第14节 直线与圆的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第14节 直线与圆的方程 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 直线的倾斜角与斜率：k = α，α 的取值范围是 [0, π)，竖直线没有斜率 ② 两直线平行与垂直的判定：垂直看 + 是否为 0；平行还要排除两条线重合 ③ 点到直线的距离公式与直线和直线之间的距离：一律先化成一般式再代入分母 ④ 圆的标准方程与一般方程的互化：配方时把 、 归拢，右边必须是半径的平方 ⑤ 直线与圆的位置关系：比较圆心到直线的距离与半径，以及半径平方为 0、为负时方程分别表示点、无图形 ⑥ 垂径定理求弦长，以及圆上点到定直线距离的最值：半弦、弦心距、半径成直角三角形 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 一段坡道检修线路 l 的坡度（即斜率）为 −，则 l 的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 某摄影棚里两条定位参考线 : 2x + 3y − 6 = 0 与 : ax − y + 4 = 0 互相垂直，则实数 a 等于 A. B. − C. 2 D. −2 3. 某圆形巡检区的边界圆 D 的一般方程为 + − 6x + 8y + 9 = 0，则圆 D 与 x 轴的位置关系是 A. 相离且圆在 x 轴上方 B. 与 x 轴相切 C. 与 x 轴相交 D. 相离且圆在 x 轴下方 4. 一座观测站 P 的坐标是 (−2, 4)，一条检修带边界直线 l 的方程为 4x + 3y − 10 = 0，则观测站到边界线的距离为 A. B. C. 2 D. 2 5. 某工地要放一条控制线，要求它经过点位 (2, −3)，且与既有直线 3x − 5y + 2 = 0 垂直。这条控制线的方程是 A. 5x + 3y − 1 = 0 B. 3x + 5y + 9 = 0 C. 5x − 3y − 19 = 0 D. 3x − 5y − 6 = 0 6. 某圆形喷泉池的边界圆为 + − 4x − 2y − 4 = 0，一条池边踏步线 l: x + y − 6 = 0 与池边界相交，则 l 被池边界截得的弦长等于 A. 3 B. C. D. 7. 某圆形广场的边界圆 D 的圆心落在直线 y = 2x 上，且圆 D 经过 A(−1, 5) 与 B(3, 1) 两点，则圆 D 的方程是 A. + = 10 B. + = 10 C. + = 100 D. + = 10 8. 一块圆形设备基座的中心在 (1, −2)，半径为 3。一条布线 l: x + y + m = 0 与基座边界相交于两个不同的点，则实数 m 的取值范围是 A. (1 − 3, 1 + 3) B. (1 − 3, 1 + 3) C. (−2, 4) D. (1 − , 1 + ) 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某园区圆形巡检区的边界圆 D 的方程为 + − 4x + 2y − 4 = 0，一条新装的监控边界线 l: 3x − 4y + k = 0。关于 l 与圆 D 的位置，下列判断正确的有 A. 圆 D 的圆心为 (2, −1)，半径为 3 B. 当 k = 6 时，l 与圆 D 相离 C. 当 k = −25 时，l 与圆 D 相切 D. 当 k = −12 时，l 与圆 D 相切 10. 已知圆 D: + = 9 与直线 l: 3x + 4y + 5 = 0。关于圆 D 上的点到 l 的距离，下列结论正确的有 A. 圆心到 l 的距离为 B. 圆 D 上到 l 的距离的最大值为 C. 圆 D 上到 l 的距离的最小值为 D. 圆 D 上到 l 的距离等于 1 的点共有 4 个 11. 已知圆 D 的方程为 + + 2x − 4y + m = 0。关于圆 D，下列结论正确的有 A. 当 m = 1 时，圆 D 的半径为 2 B. 当 m = 5 时，该方程表示一个点 C. 当 m = 2 时，原点 O(0, 0) 在圆 D 内部 D. 无论 m 取何值，圆心都落在直线 2x + y = 0 上 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 一个圆形灯箱的圆心为 (−1, 2)，且灯箱边缘经过点 (2, 6)，则该灯箱边界圆的方程为___________。 13. 某圆形看台的边界圆 D 的方程为 + − 2x + 4y − 20 = 0，护栏直线 l 的方程为 4x + 3y − 5 = 0，l 与圆 D 交于 M、N 两点，则弦长 |MN| 等于___________。 14. 已知圆形构件 D 的圆心为 (2, 3)，半径为 。若直线 l: x − y + k = 0 与圆 D 没有公共点，则实数 k 的取值范围为___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校校园内的圆形喷泉水池，其边界圆 D 的一般方程为 + − 4x + 6y − 12 = 0。 （1）求圆 D 的圆心坐标与半径； （2）一条环池步道 l: 3x − 4y + 10 = 0，判断 l 与圆 D 的位置关系并说明理由； （3）在圆 D 上求一点，使它到 l 的距离最大，并求这个最大值。 16. 规划中的两处圆形展区分别是圆 : + = 16 与圆 : + − 6x − 8y + 16 = 0。 （1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆公共弦所在直线的方程与公共弦的长； （3）在圆 上取一点 P，使 P 到公共弦所在直线的距离最大，求 P 的坐标及这个最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第14节 直线与圆的方程 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 直线的倾斜角与斜率：k = α，α 的取值范围是 [0, π)，竖直线没有斜率 ② 两直线平行与垂直的判定：垂直看 + 是否为 0；平行还要排除两条线重合 ③ 点到直线的距离公式与直线和直线之间的距离：一律先化成一般式再代入分母 ④ 圆的标准方程与一般方程的互化：配方时把 、 归拢，右边必须是半径的平方 ⑤ 直线与圆的位置关系：比较圆心到直线的距离与半径，以及半径平方为 0、为负时方程分别表示点、无图形 ⑥ 垂径定理求弦长，以及圆上点到定直线距离的最值：半弦、弦心距、半径成直角三角形 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 一段坡道检修线路 l 的坡度（即斜率）为 −，则 l 的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】斜率与倾斜角的关系是 k = α，其中 α 的取值范围规定为 [0, π)。 代入 k = −，要找的就是 [0, π) 内正切等于 − 的角。 先找正的参考角： = 。正切以 π 为周期，第二象限里的角 π − = 正好把符号翻成负的， 所以 α = ，选 B。 其余三项一并核对： 的正切是 ， 的正切是 −， 的正切是 −1，都不是 −。 【考查知识点】由斜率反求倾斜角：先定正参考角再用 π 减 【易错点】只凭“斜率为负就是钝角”直接在几个钝角里挑，最容易误选 ；稳妥做法是写出参考角 再用 π 减回去 2. 某摄影棚里两条定位参考线 : 2x + 3y − 6 = 0 与 : ax − y + 4 = 0 互相垂直，则实数 a 等于 A. B. − C. 2 D. −2 【答案】A 【解析】一般式 x + y + = 0 与 x + y + = 0 垂直的充要条件是 + = 0。 这里 = 2， = 3， = a， = −1，代入得 2a + 3 × (−1) = 0。 即 2a − 3 = 0，解得 a = ，故选 A。 换个角度复核也一致： 的一个方向向量是 (3, −2)， 的一个方向向量是 (1, a)，两者数量积 3 − 2a = 0 同样得 a = 。 把 B、C、D 代回去， + 分别是 −6、1、−7，都不为 0，均不垂直。 【考查知识点】两直线垂直的判定：一般式系数关系与方向向量法 【易错点】把垂直条件错记成 = ；另一个坑是 中 y 的系数是 −1，写成 −a 或漏掉负号就会解错 3. 某圆形巡检区的边界圆 D 的一般方程为 + − 6x + 8y + 9 = 0，则圆 D 与 x 轴的位置关系是 A. 相离且圆在 x 轴上方 B. 与 x 轴相切 C. 与 x 轴相交 D. 相离且圆在 x 轴下方 【答案】B 【解析】对一般方程分别配方： − 6x = − 9， + 8y = − 16。 代回原式，得 − 9 + − 16 + 9 = 0，即 + = 16。 所以圆心为 (3, −4)，半径 r = 4。 圆心到 x 轴（直线 y = 0）的距离就是圆心纵坐标的绝对值，即 |−4| = 4，恰好等于半径。 距离等于半径对应唯一的公共点，故相切，切点为 (3, 0)；又因圆心在 x 轴下方，整圆除切点外都在下方，故选 B。 【考查知识点】一般方程配方法、直线与圆位置关系的距离判定 【易错点】配平时把常数项算错（例如把 9 与 −9 抵消后写成右边等于 25），半径就会变成 5 而误判为相交；判位置只需比较距离与半径，不必求交点坐标 4. 一座观测站 P 的坐标是 (−2, 4)，一条检修带边界直线 l 的方程为 4x + 3y − 10 = 0，则观测站到边界线的距离为 A. B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】点到直线的距离公式要求直线已写成一般式，这里 l 已是 4x + 3y − 10 = 0，于是 A = 4，B = 3，C = −10。 把点 (−2, 4) 代入左边的代数式：4 × (−2) + 3 × 4 − 10 = −8 + 12 − 10 = −6，绝对值为 6。 分母为 = = 5。 所以距离为 ，选 A。 两处要当心：分子必须取绝对值，否则会得到 −；分母是 而不是 A + B 或 + B。 【考查知识点】点到直线的距离公式：先化一般式再代入 【易错点】忘记取绝对值而写成负数；或者把分母误算成 16 + 3 = 19 得到 ，结果自然对不上任何一个选项 5. 某工地要放一条控制线，要求它经过点位 (2, −3)，且与既有直线 3x − 5y + 2 = 0 垂直。这条控制线的方程是 A. 5x + 3y − 1 = 0 B. 3x + 5y + 9 = 0 C. 5x − 3y − 19 = 0 D. 3x − 5y − 6 = 0 【答案】A 【解析】先把既有直线写成斜截式：3x − 5y + 2 = 0 即 y = x + ，它的斜率是 。 两条线垂直时斜率之积为 −1，故所求直线的斜率为 −。 用点斜式过点 (2, −3)：y + 3 = −(x − 2)，两边同乘 3 得 3y + 9 = −5x + 10。 移项整理即 5x + 3y − 1 = 0，也就是 A 项。 用一般式复核：A 项法向量 (5, 3) 与既有直线法向量 (3, −5) 的数量积为 15 − 15 = 0，确实垂直；把点 (2, −3) 代入得 10 − 9 − 1 = 0，确实过该点。 【考查知识点】求过定点且与已知直线垂直的直线方程 【易错点】C 项只验过点（5 × 2 − 3 × (−3) − 19 = 0 成立）却不验垂直，是最主要的干扰项；另外点斜式去分母时两边同乘 3，常数 9 与 10 的移动方向最容易算反 6. 某圆形喷泉池的边界圆为 + − 4x − 2y − 4 = 0，一条池边踏步线 l: x + y − 6 = 0 与池边界相交，则 l 被池边界截得的弦长等于 A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】先化标准式： − 4x + − 2y − 4 = 0，配方得 + = 9，故圆心为 (2, 1)，半径 r = 3。 圆心到 l 的距离为 d = = = 。 垂径定理把半弦、弦心距、半径放进一个直角三角形：半弦长 = = = = 。 所以弦长等于 2 × = 3，选 A。 【考查知识点】垂径定理求弦长：半弦、弦心距与半径的勾股关系 【易错点】算出半弦 就收笔，忘了乘 2 而误选 B；还有两层常见错误：把半径平方 9 与 = 相减时算成 ，以及分母 漏开方写成 2 7. 某圆形广场的边界圆 D 的圆心落在直线 y = 2x 上，且圆 D 经过 A(−1, 5) 与 B(3, 1) 两点，则圆 D 的方程是 A. + = 10 B. + = 10 C. + = 100 D. + = 10 【答案】A 【解析】圆心既要落在 y = 2x 上，又要到 A、B 两点等距（同在圆上），因此它还必须落在弦 AB 的垂直平分线上。 AB 的中点为 (, ) = (1, 3)；AB 的斜率为 = −1，所以垂直平分线斜率为 1。 垂直平分线过 (1, 3) 且斜率为 1，方程为 y − 3 = x − 1，即 y = x + 2。 与 y = 2x 联立：2x = x + 2，得 x = 2，y = 4，圆心为 (2, 4)。 半径平方为 + = 9 + 1 = 10，故圆 D 的方程为 + = 10。 用 B 点复核： + = 1 + 9 = 10，吻合，选 A。 【考查知识点】由圆心所在直线与两定点反求圆方程：圆心在弦的垂直平分线上 【易错点】AB 的中点算成 (1, 2) 会把垂直平分线错写成水平方向；求出半径平方 10 之后又多平方一次写成 100，正是 C 项的错法 8. 一块圆形设备基座的中心在 (1, −2)，半径为 3。一条布线 l: x + y + m = 0 与基座边界相交于两个不同的点，则实数 m 的取值范围是 A. (1 − 3, 1 + 3) B. (1 − 3, 1 + 3) C. (−2, 4) D. (1 − , 1 + ) 【答案】A 【解析】设圆心到 l 的距离为 d，则 d = = 。 直线与圆相交于两个不同的点，等价于 d < r，也就是 < 3。 两边同乘正数 ，得 |m − 1| < 3，即 −3 < m − 1 < 3。 三边同时加 1，得 1 − 3 < m < 1 + 3，选 A。 B、D 两项是分母上出的两类典型错：把 = 误当成 3 或 ；C 项相当于把 3 粗取成 3，丢了根号。 端点检查：m = 1 ± 3 时 d 恰等于 3，两线相切只有一个公共点，不属于“两个不同的点”，所以开区间，端点不取。 【考查知识点】直线与圆相交的条件是圆心到直线距离严格小于半径 【易错点】把“相交”写成 d ≤ r，端点就会被并进来；另外算距离时圆心纵坐标是 −2，代入后分子是 m − 1，若误写成 m + 1 会得到关于 −1 对称的区间 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某园区圆形巡检区的边界圆 D 的方程为 + − 4x + 2y − 4 = 0，一条新装的监控边界线 l: 3x − 4y + k = 0。关于 l 与圆 D 的位置，下列判断正确的有 A. 圆 D 的圆心为 (2, −1)，半径为 3 B. 当 k = 6 时，l 与圆 D 相离 C. 当 k = −25 时，l 与圆 D 相切 D. 当 k = −12 时，l 与圆 D 相切 【答案】ABC 【解析】A 项：对原方程配方， + = 9，圆心为 (2, −1)、半径为 3，正确。 圆心到 l 的距离的统一表达式是 d = = 。 B 项：k = 6 时 d = ，而 16 > 15，即 d > 3 = r，两线相离，正确。 C 项：k = −25 时 d = = 3 = r，两线相切，正确。 D 项：k = −12 时 d = = ，远小于半径 3，两线相交于两点，说“相切”错误。 所以正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】圆的一般方程配方，以及用圆心到直线距离判定三种位置关系 【易错点】D 项的 k = −12 与 C 项的 k = −25 都让分子出现整十整五，代入时极易把符号丢掉；判位置只需把 d 与 r 比大小，不必解方程组求交点 10. 已知圆 D: + = 9 与直线 l: 3x + 4y + 5 = 0。关于圆 D 上的点到 l 的距离，下列结论正确的有 A. 圆心到 l 的距离为 B. 圆 D 上到 l 的距离的最大值为 C. 圆 D 上到 l 的距离的最小值为 D. 圆 D 上到 l 的距离等于 1 的点共有 4 个 【答案】ABD 【解析】A 项：圆心 (2, −1) 到 l 的距离为 d = = ，正确。 圆上点到 l 的距离沿着“过圆心且垂直于 l”的方向单调变化，最值就在 d ± r 处：最大 d + r = + 3 = ，最小 r − d = 3 − = 。故 B 正确、C 错误。 D 项：到 l 距离等于 1 的点，同时落在 l 两侧与它相距 1 的两条平行线上，即 3x + 4y = 0 与 3x + 4y = −10。 圆心 (2, −1) 到 3x + 4y = 0 的距离为 < 3，到 3x + 4y + 10 = 0 的距离为 < 3，两条线都与圆相交、各得两个交点。 两条平行线不同，四个交点互不重合，故这样的点共 4 个，D 正确。 所以正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】圆上点到定直线距离的最值，以及到定直线等距的点的个数判定 【易错点】C 项把最大与最小值写反，套 d ± r 时一定要带上“离直线更远就加、更近就减”的画面；D 项凭直觉答 2 个，漏掉了直线两侧各有一条平行线 11. 已知圆 D 的方程为 + + 2x − 4y + m = 0。关于圆 D，下列结论正确的有 A. 当 m = 1 时，圆 D 的半径为 2 B. 当 m = 5 时，该方程表示一个点 C. 当 m = 2 时，原点 O(0, 0) 在圆 D 内部 D. 无论 m 取何值，圆心都落在直线 2x + y = 0 上 【答案】ABD 【解析】配方： + 2x = − 1， − 4y = − 4。 代回原方程得 + = 5 − m。 于是圆心的位置只由 x、y 的系数决定，恒为 (−1, 2)，含 m 的项只出现在右边，所以 D 正确。 A 项：m = 1 时右边等于 4，半径为 2，正确。 B 项：m = 5 时右边等于 0，方程退化为单点 (x, y) = (−1, 2)，不再是圆，正确。 C 项：m = 2 时半径平方为 3，而圆心到原点距离平方为 + = 5 > 3，原点在圆外，不是内部，C 错误。 所以正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】一般方程配方后看右边常数：正数、零、负数分别对应圆、点、无图形 【易错点】C 项要比较“圆心到原点的距离平方 5”与“半径平方 3”，5 > 3 说明原点在圆外；只看 5 − m = 3 > 0 就断定原点在圆内，是这类题最常见的错法 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 一个圆形灯箱的圆心为 (−1, 2)，且灯箱边缘经过点 (2, 6)，则该灯箱边界圆的方程为___________。 【答案】 + = 25 【解析】半径的平方就是圆心与圆上那点距离平方： + = 9 + 16 = 25。 标准方程直接写成 + = 25。 括号里的符号随圆心坐标反号：圆心横坐标是 −1，所以写 x + 1；圆心纵坐标是 2，所以写 y − 2。 代入检验：点 (2, 6) 代进去得 + = 9 + 16 = 25，吻合。 【考查知识点】由圆心与圆上一点直接写出圆的标准方程 【易错点】把纵坐标 2 的符号处理错，写成 ，半径虽然没错但整条方程错了；另外右边是半径的平方 25，千万别只写半径 5 13. 某圆形看台的边界圆 D 的方程为 + − 2x + 4y − 20 = 0，护栏直线 l 的方程为 4x + 3y − 5 = 0，l 与圆 D 交于 M、N 两点，则弦长 |MN| 等于___________。 【答案】 【解析】先化标准式： − 2x + + 4y − 20 = 0 配方得 + = 25，圆心 (1, −2)，半径 r = 5。 圆心到 l 的距离 d = = ，取绝对值得 。 由垂径定理，半弦长为 = = = 。 故弦长 |MN| = 2 × = 。 【考查知识点】垂径定理与勾股定理求弦长 【易错点】分子 4 − 6 − 5 = −7 丢掉绝对值是第一处易错；第二处是 开方，要分别对分子分母开方得 ，写成 就错了 14. 已知圆形构件 D 的圆心为 (2, 3)，半径为 。若直线 l: x − y + k = 0 与圆 D 没有公共点，则实数 k 的取值范围为___________。 【答案】(−∞, 1 − ) ∪ (1 + , +∞) 【解析】圆心 (2, 3) 到 l 的距离为 d = = 。 “没有公共点”就是相离，等价于 d > r，即 > 。 两边同乘 得 |k − 1| > ，拆绝对值即 k − 1 < − 或 k − 1 > 。 故 k < 1 − 或 k > 1 + ，写成区间即 (−∞, 1 − ) ∪ (1 + , +∞)。 端点检验：k = 1 − 时 d 恰为 ，两线相切正好有一个公共点，要让它们一个交点都没有必须严格不等，端点不取。 【考查知识点】直线与圆相离的条件，以及绝对值不等式与区间表示 【易错点】把“没有公共点”写成 d ≥ r，就会把两条切线也算进去；另外 × = 这一步要算准，写成 就得出了 D 项的错值 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校校园内的圆形喷泉水池，其边界圆 D 的一般方程为 + − 4x + 6y − 12 = 0。 （1）求圆 D 的圆心坐标与半径； （2）一条环池步道 l: 3x − 4y + 10 = 0，判断 l 与圆 D 的位置关系并说明理由； （3）在圆 D 上求一点，使它到 l 的距离最大，并求这个最大值。 【答案】解：（1）对 x、y 分别配方， 原方程化为 − 4 + − 9 − 12 = 0，即 + = 25。 所以圆 D 的圆心为 (2, −3)，半径 r = 5。 （2）圆心 (2, −3) 到 l 的距离为 d = = = 。 因为 > 5，即 d > r，所以 l 与圆 D 相离，步道完全在池外，两者没有交点。 （3）过圆心且垂直于 l 的直线方向就是 l 的法向量 (3, −4) 的方向。 圆心所在一侧的代数式 3x − 4y + 10 在圆心处取值 28 > 0，沿法向量方向继续走只会让这个值更大， 所以最远点是从圆心沿 方向走满一个半径 5 得到的点： (2, −3) + 5 × = (5, −7)。 检验： + = 9 + 16 = 25，点 (5, −7) 确在圆 D 上。 它到 l 的距离为 = = ，与 d + r = + 5 = 一致。 所以所求点为 (5, −7)，最大距离为 。 【解析】解：（1）对 x、y 分别配方， 原方程化为 − 4 + − 9 − 12 = 0，即 + = 25。 所以圆 D 的圆心为 (2, −3)，半径 r = 5。 （2）圆心 (2, −3) 到 l 的距离为 d = = = 。 因为 > 5，即 d > r，所以 l 与圆 D 相离，步道完全在池外，两者没有交点。 （3）过圆心且垂直于 l 的直线方向就是 l 的法向量 (3, −4) 的方向。 圆心所在一侧的代数式 3x − 4y + 10 在圆心处取值 28 > 0，沿法向量方向继续走只会让这个值更大， 所以最远点是从圆心沿 方向走满一个半径 5 得到的点： (2, −3) + 5 × = (5, −7)。 检验： + = 9 + 16 = 25，点 (5, −7) 确在圆 D 上。 它到 l 的距离为 = = ，与 d + r = + 5 = 一致。 所以所求点为 (5, −7)，最大距离为 。 【考查知识点】圆的一般方程配方、位置关系判定，以及圆上点到直线距离最值的取法 【易错点】第（2）问容易把 28 与 5 直接相减比大小，要先统一成同量纲的距离；第（3）问找最远点时方向取反会落到最近点，务必用圆心处代数式的值确认朝哪一侧走 16. 规划中的两处圆形展区分别是圆 : + = 16 与圆 : + − 6x − 8y + 16 = 0。 （1）判断两圆的位置关系； （2）求两圆公共弦所在直线的方程与公共弦的长； （3）在圆 上取一点 P，使 P 到公共弦所在直线的距离最大，求 P 的坐标及这个最大值。 【答案】解：（1）圆 的圆心为 O(0, 0)，半径 R = 4； 圆 配方得 + = 9，圆心为 (3, 4)，半径 r = 3。 两圆心距离为 |O(3, 4)| = = 5。 因为 R − r = 1 < 5 < 7 = R + r，两圆相交，有两个公共点。 （2）公共点同时满足两个方程，把 + = 16 代入第二个方程， 得 16 − 6x − 8y + 16 = 0，即 6x + 8y = 32，化简为公共弦所在直线 3x + 4y − 16 = 0。 圆心 O 到这条直线的距离为 = 。 由垂径定理，半弦长为 = = = ， 故公共弦长为 。 （3）记公共弦所在直线为 l: 3x + 4y − 16 = 0，圆心 O 到 l 的距离 < R = 4，说明 l 与圆 相交。 圆 上到 l 距离最大的点，在过 O 且垂直于 l 的那条直线上，并位于背离 l 的一侧。 l 的法向量为 (3, 4)，其单位向量为 ；背离 l 一侧取相反方向， 于是 P = O − 4 = (, )。 检验：(−){^|2|} + (−){^|2|} = + = = 16，点 P 在圆 上。 P 到 l 的距离为 ，分子上是 − − − 16 = −20 − 16 = −36， 取绝对值再除以 5，得 ，与 + R = 吻合。 所以 P 的坐标为 (, )，最大距离为 。 【解析】解：（1）圆 的圆心为 O(0, 0)，半径 R = 4； 圆 配方得 + = 9，圆心为 (3, 4)，半径 r = 3。 两圆心距离为 |O(3, 4)| = = 5。 因为 R − r = 1 < 5 < 7 = R + r，两圆相交，有两个公共点。 （2）公共点同时满足两个方程，把 + = 16 代入第二个方程， 得 16 − 6x − 8y + 16 = 0，即 6x + 8y = 32，化简为公共弦所在直线 3x + 4y − 16 = 0。 圆心 O 到这条直线的距离为 = 。 由垂径定理，半弦长为 = = = ， 故公共弦长为 。 （3）记公共弦所在直线为 l: 3x + 4y − 16 = 0，圆心 O 到 l 的距离 < R = 4，说明 l 与圆 相交。 圆 上到 l 距离最大的点，在过 O 且垂直于 l 的那条直线上，并位于背离 l 的一侧。 l 的法向量为 (3, 4)，其单位向量为 ；背离 l 一侧取相反方向， 于是 P = O − 4 = (, )。 检验：(−){^|2|} + (−){^|2|} = + = = 16，点 P 在圆 上。 P 到 l 的距离为 ，分子上是 − − − 16 = −20 − 16 = −36， 取绝对值再除以 5，得 ，与 + R = 吻合。 所以 P 的坐标为 (, )，最大距离为 。 【考查知识点】两圆位置关系的圆心距判定、公共弦方程的求法（两式相减）、垂径定理与最值取点方向 【易错点】第（2）问用两圆一般方程相减求公共弦时，务必保证两式二次项系数已经一致（本题先把 写成 + − 16 = 0）；第（3）问方向取反会取到最近点，判方向要看 O 在直线的哪一侧 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第14节 直线与圆的方程 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 直线的倾斜角与斜率 数学运算 基础 B 2 单项选择题 5 两直线垂直的判定 数学运算 基础 A 3 单项选择题 5 圆的一般方程 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 点到直线的距离 数学运算 基础 A 5 单项选择题 5 直线的方程 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 直线与圆相交的弦长 数学运算 中档 A 7 单项选择题 5 圆的标准方程 数学运算 中档 A 8 单项选择题 5 直线与圆的位置关系 数学运算 中档 A 9 多项选择题 6 直线与圆的位置关系 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 圆上点到直线的距离 直观想象 中档 ABD 11 多项选择题 6 圆的一般方程 数学运算 中档 ABD 12 填空题 5 圆的标准方程 数学运算 基础 (x + 1){^|2|} + (y − 2){^|2|} = 25 13 填空题 5 弦长与弦心距的关系 数学运算 中档 {f|48|5} 14 填空题 5 直线与圆的位置关系 数学运算 中档 (−∞, 1 − {s|10}) ∪ (1 + {s|10}, +∞) 15 解答题 13 直线与圆的位置关系、圆上点到直线的距离 数学运算 中档 见解析 16 解答题 14 两圆的位置关系、圆的弦长 数学运算 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $