专题03 线段与角计算中的思想方法（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题03 线段与角计算中的思想方法 常考题型·精准突破 题型1 分类讨论思想在线段的计算中的应用（重） 题型2 分类讨论思想在角的计算中的应用 题型3 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题（高频） 题型4 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型5 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分类讨论思想在线段的计算中的应用 1．7或13 2．或 3．或或8 ◆题型2 分类讨论思想在角的计算中的应用 4．或 5．或或 6．或或或 ◆题型3 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 7．或 8．秒或5秒或20秒 9．或或或 ◆题型4 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 10． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差． （1）根据“点M、N分别是的中点”，先求出的长度，再利用即可求出的长度即可， （2）点C在的延长线上时，根据点M、N分别是的中点，即可求出的长度； （3）分点C在点A左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为； （2）解：如图， ∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为； （3）解：①当点C在点A右侧时，如图， 由（2）知，； ②当点C在点A左侧时，如图， 同理可得： 综上，的长为． 11． 【答案】（1），； （2）①不存在点P使； 理由：对于直线上的任意点P，恒有，当且仅当点P在线段上时取等号； 因此的最小值为，不可能等于； ②存在，点的位置在除线段外的直线上任意一点，这样的点有无数个 【分析】本题考查两点间的距离，线段和差的运算． （1）根据题意直接求解即可； （2）①不存在，求得的最小值为，不可能等于； ②存在，分在线段的延长线上(点C的右侧或点D的左侧)，这样的点有无数个． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）已知线段， 由（1）可知，即， 因此，； ①略； ②存在这样的点P， 点P的位置：在线段的延长线上(点C的右侧或点D的左侧)， 点P的数量：无数个． 12． 【答案】 （1）如图所示为所求： （2），； （3）①不存在， 理由：对于直线上的任意点P，恒有，当且仅当点P在线段上时取等号； 因此的最小值为，不可能等于； ②存在，点的位置在除线段外的直线上，点的数量有无数个 【分析】本题考查尺规作图，作线段，两点间的距离，线段和差的运算． （1）根据题意作图即可； （2）根据图形，利用线段间的关系及线段的和差即可求解； （3）①不存在，求得，不可能等于；②存在，点的位置在除线段外的直线上，这样的点有无数个． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）①略 ②存在这样的点P， 点P的位置：点的位置在除线段外的直线上， 则点的数量有无数个． ◆题型5 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 13． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 14． 【答案】(1)①6；②5 (2) (3)①23；36；②的度数为或. 【分析】（1）①根据线段的和差关系进行求解即可；②根据线段的和差关系结合线段中点的定义，进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （3）①根据角的和差关系进行求解即可；②分射线在内部和射线在内部两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 综上：的度数为或. 15． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 二、填空题 6．或 7．或 8．或 9．3或6或18． 10．或 三、解答题 11． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：∵， ∴， 当在内时， ， 当在外时， ． ∴的度数为或． 12． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点， ． 点是线段的中点， ． （2）①，， ， ， ． ②，， ． 当点在点左边时，，， ． 当点在点右边时，，， ． 综上可得的长为7或1． 13． 【答案】(1)； (2)不会，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算： （1）平角的定义求出，角平分线的定义结合平角的定义求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义结合平角的定义求出的度数即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ． 又，分别平分和， ，， ． （2）不会，理由如下： ，， ． 又分别平分和， ，． ． 14． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 15． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 16． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 17． 【答案】(1)120 (2)70或170 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，当与重合时，，结合题意即可求出的值； （2）分两种情况讨论：①在上方；②在下方，求出的度数，结合题意即可的值； （3）在旋转过程中，，则，则有，，再利用角的和差得到，整理即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与重合， ∴， ∴． 故答案为：120． （2）解：①当在上方时， 则， ∴； ②当在下方时， 则， ∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． 18． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03线段与角计算中的思想方法 内容概览 目常考题型精准突破 题型1分类讨论思想在线段的计算中的应用（重） 题型2分类讨论思想在角的计算中的应用 题型3分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题（高频） 题型4整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型5整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1分类讨论思想在线段的计算中的应用 1.(25-26七年级上河南南阳开学考试)己知线段AB=20cm,直线AB上有一点C,且BC=6cm,点 M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，则MN=」 cm 2.(25-26六年级下山东烟台期末)把一根绳子对折成一条线段AB,在线段AB上取一点P,使 AP:PB=1:3,将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为12cm,则三段绳子中最短的 一段的长为 cm 3.(25-26七年级上：广西河池期末)规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线 段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”.已知，数轴上点P所表示的数是一4，点Q表示的数是2，数 轴上另有一点N若要使P,O,N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为 ◆题型2分类讨论思想在角的计算中的应用 4.(26-27八年级上·湖南长沙阶段检测)若∠AOB=60°，∠BOC=20°，射线OM,ON分别是∠AOB」 ∠BOC的角平分线，则∠MON= 5.(25-26七年级下·云南楚雄期末)定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个 角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”.如图，∠AOB=60°，射线OC 为∠AOB的“二倍角线”，则∠A0C= 1/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 6.(25-26七年级下·黑龙江大庆·期末)如图，在同一平面内，已知直角三角板一边CD在直线AB上，另 外两边在直线AB上方，且∠DCE=60:∠E=90过点C作射线CF:使得∠BCF=∠DCE,再过点 C作射线CM、CN,使得∠FCM=9O°，CN平分∠DCM,则∠BCN的度数为一 E D ◆题型3分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 7.(2026七年级上重庆专题练习)如图，O为直线AB上一点，将一个三角板COD的直角顶点与点O 重合，三角板的一边OD与OB重合，现在将三角板COD绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中∠BOC 的平分线记为OM,∠BOD的平分线记为ON,则∠MON=度. C -B 8.(25-26七年级下·黑龙江大庆期中)如图1，射线OC在∠A0B的内部，图中共有3个角：∠A0B, ∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“启仔等分 线”.如图2，∠MPN=80°，若射线PE绕点P从PN位置开始，以每秒8的速度顺时针旋转，当∠EPW 首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为（秒）当t=__时，射线PN是∠EPM的“启仔等分线”. M B 图1 图2 9.(25-26六年级下上海虹口期末)一副直角三角板按如图①放置，点B、OD在同一直线上， 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠D=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°，△AOB和△COD同时以相同的速度绕点O分别向逆时针方 向和顺时针方向旋转一周，当∠AOB和∠COD的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了_， 图① 图② ◆题型4整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 10.(25-26七年级上·河南周口期末)已知点A、B、C在同一条直线上，点M、N分别是线段ACBC的 中点 M C N B (1)若点C在线段AB上，AC=8cm,BC=6cm,求MN的长： (2)若点C在线段AB的延长线上，AC=15cm,BC=6cm,求MN的长： (3)若点C为直线AB上任意一点，AB=aCm,直接写出MN的长（用含a的代数式表示）. 11.(25-26七年级上山西运城期末)【问题呈现】 如图，已知线段AB,延长线段AB到点C,使BC=AB;延长线段BA到点D,使AD=AC」 D A B C 【问题初探】 (1)若AB=a,则AD= AC+AD= (用含a的代数式表示) 【问题探究】 己知线段CD=8cm (2)①在直线CD上是否存在点P,使PC+PD=7Cm?为什么？ ②在直线CD上是否存在点P,使PC+PD>8cm?如果存在，请直接写出点P的位置及点P的数量；如果 不存在，请说明理由， 12.(25-26七年级上山西晋中·期末)综合与探究 【问题呈现】 如图1，已知线段AB,请用尺规按下列要求作图.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (1)延长线段AB到点C,使BC=AB;延长线段BA到点D,使AD=AC, 【问题初探】 3/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)中所作的图中，若AB=a,则AD= CD= (用含a的代数式表示) 【问题探究】 如图2，已知线段MN=8cm. (3)①在直线MN上是否存在点P,使PM+PN=7cm?为什么？ ②在直线MN上是否存在点P,使PM+PN>8cm？如果存在，请直接写出点P的位置及点P的数量；如 果不存在，请说明理由. A B M 图1 图2 ◆题型5整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 13.(25-26七年级下·四川达州期中)【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副 直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C, 图1 图2 【问题发现】 (1)①填空：如图1，若∠ACB=145,则∠ACE的度数是一，∠DCB的度数一，∠ECD的度数是 ②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发 现的结论， 【类比探究】 (2)如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由. 14.(25-26七年级上山西朔州期末)综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题.下面我们继 续由特殊到一般类比探究以下问题： 己知点C,D在线段AB上，M,N分别是AC,BD的中点. 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AMCD。N B B 图① 图② (1)特例感知：如图①，点C在点D的左侧，如果AB=9,AC=3,那么 ①线段BC的长为 ②若CD=1,求线段MN的长： (2)规律探索：如果AB=a,CD=b，,则线段MN的长为 (用含a,b的代数式表示，结果最 简) (3)迁移应用：己知∠A0B=57°12'，射线OC在∠AOB内部. ①如图②，如果∠A0C=3336',那么∠B0C为 ②咖果射线0D也在∠A0B内部，∠COD12射线0B在∠40C内高，且∠B0C-写A0C,射线OF 在∠BOD内部，且∠OD写B0D,诗你直接写出∠BOr的度数 3 15.(25-26七年级下·山东淄博期末)爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于 线段和角的问题分别进行了深入探究. (I)【初步探究】已知C,D是线段AB上的点，E,F分别是线段AC,BD的中点，AB=m,CD=n. 小明发现：线段EF与线段AB,CD之间存在一定的数量关系. ①如图1，当AC<AD时，线段EF的长为： (用含m,n的式子表示) AE C D FB 图1 ②如图2，当AC>AD时，线段EF的长为 (用含m,n的式子表示) A ED CF B 图2 (2)【类比探究】如图3，∠AOB=a,己知射线OC,OD在∠AOB的内部，且∠COD=B.若有射线OE, OF分别平分∠AOC,∠BOD,请帮助小明同学求∠EOF的度数：（用含a,P的式子表示） 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -B 图3 备用图1 (3)【拓展延伸】小明同学将一块含60°角的三角板COD的顶点O和∠AOB的顶点O重合，并分别在 ∠A0C,∠BOD的内部作射线OE,OF.已知∠COD=60°，∠A0B=a(60°<a<180°)， ∠AOE=k∠COE,∠BOF=k∠DOF AD B B 图4 图5 备用图2 ①如图4，小明同学先将三角板COD放置于∠AOB的内部，且使∠AOC<∠AOD,则∠EOF= ； (用含，k的式子表示) ②小明同学又把三角板COD和∠AOB按如图5所示方式摆放（点D在射线OB上，OC在OD左侧），再 将三角板COD绕点O在∠AOB所在的平面内逆时针方向转动.若α=120°，k=1,∠BOD=0( 0°<0<180°)，问在三角板COD转动的过程中是否存在0，使得∠EOF=2∠A0C？若存在，请直接写出 8的值；若不存在，请说明理由. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.如果线段AB=3cm,BC=4cm,则A、C两点间的距离是() A.7cm B.1cm C.7cm或lcm D.无法确定 2.已知点A,B,C共线，线段AB=20cm,线段BC=8cm,则线段AC的长为() A.28cm B.12cm c.28cm或12cm D.14cm 3.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB,OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度数是() 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.20°或50° B.20°或60 C.30°或50° D.30°或60 4.如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合.若三角尺②的一条直 角边与BC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是() 45 ① ② 30° 60° 45 B A.10° B.80 C.110 D.170° 5.如图，已知∠AOB=120°，OE平分∠AOB,射线OC在∠AOE内部，∠BOC=90°，作射线OF,使 射线OC是∠EOF三等分线，则∠AOF的度数为() B A.15° B.30° C.15°或30° D.30°或45 二、填空题 6.从点0出发引三条射线OA、OB、0C,使∠A0B=90°，∠B0C=30°，则∠A0C的度数是 7.点A,B,C是直线I上三点，如果点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，若AB=12, BC=4,则MN= 8.已知AB=8Cm,点C是直线AB上的一点，使得AC=2BC,M、N分别是线段AB的中点与AC的中 点，则线段MN的长度是一 PA 1 9.已知点P是射线4B上一点，当PB 当路-2成份方时，春点P是射线B的强弱点，若AB=9则pA= 10.如图，直线EF上有一点O,过点O在直线EF的上方作射线OA,∠AOF=30°，现将射线OA绕点O 以每秒16°的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线OC始终平分∠AOF，射线OD始终是∠AOE的 三等分线，且∠A0D=3∠4A0E.设旋转时间为，秒，若∠COF-∠A0D=450,1的值为一· E 7/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.如图，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC:∠BOC=1:2 B C y (1)求∠AOC的度数： (②过点O作射线OD:若∠A0D-40B,求∠co0的度数 12.【问题背景】 如图，已知线段AB=16,点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点. D BA N C D B 图1 图2 【问题探究】 (1)如图1，求线段CD的长： (2)如图2，点N是线段AC上的一点，且满足CN=3AN, ①求线段DN的长； ②若点M是线段/B上的一点，CM=W,求DM的长。 13.三角板是我们日常学习数学必备的文具.如图，三角板的直角顶点O放置在直线AB上，三角板绕O 点在平面内旋转（三角板的各边均在直线AB的上方），OM,ON分别平分∠AOC和∠BOD. A B (1)在三角板旋转过程中，当∠AOC=40°时，求∠BOD和∠MON的度数； (2)随着三角板的旋转，∠AOC的大小会随着变化，请判断∠MON的大小是否变化？请说明理由. 14.A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且AB=10.动点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0). A 0 B (I)当t=1时，AP的长为_，点P表示的有理数为_： (2)当PB=2时，求t的值： 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？ 若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段MW的长. 15.在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A,再向左平移4个单 位长度到达点B，,最后向右平移10个单位长度到达点C. -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 (I)分别写出点A,B,C表示的数、 (2)若点P在线段BC上运动，当BP=3AP时，求出点P表示的数. (3)若点Q从点C出发，在线段BC的延长线上运动，M是BQ的中点，N是CQ的中点，试说明BM-CW 是一个定值 16.综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段AB=20cm,CD=4cm,线段CD在线段AB上运动，E,F分别是AC,BD的中点. 【知识探究】 (1)若AC=6cm,则EF=cm: (2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度， 如果变化，请说明理由； 【类比探究】 (3)对于角，也有和线段类似的规律.如图乙，已知LCOD在∠AOB内部转动，OE,OF分别平分 ∠AOC和∠BOD ①若∠A0B=150,∠C0D=30°，则∠E0F=-, ②试判断∠EOF的大小是否发生变化？如果不变，请确定∠EOF的大小，如果变化，请说明理由.， A E C D F B 甲 17.我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究.如图1所示，在直角三角板ABC中，∠B=30°， ∠BAC=60°，点A在直线MN上，先将AC边与AM重合，然后将三角板绕着点A按每秒1度的速度顺时针 旋转，旋转后的三角板记作△AB'C',设运动时间为t秒，且0<t<180, 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B M C M A 图 备用图 (1)当AB'与AN重合时，t= (2)当∠BAN=50°时，求t的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设∠B'AC'=n°，其他条件不变，在∠C'AW的 内部作一条射线p,使∠CAP= ∠C4AN,如果在旋转过程中，始终有∠PAB'=∠MAC成立，直接写 k k 出n与k的数量关系 18.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC、OM、ON.ON始终在OM的右侧， ∠BOC=120°，∠MON=a. 图1 图2 备用图 (1)如图1，当a=65°.OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数： (2)如图2、当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，Q=74°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时 针方向旋转(0°<a<180°)、使射线0N与∠B0C的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少 秒： (3)当∠MON在直线AB上方时，若a=75°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度 (0°<n<180),恰好使得∠FOA=2∠AOM,OH平分∠NOC,∠FOH=130°，请直接写出此时n的值. 10/10 专题03 线段与角计算中的思想方法 常考题型·精准突破 题型1 分类讨论思想在线段的计算中的应用（重） 题型2 分类讨论思想在角的计算中的应用 题型3 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题（高频） 题型4 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型5 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 分类讨论思想在线段的计算中的应用 1．（25-26七年级上·河南南阳·开学考试）已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 【答案】7或13 【分析】根据点在直线上，位置有两种可能，需分情况讨论，结合中点性质计算的长度． 【详解】解：∵ 点是线段的中点， ∴ ； ∵ 点是线段的中点， ∴ ． 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时， ． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期末）把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点，使，将绳子从点处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为________． 【答案】或 【详解】解：， ． ①若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，最短段长为． ②若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，可得，最短段长为． 综上所述，三段绳子中最短的一段的长为或． 3．（25-26七年级上·广西河池·期末）规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”．已知，数轴上点P所表示的数是，点Q表示的数是2，数轴上另有一点N，若要使P，Q，N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为_______． 【答案】或或8 【分析】分三种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 综上：则点N表示的数为或或8. ◆题型2 分类讨论思想在角的计算中的应用 4．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）若，，射线，分别是，的角平分线，则________． 【答案】或 【分析】根据射线的位置分两种情况讨论，即在内部和外部，利用角平分线的定义计算的度数。 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当在外部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 综上，为或． 5．（25-26七年级下·云南楚雄·期末）定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线如图，，射线为的“二倍角线”，则 ______ ． 【答案】或或 【分析】因为射线是的“二倍角线”，所以需分情况讨论三个角中存在的二倍关系： ；；当； 利用角的和差关系与二倍角的定义，通过分类讨论列方程或直接计算得到的可能值． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 综上，或或． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． ◆题型3 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 7．（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则______度． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由题意可分四种情况，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分： ①如图， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ③如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ④如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或； 故答案为或． 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当______时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】秒或5秒或20秒 【分析】本题考查角的运算中的新定义，仔细分析动态过程，确定三种情况是解题的关键． 根据旋转的过程，依次设定，，，四种情况进行分析． 【详解】解：由题意，可分四种情况： 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒或20秒． 9．（25-26六年级下·上海虹口·期末）一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了______． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． ◆题型4 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知点A、B、C在同一条直线上，点M、N分别是线段的中点． (1)若点C在线段上，，，求的长； (2)若点C在线段的延长线上，，，求的长； (3)若点C为直线上任意一点，，直接写出的长 （用含a的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差． （1）根据“点M、N分别是的中点”，先求出的长度，再利用即可求出的长度即可， （2）点C在的延长线上时，根据点M、N分别是的中点，即可求出的长度； （3）分点C在点A左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为； （2）解：如图， ∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为； （3）解：①当点C在点A右侧时，如图， 由（2）知，； ②当点C在点A左侧时，如图， 同理可得： 综上，的长为． 11．（25-26七年级上·山西运城·期末）【问题呈现】 如图，已知线段，延长线段到点，使；延长线段到点，使． 【问题初探】 （1）若，则___________，___________．（用含的代数式表示） 【问题探究】 已知线段． （2）①在直线上是否存在点，使？为什么？ ②在直线上是否存在点，使？如果存在，请直接写出点的位置及点的数量；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）①不存在点P使； 理由：对于直线上的任意点P，恒有，当且仅当点P在线段上时取等号； 因此的最小值为，不可能等于； ②存在，点的位置在除线段外的直线上任意一点，这样的点有无数个 【分析】本题考查两点间的距离，线段和差的运算． （1）根据题意直接求解即可； （2）①不存在，求得的最小值为，不可能等于； ②存在，分在线段的延长线上(点C的右侧或点D的左侧)，这样的点有无数个． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）已知线段， 由（1）可知，即， 因此，； ①略； ②存在这样的点P， 点P的位置：在线段的延长线上(点C的右侧或点D的左侧)， 点P的数量：无数个． 12．（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题呈现】 如图1，已知线段，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （1）延长线段到点，使；延长线段到点，使． 【问题初探】 （2）在（1）中所作的图中，若，则________，________（用含的代数式表示） 【问题探究】 如图2，已知线段． （3）①在直线上是否存在点，使？为什么？ ②在直线上是否存在点，使？如果存在，请直接写出点的位置及点的数量；如果不存在，请说明理由． 【答案】 （1）如图所示为所求： （2），； （3）①不存在， 理由：对于直线上的任意点P，恒有，当且仅当点P在线段上时取等号； 因此的最小值为，不可能等于； ②存在，点的位置在除线段外的直线上，点的数量有无数个 【分析】本题考查尺规作图，作线段，两点间的距离，线段和差的运算． （1）根据题意作图即可； （2）根据图形，利用线段间的关系及线段的和差即可求解； （3）①不存在，求得，不可能等于；②存在，点的位置在除线段外的直线上，这样的点有无数个． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）①略 ②存在这样的点P， 点P的位置：点的位置在除线段外的直线上， 则点的数量有无数个． ◆题型5 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 13．（25-26七年级下·四川达州·期中）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 14．（25-26七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 【答案】(1)①6；②5 (2) (3)①23；36；②的度数为或. 【分析】（1）①根据线段的和差关系进行求解即可；②根据线段的和差关系结合线段中点的定义，进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （3）①根据角的和差关系进行求解即可；②分射线在内部和射线在内部两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 综上：的度数为或. 15．（25-26七年级下·山东淄博·期末）爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，分别当A，B，C三点在一条直线上时，当A，B，C三点不在一条直线上时，两种情况进行分析即可． 【详解】解：当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段的延长线上和在线段的延长线上两种情况讨论； ①点C在线段的延长线上时，； ②点C在线段的延长线上时，； ∴A、C两点之间的距离是或 ； 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，不能确定． 故选：D． 2．已知点A，B，C共线，线段，线段，则线段的长为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 由于点的位置不能确定，故应分点在内与点在外两种情况进行讨论． 【详解】解：当如图1所示时， ， ； 当如图2所示时， ∵， ∴． 故选：C． 3．已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【详解】解：分为两种情况： 如图1，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数是或． 故选:C． 4．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，注意分类讨论，是解题的关键．分四种情况：当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，当与的夹角为，且在右侧时，当与的夹角为，且在左侧时，分别求出三角尺②的另一条直角边与边的夹角，然后进行判断即可． 【详解】解：当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在右侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 当与的夹角为，且在左侧时，如图所示： 此时另外一条直角边与的夹角为： ； 综上可知：三角尺②的另一条直角边与边的夹角可能是或或或， ∴四个选项中三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是， 故选：B． 5．如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，再根据射线是三等分线可分和两种情况求解可得． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ∵是三等分线， ∴①若， 则， ； ②若， 则， ； 综上，的度数为或， 故选：C． 二、填空题 6．从点O出发引三条射线，使，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查角的和差倍分，根据射线的位置不明确，所以本题难点在于要分两种情况讨论；因为两角的位置关系不明确，所以分射线在的内部和外部两种情况讨论求解，即或． 【详解】解：如图1点在内部 如图2点在外部 故答案为：或． 7．点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据点相对于线段的位置分两种情况讨论，利用线段中点的性质求出、的长度，再通过线段的和或差计算的长度 ．本题主要考查线段中点的性质以及线段长度的计算，熟练掌握分情况讨论思想和线段中点将线段分成相等两部分是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴； 如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴． ∴的长为或． 答案为：或． 8．已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点在线段上或点在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图， ∵，, ， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， ∵，,， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度是或， 故答案为：或． 9．已知点P是射线上一点，当或时，称点P是射线的强弱点，若，则 ． 【答案】3或6或18． 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键． 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合P的位置得到的具体的数量关系，结合，从而可得答案． 【详解】解： ①当，时，如图 ∴； ②当，时，如图 ∴； ③当，时，如图 ∴． 综上所述，的长为3或6或18． 故答案为：3或6或18． 10．如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线，角的和差，理解角平分线的定义是正确解答的关键．分三种情况进行解答，即当，和时，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系，表示，代入到中进行计算即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 综上可得，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求的度数； (2)过点O作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：∵， ∴， 当在内时， ， 当在外时， ． ∴的度数为或． 12．【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点， ． 点是线段的中点， ． （2）①，， ， ， ． ②，， ． 当点在点左边时，，， ． 当点在点右边时，，， ． 综上可得的长为7或1． 13．三角板是我们日常学习数学必备的文具．如图，三角板的直角顶点放置在直线上，三角板绕点在平面内旋转（三角板的各边均在直线的上方），分别平分和． (1)在三角板旋转过程中，当时，求和的度数； (2)随着三角板的旋转，的大小会随着变化，请判断的大小是否变化？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算： （1）平角的定义求出，角平分线的定义结合平角的定义求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义结合平角的定义求出的度数即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ． 又，分别平分和， ，， ． （2）不会，理由如下： ，， ． 又分别平分和， ，． ． 14． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 15．在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 16．综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 17．我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120 (2)70或170 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，当与重合时，，结合题意即可求出的值； （2）分两种情况讨论：①在上方；②在下方，求出的度数，结合题意即可的值； （3）在旋转过程中，，则，则有，，再利用角的和差得到，整理即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与重合， ∴， ∴． 故答案为：120． （2）解：①当在上方时， 则， ∴； ②当在下方时， 则， ∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． 18．如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $