专题：直线与圆的方程-专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以直线与圆的方程为核心，通过分层题型系统整合倾斜角、位置关系、轨迹方程等知识点，提炼基本不等式、代入法等解题方法，注重逻辑推导与应用迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线方程基础|4题|倾斜角二倍角公式、斜率公式|从方向向量到倾斜角，构建直线方程基本量关系| |位置关系|5题|平行垂直判定、相切条件|通过斜率关系、距离公式推导位置关系判定法则| |圆与轨迹|6题|代入法求轨迹、切线长公式|以圆的标准方程为基础，延伸轨迹方程与切线问题| |综合应用|4题|基本不等式求最值、相似性质|整合直线与圆知识，解决面积、距离等实际问题|

专题：直线与圆的方程-2026-2027学年高三数学上学期专项提优 一、单选题 1．已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 3．若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 4．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 5．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 6．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的顶点和顶点恰好在反比例函数（）的图象上，点为轴负半轴上一点，边与第二象限内反比例函数图象交于点，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 10．点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 11．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 三、填空题 12．在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 13．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 14．在平面直角坐标系中，，与轴的一个交点的坐标为，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，则的最小值为______． 四、解答题 15．一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 16．设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 17．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 18．已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． (1)若，求的长； (2)试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：直线与圆的方程-2026-2027学年高三数学上学期专项提优》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D D C B ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，所以且， 又因为、， 所以，整理得，解得或， 若，代入两条直线得，， 即，两直线完全重合，不满足平行， 因此的唯一解就是， 当时，可直接推出，同时也只能推出， 因此""是""的充要条件. 2．C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 3．B 【详解】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 4．A 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 5．D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 6．D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 7．C 【分析】通过反比例函数与正方形的性质求出的直线方程，再与反比例函数联立即可求出点的坐标. 【详解】由题可知点和顶点在反比例函数（）的图象上，则，即， 又为正方形，即， ，则， 从向轴作垂线，垂足为， 则，解得，则， 设所在直线方程为，代入点坐标得：，解得， 故所在直线方程为， 联立直线与反比例函数解析式得： ， 解得或， 点的坐标为， 点的坐标为． 8．B 【分析】先将流量损耗函数化简为对勾函数形式，再结合点与圆的位置关系确定的取值范围，最后利用对勾函数单调性求最小值. 【详解】由圆可知圆心，半径， 令，则，因为，， 所以， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，. 9．ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 10．ABD 【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可. 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 11．ABD 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以.故A正确； 对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确； 对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误； 对D，.故D正确. 12． ； ． 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即． 13．（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 14．4 【分析】根据，以及点到直线的距离计算. 【详解】由题意得，圆的半径， 因为为切线，所以， 则， 则， 因为点到的距离为， 所以的最小值为，则的最小值为 15．(1) (2)． 【分析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，利用可得所求直线斜率，从而可用点斜式得到直线方程. （2）设直线方程为，将点代入得，利用基本不等式得，从而得到面积的最小值及此时的直线方程. 【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即． （2）设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即． 16．(1)； (2)最小值为2，直线的方程为. 【分析】（1）由题意得到不等式组，求解即可； （2）表达出三角形面积，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为直线的方程为， 令，得；令，得； 且，则，， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 18．(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 19．(1) (2)存在，满足条件的点只有一个，此时 (3)当时，有，此时直线与相切. 证明：当时，,此时， ∴. 又，∴， 如图，为的延长线上一点， 则，∴点在的角平分线上， ∴点到的距离相等, 又为的切线， ∴点到的距离都为1，即直线与相切. 【分析】（1）根据勾股定理及可列出关于的方程，解方程即可； （2）设，确定的范围，用的代数式表示，代入，可求出； （3）由相似三角形的性质和角平分线的性质可得点到的距离相等，再根据切线的判定方法即可解决问题. 【详解】（1）∵分别为，的切线，分别为，的半径， ∴. 由勾股定理可得. 又，∴. 又，是线段上的一点，∴， ∴，解得. （2）存在，假定存在一点，使得， 设，则， 由可得. 即， 代入可得，即， 解得（舍去），， ∴满足条件的点只有一个，此时. （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $