吉林省长春市第二中学2026-2027学年高一上学期第一学程考试数学试题

2026-2027学年度高一年级上学期第一学程考试数学科试题 命题人：高一年级数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合A={1,2,3},B=1,2,C={0,1,2},则(AnB)UC= A.{1,2} B.{1,2,3} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3} 2.函数fx)=(x-1)°+√x+1的定义域为 A.（-1,1) B.[-1,+co) C.[-1,)U(0,+o) D.(1,o) 3.下列四组函数中，其中表示同一函数的是 A.f(x)=x与g(x)=V见 B.f(x)=x2-1与g(0=2-1 C.f(x)=2x-1与g(x)=2x+1 D.fax与8（倒苦 4.下列函数中，最小值是22的是 A.y=x+2 B.y=+2 C.y=2+2 2 x2+4 D.y=2+ 5.若不等式2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},则a,b,c的值可能为 A.1,4,3 B.-1,4,-3 C.-1,-4,-3 D.1,-4,3 6。已知实数y>0,且子+-1，若2x+y>m-8m恒成立，则实数m的取值范围为 x y A.(-1,9) B.(-9,-1) C.（-9,1) D.（-o,-1)U(9,+o) 7.购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物 品的数量一定：第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定假设连续两天 购买该物品，第一天物品的价格为乃，第二天物品的价格为P2,且乃≠P2,则以下选项正确的 A,第一种方式购买物品的单价为凸B.第二种方式购买物品的单价为B+卫严 P+Pz 2 C.第一种方式购买物品所用单价更低 D.第二种方式购买物品所用单价更低 8.函数y=[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x)表示不大于x的最大整数， 如[1.5]=1，-2.3]=-3，[3)]=3.那么不等式4[x2-12[x+5≤0成立的充分不必要条件是 C.1≤x<3 2 B.1≤x≤3 D.1≤x≤2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a,b,c,d∈R,则下列结论正确的为 A.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd B.若b<a<0,则c(a-.b>0 C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,c>d,则a-d>b-c 1O.对于集合A,B,我们把集合{xx∈A且xEB}叫做集合A与集合B的差集，记作A-B.已知 集合A={1,2,3,4,5},B={2,3,4,6,7,，则下列说法正确的是 A.A-B={1,5} B.B-A={6,7 C.A-(A-B)=B D.A-(A-B)=4 11.下列说法中正确的为 A.若函数f(x)=x2-1,则f(x+1)=x2+2x B.若不等式a2-6+k+8>0的解集为R,则k的取值范围为0<k<y C.二次函数y=x2-x-6的零点为(-2,0)和(3,0) D.“a2=b2”是“a=b”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知集合A={x|x2-5x+a=0},若3∈A,则实数a= 13.若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围 14已知0,6均为正数。且a+6=l6>1,则-]小e+品的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知集合A={x2-3x-4<0},B={a-3<x<a+5}. (I)当a=3时，求AUB: (2)若A∩B=☑，求实数a的取值范围. 16.(15分)已知命题p:x∈R,ax2+2x-1≠0为真命题，其中a≠0. (1)求实数a的取值集合A; (2)设集合B={x6m-4<2x-4<2m,若AUB=A,求实数m的取值范围 17.(15分)在排球训练中，一名同学在距地面高度h=2.2m处，以初速度。=10m/3竖直上 抛一排球若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度h（单位：m)与时间t(单位：s)满足关 =w-5g2,其中g≈10m/52.设排球距地面的高度为y(单位： (1)求y关于1的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间： (2)若排球达到距地面4.0m以上才能有效拦网，求排球在距地面4.0m以上的停留时间： (3)若教练要求排球在距地面dm以上停留时间至少1.6s,求d的最大值， 18.(17分)设y=mx2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y2-2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围： 2在(1)的条件下，求m+2m+5的最小值： m+1 (3)若m∈R,解关于x的不等式y<m-1. 19.(I7分)定义集合A={da<x<),B={d≤x<},C={a<x≤b},D={a≤x≤b}的 长度均为b-a,其中b2a. (1)求不等式3x+21x-16≤0解集的长度： 求集合P{mm≤≤m加>的长度的最小值， 3)若关于x的不等式：x2-m-l)x+m<x+二的解集为{闭-1<x<41>0,求不等式解集的长度 1的取值范围 数学第一学程考试一一解析 一、单选题 1.已知集合A={1,2,3},B={1,2},C={01,2},则(AnB)UC=() A.{1,2} B.{,2,3} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3} 【答案】C【难度】0.94【知识点】交并补混合运算 【分析】利用交集和并集的定义可求得集合(A∩B)UC。 【详解】A={1,2,3},B={1,2},C={01,2},A∩B={1,2},（AnB)UC={0,1,2} 故选：C 2.函数f(x)=(x-1)°+Vx+1的定义域为（) A.(-1,1) B.[-1,+o) C.[-1,1)U(L,+o) D.(1,+o) 【答案】C【难度】0.94【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数要有意义，则需满足a°要 有意义，则a≠0，二次根式的被开方数大于或等于0，解不等式即可. 【详解】f(x)=(x-1)°+√x+1,x-1≠0，且x+1≥0， x≥-1，且x≠1，函数f(x)的定义域为[-1，)U1,+oo)故选：C 3.下列四组函数中，其中表示同一函数的是() A.f(x)=x与g(x)=F B.f(x)=x2-1与g()=-1 C.f(x)=2x-1与g(x)=2x+1 D.(y=x与g(x)= 【答案】B【难度】0.9【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据函数定义的三要素即可判断！ 【详解】对于A,f(x)的值域为R,g(x)的值域为[0，o),故A错误： 对于B,∫(x),g(x)解析式，定义域，值域都相同，故B正确； 第1页（共12页） 对于C,(x),g(x)的解析式不相同，故C错误： 对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-o,O)U(0,+o),故D错误；故选：B 4.下列函数中，最小值是22的是（) A.y=x+2 B.y=玉+衣 2 C.y=x2+- 2 x2+4 D.y=+ 2 【答案】B【难度】0.85【知识点】基本不等式求最值 【分析】应用特殊值及基本不等式判断各选项的最小值是否为2√2即可. 【详解】A:当x取负数，显然函数值小于22，不符合； B:由基本不等式得：x+之2Nx .2=2V2(当且仅当x=2时取等号)，符合： C:当x=0时，y=2<25,不符合： D:同A,当x取负数，显然函数值小于2√2，不符合；故选：B. 5.若不等式x2+bx+c>0的解集是{xx<1或x>3},则a,b,c的值可能为（) A.1,4,3 B.-1,4,-3 C.-1,-4,-3 D.1,-4,3 【答案】D【难度】0.85【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【解析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. a>0 a>0 【详解】因为不等式a2+hx+c>0的解集是xx<1或x>3影，所以有1+3=-b →{b=-4a, c=3a 1x3=c 0 A:当a=1时，符合a>0,此时b=-4,c=3,故本选项不符合题意： B:当4=-1时，不符合a>0,故本选项不符合题意： C:当4=-1时，不符合a>0,故本选项不符合题意； D:当a=1时，符合a>0,此时b=-4,c=3,故本选项符合题意 故选：D 第2页（共12页） 【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力： 6.已知实数xy>0,且2+-1，若2x+y>㎡-8m恒成立，则实数m的取值范围为（) A.(-1,9) B.(-9,-1) C.(-9,1) D.(-0,-1)U(9,+o) 【答案】A【难度】0.85【知识点】基本不等式1”的妙用求最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，利用1的妙用求出最小值，再建立不等式求解 【i详解】实数x,y>0,则2x+y=(2x+X2+=5+2y+2≥5+2， 2y2x=9, x y 当且仅当x=y=3时等号成立， 由2x+y>m2-8m恒成立，得m2-8m<9,解得-1<m<9,所以实数m的取值范围为(-1,9) 7.购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物 品的数量一定：第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天 购买该物品，第一天物品的价格为卫，第二天物品的价格为p2,且卫1≠P2,则以下选项正确的() A.第一种方式购买物品的单价为乃BB.第二种方式购买物品的单价为B+严 P+P2 C.第一种方式购买物品所用单价更低 D.第二种方式购买物品所用单价更低 【答案】D【难度】0.85【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据题意可得第一种策略平 均价格为B+凸，第二种策略平均价格 2 22,利用作差法比较大小即可求解。 P+P2 【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为m, 则平均价格为"吧+m吧=B+卫，故A不正确： 2m 2 第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为， 第一次能购得该物品的数量为。，第二次能购得该物品的数量为 n P 第3页（共12页） 2n 22pP2 则平均价格为”+nI+1B+B,B错误： P P2 P P2 网为+h2业B+西4业B-之0，所以2>AC猪院，D确 2 p,+P22(B+P2) 2(B+p2) 8.函数y=[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如 [1.5]=1,[-2.3]=-3,[3]=3.那么不等式4x-12[x]+5≤0成立的充分不必要条件是() 1 5 A. B.1≤x≤3 C.1≤x<3 D.1≤x≤2 【答案】D【难度】0.65 【知识点】函数新定义、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可， 【详解】因为4-1☒+5≤0.，则(2个-2-5列s0,则[s, 又因为[x]表示不大于x的最大整数， 所以不等式4[x]-12[x]+5≤0的解集为：1≤x<3, 因为所求的时不等式4[x-12[x]+5≤0成立的充分不必要条件， 所以只要求出不等式4[x-12[x+5≤0解集的一个非空真子集即可，选项中只有1,2][1,3) 二、多选题 9.已知a,b,c,d∈R,则下列结论正确的为() A.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd B.若b<a<0,则(a-b)c>0 C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,c>d,则a-d>b-c 【答案】ACD【难度】0.9【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，逐个判断选项即可 【详解】若a>b>0,c>d>0,则ac>bd,故选项A正确： 因为若b<a<0,所以a-b>0,若c<0,则(a-b)c<0,故选项B错误： 因为ac2>bc2,所以c≠0，所以a>b,故选项C正确： 若c>d,则-d>-c,又因为a>b,所以根据不等式的同向可加性，得a-d>b-c,故D正确 第4页（共12页） 10.对于集合A,B,我们把集合{xx∈A且xB}叫做集合A与集合B的差集，记作A-B,已 知集合A={1,2,3,4,5},B={2,3,4,6,7},则下列说法正确的是() A.A-B={L,5}B.B-A={6,7}C.A-(A-B)=BD.A-(A-B)=A 【答案】AB【难度】0.85【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】根据集合新定义进行判断即可. 【详解】根据差集的定义知A-B表示A中独有元素，B-A表示B中独有元素， 则A-B={1,5},B-A={6,7},A-(A-B)={2,3,4,故A,B正确，C,D不正确.故选：AB. 11.下列说法中正确的为（) A.若函数f(x)=x2-1,则f(x+1)=x2+2x B.若不等式2-6+k+8>0的解集为R,则k的取值范围为0<k<1 C.二次函数y=x2-x-6的零点为(-2,0)和(3,0) D.“a2=b2”是“a=b的必要不充分条件 【答案】AD【难度】0.8【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式1的妙 用求最值、根据集合中元素的个数求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】举例说明判断A按k=O,k≠0结合一元二次不等式恒成立求解判断B;利用充分不必要 条件的定义判断C:利用1的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A,~f(x)=x2-1,故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x,A正确 k>0 对于B,当k=0时，8>0恒成立，符合题意：当k≠0时， △=36k2-4k(+8)<0’ 解得0<<1，因此k的取值范围为0≤k<1,B错误： 对于C,令x2-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,得x=-2或x=3,所以零点为-2和3，C错误： 对于D,若a2=b2,则a=b或a=-b,充分性不成立；若a=b,则a2=b2,必要性成立 所以“a2=b2”是“a=b”的必要不充分条件，故D正确.故选：AD 第5页（共12页） 三、填空题 12.已知集合A={x|x2-5x+a=0},若3∈A,则实数a= 【答案】6【难度】0.9【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】：3eA,即3是方程x2-5x+a=0的根将x=3代入方程x2-5x+a=0得a=6 13.若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围 【答案】ab≥9【难度】0.85【知识点】基本不等式、一元二次方程的解 【分析】根据基本不等式化为关于√ab二次不等式，解得√ab范围，即得b的取值范围， 【详解】由于ab=a+b+3≥2√ab+3,所以有(Vab)-2√b-3≥0， 即(vab-3Nb+1)≥0，所以√b≥3→b≥9.当且仅当a=b=3时等号成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属基础题， 14.已知a,b均为正数，且a+b=1,c>1,则 a2+1 √2 c+ 的最小值为 2ab 【答案】32【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 2 【分析】根据a+h山和T的代换，利用不等式化简力，代 1ct1 化简后，利 用基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值. 【详解】因为a>0,b>0,a+b=l, 所以+1_d+a+b_2a+2+2ab≥22ab+2ab-2+1, 2ab 2ab 2ab 2ab 又c>1,则 甜小运+9e-小c 2ab) 2a2=b2 其中等号成立的条件：当且仅当a+b=1,解得a=V2-1,b=2-√2，c=2, c-0 第6页（共12页） 所以 2+1- 2 C+ 2ab c-] 的最小值是3v2 故答案为：3√2 四、解答题 15.已知集合A={xx2-3x-4<0},B={xa-3<x<a+5}: (1)当a=3时，求AUB: (2)若A∩B=0,求实数a的取值范围 【答案】(1){x0<x<4(2)(-o,-6U[7,+o)【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】 (1)当a=3时，求得集合B利用并集的意义求解即可： (2)由A∩B=☑直接得到a的不等式，求解即可. 【详解】 (1)由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+)<0,解得-1<x<4,所以A={-1<x<4,…(2分) 当a=3时，B={xa-3<x<a+5}={x0<x<8,(3分) 所以AUB={-1<x<4U{x0<x<8}={-1<x<8).(5分) (2)显然a-3<a+5恒成立，则B≠☑，…(6分) 若A∩B=0,需a+5≤-1或a-3≥4，…(9分) 解得a≤-6或a≥7.…（12分) 综上，实数a的取值范围是(-0,6U[7,+o)…(13分) 16.己知命题p:∀x∈R,x2+2x-1≠0为真命题，其中a≠0 (I)求实数a的取值集合A: (2)设集合B={x6m-4<2x-4<2m},若AUB=A,求实数m的取值集合. 【答案】(1)A={da<-l}(2)Xmlm≤-3或m≥1} 第7页（共12页） 【难度】0.8【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】 (1)结合命题P为真命题求得实数α的取值集合A: (2)利用交集的结果，结合集合包含关系分类求解即可 【详解】 (1)因为a≠0，命题p:x∈R,a2+2x-1≠0为真命题， 等价于一元二次方程ax2+2x-1=0无实根，.(1分) 所以△=22-4a×(-1)=4+4a<0,…(3分)解得a<-1.…(5分) 故实数a的取值集合A={da<-l}.…(6分) (2)由6m-4<2x-4<2m,得3m<x<m+2,即B={x3m<x<m+2}.…(8分) 因为AUB=A,所以B三A.…(9分) 当B=☑时，3m≥m+2,解得m≥1；.(11分) 3m<m+2 当B≠⑦时， m+2≤-1，解得m≤-3.(14分) 综上所述，实数m的取值集合为{mm≤-3或m之1}..(15分) 17.在排球训练中，一名同学在距地面高度h。=2.2m处，以初速度。=10m/s竖直上抛一排 球若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度h(单位：m)与时间t（单位：s)满足关系： h=1)S,英中g10m/g,设排球距地面的高度为y(单位：m), (I)求y关于t的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间； (2)若排球达到距地面4.0m以上才能有效拦网，求排球在距地面4.0m以上的停留时间： (3)若教练要求排球在距地面dm以上停留时间至少1.6s,求d的最大值 【答案】(1)y=-5t+10t+2.2(0≤t≤2.2)，2s(2)1.6s(3)4m【难度】0.7 【详解】(1)排球距地面高度为起抛高度加上相对起抛点高度： y=-5t2+10t+2.2(0≤t≤2.2)(2分)（不写范围不扣分，写t≥0给分） 第8页（共12页） 排球回到击出点高度时，y=2.2,即5t-10t=0,解得t=0(击出瞬间，舍去)或t=2s 所以所需时间为2s…(4分) (2)球在距地面4.0m以上，即-5t+10t+2.2>4.0,整理得5t-10t+1.8<0…(6分) 0.2<t<1.8…(8分) 所以停留时间为1.8-0.2=1.6s…(9分) (3)由y>d得-5t2+10t+2.2>d即5t2-10t+d-2.2<0…(10分) 设关于t的方程5t2-10t+d-2.2=0的两根为t,t, 36 对应方程的判别式为△=144-20d≥0，d≤ 5…(11分) 距地面dm以上停留时间：片-t√t+t尸-4t6,= V144-20d …（13分) 5 则144-20a ≥1.6，d≤4…(14分)所以d的最大值为4m.…(15分) 5 18.设y=mx2+(1-m)x+m-2. (I)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2在(1)的条件下，求m+2m+5的最小值： m+1 (3)若m∈R,解关于x的不等式y<m-1. 【答案】()m≥ ,(2)43)当m=-1时，解集为(-o,1)(1,+∞)： 当m<-1时，解集为 人+： 当-1<m<0时，解集为(-，（风+ 当m=0时，解集为(-o,1) 当m>0时，解集为(1). 【难度】0.6 第9页（共12页） 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在实数集 上恒成立问题 【分析】 (1)讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； (2)将m+2m+5化为m+1+4 ,利用基本不等式，即可求得答案： m+1 m+1 (3)分类讨论的取值范围，解一元二次不等式，即得答案 【详解】(1)由题意知y=mx2+(1-m)x+m-2≥-2对一切实数x恒成立， 故mx2+(1-m)x+m≥0对一切实数x恒成立，…(1分) 当m=0时，得x≥0，不满足题意：.(2分) m>0 当m≠0时，则需满足 A=0-m了-4m50解得m≥行-4分) 1 综上所述，m≥3…(5分) 2)由D可知m≥号则m+1膏0， 则m+2m+5(m+)2+ m+1 m+1 4=m1+1≥2m+n4=48分) m+1 m+1 当且仅当m+1=4即m=1时，等号成立(9分) m+1 故m+2m+5的最小值为4.…(10分) m+1 (3)由mx2+(1-m)x+m-2<m-1,可得(x+1)(x-l)<0,.(11分) ①当m=-1时，(mx+1)(x-1)<0即(x-1)2>0,解集为(-o,1)U(1,+o): ②当m时，0s日1，不等式即为+：-小>0，解东为。动》+o) m 国当-1<m<0时，房>1，不等式即为+动x-小>0，样集为(m小（信 m 第10页（共12页） ④当m=0时，可得x-1<0,解集为(-o,1): @当m>0时，1，不等式即为(+-小<0，解年为(》(6分) m 综上可得，mx2+(1-m)x+m-2<m-1(m∈R)的解集为： 当m=-1时，解集为(-oo,U(1,+o): 当m<时，解朱为（小+m): 当-1<m<0时，解集为(-@()月 当m=0时，解集为(-o,1): 当m>0时，解集为(1，)(17分) m 19.定义集合A={xa<x<b},B={xa≤x<b},C={xa<x≤b},D={d≤x≤b}的长度均 为b-a,其中b≥a. (1)求不等式3x2+2|x-16≤0解集的长度： ②求合P{-m≤m,m小 m-1 长度的最小值： (3)若关于x的不等式2：x2-(m-l)x+m<x+-的解集为{x-t<x<t,t>0},求不等式2解集的 长度1的取值范围， 【答案】(1)4(2)2√2+2 (3)[2,+o） 【难度】0.55 【知识点】集合新定义、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、基本不等式求和的最小值、 解不含参数的一元二次不等式 【分析】 (1)不等式转化为关于x的一元二次不等式，再解绝对值不等式，结合集合长度定义，即可求解： (②)年合长度定义转化为=m(m)2m+,变形后利用基本不等式即可求最小： (3)首先不等式转化为x2-(m-1+n)x+m-二<0，再利用韦达定理，表示m,n的关系，结合集 n 第11页（共12页） 合长度的定义，利用基本不等式求最值 【详解】(1)由3x2+2|x-16≤0，得(0x|-2)31x|+8)≤0，.(1分) 因为3|x|+8>0,所以川x|-2≤0，…(2分)即-2≤x≤2，.(3分) 则不等式3x2+2x-16≤0解集的长度为4..(4分) +m-,…(6分) 因为m>1,所以m-1>0,则1'=2(m-)+ 1+2≥22+2，…(8分) m-1 当1议当2m-小-动即a-+号时，等号成立，9分) 故1'的最小值为2√2+2.…(10分) (3)由2-Om-x+m<x+,得x2-0m-1+mx+m-1<0,（11分) n 由题知关于x的方程x2-(m-1+n)x+m-二=0的两根为-t和t, n 则m-1+n=0,-=m-二，…(13分) n 则2=n+1-1,(14分) 出=m-1+对-(m}m》>0,1-m0,即n1k0 n 丙为-a1=---0,所以n>0,6分) r=n+片以0.1.且仅=1时等号成 所以1≥1，则2t≥2， 所以不等式2解集的长度1的取值范围为[2，+∞).…(17分) 第12页（共12页）