精品解析：吉林长春市十一高中2026-2027学年高一上学期第一学程考试数学试题

长春市十一高中2026-2027学年度高一上学期第一学程考试 数 学 试 题 第Ⅰ卷（共73分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中有一个正确． 1. 已知命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题为特称量词命题， 其否定为：. 故选：D 2. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为且. 3. “”是“”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于>x等价于x(x-1)>0，得到x>1，或x<0，那么可知条件表示的集合是结论表示集合的子集，利用集合的思想来表示，小集合是大集合成立的充分而不必要条件，故选A. 考点：命题充分必要性 点评：本题主要考查了命题充分必要性的判断方法，利用集合法判断命题的充分必要性，简单二次不等式的解法 4. 已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由，得，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B错误； 对于C，由，得，，，则，即，故C错误； 对于D，由，得，，，则，即，故D正确. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原不等式化为，得，即， 转化为不等式组，解得. 所以原不等式的解集为. 6. 使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡、两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据杠杆平衡条件分别表示两次称量的物品实际质量，将总质量转化为对勾函数形式，再用基本不等式推导取值范围，结合不等臂条件逐一排除错误选项. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为（，两臂不等长），两次取出的物品甲实际质量分别为、，总质量， 根据杠杆平衡条件得，整理得，根据杠杆平衡条件得，整理得， 故总质量，令（且），则， 根据基本不等式得， 当且仅当即时取等号（此时，两臂仍不等长，满足题意），即， A.该结论一定成立； B.当臂长比时，，反例存在，错误； C. 的取值随臂长比变化，并非一定为，错误； D.当臂长比时，，反例存在，错误. 7. 已知函数，，若的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次函数配方确定对称轴与最值，再结合值域的上下界求出对应自变量的临界值，进而确定区间右端点的取值范围. 【详解】，这是开口向上的二次函数，对称轴为 ，顶点为 ，即函数最小值为 ， ，令 ，即，得 或 ， 因为 时值域为 ，所以要取到最小值 ，必须满足 ；要保证函数最大值不超过 ，必须满足 ， 因此，即的取值范围是 . 8. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集、补集运算即可求解. 【详解】由题可知： 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，， ，所以， 则，故D错误. 10. 已知函数满足，则（    ） A. B. 的值域为 C. 的定义域为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 第Ⅱ卷（共77分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】令集合中含参数的元素等于1，解得参数值并检验即得. 【详解】因为，而，所以，解得或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 所以. 13. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，不等式对任意实数均成立， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 14. 已知，若，则的最小值是_______． 【答案】2 【解析】 【详解】对已知等式 整理变形可得. 由可知，因此. 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得到，再根据并集的运算即可求解； （2）由题意可知，列不等式组即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得，即， 由解得，所以， 所以． 【小问2详解】 因为若“”是“”成立的必要条件，所以， 显然不为空集，所以， 解不等式得，， 由（1）知，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 16. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 【解析】 【分析】(1)设二次函数的解析式为()，根据题意利用待定系数法求出a、b、c即可； (2)将原不等式化为，分类讨论，结合一元二次不等式的解法求出不等式当、、时的解集即可. 【小问1详解】 设， 由，得 又 ，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由已知，即， 即， ①当时，原不等式即为：，解得； ②当时，解得； ③当时，解得 综上，当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 17. 已知二次函数． （1）若的解集为，解关于x的不等式； （2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求后代入目标不等式求解； 分离参数，将存在性定理转化为求函数区间最小值的问题求解. 【小问1详解】 若的解集为，则，且和是方程的两个实根，根据韦达定理：，代入不等式得，解得. 【小问2详解】 ，令，函数在上单调递增，故，题目要求是存在，故只需即可. 18. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过 ，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，长方形（）的周长为，， 所以 ， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. 【小问2详解】 （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以， ， ，所以 ， 所以， 所以的周长为 ； （ⅱ）设，则 ， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知， ， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． （1）若，求关于x的方程的解； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解方程即可； （2）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解不等式即可； （3）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，采用分离参数法结合基本不等式、函数单调性求最值，确定参数范围. 【小问1详解】 已知，分两类讨论： ① 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意； ② 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意. 综上，方程的解为或. 【小问2详解】 分四类讨论： ① 当时，，结合， 得，不等式恒成立； ② 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ③ 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ④ 当时，，，故，不等式无解. 综上，不等式的解集为 . 【小问3详解】 分两类讨论： ①当时，，， 不等式整理为恒成立. 令，，则， 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 故右端最小值为，得； ② 当时，，，不等式整理为恒成立. 令，，则， 由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，故，得. 结合，综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2026-2027学年度高一上学期第一学程考试 数 学 试 题 第Ⅰ卷（共73分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中有一个正确． 1. 已知命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 3. “”是“”的（　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 6. 使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡、两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足，则（    ） A. B. 的值域为 C. 的定义域为 D. 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（共77分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为________. 13. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是__________． 14. 已知，若，则的最小值是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 17. 已知二次函数． （1）若的解集为，解关于x的不等式； （2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 18. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． （1）若，求关于x的方程的解； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $