第五章 一元一次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版七年级上册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章一元一次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，属于一元一次方程的是() A.2x-y=1 B.x2-3x=0 +5=3x c.2 2.有一个方程的解为x=5,则这个方程是() A.5x-4=1 B.2x-5=-x 2 c. D.(x-2)2=6 3.利用等式的性质，下列变形不正确的是() a b A.若3a=2b,则3a-2=2b-2 B.若3a=2b:则2-3 C.若3a=2b,则9a=4b D.若3a=2b,则3a+7=2b+7 1解方程1：2型 3一，去分母正确的是() A.3(x-)-1=2(2x+1) B. 3(x-1)-6=2(2x+1) C.3x-1-6=4x+1 D.3x-3-1=4x+2 5.若代数式4x-5比3x+6的值小1，则x的值为() A.10 B.9 C.8 D.7 6.若关于x的一元一次方程2x+a=4的解为x=-3,则a的值为(). A.-2 B.2 C.-10 D.10 7.若方程2x+k=1与方程3x-2=4的解相同，则k的值为() A.-3 B.3 C.-5 D.5 8.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸： 屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再 量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长x尺，则可列一元一次方程为() A.x+4.5=2(x+1) B.x-4.5=2(x+1) 115 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.x+4.5=2(x-1) D.x-4.5=2(x-1) 9.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格.将9个数填入幻方的空 格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中x+y等于() 6 8 21 77 3 5 9 4 20 图1 图2 A.15 B.14 C.13 D.12 l0.定义：若关于x的一元一次方程mr=n(m,n为已知数)的解为x=n+3m,则称该方程为“和合” 方程.例如，一元一次方程2x=-12的解为x=6,6=-12+3×2,则方程2x=-12为“和合”方程.若 关于x的一元一次方程4x=n是“和合”方程，则n=() 16 16 A.16 B.-16 C.11 D.11 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若a与2a+3互为相反数，则a的值是 12.有一个两位数，十位数和个位数的比是1：4，十位上的数加上6，就和个位上的数相等，这个两位数是 2一-牛“-1去分母时，方程右边的-1忘记了乘3，因而求得方程的解为x=2:则 13.某同学在解方程3=3 a的值为 14.在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应长度如图所示，则AE的长为Cm. D 5cm B 17cm 15.已知方程(m-x2+4= 是关于x的一元一次方程，那么m= 16.关于x的方程9x-2=c+7的解是自然数，则整数k的值为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 215 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.解方程： (1)2(x+3)=2-5(x+2): 2x-l=3-x+1 (2)2 6· 18.学生在课上探究方程03045的解法，小亮的解法如下： x x-1 xx-11 解3-42·① 4x-3(x-1)=6 .② 4x-3x-1=6.③ 4x-3x=6+1.④ x=7.⑤ (1)小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是 (请写具体这一次变换方式)： 该变形的依据是 (2)请判断小亮同学的解法是否正确，如果正确请说明理由，如果不正确请指出错误步骤（填写序号），并 正确解出方程， 19.定义一种新运算：m*n=mn+n,如4*3=4×3+3=15.请解决下列问题： 2*(-3)= 1*(2*3)= (1)直接写出结果： 2)若关于的方程2*(x-a)小=x5 的解与方程x+3=b的解相同，求6a+4b的值. 20.在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产 业话语权.为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作.已知甲科 研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月. (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ 2 (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的3，求甲、乙 科研团队各工作了多少个月. 21.先阅读下列解题过程，然后解答问题： 2x+3=5 解方程： 315 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：当2x+3≥0时，原方程可化为2x+3=5,解得x=1: 把x=1代入2x+3得：2×1+3>0，成立： 当2x+3<0时，原方程可化为2x+3=-5,解得x=4. 把x=4代入2x+3得： 2×(-4)+3<0 ,成立 .原方程的解为x=1或x=4」 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程 3x-1=8 (2)解方程 2x-1=3x-5 22.学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15 个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等. (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用 完的情况下，需要减少A,B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数 量的2倍.设A型中国结减少m个 ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案。 3x-m 5 x+m 23.己知关于x的方程2一63，其中m为常数. (1)小明在解这个方程时，误将方程右边的“+”看成“”，得到方程的解为x=1,m的值为」 (2)若该方程与关于x的方程-1-3x=4x+6m的解互为相反数，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值。 24.定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程 4x=8和x+1=0为“集团方程”· (1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-1=x+8是“集团方程”，则的值为 (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n,求的值： 1 )若关于x的一元一次方程2025x+3=2x+k和2025+1=0是“集团方程”，直接写出关于y的一元 4/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 次方程20250+1)+3=2y+2+k的解。 25.【阅读理解】定义：对于数轴上不同的三个点PQM,若满足MP=mM0,则称点M是点P关于 点的“m倍特征点”，例如，如图，在数轴上，点P,Q表示的数分别是-3,1，可知原点O是点P 关于点Q的“3倍特征点”，原点0也是点Q关于点p的“3倍特征点”. P -3 0 1 备用图 【问题解决】在数轴上，已知点A表示的数是6，点B表示的数是4. (I)填空：若点C在A和B两点之间，其表示的数是C,且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则C= (2)在数轴上取两点DE,点E在点D的右侧，且DE=3. ①若4D=2,且点B是点D关于点的”倍特征点”，求”的值： B D E m ② D D H B 若点与点“重合，点和点同时以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点”运动到点”时， 1 所有运动都停止，设运动时间为t秒，当A、D、E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“3 倍特征点”时，求的值. 5/5 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B A D A C B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．28 13．2 14．3 15． 16． 0 6 8 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ..........3分 （2）解： .........6分 18．(1) 方程两边同时除以；等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）；..........2分 (2) 不正确，错误步骤是③，，正确解法如下： ， ， ， ， ， ．..........6分 19． 【详解】（1）解：， ， ；..........3分 （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴．..........6分 20． 【详解】（1）解：设还需要x个月才能完成， 由题意得，， 解得， 答：还需要9个月才能完成；..........3分 （2）解：设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月．..........6分 21． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或．..........4分 （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为．..........8分 22． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个．..........2分 （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ；..........5分 ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个．..........8分 23． 【详解】（1）解：由题意，把代入，则 解得；..........2分 （2）解： 解得， 解得 由解互为相反数，得， 解得；..........5分 （3）解：由（2）可知原方程的解为． 因为方程有正整数解， 所以是正整数． 设（为正整数）． 因为5和7互质， 所以必须是7的倍数，即，． 当时，，此时是正整数， 所以整数的最小值为6．..........8分 24． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴．..........4分 （2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n， ∴另一个解是， ∵两个解的差是6， ∴，即， ∴或， 解得或．..........8分 （3）解：∵， ∴， ∵和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴， ∴．..........12分 25． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，点是点关于点的“倍特征点”， ∴， ∴， 故答案为：；..........3分 （2）解：∵， ∴表示的数为或， ∵点是点关于点的“倍特征点”， ∴， 当表示时，表示， ∴，解得：； 当表示时，表示， ∴，解得：， 综上可知：的值为或；..........7分 由题意可知表示，表示， 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴； 若是关于的“倍特征点”， ∴，与题意不符，此情况不存在； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴， ∵，故舍去； 若是关于的“倍特征点”， ∴，与题意不符，此情况不存在； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴， 综上所述，或或．..........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程含有两个未知数，不符合条件，错误； B选项：方程中未知数最高次数为2，不符合条件，错误； C选项：方程只含1个未知数，未知数次数为1，两边均为整式，符合一元一次方程定义，正确； D选项：方程分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，错误． 2．有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将依次代入各选项方程，验证方程左右两边是否相等，相等即为正确答案． 【详解】解：将代入选项A左边 ，右边， ，故A错误； 将代入选项B左边，右边，，故B错误； 将代入选项C左边 ，右边，左边右边，故C正确； 将代入选项D左边 ，右边，，故D错误． 3．利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、，两边同时减2得，原式变形正确，不符合题意； B、，两边同时除以6得，即，原式变形正确，不符合题意； C、，左边乘3，右边乘2，乘的数不相同，原式变形错误，符合题意； D、，两边同时加7得，原式变形正确，不符合题意． 4．解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6去分母，可得：， 化简得． 5．若代数式比的值小1，则x的值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据题意列出一元一次方程，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 移项得， 合并同类项得； 即x的值为10. 6．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】∵是一元一次方程的解， ∴将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 7．若方程与方程的解相同，则k的值为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】两个方程解相同，因此先求解不含参数的方程 得到的值，再将代入含参数的方程即可求出的值． 【详解】解：先解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵两个方程的解相同， ∴把代入得， 解得， 因此的值为． 8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 10．定义：若关于x的一元一次方程（m，n为已知数）的解为，则称该方程为“和合”方程．例如，一元一次方程的解为，则方程为“和合”方程．若关于x的一元一次方程是“和合”方程，则（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知方程的解求参数、解一元一次方程，本题需根据“和合”方程的定义，先求出方程的解，再结合定义建立关于n的一元一次方程，进而求解n的值． 【详解】解：， ∵方程是“和合”方程，根据定义得， ， 两边同乘得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若a与互为相反数，则a的值是______． 【答案】 【分析】先根据a与互为相反数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵a与互为相反数， ∴， 解得：． 12．有一个两位数，十位数和个位数的比是，十位上的数加上6，就和个位上的数相等，这个两位数是______． 【答案】28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据十位数和个位数的比是，设十位数字为x，则个位数字为，再根据十位加6等于个位列出方程求解即可． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 由题意得， 解得， 所以个位数字为8， 因此这个两位数是28． 故答案为：28． 13．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【分析】方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，即可求得的值． 【详解】解：方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：． 14．在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应长度如图所示，则的长为_____． 【答案】3 【详解】解：设， 根据题意得， 解得：， 则的长为． 15．已知方程是关于的一元一次方程，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有个未知数，并且未知数的次数是的整式方程叫做一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，， ，， ． 故答案为：． 16．关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为__________． 【答案】 0 6 8 【详解】先解方程，得到一个含有字母k的解，再根据“解是自然数”作答即可. 【解答】解：解得， ∵关于x的方程的解是自然数， ∴k的值可以为：0、6、8． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．学生在课上探究方程的解法，小亮的解法如下： 解．① ．② ．③ ．④ ．⑤ (1)小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是__________（请写具体这一次变换方式）：该变形的依据是__________； (2)请判断小亮同学的解法是否正确，如果正确请说明理由，如果不正确请指出错误步骤（填写序号），并正确解出方程． 【答案】(1) 方程两边同时除以；等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）； (2) 不正确，错误步骤是③，，正确解法如下： ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查的知识点是等式的基本性质、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法． （1）观察原方程到①式的变化，根据等式的基本性质确定变形方式和依据； （2）按照解一元一次方程的步骤，依次分析每一步，找出错误步骤并改正即可． 【详解】（1）解：小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是方程两边同时除以，该变形的依据是等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）． 故答案为：方程两边同时除以；等式的性质（等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立）． （2）略 19．定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】(1)；18 (2)2 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用新定义得出一元一次方程，解方程求出，解第二个方程得出，根据两方程的解相同得出，得出，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴． 20．在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月． (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的，求甲、乙科研团队各工作了多少个月． 【答案】(1)9个月 (2)甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设还需要x个月才能完成，根据题意可求出甲、乙的工作效率，再根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可； （2）设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设还需要x个月才能完成， 由题意得，， 解得， 答：还需要9个月才能完成； （2）解：设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月． 21．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 22．学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【答案】(1)A单价为36元/个，B单价为27元/个 (2)①B种中国结购买个；C种中国结购买个；②购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的表示及方案选择问题． （1）设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个，根据A、B种中国结费用相同列方程求单价即可； （2）①先计算出总费用，根据A种中国结数量得到B种中国结和C种中国结购买数量表达式； ②由①计算中国结总数，再由三种中国结的个数都是正整数得到m的取值，当时，总数达到最多，为47个，从而得到A、B、C种中国结购买数量． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个． （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ； ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个． 23．已知关于的方程，其中为常数． (1)小明在解这个方程时，误将方程右边的“＋”看成“-”，得到方程的解为，的值为________； (2)若该方程与关于的方程的解互为相反数，求的值； (3)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3)整数的最小值为6 【分析】（1）把代入，得到方程，再解方程即可； （2）分别解两个方程，再由解互为相反数建立关于m的方程，再解方程即可； （3）可得是正整数．设（为正整数），因为5和7互质，所以必须是7的倍数，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，把代入，则 解得； （2）解： 解得， 解得 由解互为相反数，得， 解得； （3）解：由（2）可知原方程的解为． 因为方程有正整数解， 所以是正整数． 设（为正整数）． 因为5和7互质， 所以必须是7的倍数，即，． 当时，，此时是正整数， 所以整数的最小值为6． 24．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）先分别求解两个方程的解，再根据“集团方程”定义（解的和为1）列方程求m； （2）设两个解，利用“集团方程”解的和为1及差为6列方程求n； （3）先求已知方程的解，根据“集团方程”定义求另一个方程的解，再通过方程变形求y的值． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n， ∴另一个解是， ∵两个解的差是6， ∴，即， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴， ∵和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴， ∴． 25．【阅读理解】定义：对于数轴上不同的三个点，若满足，则称点是点关于点的“倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍特征点”，原点也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)填空：若点在和两点之间，其表示的数是，且点是点关于点的“倍特征点”，则______； (2)在数轴上取两点，点在点的右侧，且． 若，且点是点关于点的“倍特征点”，求的值； 若点与点重合，点和点同时以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点运动到点时，所有运动都停止，设运动时间为秒，当三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或；或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴表示数，数轴动点问题，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“倍特征点”，得出，然后解方程即可； （）由，则表示的数为或，再根据列出方程计算的值； 用时间表示出动点，再由条件需种情形分类讨论，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，点是点关于点的“倍特征点”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴表示的数为或， ∵点是点关于点的“倍特征点”， ∴， 当表示时，表示， ∴，解得：； 当表示时，表示， ∴，解得：， 综上可知：的值为或； 由题意可知表示，表示， 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴； 若是关于的“倍特征点”， ∴，与题意不符，此情况不存在； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴， ∵，故舍去； 若是关于的“倍特征点”， ∴，与题意不符，此情况不存在； 若是关于的“倍特征点”， ∴，即， ∴， 综上所述，或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第五章 一元一次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 3．利用等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若代数式比的值小1，则x的值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 6．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 7．若方程与方程的解相同，则k的值为（   ） A． B．3 C． D．5 8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 10．定义：若关于x的一元一次方程（m，n为已知数）的解为，则称该方程为“和合”方程．例如，一元一次方程的解为，则方程为“和合”方程．若关于x的一元一次方程是“和合”方程，则（    ） A．16 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若a与互为相反数，则a的值是______． 12．有一个两位数，十位数和个位数的比是，十位上的数加上6，就和个位上的数相等，这个两位数是______． 13．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 14．在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应长度如图所示，则的长为_____． 15．已知方程是关于的一元一次方程，那么_____． 16．关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．学生在课上探究方程的解法，小亮的解法如下： 解．① ．② ．③ ．④ ．⑤ (1)小亮同学对原方程做了一次同解变形后得到了①，该变形是__________（请写具体这一次变换方式）：该变形的依据是__________； (2)请判断小亮同学的解法是否正确，如果正确请说明理由，如果不正确请指出错误步骤（填写序号），并正确解出方程． 19．定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 20．在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月． (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的，求甲、乙科研团队各工作了多少个月． 21．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 22．学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 23．已知关于的方程，其中为常数． (1)小明在解这个方程时，误将方程右边的“＋”看成“-”，得到方程的解为，的值为________； (2)若该方程与关于的方程的解互为相反数，求的值； (3)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 24．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 25．【阅读理解】定义：对于数轴上不同的三个点，若满足，则称点是点关于点的“倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍特征点”，原点也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)填空：若点在和两点之间，其表示的数是，且点是点关于点的“倍特征点”，则______； (2)在数轴上取两点，点在点的右侧，且． 若，且点是点关于点的“倍特征点”，求的值； 若点与点重合，点和点同时以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点运动到点时，所有运动都停止，设运动时间为秒，当三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $