第5章 一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第5章一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列方程中，是一元一次方程的是() A.x2-1=0 B.2x+y=3 c.言-5 -2 D.x 2.下列方程中，解为x=2的是() A.4x+8=0 B.-x+2=0 C.2x=2 D.1-x=3 3.根据等式的性质，下列变形不正确的是() A.如果a=b,那么a-x=b-x B.如果x=y,a=b,那么x+a=y+b C.如果am=bm,那么a=b D.如果x=y,那么mx=四 4.下列方程变形中，正确的是() A方鞋不=8系数化1，得=个》 1 B.方程5x-3=2x-1,移项，得5x-2x=-1+3: 5-4(x-1)=3 C.方程 去括号，得5-4x-4=3 ax+1-1=x-3 D.方程2 3,去分母，得3(x+1)-1=2(x-3) 5.已知一个正数有两个不同的平方根，分别为2x+1和3-4x,则这个正数是(). A.25 B.16 C.4 D.2 6.若关于x的方 程8-2m=21-)与方程2x-3=的解相同，则m的值为（） A.4 B.2 C.-2 D.-4 程2=号-1时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的-设有乘以10，由此求得的 7.小明解方程52 2x-1_x+-1正确的解是（） 解为x=4,则方程5=2 115 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x=4 B.x=7 C.x=10 D.x=13 8.某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22 个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程 中正确的是() 22x=64(27-x) 64x=22(27-x) B C.2x22x=64(27-x) D. 2×64x=22(27-x) 。若关于x的一元一次方程0263x+)-2028=6x+m的解为r=5,则关于y的一元一次方程 1 2026'-2026=2y+m的解为（) 4 A.y=-14 B.y=3 C.y=15 D.y=16 10.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格.将9个数填入幻方的 空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中x+y等于() 6 21 7 5 3 5 2 9 4 20 图1 图2 A.15 B.14 C.13 D.12 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.若m-2)x= 是关于x的一元一次方程，则m的值是 12.关于x的方程+b+1=0的一个解是x=1,则2026-a-b= 13.一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的 3,且各数位上数的和为14，则这个三位数是 1 2 14.如图，甲、乙两根铁棍竖直立于水槽中，甲的3与乙的5在水面上方，己知甲、乙两根铁棍总长 95cm,则此时水面的高度为_cm. 215 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲 15.我们规定：若关于x的一元一次方程x=b的解为b+a,则称该方程为和解方程.例如：方程2x=4 的解为x=-2,而-2=-4+2，则方程2x=4为和解方程.若已知关于x的一元一次方程3x=m是和解方 程，则的值为 16.关于x的方程9x-2=ax+7的解是自然数，则整数k的值为 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解方程： (1)3x-1=2(x+1) x-3x+1=1 (2)23 l8.用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a田b=ab2-3a. 如：1⊕2=1×22-3×1=1. 求(3)®2 的值： 2若(2a)(-2)=10 求有理数的值. 19.如图所示，2026年第二届“青竹湖湘一数学文化节”上，某班数学活动小组编制了一道有理数混合运 算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数。 输入一个数 乘以-4 除以2 加上 减去● 计算结果 (1)若●表示5，输入数为3，求计算结果： (2)若计算结果为7，且输入的数字是3，则●表示的数是几？ 20.2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生 工程.其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成 需要30天.该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队 合作完成剩余工程 315 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元.则甲、乙两队每天的劳 务费各是多少元？ 3x-m x+m 5 21.己知关于x的方程236· (1)若m=-1,求该方程的解： 1 (②若x=5是方程的解，求2m+2m的值： 5 6 (③)某同学在解该方程时，误将“6”看成了“5”，得到方程的解为x=1,求m的值： 22.如图，已知数轴上有A、B两点，分别代表40、20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A、B两点同时出发， 甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，到达点B时运动停止；乙沿线段BA以4个单位长度/秒 的速度向左运动. A一→甲 乙←B -40 0 20 (I)A、B两点间的距离为个单位长度；乙到达A点时共运动了秒 (2)甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ (3)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？ 23.根据表格素材，完成表中的任务. 探究优惠购物问题 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳 素材1 绳.已知购买4个足球7根跳绳花费580元，购买2个足球与购买 11根跳绳所花的钱一样多. 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款： 素材2 方案②：买一个足球送一条跳绳 现学校要购买足球30个，跳绳a(a>30)根. 问题解决 ()求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当a为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ 415 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 (3)若两种优惠方案可同时使用，当a=60时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案。 24.【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另外两个点的距离之比为：2，那么这个 点叫做其它两个点的“双伴点”· 例如，如图①，数轴上点M,P,N分别表示0,1,2，那么点M是点P,N的“双伴点”. MPN 1.1分4克10124 B 0 10 图① 图② 图③ (1)如图②，数轴上点P,E,F,G分别表示-3，-2,0,3，那么点是点F,G的“双伴点”： 点是点P,F的“双伴点”；（只能填写图②中的字母） (2)【问题解决】如图③，点A和B在数轴上表示的数分别是-5和10，点C是点A,B的“双伴点”，求 点C在数轴上表示的数. (3)【应用拓展】在(2)的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动： 动点从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动.点P同时出发，当其中一点到 达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当t为何值时，点A是点P,点Q的“双伴点”？ 5/5 第5章 一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A A D C D B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12． 13． 14．30 15． 16． 0、6、8 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 【详解】（1）解： ...............4分 （2）解： ...............8分 18． 【详解】（1）解：∵， ∴ ．...............4分 （2）解：∵， ∴， 解得：．...............8分 19． 【详解】（1）解：由题意得： ；...............4分 （2） 解：设为， 由题意得：， ， ， ， ， 即表示的数是．...............8分 20． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作．...............4分 （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元．...............8分 21． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴；...............2分 （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴ ， ∴的值为；...............5分 （3）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为．...............8分 22． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴A、B两点间的距离为60个单位长度， ∴乙到达A点时共运动了秒；..............3分 （2）解：设甲、乙在数轴上相遇时，运动的时间为t秒， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲、乙在数轴上表示数的点相遇；...............6分 （3）解：设甲、乙的运动时间为x秒，则甲表示的数为，乙表示的数为， ∵甲、乙相距10个单位长度， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度．...............10分 23． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元．...............3分 （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同．...............6分 （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱．...............10分 24． 【详解】（1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”；...............4分 （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25．...............8分 （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或．...............12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、中未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； B、中有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、中未知数为分母，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意． 2．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 3．根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 4．下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 【答案】B 【详解】解：A选项，方程，系数化为1得，原变形错误； B选项，方程，移项得，原变形正确； C选项，方程，去括号得，原变形错误； D选项，方程，去分母得，原变形错误. 5．已知一个正数有两个不同的平方根，分别为和，则这个正数是（     ）． A．25 B．16 C．4 D．2 【答案】A 【分析】正数的两个平方根互为相反数，根据该性质列方程求出，再计算出这个正数即可． 【详解】一个正数的两个不同平方根互为相反数， ， 解得， 将代入，得， 这个正数为． 6．若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 7．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 8．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，每天生产螺栓个，生产螺母个， 根据1个螺栓配2个螺母，恰好配套可得方程． 9．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若是关于x的一元一次方程，则m的值是__________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为，且的系数不为，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得． 12．关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 13．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上数的和为14，则这个三位数是________． 【答案】 【分析】设百位上的数字为，则十位上的数字为，再根据各数位数字和表示出个位数字，根据题目给出的等量关系列出一元一次方程，求解即可得到各数位数字，进而得到三位数． 【详解】解：设百位上的数字为，则十位上的数字为， 各数位上的数的和为， 个位上的数字为， 根据题意得：， 解得：， 百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， 这个三位数为． 14．如图，甲、乙两根铁棍竖直立于水槽中，甲的与乙的在水面上方，已知甲、乙两根铁棍总长95cm，则此时水面的高度为_____cm． 【答案】30 【分析】根据甲、乙两根铁棍总长，设出甲铁棍的长度，再将乙铁棍的长度表示出来，根据甲乙两根铁棍在水面下的长度一样列一元一次方程求解． 【详解】解：设甲的铁棍长度为，则乙的铁棍长度为， ∵甲的与乙的在水面上方， ∴甲的与乙的在水面下方， 根据题意列式：， 解得， 即甲的铁棍长度为，此时水面高度为． 15．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程．例如：方程的解为，而，则方程为和解方程．若已知关于x的一元一次方程是和解方程，则m的值为___________． 【答案】 【分析】先求出一元一次方程的解，再根据和解方程的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于关于的一元一次方程，将系数化为，得 ， 该方程是和解方程，根据定义，方程的解为， ， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 16．关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为________________． 【答案】 0 6 8 【详解】先解方程，得到一个含有字母k的解，再根据“解是自然数”作答即可. 【解答】解：解得， ∵关于x的方程的解是自然数， ∴k的值可以为：0、6、8． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若，求有理数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，代数式求值，解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：∵， ∴， 解得：． 19．如图所示，2026年第二届“青竹湖湘一数学文化节”上，某班数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示5，输入数为，求计算结果； (2)若计算结果为7，且输入的数字是3，则表示的数是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设为，根据题意列方程计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2） 解：设为， 由题意得：， ， ， ， ， 即表示的数是． 20．2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 21．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴ ， ∴的值为； （3）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为． 22．如图，已知数轴上有A、B两点，分别代表、20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A、B两点同时出发，甲沿线段以1个单位长度/秒的速度向右运动，到达点B时运动停止；乙沿线段以4个单位长度/秒的速度向左运动． (1)A、B两点间的距离为______个单位长度；乙到达A点时共运动了______秒． (2)甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ (3)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？ 【答案】(1)60；15 (2)甲、乙在数轴上表示数的点相遇 (3)10秒或14秒 【分析】（1）求出A、B两点的距离即可得到第一空的答案，根据时间等于路程除以速度可得第二空的答案； （2）设甲、乙在数轴上相遇时，运动的时间为t秒，根据相遇时甲、乙表示的数相同建立方程求解即可； （3）设出运动时间，表示出甲、乙表示的数，再根据两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴A、B两点间的距离为60个单位长度， ∴乙到达A点时共运动了秒； （2）解：设甲、乙在数轴上相遇时，运动的时间为t秒， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲、乙在数轴上表示数的点相遇； （3）解：设甲、乙的运动时间为x秒，则甲表示的数为，乙表示的数为， ∵甲、乙相距10个单位长度， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度． 23．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价， （2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值， （3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 24．【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另外两个点的距离之比为，那么这个点叫做其它两个点的“双伴点”． 例如，如图①，数轴上点分别表示0，1，2，那么点是点的“双伴点”． (1)如图②，数轴上点，，，分别表示，，0，3，那么点_____是点，的“双伴点”；点_____是点，的“双伴点”；（只能填写图②中的字母） (2)【问题解决】如图③，点和在数轴上表示的数分别是和10，点是点，的“双伴点”，求点在数轴上表示的数． (3)【应用拓展】在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动．点同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当为何值时，点是点，点的“双伴点”？ 【答案】(1)P，E (2)0或或5或25 (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式，结合“双伴点”的定义进行判断； （2）分和两种情况，结合数轴上两点间距离公式分别列方程求解； （3）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，分或两种情况， 分别列方程求解． 【详解】（1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”； （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25． （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $