精品解析：河南南阳市卧龙区南阳开元学校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测10.9

九年级数学月考试卷 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x＞0 B. x≥0 C. x＞0且x≠2 D. x≥0且x≠2 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ） A. （x-3）2=-3                     B. （x-3）2=6                     C. （x-3）2=3                     D. （x-3）2=12 6. 把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，0 B. 2，－5，0 C. 2，－3，－1 D. 2，5，0 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 二次根式化简结果正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 10. 如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 12. 如果，则___________． 13. 如果，那么a的取值范围是_______ 14. 把根号外的因式移到根号内的结果是___________． 15. 如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 三、解答题 16. 计算： （1）． （2）． 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4）（用配方法） 18. 已知代数式，-2x2+4x-18 （1）用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数． （2）当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值． 20. 如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； （3）建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）若每件童装降价元，则每天销售量为___________件，每件童装的利润为___________元． （2）每件童装售价多少元时，能使顾客得到实惠并且商家平均每天能盈利1200元． 22. 如图所示，是的中线． （1）若E为的中点，射线交于F，求； （2）若E为上的一点，且，射线交于F，求． 23. 阅读与思考：阅读下列材料并完成相应的任务． 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，该方程可化简为，则方程就是“倍根方程”． 任务： （1）请你再写出一个“倍根方程”_______（要求化成一般形式）： （2）研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，比较系数可得，，且，消去可得倍根方程中系数，，满足的关系式是______． （3）若（）是倍根方程，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考试卷 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键．根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负． 【详解】解：选项A：，被开方数为（负数），不符合条件②，排除，故本选项不符合题意． 选项B：，根指数为2（默认省略），被开方数为正数，满足①②，是二次根式，故本选项符合题意． 选项C：，根指数为3，不符合条件①，排除，故本选项不符合题意． 选项D：，若则为二次根式，但题目未限定的范围，无法确定，排除，故本选项不符合题意． 故选：B 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x＞0 B. x≥0 C. x＞0且x≠2 D. x≥0且x≠2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件，列出不等式组即可求出答案． 【详解】由题可知x满足： ， ∴ 且， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式和分式的定义，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件，注意：二次根式有意义的条件是，；分式有意义的条件是，． 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则进行判断．由二次根式的加减运算、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、不能合并，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 4. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，当时，是一元二次方程，不符合题意； D．，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ） A. （x-3）2=-3                     B. （x-3）2=6                     C. （x-3）2=3                     D. （x-3）2=12 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：移项，得x2－6x＝－3， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得 x2－6x＋(－3)2＝－3＋(－3)2， 即(x－3)2＝6． 故选B． 点睛：配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 6. 把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，0 B. 2，－5，0 C. 2，－3，－1 D. 2，5，0 【答案】B 【解析】 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的概念即可得出结果． 【详解】解：方程， 整理得：， 则二次项系数为2，一次项系数为－5，常数项为0． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 8. 二次根式化简结果正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简得，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【详解】∵，， ∴， ∴原式， ， 故选：． 9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 10. 如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键． 把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得：． 故答案为：3． 12. 如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式分别求出，，的值，再代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， 将，，代入得． 13. 如果，那么a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键. 由题意可得，解不等式即可求出答案. 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：. 14. 把根号外的因式移到根号内的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式的性质是解题的关键． 首先根据题意得到，然后根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】∵有意义， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 三、解答题 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算乘方，绝对值，零指数幂，算术平方根，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4）（用配方法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）根据配方法解一元二次方程即可； （3）根据因式分解法解一元二次方程即可； （4）根据配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ，； 【小问3详解】 ， ， 或， ，； 【小问4详解】 ， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 已知代数式，-2x2+4x-18 （1）用配方法说明无论x取何值，代数式的值总是负数． （2）当x为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？ 【答案】 （1）∵-2x2+4x-18=-2（x2-2x+9）=-2（x2-2x+1+8）=-2（x-1）2-16， -2（x-1）2≤0， ∴-2（x-1）2-16＜0， ∴-2x2+4x-18无论x取何值，代数式的值总是负数； ⑵-16 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据配方法的步骤把代数式-2x2+4x-18进行配方，即可得出答案； （2）根据（1）的结果即可直接得出代数式的最大值． 试题解析：（1） 略 （2）∵-2x2+4x-18=-2（x-1）2-16， ∴当x=1时，代数式有最大值，最大值是-16． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将变形得到，再整体代入得关于的方程，由此解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得，； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴， 又， 整理得，， ∴ 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴的值为． 20. 如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； （3）建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）宽为5米，长为米 （3） 建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； 【小问3详解】 略 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）若每件童装降价元，则每天销售量为___________件，每件童装的利润为___________元． （2）每件童装售价多少元时，能使顾客得到实惠并且商家平均每天能盈利1200元． 【答案】（1），； （2）每件童装售价为100元，平均每天盈利1200元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． （1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程，求解可得． 【小问1详解】 解：∵每件童装降价x元时， ∴每天可销售件，每件盈利元． 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意，得：， ∴，． 因为让利于顾客，所以符合题意． ∴售价为（元）． 答：每件童装售价为100元，平均每天盈利1200元． 22. 如图所示，是的中线． （1）若E为的中点，射线交于F，求； （2）若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交于点． ， ， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点． ， ， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 23. 阅读与思考：阅读下列材料并完成相应的任务． 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，该方程可化简为，则方程就是“倍根方程”． 任务： （1）请你再写出一个“倍根方程”_______（要求化成一般形式）： （2）研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，比较系数可得，，且，消去可得倍根方程中系数，，满足的关系式是______． （3）若（）是倍根方程，求的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，求分式的值，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）根据例题写出一个倍根方程即可； （2）根据，且，即可求解． （3）根据因式分解法解一元二次方程，进而根据半根方程的定义求得m，n的关系，代入分式，化简分式即可． 【小问1详解】 解：例如的两个根是5，10， 该方程可化简为， 则就是半根方程， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴或， 解得， ∵方程是倍根方程， ∴或， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $