专题01 用数学思想方法解决线段与角中的计算问题的四种模型（高效培优专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题01 用数学思想方法解决线段与角中的计算问题的四种模型 目录 题型一：分类讨论思想在线段的计算中的应用 1 题型二：分类讨论思想在角的计算中的应用 7 题型三：整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 14 题型四：整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 19 题型一：分类讨论思想在线段的计算中的应用 1．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上和线段的延长线上两种情况，进行讨论求解即可. 【详解】解：①当点在线段上时，， ∵是线段的中点， ∴； ②当点在线段的延长线上时，， ∵是线段的中点， ∴； 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知点C为线段所在直线上一点，，，点E为的中点，F为的中点．则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：①当点C在点B的右侧时，如图1所示，，②当点C在点B的左侧时，如图2所示，，代入即可求出． 本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵点E，F分别是线段，的中点，且线段，线段， 当点C在点B的右侧时，如图1所示，    ∴， ∴， 当点C在点B的左侧时，如图2所示，    ∴， ∴， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·全国·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据点相对于线段的位置分两种情况讨论，利用线段中点的性质求出、的长度，再通过线段的和或差计算的长度 ．本题主要考查线段中点的性质以及线段长度的计算，熟练掌握分情况讨论思想和线段中点将线段分成相等两部分是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴； 如图， ∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，， ∴． ∴的长为或． 答案为：或． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点在线段上或点在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图， ∵，, ， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， ∵，,， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度是或， 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 【答案】2或14 【分析】本题考查了线段中点及“折中点”的概念，解题的关键是理解折中点的定义，分情况讨论点D的位置（在或上），再结合线段长度关系列方程求解．由E是中点及，得；分D在上和上两种情况，根据“折中点分折线为等长两部分”列方程，求的长． 【详解】∵E是的中点，且， ∴． 分析折中点D的位置（分两种情况）： 折线的总长度为，折中点D需满足“从A到D的折线长等于总长度的一半”． 情况1：D在上， 此时为从A到D的折线长，且． 由折中点定义：，即，解得． 情况2：D在上， 此时从A到D的折线长为． 由折中点定义：，即，解得． 故答案为：2或14． 6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差，等分线段的计算．设运动时间为t，，，，，再加上已知条件，就可以得到，再分两种情况讨论计算，当N在线段上时，N在线段延长线上时，分别求出比值即可． 【详解】解：设运动时间为t， ∵，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 综上所述，或1． 故答案为：或1． 7．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·河北唐山·期末）【新知理解】如图1，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点是线段的巧点，则 cm． 【答案】6，9或12 【分析】此题主要考查了两点间的距离，理解“巧点”的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．依题意可知有以下三种情况：①当点靠近点，且时，则点是线段的“巧点”，根据可得出；②当点是线段的中点时，则或，则点是线段的“巧点”，根据线段中点的定义得；③当点靠近点，且时，则点是线段的“巧点”，根据得，综上所述即可得出答案． 【详解】解：点在线段上， 根据“巧点”的定义可知有以下三种情况： ①当点靠近点，且时，如图1所示： 点是线段的“巧点”， ， ， ； ②当点是线段的中点时，则或，如图2所示： 点是线段的“巧点”， ； ③当点靠近点，且时，如图3所示： 点是线段的“巧点”， ， ， ， ， 综上所述：当点是线段的巧点，则的长为6或9或． 故答案为：6或9或12． 题型二：分类讨论思想在角的计算中的应用 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算；分两种情况画图，当在的右边时，当在的左边时，再进一步结合角平分线与角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图，当在的右边时， ∵，平分， ∴， ∴， 如图，当在的左边时， ∴， 综上：为或； 故答案为：或 10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，平面内有一射线，且，若平分，则 °． 【答案】或 【分析】本题主要考查角的平分线，角的计算, 熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 分射线在内部和外部，两种情况讨论，结合图形求解即可． 【详解】解：当射线在内部时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴. ， ∴； 当射线在外部时，如图， ∵，. ， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：过一个角的顶点在角的内部作一条射线，把这个角分成两个小角，且这两个小角的度数满足倍关系，则称这条射线为这个角的“倍分线”．已知射线为的“倍分线”，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差倍分关系，角的和差，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，在直角三角形中，，为射线上一点，且点沿射线方向移动．在点移动的过程中，当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点和线的位置关系，角的关系和一元一次方程的应用，关键是理解角的相互关系及点P的位置（在线段上或延长线上）．设，根据点Ｐ在线段上或在的延长线上两种情况列方程求解即可． 【详解】解：设， 当点P在线段上时，如图： ， 即， ， 解得， 当点P在线段的延长线上时，如图： ， ， ， 解得 综上所述，的度数为或 故答案为：或 13．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）如图，已知A，O，B三点共线，平分，，过点O在的内部作射线，若射线与，，中任意一条射线所成夹角为时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查垂直、角平分线的计算和分类讨论思想．分三种情况讨论：当和当及当，分别求得即可． 【详解】解：当，如图， ，， ； 当，如图， ， ， 平分， ， 则； 当，如图， 综上所述，为或或． 14．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图所示： ∵平分， ∴ ∴， 此时三角板转过的角度为； 当的延长线平分，如图所示： ∴ 则 故， 此时三角板转过的角度为； 故答案为：或． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，射线在内，图中共有三个角，和，若其中一个角的度数是另外一个角的度数的2倍，则称射线是的“2倍线”． （1）一个角的平分线 这个角的“2倍线”（选填“是”或“不是”）； （2）若，射线是的“2倍线”，则的度数为 ． 【答案】 是 ，或 【分析】本题主要考查了一元一次方程在新定义习题中的应用，理清数量关系是解题的关键． （1）根据“2倍线”的定义即可得到答案； （2）分三种情况，由“2倍线”的定义即可得到答案． 【详解】解：（1）根据“2倍线”的定义，的角平分线是这个角的“2倍线”； 故答案为：是； （2）若，射线是的“2倍线”， ①，此时； ②，此时； ③，此时； 故答案为：，或． 16．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角．若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 题型三：整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 17．（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知点在线段上，点分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，其它条件不变，你能猜想线段与的数量关系吗？并说明你的理由； (3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出你的结论． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)成立；理由见解析 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据“点M、N分别是的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可； （2）当C为线段上一点，且M，N分别是的中点，可表示线段、的长度，再利用，则； （3）点C在的延长线上时，根据M、N分别为的中点，即可求出的长度． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为5； （2）解：．理由如下： ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴； （3）解：成立，理由如下： 当点C在线段的延长线时，如图： 则， ∵M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴． 18.（24-25七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 19．（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图（1），已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段 的长； (3)如图（2），若点C为线段延长线上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：解：∵，， ∴． 20．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 题型四：整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 21．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． (2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数； (3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数． (4)从前面的结果中，你能得出什么结论？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义 （1）由已知结合图形可求得的度数，再由角平分线的定义可分别求得与的度数，再由角的差的关系即可得结果； （2）分析与（1）相同； （3）分析与（1）相同； （4）设，（为锐角），余下与（1）相同． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （4）解：设，（为锐角）， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 22．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， ， ． 故答案为：； （3）．理由如下: ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）∵平分， 又∵， ． 故答案为：． 24．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 用数学思想方法解决线段与角中的计算问题的四种模型 目录 题型一：分类讨论思想在线段的计算中的应用 1 题型二：分类讨论思想在角的计算中的应用 7 题型三：整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 14 题型四：整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 19 题型一：分类讨论思想在线段的计算中的应用 1．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ． 2．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知点C为线段所在直线上一点，，，点E为的中点，F为的中点．则 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 5．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 7．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 8．（24-25七年级上·河北唐山·期末）【新知理解】如图1，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点是线段的巧点，则 cm． 题型二：分类讨论思想在角的计算中的应用 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，平分，若内部存在一条射线，满足，则 ． 10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，平面内有一射线，且，若平分，则 °． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：过一个角的顶点在角的内部作一条射线，把这个角分成两个小角，且这两个小角的度数满足倍关系，则称这条射线为这个角的“倍分线”．已知射线为的“倍分线”，若，则 ． 12．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，在直角三角形中，，为射线上一点，且点沿射线方向移动．在点移动的过程中，当时，的度数为 ． 13．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）如图，已知A，O，B三点共线，平分，，过点O在的内部作射线，若射线与，，中任意一条射线所成夹角为时，的度数为 ． 14．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，射线在内，图中共有三个角，和，若其中一个角的度数是另外一个角的度数的2倍，则称射线是的“2倍线”． （1）一个角的平分线 这个角的“2倍线”（选填“是”或“不是”）； （2）若，射线是的“2倍线”，则的度数为 ． 16．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角．若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 题型三：整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 17．（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知点在线段上，点分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，其它条件不变，你能猜想线段与的数量关系吗？并说明你的理由； (3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出你的结论． 18.（24-25七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 19．（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图（1），已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段 的长； (3)如图（2），若点C为线段延长线上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段的长． 20．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 题型四：整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 21．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． (2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数； (3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数． (4)从前面的结果中，你能得出什么结论？ 22．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 24．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $