边、加错符号 公式法 x＝，先化一般形式 解一般方程、由公式反读系数 未化一般形式就读系数 因式分解法 移项 → 提公因式 / 十字相乘 → A·B＝0 共因式方程、二次三项式方程 两边同除含未知数因式 方法选择 看结构：先特殊后一般 方法选择、解法纠错 小题套大方法耗时 配方法的应用 配方成 a(x＋m)²＋n；构造非负式 ∑＝0 配方求最值、非负性求值、恒正证明 配方方向反、最值取点错 ◆ 解方程的操作规范：先化一般形式（去括号、移项、合并）→ 再看结构选方法（缺项先提、平方先开、系数一般用公式）→ 书写步步有据（开方取 ±、配方两边同加、因式分解后逐因式为零）——三步走完再下结论。 四、易错警示与综合提分——解法题的高频陷阱 ◆ 三大高频陷阱：①开方只取一支——＝p 开方必须 x＝±；②配方只加一边——两边必须同时加上 ；③两边同除含未知数的因式——如 x(x－2)＝x－2 除以 (x－2) 会丢根 x＝2，必须移项提公因式。 ◆ 方法选择顺序：先看能否因式分解（缺常数项、有公因式、十字相乘）→ 再看能否直接开平方（完全平方＝常数）→ 二次项系数为 1 且一次项系数是偶数用配方→ 一般情形用公式法；大题书写完整步骤，小题选最省时路径。◆ 配方法的应用三看：一看配方方向（一次项系数一半取带符号平方）；二看配方后常数项定最值（a＞0 取最小、a＜0 取最大）；三看非负式求值（∑＝0 同时为 0）。 ◆ 结果规范：不能分解的根保留根号与分数形式（如 x＝），不写近似小数；能分解的写成两个整数根；解出后回代抽查一个根，检验运算是否正确。◆ 配方法的结果规范：配方后写成 a(x＋m)²＋n 形式，写出最值并注明取等条件（x＝－m）。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 四种解法是第 25 章的主体，也是期中卷解答题的第一道常规题：解方程几乎每卷必到、分值稳定，方法选择与解法正误判断常出现在选择、填空——先化一般形式、再选方法，这步省不得。 本考点考的是『结构识别』：完全平方结构直接开平方；一次项系数是偶数、二次项系数为 1 用配方；不易分解、系数一般用公式；有公因式或能十字相乘用因式分解——结构定方法。 配方法的应用是本考点压轴的常考身份：从解方程延伸到配方求最值、配方法构造非负式（含两个未知数的等式定多个值）、配方法证恒正/恒负——三看配方方向、配方后常数项定最值、非负式同时为 0。 解法纠错与方法选择是本考点的两类压轴小题：纠错题盯『除式为 0、开方丢负根、配方加一边』三大陷阱；方法选择题按『先特殊、后一般』的顺序逐个排除。 答题方法（三步法） 第一步·化一般形式：去括号、移项、合并同类项，认清 a、b、c 带符号的值——没化成一般形式就代入求根公式，是第一失分点。 第二步·选方法：缺常数项先提公因式、完全平方先开方、二次项系数为 1 且一次项系数是偶数用配方、一般情形用公式法——按『先特殊、后一般』排除。 第三步·规范书写：开方写 ± 两支、配方两边同加、因式分解后逐因式为零；结果不能分解时保留根号与分数，最后回代抽查。配方法应用：配方后写 a(x＋m)²＋n 形式、写出最值与取等条件；构造非负式时列出『每个 ≥ 0、和为 0 同时为 0』的推理链。 注意事项（易错警示） 直接开平方第一错点是『只取正根』：＝p 开方得 x＝±——两个一次方程都要解，漏掉负支是最常见的丢分。 配方两错：只加一边（等号两边必须同时加上 ）；一半算错（b 是带符号的，先化简再取半）。配方前先把二次项系数化为 1。 公式法两错：未化一般形式就读系数；－4ac 计算时符号错（c 带负号代入是高发点）。算完判别式再代公式，一步一核。 因式分解第一错点是『两边同除』：x(x－2)＝x－2 除以 (x－2) 丢根——必须移项提公因式，让右边为 0，左边分解成 A·B＝0。配方法的应用三错：配方方向反（一次项系数一半平方后减常数项还是加常数项）、最值取点错（a＞0 时取最小值 k 在 x＝－h 处）、非负式漏一项（∑＝0 时只列了一项非负，其余未列）。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 直接开平方法 整体开方，取 ± 两支 方程 ＝7 的解是 ★☆ 配方法 加一次项系数一半的平方 配方正确的是／＝n 求参数 ★★☆ 公式法 化一般形式→算 －4ac→代入 方程的两个根／由求根公式反读方程 ★★☆ 因式分解法 移项→提公因式／十字相乘 方程 x(x－2)＝x－2 的解是 ★☆ 方法选择 看结构，先特殊后一般 最适宜的解法是（序号分类） ★☆ 解法综合与纠错 配方含参、新定义、找错 完全平方式／新定义运算／判断解法正误 ★★★ 配方法的应用 配方求最值 / 构造非负式 / 恒正证明 配方求最小值／(x＋a)²＋(y＋b)²＝0 求值／证明恒正 ★★★ 命题边界：本考点只考第 25 章「四种解法」+ 配方法的应用——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法的完整解题过程与方法选择，配方求参数、完全平方式、新定义运算、解法纠错等与解法直接相关的进阶题型，以及配方法的应用（配方求最值、配方法构造非负式求值、配方法证恒正/恒负）。本资料不涉及一元二次方程的概念与一般形式（由本系列考点 1 复习资料承接）、不涉及根的判别式与根的情况讨论、不涉及根与系数的关系、不涉及实际应用——上述三大类分别由本系列考点 3、考点 4、考点 5 复习资料承接，跨考点综合专题由本系列最终拔高资料承接。 PART 03 考点 2 例题精讲（7 题）—— 直接开平方 · 配方法 · 公式法 · 因式分解 · 方法选择 · 配方法的应用 例题覆盖：直接开平方法（选择·例 1／变 1，填空·变 6）→ 配方法（选择·例 2／变 2，填空·变 7，解答含例 6(3)）→ 公式法（选择·例 3／变 3，填空·变 8，解答含例 6(2)）→ 因式分解法（选择·例 4／变 4／变 5，填空·变 9，解答含例 6(4)）→ 方法选择（填空·例 5，解答·变 10）→ 四方法综合（解答·例 6）→ 配方法的应用（解答·例 7／变 11）→ 配方含参（选择·拔 1）→ 完全平方式（选择·拔 2）→ 平方差整体分解（选择·拔 3）→ 新定义运算（选择·拔 4，填空·拔 6）→ 整体平移开方（填空·拔 5）→ 解法纠错（解答·拔 7）→ 阅读材料十字相乘（解答·拔 8）→ 配方法求最值与恒正（解答·拔 9）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教直接开平方法（选择）：形如 ＝p（p≥0）两边开平方，取 ± 两支——漏负根是第一陷阱； ◆ 例 2 教配方法（选择）：移项后两边加上一次项系数一半的平方，凑成 ＝n 的形式； ◆ 例 3 教公式法（选择）：先化一般形式、带符号确认 a、b、c，先算 －4ac 再代入求根公式，较大的根取『＋』支； ◆ 例 4 教因式分解法（选择）：移项使右边为 0，左边提公因式 (x－2)——两边有公因式，不能同除； ◆ 例 5 教方法选择（填空·嵌空）：按『先特殊、后一般』给五个方程序号分类，逐个看结构对号入座； ◆ 例 6 教四种方法综合（解答）：同一组方程分别用四种方法解，体会每种方法的适用结构。 ◆ 例 7 教配方法的应用（解答·嵌空）：配方求最值（(x＋3)²≥0 → 最小值 －1／－14）、配方法比大小（M－N 配方看正负）、配方嵌空（x²－10x＋___＝(x－__)²）——三看配方方向。 例 1　选择题 方程 4－9＝0 的解是（　　） A．x＝　　　B．x＝－ C．x₁＝，x₂＝－　　　D．x＝± 例 2　选择题 用配方法解方程 －6x－7＝0 时，配方正确的是（　　） A．＝7　　　B．＝7 C．＝16　　　D．＝16 例 3　选择题 （2025 春·河北期末）方程 2－4x－1＝0 的两个根为 x₁、x₂（x₁＞x₂），则 x₁ 的值为（　　） A．　　　B． C．　　　D．－ 例 4　选择题 方程 x(x－2)＝x－2 的解是（　　） A．x＝2　　　B．x＝1 C．x₁＝1，x₂＝2　　　D．x₁＝0，x₂＝2 例 5　填空题 给出五个方程：①2＝6；②＋＝4；③(x－2)(x－3)＝3；④－2x－1＝0；⑤－2x－99＝0． 其中最适宜用直接开平方法的是 ________，最适宜用因式分解法的是 ________，最适宜用公式法的是 ________，最适宜用配方法的是 ________． 例 6　解答题 选用适当的方法解下列方程： (1) 2＝2（用直接开平方法）； (2) 2－3x－3＝0（用公式法）； (3) －2x－7＝0（用配方法）； (4) 3x(x－1)＝1－x（用因式分解法）． 例 7　解答题 （2025 春·江苏期中）阅读材料：把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用。 例如求 a²＋6a＋8 的最小值：a²＋6a＋8＝a²＋6a＋3²－3²＋8＝－1，因为不论 a 取何值， 总是非负数，即 ≥0，所以 －1≥－1，所以当 a＝－3 时，a²＋6a＋8 有最小值，最小值是 －1。 根据上述材料，解答下列问题： (1) 填空：－10x＋________＝； (2) 将 x²－8x＋2 变形为 ＋n 的形式，并求出 x²－8x＋2 的最小值； (3) 若 M＝4a²＋9a＋3，N＝3a²＋11a－1，其中 a 为任意数，试比较 M 与 N 的大小，并说明理由。 PART 04 考点 2 变式练习（11 题）—— 四种解法 · 方法选择 · 解法辨析 · 配方法的应用 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测。 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 5 练四种解法辨析（选择）：变 1 直接开平方的正误判断、变 2 配方结果、变 3 由求根公式反读方程系数、变 4 变 5 提公因式分解； ◆ 变 6 ～ 变 9 练四种解法落卷面（填空·嵌空）：变 6 直接开平方、变 7 配方求 m＋n、变 8 公式法、变 9 十字相乘； ◆ 变 10 练方法选择（解答）：两道方程按结构分别选公式法与因式分解法，完整书写解题过程； ◆ 变 11 练配方法的应用（解答）：阅读材料给例题『非负式同时为 0』，所求等式同样配方成两个完全平方式之和——用非负性求值（x＝－2, y＝4 → y/x＝－2）； ◆ 易错聚焦：变 1 开方取 ± 两支；变 4、变 5 两边有相同因式，移项提公因式，不同除、不丢根；变 11 配方方向要正确，构造非负式不要漏配一项。 变式 1　选择题 解方程 ＝ 时，下列变形正确的是（　　） A．3x＋1＝2x－5 B．3x－1＝2x＋5 C．3x＋1＝2x－5 或 3x＋1＝－(2x－5) D．3x＋1＝－(2x－5) 变式 2　选择题 用配方法解方程 －4x－3＝0 时，可转化为（　　） A．＝7　　　B．＝3 C．＝1　　　D．＝7 变式 3　选择题 （2025 春·福建福州长乐区·期中）若一个一元二次方程的两个根是通过 x＝ 求得的，则这个方程是（　　） A．3＋2x－1＝0　　　B．3－2x－1＝0 C．2＋3x－1＝0　　　D．3＋2x＋1＝0 变式 4　选择题 （2025·四川期末）方程 (x＋2)(x－4)＝x－4 的解是（　　） A．x₁＝4，x₂＝2　　　B．x＝4 C．x₁＝4，x₂＝－1　　　D．x＝－1 变式 5　选择题 方程 (3x－1)(x－2)＝(4x＋1)(x－2) 的解是（　　） A．x₁＝2，x₂＝1　　　B．x＝2 C．x₁＝2，x₂＝－2　　　D．x₁＝－2，x₂＝－1 变式 6　填空题 方程 ＝7 的解为 ________． 变式 7　填空题 若方程 －4x－1＝0 可化为 ＝n 的形式，则 m＋n 的值为 ________． 变式 8　填空题 方程 －3x－2＝0 的解为 ________． 变式 9　填空题 （2026·四川月考）方程 x＋2＝－4 的解为 ________． 变式 10　解答题 用合适的方法解下列方程： (1) 3－4x－1＝0； (2) 3x(x－3)＝2x－6． 变式 11　解答题 （2025·内蒙古·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 例题：若 m²＋2mn＋2n²－6n＋9＝0，求 m 和 n 的值。 解：∵ m²＋2mn＋2n²－6n＋9＝0， ∴ m²＋2mn＋n²＋n²－6n＋9＝0， ∴ ＋＝0， ∴ m＋n＝0，n－3＝0， ∴ m＝－3，n＝3。 根据你的观察，探究下面的问题： 若 x²＋4x＋4＋y²－8y＋16＝0，求 的值。 PART 05 考点 2 拔高巩固（9 题）—— 配方含参 · 完全平方式 · 新定义 · 纠错阅读 · 配方法的应用 解法综合与压轴视角——配方含参、新定义运算、整体平移、配方法求最值与恒正证明，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1、拔 2 练配方与完全平方式（选择）：拔 1 由配方结果反求参数、再看右边变化的平移；拔 2 由中间项反求 k＝±6，注意两个符号； ◆ 拔 3 练平方差整体分解（选择）：两个完全平方式相减，先开方系数再平方差，一步到位； ◆ 拔 4 练新定义运算（选择）：先按定义展开，再归结为解一元二次方程，取正根； ◆ 拔 5、拔 6 练整体平移与新定义（填空·嵌空）：拔 5 设 t＝x－2 后两方程同构，根各加 2；拔 6 按新定义展开后提公因式； ◆ 拔 7、拔 8 练纠错与阅读（解答）：拔 7 抓『除式可能为 0』给出正确解；拔 8 借阅读材料用十字相乘批量解三道方程。 ◆ 拔 9 练配方法的应用（解答·嵌空）：阅读材料给『(x＋3)²－4 配方求最值』，分 (1) 配方求参数 ab、(2) 配方证恒正、(3) 配方求最值反求参数 k——三看配方方向连续三问。 拔高 1　选择题 将关于 x 的一元二次方程 －6x＋q＝0 配方，得 ＝7，则关于 x 的方程 －6x＋q＝2 可以化为（　　） A．＝7　　　B．＝9 C．＝9　　　D．＝2 拔高 2　选择题 若 －2kx＋36 是完全平方式，则 k 的值为（　　） A．k＝±6　　　B．k＝6　　　C．k＝－6　　　D．k＝±12 拔高 3　选择题 解方程 9－4＝0 时，最恰当的下一步是（　　） A．9(x＋1)＝4(x－1) B．3(x＋1)＝－2(x－1) C．[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0 D．9(x＋1)＝4(x－1) 或 9(x＋1)＝－4(x－1) 拔高 4　选择题 （2025·甘肃·模拟）定义运算：m※n＝－2mn－．若 x※2＝－4，则正数 x 的值为（　　） A．0　　　B．2　　　C．－4　　　D．4 拔高 5　填空题 若关于 x 的一元二次方程 a＋b＝0 的两个解为 x₁＝5，x₂＝－3，则关于 x 的一元二次方程 a＋b＝0 的两个解为 _______． 拔高 6　填空题 （2025·广东期中）对于任意实数 a、b，定义运算 a?b＝(a＋b)(a－2b)．若 (x－1)?(2x＋1)＝0，则 x 的值为 ________． 拔高 7　解答题 解方程 ＝3(x－5)． 小明的解法如下：两边同时除以 (x－5)，得 x－5＝3，解得 x＝8． 请你判断小明的解法是否正确，并写出正确的解答过程． 拔高 8　解答题 阅读材料：－(p＋q)x＋pq＝(x－p)(x－q)（其中 p、q 为常数）．例如 －5x＋6＝(x－2)(x－3)，则方程 －5x＋6＝0 的根为 x₁＝2，x₂＝3． 利用上述材料解下列方程： (1) ＋5x＋6＝0；(2) －5x－6＝0；(3) ＋3x－4＝0． 拔高 9　解答题 （2025·四川·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式 x²＋6x＋5 的最小值： x²＋6x＋5＝x²＋2·x·3＋3²－3²＋5＝－4， ∵ ≥0， ∴ －4≥－4， ∴ 当 x＝－3 时，x²＋6x＋5 有最小值 －4． 请根据上述方法，解答下列问题： (1) x²＋4x－1＝x²＋2·x·2＋2²－2²－1＝＋b，则 ab 的值是 ________； (2) 求证：无论 x 取何值，代数式 x²－6x＋10 的值都是正数； (3) 若代数式 2x²＋kx＋20 的最小值为 2，求 k 的值。 附录 过关自查——按题号逐题打勾，把不会的题目标红回炉 题号 考点主线 若错，写出错因 订正完成 例 1 四种解法 / 配方法的应用 例 2 四种解法 / 配方法的应用 例 3 四种解法 / 配方法的应用 例 4 四种解法 / 配方法的应用 例 5 四种解法 / 配方法的应用 例 6 四种解法 / 配方法的应用 例 7 四种解法 / 配方法的应用 变式 1 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 2 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 3 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 4 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 5 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 6 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 7 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 8 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 9 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 10 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 11 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 拔高 1 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 2 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 3 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 4 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 5 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 6 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 7 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 8 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 9 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——考前只重做打不了勾的题。本考点口诀：平方对常数，开方取两支；配方法配方，两边同加项；公式法万能，先算判别式；分解找公因，A·B 都为零；选法看结构，先特后一般；应用配方求最值，构造非负同时零，恒正恒负看 k。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 25 章｜一元二次方程——考点 2：四种解法（含配方法的应用） ——人教版九年级上册《一元二次方程》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·考点 2：直接开平方法 · 配方法 · 公式法 · 因式分解法 · 配方法的应用 · 方法选择 知识点总结 → 考点分析 → 例题 7 · 变式 11 · 拔高 9 ★☆☆～★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 25 章《一元二次方程》期中复习系列·考点 2 专项（四种解法 + 配方法的应用），共 27 道，选自各级各类考试（中考、期中、期末、月考、同步检测等）的网络试卷原题；每题均为无图题，题面、答案与详解均已逐题独立核对。 全卷按题型分层编排：选择题 13 道、填空题 7 道、解答题 7 道；例题组（4 选＋1 填＋2 解）、变式组（5 选＋4 填＋2 解）、拔高组（4 选＋2 填＋3 解），每组内按选择→填空→解答的顺序排布，全程只考考点 2。 四种解法是第 25 章的主体、期中卷解答题的第一得分点：直接开平方、配方、公式、因式分解各有适用结构；配方法的应用延伸到配方求最值、配方法构造非负式与恒正证明——先化一般形式、再选最适宜方法、最后按规范书写步步有据，是本考点答题的三步主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 建议用法：例题教师精讲五种主线各一遍；变式学生限时独立完成；拔高组配方含参、新定义运算、配方法求最值与恒正证明，供学有余力的学生冲击压轴；本系列后续按考点 3～5 逐个推出，可配套使用。 本考点与人教版九上第 25 章考点总结对齐（★☆～★★★），五条主线：一直接开平方法——整体开方、正负两支；二配方法——加一次项系数一半的平方；三公式法——先化一般形式、先算 ⟦SUP:b|2⟧－4ac；四因式分解法与方法选择——提公因式、十字相乘、看结构选方法；五配方法的应用——配方求最值、配方法构造非负式、恒正证明。 PART 01 考点 2 知识主线：四种解法 + 配方法的应用 考点范围：一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，以及根据方程结构选择最适宜方法；含配方求参数、完全平方式、新定义运算、解法纠错等解法直接相关的进阶题型；含配方法的应用——配方求最值、配方法构造非负式、恒正证明。本考点是第 25 章的主体，期中卷解答题的第一得分点。 主线一、直接开平方法——由平方降一次 ◆ 适用形式：形如 ＝p 或 ＝p（p≥0）的方程，把 x 或 x＋m 看成一个整体，两边开平方得到两个一元一次方程；p＜0 时方程无实根，p＝0 时两个根相等。 ◆ 两边都是完全平方式（如 ＝）同样整体开平方——开方后必须取『±』两支，只取一支就丢根；右边不是平方而是含未知数因式时，不能两边开平方。 主线二、配方法——加上一次项系数一半的平方 ◆ 配方步骤：①二次项系数化为 1；②移项，常数项移到右边；③两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成 ＝n 后直接开平方——『加上』必须在两边同时进行。 ◆ 配方法的双重身份：既能解具体方程（二次项系数为 1、一次项系数为偶数时首选），又是推导求根公式、判定 －2kx＋ 是完全平方式（－2k＝±2）的工具。 主线三、公式法——先化一般形式，先算判别式 ◆ 求根公式：对于 ＋bx＋c＝0（a≠0），当 －4ac≥0 时，x＝——代入前必须先化成一般形式、带符号确认 a、b、c，再计算 －4ac，最后化简结果；公式法是万能方法，任何一元二次方程都能用。 主线四、因式分解法与方法选择——提公因式与看结构选方法 ◆ 因式分解法：先移项使右边为 0，左边缺常数项先提公因式 (x＋m)、能十字相乘（常数项＝两数之积、一次项系数＝两数之和）则用十字相乘——两边有相同因式时必须移项提公因式，不能同除（丢根是第一陷阱）。◆ 方法选择：先看能否因式分解（缺常数项、有公因式、十字相乘）→ 再看能否直接开平方（完全平方＝常数）→ 二次项系数为 1 且一次项系数是偶数用配方 → 一般情形用公式法——按『先特殊、后一般』逐个排除。 四种解法考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 考点主线：四种解法 ＝p（p≥0）→ 整体开方取 ± 解平方形式方程、整体开方 只取一支丢根 配方法 a＝1 → 移项 → 加 → 开方 配方、完全平方式、求参数 m、n 只加一边、加错符号 公式法 x＝，先化一般形式 解一般方程、由公式反读系数 未化一般形式就读系数 因式分解法 移项 → 提公因式 / 十字相乘 → A·B＝0 共因式方程、二次三项式方程 两边同除含未知数因式 方法选择 看结构：先特殊后一般 方法选择、解法纠错 小题套大方法耗时 配方法的应用 配方成 a(x＋m)²＋n；构造非负式 ∑＝0 配方求最值、非负性求值、恒正证明 配方方向反、最值取点错 ◆ 解方程的操作规范：先化一般形式（去括号、移项、合并）→ 再看结构选方法（缺项先提、平方先开、系数一般用公式）→ 书写步步有据（开方取 ±、配方两边同加、因式分解后逐因式为零）——三步走完再下结论。 四、易错警示与综合提分——解法题的高频陷阱 ◆ 三大高频陷阱：①开方只取一支——＝p 开方必须 x＝±；②配方只加一边——两边必须同时加上 ；③两边同除含未知数的因式——如 x(x－2)＝x－2 除以 (x－2) 会丢根 x＝2，必须移项提公因式。 ◆ 方法选择顺序：先看能否因式分解（缺常数项、有公因式、十字相乘）→ 再看能否直接开平方（完全平方＝常数）→ 二次项系数为 1 且一次项系数是偶数用配方→ 一般情形用公式法；大题书写完整步骤，小题选最省时路径。◆ 配方法的应用三看：一看配方方向（一次项系数一半取带符号平方）；二看配方后常数项定最值（a＞0 取最小、a＜0 取最大）；三看非负式求值（∑＝0 同时为 0）。 ◆ 结果规范：不能分解的根保留根号与分数形式（如 x＝），不写近似小数；能分解的写成两个整数根；解出后回代抽查一个根，检验运算是否正确。◆ 配方法的结果规范：配方后写成 a(x＋m)²＋n 形式，写出最值并注明取等条件（x＝－m）。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 四种解法是第 25 章的主体，也是期中卷解答题的第一道常规题：解方程几乎每卷必到、分值稳定，方法选择与解法正误判断常出现在选择、填空——先化一般形式、再选方法，这步省不得。 本考点考的是『结构识别』：完全平方结构直接开平方；一次项系数是偶数、二次项系数为 1 用配方；不易分解、系数一般用公式；有公因式或能十字相乘用因式分解——结构定方法。 配方法的应用是本考点压轴的常考身份：从解方程延伸到配方求最值、配方法构造非负式（含两个未知数的等式定多个值）、配方法证恒正/恒负——三看配方方向、配方后常数项定最值、非负式同时为 0。 解法纠错与方法选择是本考点的两类压轴小题：纠错题盯『除式为 0、开方丢负根、配方加一边』三大陷阱；方法选择题按『先特殊、后一般』的顺序逐个排除。 答题方法（三步法） 第一步·化一般形式：去括号、移项、合并同类项，认清 a、b、c 带符号的值——没化成一般形式就代入求根公式，是第一失分点。 第二步·选方法：缺常数项先提公因式、完全平方先开方、二次项系数为 1 且一次项系数是偶数用配方、一般情形用公式法——按『先特殊、后一般』排除。 第三步·规范书写：开方写 ± 两支、配方两边同加、因式分解后逐因式为零；结果不能分解时保留根号与分数，最后回代抽查。配方法应用：配方后写 a(x＋m)²＋n 形式、写出最值与取等条件；构造非负式时列出『每个 ≥ 0、和为 0 同时为 0』的推理链。 注意事项（易错警示） 直接开平方第一错点是『只取正根』：＝p 开方得 x＝±——两个一次方程都要解，漏掉负支是最常见的丢分。 配方两错：只加一边（等号两边必须同时加上 ）；一半算错（b 是带符号的，先化简再取半）。配方前先把二次项系数化为 1。 公式法两错：未化一般形式就读系数；－4ac 计算时符号错（c 带负号代入是高发点）。算完判别式再代公式，一步一核。 因式分解第一错点是『两边同除』：x(x－2)＝x－2 除以 (x－2) 丢根——必须移项提公因式，让右边为 0，左边分解成 A·B＝0。配方法的应用三错：配方方向反（一次项系数一半平方后减常数项还是加常数项）、最值取点错（a＞0 时取最小值 k 在 x＝－h 处）、非负式漏一项（∑＝0 时只列了一项非负，其余未列）。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 直接开平方法 整体开方，取 ± 两支 方程 ＝7 的解是 ★☆ 配方法 加一次项系数一半的平方 配方正确的是／＝n 求参数 ★★☆ 公式法 化一般形式→算 －4ac→代入 方程的两个根／由求根公式反读方程 ★★☆ 因式分解法 移项→提公因式／十字相乘 方程 x(x－2)＝x－2 的解是 ★☆ 方法选择 看结构，先特殊后一般 最适宜的解法是（序号分类） ★☆ 解法综合与纠错 配方含参、新定义、找错 完全平方式／新定义运算／判断解法正误 ★★★ 配方法的应用 配方求最值 / 构造非负式 / 恒正证明 配方求最小值／(x＋a)²＋(y＋b)²＝0 求值／证明恒正 ★★★ 命题边界：本考点只考第 25 章「四种解法」+ 配方法的应用——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法的完整解题过程与方法选择，配方求参数、完全平方式、新定义运算、解法纠错等与解法直接相关的进阶题型，以及配方法的应用（配方求最值、配方法构造非负式求值、配方法证恒正/恒负）。本资料不涉及一元二次方程的概念与一般形式（由本系列考点 1 复习资料承接）、不涉及根的判别式与根的情况讨论、不涉及根与系数的关系、不涉及实际应用——上述三大类分别由本系列考点 3、考点 4、考点 5 复习资料承接，跨考点综合专题由本系列最终拔高资料承接。 PART 03 考点 2 例题精讲（7 题）—— 直接开平方 · 配方法 · 公式法 · 因式分解 · 方法选择 · 配方法的应用 例题覆盖：直接开平方法（选择·例 1／变 1，填空·变 6）→ 配方法（选择·例 2／变 2，填空·变 7，解答含例 6(3)）→ 公式法（选择·例 3／变 3，填空·变 8，解答含例 6(2)）→ 因式分解法（选择·例 4／变 4／变 5，填空·变 9，解答含例 6(4)）→ 方法选择（填空·例 5，解答·变 10）→ 四方法综合（解答·例 6）→ 配方法的应用（解答·例 7／变 11）→ 配方含参（选择·拔 1）→ 完全平方式（选择·拔 2）→ 平方差整体分解（选择·拔 3）→ 新定义运算（选择·拔 4，填空·拔 6）→ 整体平移开方（填空·拔 5）→ 解法纠错（解答·拔 7）→ 阅读材料十字相乘（解答·拔 8）→ 配方法求最值与恒正（解答·拔 9）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教直接开平方法（选择）：形如 ＝p（p≥0）两边开平方，取 ± 两支——漏负根是第一陷阱； ◆ 例 2 教配方法（选择）：移项后两边加上一次项系数一半的平方，凑成 ＝n 的形式； ◆ 例 3 教公式法（选择）：先化一般形式、带符号确认 a、b、c，先算 －4ac 再代入求根公式，较大的根取『＋』支； ◆ 例 4 教因式分解法（选择）：移项使右边为 0，左边提公因式 (x－2)——两边有公因式，不能同除； ◆ 例 5 教方法选择（填空·嵌空）：按『先特殊、后一般』给五个方程序号分类，逐个看结构对号入座； ◆ 例 6 教四种方法综合（解答）：同一组方程分别用四种方法解，体会每种方法的适用结构。 ◆ 例 7 教配方法的应用（解答·嵌空）：配方求最值（(x＋3)²≥0 → 最小值 －1／－14）、配方法比大小（M－N 配方看正负）、配方嵌空（x²－10x＋___＝(x－__)²）——三看配方方向。 例 1　选择题 方程 4－9＝0 的解是（　　） A．x＝　　　B．x＝－ C．x₁＝，x₂＝－　　　D．x＝± 【答案】C 【解析】形如 ＝p（p≥0）的方程用直接开平方法：先移项把常数移到右边，再两边开平方——开方必须取『正负两支』，漏掉负根是最常见错误。 【详解】移项，得 4＝9， 两边都除以 4，得 ＝， ∵ ＞0， ∴ x＝±＝±， 即 x₁＝，x₂＝－． 故选：C． 例 2　选择题 用配方法解方程 －6x－7＝0 时，配方正确的是（　　） A．＝7　　　B．＝7 C．＝16　　　D．＝16 【答案】C 【解析】配方口诀『二次项系数化为 1，加上一次项系数一半的平方』：移项后 －6x＝7，两边加 ＝9，左边凑成完全平方式，右边变成 7＋9＝16。 【详解】移项，得 －6x＝7， 两边同时加上 ＝9，得 －6x＋9＝7＋9， 即 ＝16． 故选：C． 例 3　选择题 （2025 春·河北期末）方程 2－4x－1＝0 的两个根为 x₁、x₂（x₁＞x₂），则 x₁ 的值为（　　） A．　　　B． C．　　　D．－ 【答案】A 【解析】系数不全为整数、又不易因式分解时用公式法：a＝2，b＝－4，c＝－1，先算 －4ac＝16＋8＝24，再代入求根公式；x₁ 是较大的根，取『＋』那一支。 【详解】这里 a＝2，b＝－4，c＝－1， －4ac＝－4×2×(－1)＝16＋8＝24＞0， ∴ x＝＝＝， ∵ x₁＞x₂， ∴ x₁＝． 故选：A． 例 4　选择题 方程 x(x－2)＝x－2 的解是（　　） A．x＝2　　　B．x＝1 C．x₁＝1，x₂＝2　　　D．x₁＝0，x₂＝2 【答案】C 【解析】先移项使右边为 0，左边恰能提公因式 (x－2)：这类『两边有相同因式』的方程适合因式分解法——千万不能两边同除以 (x－2)，会丢掉根 x＝2。 【详解】移项，得 x(x－2)－(x－2)＝0， 提公因式，得 (x－2)(x－1)＝0， ∴ x－2＝0 或 x－1＝0， 解得 x₁＝1，x₂＝2． 故选：C． 例 5　填空题 给出五个方程：①2＝6；②＋＝4；③(x－2)(x－3)＝3；④－2x－1＝0；⑤－2x－99＝0． 其中最适宜用直接开平方法的是 ____①____，最适宜用因式分解法的是 ____②____，最适宜用公式法的是 ____③____，最适宜用配方法的是 ____④⑤____． 【答案】①；②；③；④⑤ 【解析】方法选择看结构：形如 ＝n 的直接开平方；缺常数项或易提公因式的用因式分解；二次项系数为 1、一次项系数是偶数的用配方；一般形式的用公式法。 【详解】①2＝6 即 ＝3，两边直接开平方即可； ②＋＝4 展开合并，得 2－4x＝0，即 2x(x－2)＝0，提公因式最快； ③(x－2)(x－3)＝3 展开合并，得 －5x＋3＝0，不易因式分解，代入求根公式最稳； ④－2x－1＝0 一次项系数是偶数，配方得 ＝2； ⑤－2x－99＝0 配方得 ＝100，两根是整数； ∴ 直接开平方法是①，因式分解法是②，公式法是③，配方法是④⑤． 例 6　解答题 选用适当的方法解下列方程： (1) 2＝2（用直接开平方法）； (2) 2－3x－3＝0（用公式法）； (3) －2x－7＝0（用配方法）； (4) 3x(x－1)＝1－x（用因式分解法）． 【答案】(1) x₁＝1，x₂＝－1；(2) x₁＝，x₂＝；(3) x₁＝1＋2，x₂＝1－2；(4) x₁＝1，x₂＝－ 【解析】(1) 化成 ＝p 直接开平方；(2) 不易分解、系数一般，用公式法；(3) 二次项系数为 1、一次项系数为偶数，配方后开平方；(4) 移项后提公因式 (x－1)。 【详解】(1) 两边都除以 2，得 ＝1， ∴ x＝±1，即 x₁＝1，x₂＝－1； (2) a＝2，b＝－3，c＝－3， －4ac＝9＋24＝33＞0， ∴ x＝，即 x₁＝，x₂＝； (3) 移项，得 －2x＝7， 两边同时加上 1，得 －2x＋1＝8，即 ＝8， ∴ x－1＝±2，即 x₁＝1＋2，x₂＝1－2； (4) 移项，得 3x(x－1)＋(x－1)＝0， 提公因式，得 (x－1)(3x＋1)＝0， ∴ x－1＝0 或 3x＋1＝0， 解得 x₁＝1，x₂＝－． 例 7　解答题 （2025 春·江苏期中）阅读材料：把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用。 例如求 a²＋6a＋8 的最小值：a²＋6a＋8＝a²＋6a＋3²－3²＋8＝－1，因为不论 a 取何值， 总是非负数，即 ≥0，所以 －1≥－1，所以当 a＝－3 时，a²＋6a＋8 有最小值，最小值是 －1。 根据上述材料，解答下列问题： (1) 填空：－10x＋____25____＝； (2) 将 x²－8x＋2 变形为 ＋n 的形式，并求出 x²－8x＋2 的最小值； (3) 若 M＝4a²＋9a＋3，N＝3a²＋11a－1，其中 a 为任意数，试比较 M 与 N 的大小，并说明理由。 【答案】(1) 25，5；(2) －14，最小值为 －14；(3) M＞N 【解析】(1) 配方是『加一次项系数一半的平方』：－10x 的一半是 －5，平方是 25；右边凑成 即 中 m＝－5；(2) 配方 －8x＋2＝－8x＋－＋2＝－14；由 ≥0 得 －14≥－14，最小值 －14 在 x＝4 时取到；(3) 大小比较把 M－N 配方看正负：M－N＝(4a²＋9a＋3)－(3a²＋11a－1)＝a²－2a＋4＝＋3＞0，故 M＞N。 【详解】(1) 配方：－10x＋25＝， ∴ 填 25，5； (2) 配方：－8x＋2 ＝－8x＋－＋2 ＝－14， ∵ ≥0， ∴ －14≥－14， ∴ 当 x＝4 时，x²－8x＋2 取最小值，最小值为 －14； (3) M－N＝(4a²＋9a＋3)－(3a²＋11a－1) ＝4a²＋9a＋3－3a²－11a＋1 ＝a²－2a＋4 ＝＋3， ∵ ≥0， ∴ ＋3＞0， 即 M－N＞0， ∴ M＞N． PART 04 考点 2 变式练习（11 题）—— 四种解法 · 方法选择 · 解法辨析 · 配方法的应用 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测。 变式组训练要点 ◆ 变 1 ～ 变 5 练四种解法辨析（选择）：变 1 直接开平方的正误判断、变 2 配方结果、变 3 由求根公式反读方程系数、变 4 变 5 提公因式分解； ◆ 变 6 ～ 变 9 练四种解法落卷面（填空·嵌空）：变 6 直接开平方、变 7 配方求 m＋n、变 8 公式法、变 9 十字相乘； ◆ 变 10 练方法选择（解答）：两道方程按结构分别选公式法与因式分解法，完整书写解题过程； ◆ 变 11 练配方法的应用（解答）：阅读材料给例题『非负式同时为 0』，所求等式同样配方成两个完全平方式之和——用非负性求值（x＝－2, y＝4 → y/x＝－2）； ◆ 易错聚焦：变 1 开方取 ± 两支；变 4、变 5 两边有相同因式，移项提公因式，不同除、不丢根；变 11 配方方向要正确，构造非负式不要漏配一项。 变式 1　选择题 解方程 ＝ 时，下列变形正确的是（　　） A．3x＋1＝2x－5 B．3x－1＝2x＋5 C．3x＋1＝2x－5 或 3x＋1＝－(2x－5) D．3x＋1＝－(2x－5) 【答案】C 【解析】两边都是完全平方式，可直接开平方：3x＋1＝±(2x－5)，得到两个一次方程分别求解——只取一支会丢根，A、B、D 都只取了一半。 【详解】∵ ＝， ∴ 开平方，得 3x＋1＝2x－5 或 3x＋1＝－(2x－5)． 故选：C． 变式 2　选择题 用配方法解方程 －4x－3＝0 时，可转化为（　　） A．＝7　　　B．＝3 C．＝1　　　D．＝7 【答案】D 【解析】移项得 －4x＝3，两边加上一次项系数一半的平方（4），左边配成 ，右边 3＋4＝7。 【详解】移项，得 －4x＝3， 两边同时加上 4，得 －4x＋4＝3＋4， 即 ＝7． 故选：D． 变式 3　选择题 （2025 春·福建福州长乐区·期中）若一个一元二次方程的两个根是通过 x＝ 求得的，则这个方程是（　　） A．3＋2x－1＝0　　　B．3－2x－1＝0 C．2＋3x－1＝0　　　D．3＋2x＋1＝0 【答案】A 【解析】从求根公式反读系数：分母 2×3 说明 a＝3，分子首项 －2 是 －b，说明 b＝2；根号内的 (－1) 是常数项 c——方程为 3＋2x－1＝0． 【详解】由公式 x＝ 对照题式： 分母 2×3＝2a，得 a＝3； 分子首项 －2＝－b，得 b＝2； 根号内 －4×3×(－1)＝－4ac，得 c＝－1， ∴ 这个方程是 3＋2x－1＝0． 故选：A． 变式 4　选择题 （2025·四川期末）方程 (x＋2)(x－4)＝x－4 的解是（　　） A．x₁＝4，x₂＝2　　　B．x＝4 C．x₁＝4，x₂＝－1　　　D．x＝－1 【答案】C 【解析】两边都有因式 (x－4)，移项后整体提公因式：(x－4)(x＋1)＝0——若两边同除以 (x－4)，就把根 x＝4 除丢了。 【详解】移项，得 (x＋2)(x－4)－(x－4)＝0， 提公因式，得 (x－4)(x＋2－1)＝0， 即 (x－4)(x＋1)＝0， ∴ x－4＝0 或 x＋1＝0， 解得 x₁＝4，x₂＝－1． 故选：C． 变式 5　选择题 方程 (3x－1)(x－2)＝(4x＋1)(x－2) 的解是（　　） A．x₁＝2，x₂＝1　　　B．x＝2 C．x₁＝2，x₂＝－2　　　D．x₁＝－2，x₂＝－1 【答案】C 【解析】两边有相同因式 (x－2)，移项提公因式最稳：(x－2)(3x－1－4x－1)＝0，整理为 (x－2)(－x－2)＝0。 【详解】移项，得 (3x－1)(x－2)－(4x＋1)(x－2)＝0， 提公因式，得 (x－2)(3x－1－4x－1)＝0， 整理，得 (x－2)(－x－2)＝0， ∴ x－2＝0 或 －x－2＝0， 解得 x₁＝2，x₂＝－2． 故选：C． 变式 6　填空题 方程 ＝7 的解为 ____x₁＝2＋，x₂＝2－____． 【答案】x₁＝2＋，x₂＝2－ 【解析】形如 ＝n（n≥0）的方程，把 x－2 看成一个整体直接开平方：x－2＝±，再各解一个一元一次方程。 【详解】∵ ＝7， ∴ x－2＝ 或 x－2＝－， 解得 x₁＝2＋，x₂＝2－． 变式 7　填空题 若方程 －4x－1＝0 可化为 ＝n 的形式，则 m＋n 的值为 ____7____． 【答案】7 【解析】配方：－4x－1＝0 移项得 －4x＝1，两边加 4 得 ＝5——对照 ＝n 读出 m＝2，n＝5。 【详解】移项，得 －4x＝1， 两边同时加上 4，得 －4x＋4＝1＋4， 即 ＝5， ∴ m＝2，n＝5， ∴ m＋n＝2＋5＝7． 变式 8　填空题 方程 －3x－2＝0 的解为 ____x₁＝，x₂＝____． 【答案】x₁＝，x₂＝ 【解析】a＝1，b＝－3，c＝－2，－4ac＝9＋8＝17＞0，代入求根公式即可——结果不是整数时保留根号与分数形式。 【详解】a＝1，b＝－3，c＝－2， －4ac＝－4×1×(－2)＝9＋8＝17＞0， ∴ x＝， 即 x₁＝，x₂＝． 变式 9　填空题 （2026·四川月考）方程 x＋2＝－4 的解为 ____x₁＝3，x₂＝－2____． 【答案】x₁＝3，x₂＝－2 【解析】先整理成一般形式 －x－6＝0，常数 6＝3×(－2)、一次项系数 －1＝3＋(－2)，十字相乘得 (x－3)(x＋2)＝0。 【详解】移项、整理，得 －x－6＝0， 因式分解，得 (x－3)(x＋2)＝0， ∴ x－3＝0 或 x＋2＝0， 解得 x₁＝3，x₂＝－2． 变式 10　解答题 用合适的方法解下列方程： (1) 3－4x－1＝0； (2) 3x(x－3)＝2x－6． 【答案】(1) x₁＝，x₂＝；(2) x₁＝3，x₂＝ 【解析】(1) 不易分解，用公式法；(2) 右边 2x－6＝2(x－3)，两边有相同因式 (x－3)，移项提公因式最快。 【详解】(1) a＝3，b＝－4，c＝－1， －4ac＝16＋12＝28＞0， ∴ x＝＝， 即 x₁＝，x₂＝； (2) 移项，得 3x(x－3)－2(x－3)＝0， 提公因式，得 (x－3)(3x－2)＝0， ∴ x－3＝0 或 3x－2＝0， 解得 x₁＝3，x₂＝． 变式 11　解答题 （2025·内蒙古·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 例题：若 m²＋2mn＋2n²－6n＋9＝0，求 m 和 n 的值。 解：∵ m²＋2mn＋2n²－6n＋9＝0， ∴ m²＋2mn＋n²＋n²－6n＋9＝0， ∴ ＋＝0， ∴ m＋n＝0，n－3＝0， ∴ m＝－3，n＝3。 根据你的观察，探究下面的问题： 若 x²＋4x＋4＋y²－8y＋16＝0，求 的值。 【答案】－2 【解析】例题的方法是把含两个未知数的等式配方成两个完全平方式之和，由非负性知每个完全平方式同时为 0；照样把所求等式配方：x²＋4x＋4＝，y²－8y＋16＝，两完全平方式之和为 0 同时为 0，解出 x、y 后求比值。 【详解】由已知等式整理，得 ＋＝0， ∵ ≥0，≥0， ∴ x＋2＝0，y－4＝0， 解得 x＝－2，y＝4， ∴ ＝＝－2． PART 05 考点 2 拔高巩固（9 题）—— 配方含参 · 完全平方式 · 新定义 · 纠错阅读 · 配方法的应用 解法综合与压轴视角——配方含参、新定义运算、整体平移、配方法求最值与恒正证明，供学有余力的学生冲击期中压轴；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测。 拔高组训练要点 ◆ 拔 1、拔 2 练配方与完全平方式（选择）：拔 1 由配方结果反求参数、再看右边变化的平移；拔 2 由中间项反求 k＝±6，注意两个符号； ◆ 拔 3 练平方差整体分解（选择）：两个完全平方式相减，先开方系数再平方差，一步到位； ◆ 拔 4 练新定义运算（选择）：先按定义展开，再归结为解一元二次方程，取正根； ◆ 拔 5、拔 6 练整体平移与新定义（填空·嵌空）：拔 5 设 t＝x－2 后两方程同构，根各加 2；拔 6 按新定义展开后提公因式； ◆ 拔 7、拔 8 练纠错与阅读（解答）：拔 7 抓『除式可能为 0』给出正确解；拔 8 借阅读材料用十字相乘批量解三道方程。 ◆ 拔 9 练配方法的应用（解答·嵌空）：阅读材料给『(x＋3)²－4 配方求最值』，分 (1) 配方求参数 ab、(2) 配方证恒正、(3) 配方求最值反求参数 k——三看配方方向连续三问。 拔高 1　选择题 将关于 x 的一元二次方程 －6x＋q＝0 配方，得 ＝7，则关于 x 的方程 －6x＋q＝2 可以化为（　　） A．＝7　　　B．＝9 C．＝9　　　D．＝2 【答案】B 【解析】由 －6x＋q＝－9＋q 配方结构知 p＝3；两个方程左边相同，右边由 0 变为 2，配方后右边同步加 2：7＋2＝9。 【详解】由 －6x＋q＝0 配方得 ＝7，知 p＝3； 方程 －6x＋q＝2 即 －6x＋q－2＝0， 配方，得 ＝7＋2＝9， 即 ＝9． 故选：B． 拔高 2　选择题 若 －2kx＋36 是完全平方式，则 k 的值为（　　） A．k＝±6　　　B．k＝6　　　C．k＝－6　　　D．k＝±12 【答案】A 【解析】完全平方式的中间项是『首尾两个数积的 2 倍』：－2kx＋36＝ 时中间项为 －12x，故 －2k＝±12，k＝±6——符号有两个方向，别漏负值。 【详解】∵ －2kx＋36 是完全平方式， ∴ 首项 x 的平方对应 ，末项 36＝， 中间项 －2kx＝±2×x×6＝±12x， 由 －2k＝12，得 k＝－6； 由 －2k＝－12，得 k＝6， ∴ k＝±6． 故选：A． 拔高 3　选择题 解方程 9－4＝0 时，最恰当的下一步是（　　） A．9(x＋1)＝4(x－1) B．3(x＋1)＝－2(x－1) C．[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0 D．9(x＋1)＝4(x－1) 或 9(x＋1)＝－4(x－1) 【答案】C 【解析】两个完全平方式相减，用平方差公式整体因式分解：－＝(A＋B)(A－B)，其中 A＝3(x＋1)，B＝2(x－1)——先开方再平方差，两步合成一步。 【详解】原方程即 －＝0， 由平方差公式，得 [3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0， 故选：C． 拔高 4　选择题 （2025·甘肃·模拟）定义运算：m※n＝－2mn－．若 x※2＝－4，则正数 x 的值为（　　） A．0　　　B．2　　　C．－4　　　D．4 【答案】D 【解析】新定义题先『翻译』：x※2＝－2×x×2－＝－4x－4，令其等于 －4，得 －4x＝0，因式分解后取正根。 【详解】由新定义，得 x※2＝－2×x×2－＝－4x－4， ∴ －4x－4＝－4， 即 －4x＝0， 因式分解，得 x(x－4)＝0， 解得 x＝0 或 x＝4， ∵ x 是正数， ∴ x＝4． 故选：D． 拔高 5　填空题 若关于 x 的一元二次方程 a＋b＝0 的两个解为 x₁＝5，x₂＝－3，则关于 x 的一元二次方程 a＋b＝0 的两个解为 ____x₁＝7，x₂＝－1____． 【答案】x₁＝7，x₂＝－1 【解析】把第二个方程中的 (x－2) 看成整体：设 t＝x－2，则 x＋n－2＝t＋n，方程变为 a＋b＝0，与第一个方程结构完全相同——所以 t 的解就是 5 和 －3，x 的解各加 2。 【详解】∵ x＋n－2＝(x－2)＋n， ∴ 设 t＝x－2，第二个方程变为 a＋b＝0，与第一个方程结构相同， ∴ t₁＝5，t₂＝－3， 即 x－2＝5 或 x－2＝－3， 解得 x₁＝7，x₂＝－1． 拔高 6　填空题 （2025·广东期中）对于任意实数 a、b，定义运算 a?b＝(a＋b)(a－2b)．若 (x－1)?(2x＋1)＝0，则 x 的值为 ____x₁＝0，x₂＝－1____． 【答案】x₁＝0，x₂＝－1 【解析】先按新定义展开：a＝x－1，b＝2x＋1，得 (3x)(x－1－4x－2)＝0，整理后提公因式解方程。 【详解】由新定义，得 (x－1)?(2x＋1)＝(x－1＋2x＋1)[x－1－2(2x＋1)]＝3x(－3x－3)＝0， 即 －9x(x＋1)＝0， ∴ x＝0 或 x＋1＝0， 解得 x₁＝0，x₂＝－1． 拔高 7　解答题 解方程 ＝3(x－5)． 小明的解法如下：两边同时除以 (x－5)，得 x－5＝3，解得 x＝8． 请你判断小明的解法是否正确，并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解法错误；正确解为 x₁＝5，x₂＝8 【解析】除式的取值可能为 0：x－5＝0 时方程两边都为 0，x＝5 也是根——两边同除以含未知数的式子会丢根。应移项后提公因式 (x－5)。 【详解】小明的解法不正确： 因为 x－5 可能为 0，方程两边不能同时除以 (x－5)，这样会丢掉根 x＝5； 正确解答：移项，得 －3(x－5)＝0， 提公因式，得 (x－5)(x－5－3)＝0， 即 (x－5)(x－8)＝0， ∴ x－5＝0 或 x－8＝0， 解得 x₁＝5，x₂＝8． 拔高 8　解答题 阅读材料：－(p＋q)x＋pq＝(x－p)(x－q)（其中 p、q 为常数）．例如 －5x＋6＝(x－2)(x－3)，则方程 －5x＋6＝0 的根为 x₁＝2，x₂＝3． 利用上述材料解下列方程： (1) ＋5x＋6＝0；(2) －5x－6＝0；(3) ＋3x－4＝0． 【答案】(1) x₁＝－2，x₂＝－3；(2) x₁＝6，x₂＝－1；(3) x₁＝－4，x₂＝1 【解析】把每个方程的常数项拆成两个数的积、一次项系数拆成同两个数的和：常数＋6、一次项＋5，拆 2×3 与 2＋3；常数 －6、一次项 －5，拆 (－6)×1 与 (－6)＋1；常数 －4、一次项 ＋3，拆 (－4)×1 与 (－4)＋1。 【详解】(1) 积为 6、和为 5 的两数是 2 与 3， ∴ ＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)＝0， ∴ x₁＝－2，x₂＝－3； (2) 积为 －6、和为 5 的两数是 6 与 －1， ∴ －5x－6＝(x－6)(x＋1)＝0， ∴ x₁＝6，x₂＝－1； (3) 积为 －4、和为 －3 的两数是 －4 与 1， ∴ ＋3x－4＝(x＋4)(x－1)＝0， ∴ x₁＝－4，x₂＝1． 拔高 9　解答题 （2025·四川·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式 x²＋6x＋5 的最小值： x²＋6x＋5＝x²＋2·x·3＋3²－3²＋5＝－4， ∵ ≥0， ∴ －4≥－4， ∴ 当 x＝－3 时，x²＋6x＋5 有最小值 －4． 请根据上述方法，解答下列问题： (1) x²＋4x－1＝x²＋2·x·2＋2²－2²－1＝＋b，则 ab 的值是 ____－10____； (2) 求证：无论 x 取何值，代数式 x²－6x＋10 的值都是正数； (3) 若代数式 2x²＋kx＋20 的最小值为 2，求 k 的值。 【答案】(1) －10；(2) 见解析；(3) k＝±12 【解析】(1) 对照 －5＝＋b 的结构：a＝2，b＝－5，ab＝2×(－5)＝－10；(2) 配方得 ＋1，由 ≥0 直接得 ＋1≥1＞0 恒成立；(3) 配方得 2＋20－，最小值即 20－＝2，解出 k²＝144，k＝±12。 【详解】(1) ∵ x²＋4x－1＝－5＝＋b， ∴ a＝2，b＝－5， ∴ ab＝2×(－5)＝－10， ∴ 填 －10； (2) 证明：∵ x²－6x＋10 ＝x²－6x＋9＋1 ＝＋1， ∵ ≥0， ∴ ＋1≥1＞0， ∴ 无论 x 取何值，代数式 x²－6x＋10 的值都是正数； (3) 配方：2x²＋kx＋20 ＝2＋20－， ∵ ≥0， ∴ 2x²＋kx＋20 最小值＝20－＝2， 解得 ＝144， ∴ k＝±12． 附录 过关自查——按题号逐题打勾，把不会的题目标红回炉 题号 考点主线 若错，写出错因 订正完成 例 1 四种解法 / 配方法的应用 例 2 四种解法 / 配方法的应用 例 3 四种解法 / 配方法的应用 例 4 四种解法 / 配方法的应用 例 5 四种解法 / 配方法的应用 例 6 四种解法 / 配方法的应用 例 7 四种解法 / 配方法的应用 变式 1 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 2 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 3 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 4 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 5 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 6 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 7 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 8 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 9 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 10 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 变式 11 四种解法 / 配方法的应用 / 解法辨析 拔高 1 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 2 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 3 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 4 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 5 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 6 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 7 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 8 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 拔高 9 配方含参 / 新定义 / 纠错阅读 / 配方法的应用 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——考前只重做打不了勾的题。本考点口诀：平方对常数，开方取两支；配方法配方，两边同加项；公式法万能，先算判别式；分解找公因，A·B 都为零；选法看结构，先特后一般；应用配方求最值，构造非负同时零，恒正恒负看 k。 1 学科网（北京）股份有限公司 $