精品解析：河南驻马店市泌阳县光亚学校、 致远学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学知识梳理（HS） 注意事项：共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. 9 B. C. 3 D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为，则另一实数根为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 如图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程，若，则下列各数是该方程的根的是（ ） A. 1 B. C. D. 0 6. 下面是花架实物及其对应的侧面示意图，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 9. 新考向 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 10. 如图，在中，E为上一点，连接交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 开放性题 请任写一个两根一正一负的一元二次方程：_________． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 13. 若最简二次根式和是同类二次根式，则a＝_____． 14. 已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比（）的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是以为顶角的黄金三角形，且平分，，则的长为_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，点D是上一点，且．点P在y轴上，若以P，O，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程与计算 （1）解方程：． （2）计算：． 17. 唐代诗人王之涣在《登鹳雀楼》中写道：“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径，约为．若亮亮站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值． 18. 已知一元二次方程的右边被墨水污染． （1）若方程的一个解为，求“■”的值． （2）若“■”表示x，求x的值． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的高线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）、、、是成比例线段吗？说明理由． 20. 如图，从一个大正方形木板中裁去面积分别为和的两个小正方形木板． （1）求原大正方形木板的边长； （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 21. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； （1）_______米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 22. 张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤二：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． … … （1）求该纪念碑的高度； （2）另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 23. 按要求完成以下问题 （1）问题发现 如图1，在正方形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且，则的值为_________． （2）类比探究 如图2，在矩形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点F，Q，H分别在边，，上，与交于点且，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学知识梳理（HS） 注意事项：共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴这三个二次根式均不是最简二次根式， ∵无法继续化简， ∴是最简二次根式． 2. 计算的结果是（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为，则另一实数根为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：设方程的另一实数根为，根据根与系数的关系，可知方程的两根之积为， ∵方程的一个根为， ∴， 解得． 4. 如图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 已知关于x的一元二次方程，若，则下列各数是该方程的根的是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】解：将代入方程左边的， 得． ∵， ∴是该方程的根． 6. 下面是花架实物及其对应的侧面示意图，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平均下降率问题的求解方法，按照两年后待机时长=初始待机时长年平均下降率，代入对应量即可列出方程． 【详解】解：设该手机待机时长的年平均下降率为， ∵初始待机时长为小时， ∴一年后待机时长为，两年后待机时长为， 又∵现在待机时长为小时， ∴可得方程． 8. 一次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象可知，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由图象可知：，则， 由一元二次方程可知：， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 9. 新考向 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（ ） A. 型无理数 B. 型无理数 C. 型无理数 D. 型无理数 【答案】A 【解析】 【详解】解：． ∵ ，为有理数，是最简二次根式， ∴ 该数是型无理数． 10. 如图，在中，E为上一点，连接交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再证明，得到，证明，设，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 开放性题 请任写一个两根一正一负的一元二次方程：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】对于一元二次方程，两根一正一负等价于两根之积，构造满足该条件的方程即可． 【详解】解：设一元二次方程为，两根为， ∵两根为一正一负， ∴根据根与系数的关系可得 ， 即与符号相反即可满足要求，取，，，得到方程，该方程的两根为和，符合两根一正一负的要求，因此该方程符合题意． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】式子分母含二次根式，需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义 ∴二次根式的被开方数需满足，且分母 ∴整理得 解得． 13. 若最简二次根式和是同类二次根式，则a＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义即可得到关于a的方程，解方程即可; 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，， ∴, ∴, 故答案为：1. 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式. 14. 已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比（）的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是以为顶角的黄金三角形，且平分，，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金三角形的定义得到，，，证明，根据等角对等边即可得到答案． 【详解】解：∵是以为顶角的黄金三角形，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，点D是上一点，且．点P在y轴上，若以P，O，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出，，分两种情况：和，分别利用相似三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵． ∴， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上可知，点P的坐标为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程与计算 （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：移项，得， 变形得， 左边分解因式，得， 或， ，． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 唐代诗人王之涣在《登鹳雀楼》中写道：“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径，约为．若亮亮站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：，， ， 即此时d的值为． 18. 已知一元二次方程的右边被墨水污染． （1）若方程的一个解为，求“■”的值． （2）若“■”表示x，求x的值． 【答案】（1）7 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：由条件可知， ∴“■”的值为7． 【小问2详解】 解：由题意知方程为， ． ， ， ，． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的高线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）、、、是成比例线段吗？说明理由． 【答案】（1）如图所示 （2）解：、、、是成比例线段．理由如下： ∵在中，是斜边上的高， ， ， ， ∴、、、是成比例线段． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据线段成比例进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，从一个大正方形木板中裁去面积分别为和的两个小正方形木板． （1）求原大正方形木板的边长； （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两个小正方形木板的边长，求和即可求出答案； （2）原大正方形木板的面积减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵两个小正方形木板的面积分别为和， ∴两个小正方形木板的边长分别为，， ∴原大正方形木板的边长为． 【小问2详解】 解：原大正方形木板的面积为：（）， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为（）． 21. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； （1）_______米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 【答案】（1） （2）的长为10米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式； （1）设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设栅栏长为米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴（米）， 故答案为： 【小问2详解】 解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米． 22. 张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤二：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． … … （1）求该纪念碑的高度； （2）另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 【答案】（1）纪念碑的高度为15米 （2）多次测量求平均值或选用刻度更精准的卷尺进行长度测量．（合理即可） 【解析】 【分析】（1）设，，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （2）根据题意合理给出建议即可． 【小问1详解】 解：设，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，，， ， ，解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：纪念碑的高度为15米． 【小问2详解】 略 23. 按要求完成以下问题 （1）问题发现 如图1，在正方形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且，则的值为_________． （2）类比探究 如图2，在矩形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点F，Q，H分别在边，，上，与交于点且，，直接写出的值． 【答案】（1）1 （2）证明：过点H作，垂足为点Q，过点G作，垂足为点P，与相交于点O， , ， ， ， ， ， ， ， ， 由，可得：， ， ， 由可得四边形为矩形， ， 同理可得， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点H作交于点N，过点G作交于点M，证明即可求解； （2）过点H作交于点Q，过点G作交于点P，由（1）可得，再结合相似三角形的性质可得结论； （3）过点作的平行线交于点，构造平行四边形，得到等角与等线段；在上截取，利用构造等边，得到角，创造相似三角形条件，利用平行线、三角形外角定理，证出两组对应角相等，证明，把，，代入相似比直接得到． 【小问1详解】 解：过点H作于点N，过点G作于点M， 设交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，与平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作的平行线交于点，交于点， 在上截取，连接 ， 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 又 是等边三角形 四边形是平行四边形 ． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $