精品解析：吉林长春市东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期九年级数学学情自测4试题

东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期九年级练习卷（四） 数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 7. 如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分） 9. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______． 10. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 11. 在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则______． 12. 如图在中，，是边上的中线，且，则的长为___________． 13. 如图所示，在中，，平分，交于点，如果，，，那么的长是______． 14. 如图，在中，，，M是斜边上一点，连接．将绕点C逆时针旋转得到，连接交于点E，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（共9小题） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 某市举办马拉松比赛，参加该项比赛的人数逐年增多，从2023年的3万人增加到2025年的3.63万人，求这两年参加马拉松比赛的人数的年平均增长率． 18. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 19. 图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． （2）在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． （3）在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 20. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为，测得底部点B的俯角为，点A与楼的水平距离，求这栋楼的高度（结果保留根号）． 21. 世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（℉）．两种计量之间有如下对应： 摄氏温度x（℃） 0 10 20 30 40 50 华氏温度y（℉） 32 50 68 86 104 122 （1）在平面直角坐标系中描出相应的点． （2）观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式． （3）华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有；请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由． 22. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________． 23. 如图，在中，，，于点D，M为的中点．点P从点D出发，沿方向向终点A运动，在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度．连结．设点P的运动时间为t（s）． （1）的值为______； （2）用含t的代数式表示的长； （3）当点B、P、M三点不共线时，以为邻边构造平行四边形，当为矩形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期九年级练习卷（四） 数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母，不是最简二次根式； C.的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 3. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为，， ∴点的横坐标是，纵坐标是，即点的坐标为． 故选：B． 5. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 7. 如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，，的长，利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，或利用面积法求出的值． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 如图，在图中取格点D，连接， 由勾股定理得：，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分） 9. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 直接利用概率公式计算可得． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球， ∴从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为， 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，这里 ，，． ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式 ，代入系数得 ， 整理得 ， 解得 ． 11. 在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：由于两点关于轴对称，则其横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：点和点关于轴对称， ∴， 故答案是：4． 12. 如图在中，，是边上的中线，且，则的长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握其性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：在中，，是边上的中线， ． ， ， ， 故答案为：8． 13. 如图所示，在中，，平分，交于点，如果，，，那么的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴是的平分线 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】注意相似三角形的对应角平分线之比等于相似比． 14. 如图，在中，，，M是斜边上一点，连接．将绕点C逆时针旋转得到，连接交于点E，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，进而可得，由可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，则，，由此即可判断结论①；由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，即，由对顶角相等可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可判断结论②；由，可证得，于是可得，即，由勾股定理可得，进而可得，由此即可判断结论③；由，可证得，于是可得，由可得，将代入，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确结论的序号． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ，故结论①正确； ，， ， ， 即：， ， ， ，故结论②正确； ，， ， ， ， ，， ， ，故结论③错误； ，， ， ， ， ， ，故结论④正确． 综上，所有正确结论的序号是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 三、解答题（共9小题） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、二次根式乘法、有理数乘方及负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键． 17. 某市举办马拉松比赛，参加该项比赛的人数逐年增多，从2023年的3万人增加到2025年的3.63万人，求这两年参加马拉松比赛的人数的年平均增长率． 【答案】该市参加马拉松比赛人数的年均增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该市参加马拉松比赛人数的年均增长率为x，根据从2023年的3万人增加到2025年的3.63万人，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可． 【详解】解：设该市参加马拉松比赛人数的年均增长率为x，根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加马拉松比赛人数的年均增长率为． 18. 如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在和中，， ． （2）5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， ． 19. 图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． （2）在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． （3）在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 【答案】（1） 如图，点D、即为所求作： （2） 如图，点E、即为所求作： （3） 如图，点F(如)即为所求作：（答案不唯一，、、也可以） 【解析】 【分析】本题考查网格中基本作图，涉及锐角三角函数、勾股定理，理解网格特点，正确作图是解答的关键． （1）根据网格特点，找格点D，可得，； （2）根据网格特点，找格点E，可得，，则； （3）根据网格特点，找格点F（如图中、、、），可得是钝角，且． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为，测得底部点B的俯角为，点A与楼的水平距离，求这栋楼的高度（结果保留根号）． 【答案】这栋楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴， 答：这栋楼的高度为． 21. 世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（℉）．两种计量之间有如下对应： 摄氏温度x（℃） 0 10 20 30 40 50 华氏温度y（℉） 32 50 68 86 104 122 （1）在平面直角坐标系中描出相应的点． （2）观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式． （3）华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有；请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）观察可知，这些点在一条直线上，函数表达式为． （3）有可能．当摄氏温度为时，华氏温度的值与摄氏温度的值相等． 【解析】 【分析】(1) 将表中六组数据在坐标系中描出． (2) 观察这些点在一条直线上，用待定系数法求函数表达式即可． (3) 令，代入函数表达式解方程即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：观察这些点，它们在一条直线上． 设函数表达式为， 将，代入得： 解得 这条直线所对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：有可能． 令，代入得： ， ， ， 解得， 当摄氏温度为时，华氏温度的值与摄氏温度的值相等． 22. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________． 【答案】 [问题原型]证明：∵点为边的中点， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴ ∴ ∴ [结论应用]（1）；（2） 【解析】 【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证； [结论应用]（1）根据平行线分线段成比例得出，，进而得到是的中位线，即可求解； （2）根据（1）的结论得出是是的中位线，当为中点时得出的周长的最小值为，进而勾股定理即可求解． 【详解】[问题原型]略 [结论应用]（1）根据题意可得 ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示， 作点关于的对称点，连接， ∴， 当在上时，取得最小值， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴是的中点，则 即当顶点是 中点时，三角形的面积取得最小值， ∵根据（1）的结论得出是是的中位线，＝，且周长的最小值为， ∴的周长为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，轴对称的性质求线段的最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在中，，，于点D，M为的中点．点P从点D出发，沿方向向终点A运动，在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度．连结．设点P的运动时间为t（s）． （1）的值为______； （2）用含t的代数式表示的长； （3）当点B、P、M三点不共线时，以为邻边构造平行四边形，当为矩形时，求t的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一的性质得，再根据勾股定理得，最后由正切的定义即可解答； （2）分两种情况：当点在上和点在上，即可解答； （3）①先根据线段中点的定义可得，如图3，根据余角的性质得，根据正切的定义即可解答． 【小问1详解】 解：，，， ，， 由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 解：分两种情况： ①当点在上时，即，如图1， ， ； ②当点在上时，即，如图2， ； 综上：当时，；当时，； 【小问3详解】 解：是的中点，， ， 当为矩形时，如图3，点在上， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $