精品解析：吉林长春净月高新技术产业开发区华岳学校等四校2026-2027学年上学期九年级数学学科第一次学情自测（五四制）

四校九年级数学学科第一次月考（五四制） 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸､试卷上答题无效． 一､选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 日常生活中，有许多具有相反意义的量，都可以用正数和负数来表示．如果收入300元记作300元，那么支出100元记作（ ） A. 100元 B. 元 C. 200元 D. 元 2. 在“生活中的数学”实践活动中，小明观察家中的空心卷纸，如图所示，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 3. 刘徽在为《九章算术》作注时，提出“方自乘之，再自乘，为立方之幂”，描述了幂的乘方运算．下列数式的运算结果，与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 一副三角尺按如图方式摆放，点D在直线上，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下列函数中，的值随的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知A，B均为上的点，若，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与函数的图象相交于点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二､填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 写出一个比小的有理数______． 10. 计算：=_____． 11. 已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 12. 已知点位于第一象限，若它的横、纵坐标均为整数，则的值为__________． 13. 随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶．如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为__________平方米（结果保留）． 14. 如图，在中，点 E是边上一点， 且 交于点F， P是延长线上一点，给出下面四个结论： ①平分 ； ②； ③； ④当 时，， 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 三､解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． （1）小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为 ； （2）请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 18. 伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米？ 19. 定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”； ；；． （2）若是“邻根方程”，求n的值． 20. 甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）直接写出甲组成绩的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组 （填“相同”或“不相同”），但甲组成绩明显比乙组的波动 （填“大”或“小”）． 21. 2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． （1）求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． （2）求甲､乙两人相距最远时的距离． 22. 综合探究 （1）【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． （2）【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且､､分别经过点，则边的长为______． （3）【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 23. 如图，在中，，，，点P在线段上（点P不与点A､B重合），连结． （1）线段的长度为______； （2）当线段长度最短时，线段的长度为______； （3）当是等腰三角形时，求线段的长度； （4）作点A关于的对称点，连结､，当点落在的内部时，直接写出线段长度的取值范围． 24. 已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．过点C作y轴垂线l，点P为直线l上任意一点，其横坐标为m，点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点Q在抛物线上时，求m的值； （3）当线段与抛物线有公共点时，求m的取值范围； （4）点M为抛物线上任意一点，连接，直线交直线于点N，若，直接写出M点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四校九年级数学学科第一次月考（五四制） 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸､试卷上答题无效． 一､选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 日常生活中，有许多具有相反意义的量，都可以用正数和负数来表示．如果收入300元记作300元，那么支出100元记作（ ） A. 100元 B. 元 C. 200元 D. 元 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵收入与支出是具有相反意义的量，收入元记作元，即收入用正数表示， ∴支出元记作元. 2. 在“生活中的数学”实践活动中，小明观察家中的空心卷纸，如图所示，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解： “空心卷纸”的俯视图是两个同心圆． 故选：A． 3. 刘徽在为《九章算术》作注时，提出“方自乘之，再自乘，为立方之幂”，描述了幂的乘方运算．下列数式的运算结果，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 一副三角尺按如图方式摆放，点D在直线上，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，关键是由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 5. 长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，， 即米． 6. 下列函数中，的值随的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 7. 如图，已知A，B均为上的点，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，从而代入据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与函数的图象相交于点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质．． 求出，过点C作轴于点D，则，证明，则，得到，则得到，然后代入反比例函数解析式求即可． 【详解】解：当时，，当时，，解得， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点C作轴于点D，则， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， 把代入得，， 解得 故选：D． 二､填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 写出一个比小的有理数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了对有理数的性质的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：比小的有理数为：，等， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 计算：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行同类二次根式的合并即可． 【详解】解：． 故答案为： 11. 已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 【答案】十 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．先求出每一个外角的度数，再根据边数外角的度数计算即可． 【详解】解：， ， 这个多边形的边数是10． 故答案为：十． 12. 已知点位于第一象限，若它的横、纵坐标均为整数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，列出关于的不等式组，求出的取值范围，再结合横纵坐标均为整数的条件，确定的值． 【详解】解：点位于第一象限，第一象限内点的横纵坐标均为正数， ∴，解得：， 点的横纵坐标均为整数， 为整数，可得． 13. 随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶．如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为__________平方米（结果保留）． 【答案】 【解析】 【详解】解：该可视区域形成的扇形面积为（平方米）． 14. 如图，在中，点 E是边上一点， 且 交于点F， P是延长线上一点，给出下面四个结论： ①平分 ； ②； ③； ④当 时，， 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 由，可知，，则，由，可知是等腰三角形，由，可知，是的垂直平分线，平分 ，可判断①的正误；由，可得，如图，作的延长线于，则，可得，可判断④的正误；由题意知，无法判断的大小，可判断②的正误；由题意知，无法判断的大小；可判断③的正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴，是的垂直平分线，平分 ，①正确，故符合要求； ∴， ， ∴； 如图，作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 由题意知，无法判断的大小，②错误，故不符合要求； 由题意知，无法判断的大小；③错误，故不符合要求； 故答案为：①④． 三､解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式； ∴当时，则原式． 16. 为全面落实“五育并举”教育方针，学校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”三项活动，小长和小春分别从中随机选择一项活动参加（小长和小春选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． （1）小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为 ； （2）请用列表法或画树状图法，求小长和小春选择的活动不同的概率． 【答案】（1） （2）列表如下： 小春 小长 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得出所有等可能的结果，再得出小长和小春选择的活动不同的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3个活动，且小长选择每项活动的可能性相同， ∴小长选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为； 【小问2详解】 解：由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中小长和小春选择的活动不同的结果有6种， ∴小长和小春选择的活动不同的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 【答案】（1）所作射线如图所示： （2）所作射线如图所示： 【解析】 【分析】（1）在图中找到一个角的正切值也为即可； （2）在图中构造一个等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图略， 证明如下：连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 18. 伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米？ 【答案】 乙每分钟骑行400米. 【解析】 【分析】先设乙每分钟骑行x米，可得甲每分钟骑行，再根据两人分别骑行12000米所用的时间差为5列出分式方程，求出解即可． 【详解】解：设乙每分钟骑行x米，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以乙每分钟骑行400米． 19. 定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”； ；；． （2）若是“邻根方程”，求n的值． 【答案】（1）①③ （2）或 【解析】 【分析】（1）分别求出三个方程的根，再根据定义判断即可； （2）求出方程的根，再根据定义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， 解得或， ∵， ∴原方程是“邻根方程”； ②∵， ∴， 解得， ∴原方程不是“邻根方程”； ③∵， ∴， 解得或， ∵， ∴原方程是“邻根方程”； 综上所述，①③是“邻根方程”； 【小问2详解】 解：∵， ∴或， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， 20. 甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）直接写出甲组成绩的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组 （填“相同”或“不相同”），但甲组成绩明显比乙组的波动 （填“大”或“小”）． 【答案】（1），， （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图如下： （3）相同，大 【解析】 【分析】（1）先将数据进行排序，再由四分位数的概念求解即可 （2）求解出甲组的最小成绩与最大成绩，再根据四分位数作图即可； （3）根据箱线图和四分位数求解即可． 【小问1详解】 解：（解法一）甲组成绩从小到大排序为：，共10个数据， 第二四分位数为中位数，为，即， 第一四分位数为前5个数的中位数，为70，即， 第三四分位数为后5个数的中位数，为96，即， 故甲组成绩的四分位数，，； （解法二）甲组成绩从小到大排序为：，共10个数据， ∵， ∴第一四分位数为第3个数，即， ∵， ∴第二四分位数为第5个数与第6个数的平均数，，即， ∵， ∴第三四分位数为第8个数，即， 故甲组成绩的四分位数，，； 【小问2详解】 解：甲组成绩从小到大排序为：， 其中最小值为60，最大值为100， 四分位数为，，， 图略； 【小问3详解】 解：由箱线图可知，甲组成绩的中位数和乙组成绩的中位数相同，均为90， 由箱线图可知，乙组成绩的箱线图更短，成绩更集中，且波动小，故甲组成绩明显比乙组的波动大． 21. 2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． （1）求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． （2）求甲､乙两人相距最远时的距离． 【答案】（1） （2）相距最远为250米 【解析】 【分析】（1）设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为，把和代入求出与的值，即可确定出解析式； （2）由图可得当时，甲、乙两人相距最远．把代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为， 把和代入得：， 解得：，， 则； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，甲、乙两人相距最远． （米）． （米）． 所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米． 22. 综合探究 （1）【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． （2）【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且､､分别经过点，则边的长为______． （3）【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 【答案】（1）证明：， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由推出，即可证明； （2）过点作，交于，交于，证明，运用相似三角形的性质可得出，然后在中运用勾股定理可求出，进而求出，再在中，根据勾股定理求出的值； （3）根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于，交于， 在中，，， ， 直线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，； 【小问3详解】 解：，， ，， ， ， ， 点是边的中点，，， ， ， ． 23. 如图，在中，，，，点P在线段上（点P不与点A､B重合），连结． （1）线段的长度为______； （2）当线段长度最短时，线段的长度为______； （3）当是等腰三角形时，求线段的长度； （4）作点A关于的对称点，连结､，当点落在的内部时，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）根据垂线段最短得到当时，线段的长度最短，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求解； （3）根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解； （4）分别计算出点落在上和点落在上时的长度，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P在线段上 ∴当时，线段的长度最短 ∴此时 ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，当时， 由（1）得， ∴； 如图，当时，过点C作于点D 由（2）得， 由三线合一性质得，； 如图，当时， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴； 综上所述，或或； 【小问4详解】 解：如图，当点落在上时，过点作于点E 由对称得，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得 ∴； 当点落在上时， 由对称得，， ∴ 由（2）得， ∴当点落在的内部时，． 24. 已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．过点C作y轴垂线l，点P为直线l上任意一点，其横坐标为m，点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点Q在抛物线上时，求m的值； （3）当线段与抛物线有公共点时，求m的取值范围； （4）点M为抛物线上任意一点，连接，直线交直线于点N，若，直接写出M点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点Q的坐标代入抛物线的解析式中求解即可； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4这四种情况，求出对应的临界值，结合函数图象可得答案； （4）分两种情况：当点M在直线下方时和当点M在直线上方时，分别画出示意图，将两个三角形的面积之比转换为对应线段的比值求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴； ∵过点C作y轴垂线l，点P为直线l上任意一点，其横坐标为m， ∴； 如图3-1所示，当点Q恰好在抛物线上时，由（2）得或（舍去）； 如图3-2所示，当点P恰好与点C重合时，则 如图3-3所示，当点Q恰好在抛物线上时，由（2）得或（舍去）； 如图3-4所示，当点P恰好在抛物线上且时，则，解得或(舍)， 综上所述，结合图3-1，图3-2，图3-3，图3-4可知当或时，线段与抛物线有公共点； 【小问4详解】 解：如图所示，当点M在直线下方时， ∵， ∴，即点M为的中点， ∵点P的纵坐标为，点N的纵坐标为（由于点N在直线上）， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，， 解得或， ∴点M的坐标为或； 如图所示，当点M在直线上方时，取的中点W，连接， 同理可得点W的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点N为的中点， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，， 解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $