7.1直线方程与位置关系讲义-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.1直线方程与位置关系 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。 （一）高考怎么考 解析几何的所有结论都建立在直线之上：圆的位置关系要算点线距，圆锥曲线的联立要先写出直线方程，定点定值要把直线化成含参形式。直线这一环一旦出错，后面的三问全部作废。所以本讲的定位不是把初中的直线再学一遍，而是把六件工具磨到不出错：斜率、方程形式、距离、对称、定点、含参位置关系。 近三年的卷子里，本讲知识单独成题时只出现在选填，而且几乎都“挂靠”在别的对象上考：2025 年那道挂靠在圆上到定直线的距离，2024 年那道挂靠在抛物线的准线与圆相切，2023 年那道挂靠在两条切线的夹角上。 表 1: 高考直线方程与位置关系考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2025 新课标Ⅰ卷 7 圆上到直线 距离为 1 的点恰有 2 个，求半径的范围 2025 新课标Ⅱ卷 6 由直线 的方程反求抛物线焦点，再算 ，考直线方程与交点坐标 2024 新课标Ⅱ卷 10 多选：准线与圆相切、切线长、中垂线，全部落在点线距与对称上 2023 新课标Ⅰ卷 6 过定点的两条切线夹角，由切线长与二倍角求 2023 新课标Ⅱ卷 15 含参直线 与圆相交，由三角形面积反求参数 表 1 的五个题号来自五张不同的卷子，指向的却是同一件事：本讲知识从不单独出场，永远作为工具嵌在别的问题里。由此得到三条命题线索。 第一，距离是最高频的落点。2025 年新课标Ⅰ卷那道“圆上到定直线距离为 1 的点有几个”，本质是点线距加上“到定直线距离为定值的点在两条平行线上”；2023 年新课标Ⅰ卷那道切线夹角，也要先把圆心到切线的距离写成半径。点线距的两个前置动作——化一般式、统一系数——是本讲唯一不能省的基本功。 第二，含参直线必须先看清结构，再动笔算。2023 年新课标Ⅱ卷那道题的直线 恒过 (−1,0)，把它与圆心 一起画出来，高、弦长、面积三者的关系立刻清楚；不看结构直接套弦长公式，运算量会翻一倍。 第三，对称正以“隐蔽”的方式出现。2024 年新课标Ⅱ卷第 10 题的 D 选项问“满足 的点有几个”，翻译过来就是“ 在 的中垂线上”——题面不出现“对称”二字，却处处要用对称。这也是本讲把对称单列一个模型的原因。 （二）必备知识清单 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 斜率 ， 且 两点式 会由倾斜角范围求斜率范围，反之亦然 直线方程 点斜、斜截、两点、截距、一般式，以及各自“不能表示”的直线 会按条件选形式，会补上漏掉的竖直线 平行与垂直 斜率式与一般式两套判据；平行还需排除重合 会解完参数后回代排重合 距离 两点距、点线距、平行线距； 的距离上界 会先化一般式、先统一系数 对称 中点在对称轴上，且连线与该轴垂直 会求点关于线、线关于线的对称 含参直线 化为 求定点 会由定点出发用斜率范围求参数 二、知识梳理：把“画图”变成可执行的步骤 这一节把五个知识块逐条翻译成动作，每个动作后面都标出它唯一可能出错的地方。 （一）斜率：三种算法，一个断点 斜率是倾斜角的“翻译”，但这个翻译在 处断开，这是本讲第一个、也是最容易被忽略的断点。 定义是 ，其中 且 。实际计算有三条路：① 由倾斜角，直接取正切；② 由两点，（要求 ）；③ 由一般式， 的斜率为 （要求 ），这等价于说该直线的一个方向向量是 。 断点意味着什么？ 从 左侧趋近时 ，从右侧趋近时 。也就是说，倾斜角只要跨过 ，斜率就从“很大的正数”跳到“绝对值很大的负数”。倾斜角连续变化，斜率并不连续变化，这正是所有范围题出错的总根源。 倾斜角与斜率的互译口诀 以 为界，把区间切成两段，每一段内 都单调递增，分别求完再取并集。 区间落在 内： 的范围是 。 区间落在 内： 的范围是 ，全为负数。 区间跨过 ： 的集合一定是两条射线之并，中间那段永远取不到。 （二）直线方程：五种形式，三个盲区 五种形式各有它“表达不了”的直线，而这些表达不了的直线，恰恰就是丢分的地方。 表 3: 直线方程的五种形式及其盲区 形式 方程 不能表示的直线 什么时候优先用 点斜式 已知一点与斜率 斜截式 已知斜率与 轴截距 两点式 竖直线、水平线 已知两点且都不特殊 截距式 过原点、竖直、水平 已知两轴截距， 一般式 无（ 不全为 0） 含参、判位置关系 表 3 的最后一列给出了选用顺序：能设一般式就设一般式，因为它没有任何盲区，讨论位置关系时也最直接。 位置关系有两套判据。设 ：，：，则 若改用斜率式，则是 且 、，但这两条都必须先回答“斜率不存在时如何”，否则讨论不完整。 三个盲区要背下来：① 设 会漏掉 ；② 设两点式会漏掉竖直线与水平线；③ 设截距式会漏掉过原点的直线——而“截距相等”“截距互为相反数”这两句话，恰好都把过原点包含在内。 设直线的三条纪律 一、能用一般式就用一般式，含参题尤其如此。 二、只要写了 ，就必须单独补答一句“斜率不存在时，直线为 ，是否满足题意”。 三、只要分母上出现了字母，就要回头检查“分母为零”对应的是哪条直线，它的截距是否也满足题意。 （三）距离：三个公式，两个前置动作 三个公式本身不难，难在前置动作。 两点距：。 点线距：点 到直线 ： 的距离为 前置动作一：直线必须先化成一般式，且 、 取的是一次项系数。写成 就直接代，必错。 平行线距：两条平行线 与 之间的距离为 前置动作二：两直线的 、 必须已经化成完全相同。若给出的是 与 ，先把后者的系数除以 2 再代，直接套公式会得到错误答案（检测 B8 就是这道陷阱）。 三个常用的推论：到直线 距离等于定值 的点，落在两条与 平行、且与 距离为 的直线上，所以答案是“两条”；三角形面积 ，其中 是第三点到直线 的距离；设 、 为两个定点， 是过 的动直线，则点 到 的距离恒满足 ，取等当且仅当 。 （四）对称：两个条件，三类对象 “对称”在题面上千变万化，在代数上只有两个条件。 点关于点对称，用一个中点公式即可。点关于直线 对称，条件是两个：中点在 上，连线与 垂直。两个条件恰好定出两个未知数，缺一个就得到无穷多解。 若直线写成 ，对称点还可以用公式直接算、用来验算： 公式的价值不在背，而在检查：它把“距离相等”与“垂直”一次写进同一个式子里。 几类常见对称直接记结果：关于 轴对称得 ；关于 轴对称得 ；关于 对称得 ；关于 对称得 ；关于 对称得 ；关于 对称得 。 直线关于直线对称，通法是“两点定线”：先求两直线的交点，再在已知直线上另取一点求出它的对称点，两点连线即为所求。若两直线平行，对称直线也与它们平行，此时只需一个距离条件。 在光线反射问题中，上述结论变成一个动作：入射光线上的点、反射点、反射光线上的点（先把入射点或反射点作关于镜面的对称点）三点共线。折线被拉直，最值随之出现。 对称与反射的三步 作对称（求对称点）→ 连直线（对称点与另一定点）→ 求交点（与镜面或指定直线联立）。 不要用“入射角等于反射角”去列三角方程：那会把一个一次方程变成含反三角的方程，方向就错了。 （五）含参直线：把参数“提”出来 含参直线的第一件事永远是找定点。方法固定：把方程按参数整理成一次式 再令 与 ，解出的点与 无关，即为定点。 三种常见外形：① 点斜式外形，，定点就是 ；② 两直线线性组合外形，，定点是两定直线的交点；③ 关于参数的一次式，如 ，整理为 ，得定点 (1,1)。 定点有三处用处：一是求距离的最值，用 ；二是判断“直线与线段有公共点”，把定点与线段两端连线的斜率算出来，再按旋转方向取范围；三是判断位置关系，定点在圆内还是圆外，直接决定交点个数。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 本讲的六个模型全部由“题面给了什么”决定：给角度、给截距、给距离、给反射、给参数、给两条直线。认清情境，工具就唯一了。 表 4: 直线方程与位置关系的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 倾斜角 题面只出现角度，或只问“倾斜角是多少” 以 为界分段，再取并集 例 1 二 · 设方程 出现“截距相等”“在两轴上截距……” 按截距是否为零分类 例 2 三 · 距离 给两点到某直线距离相等，或求点到线距离 化一般式，按同侧、异侧分类 例 3 四 · 对称 光线反射、折叠、折线段求最短 中点在轴上且连线垂直，折线拉直 例 4 五 · 定点 方程里含 、、，又问最值 按参数整理，解两线交点 例 5 六 · 位置关系 两条直线含同一参数，问平行或垂直 用一般式判据，平行必排重合 例 6 （一）模型一：倾斜角与斜率互译 题面只给角度、不给坐标，或者只问“倾斜角是多少”，就是模型一。识别标志是没有一个点坐标。标准动作是判断给定区间是否跨过 ：不跨就单调翻译，跨了就分段求并集。易错点是直接把区间端点代入正切，得出一段闭区间。 （二）模型二：设方程防漏解 题面出现“截距相等”“截距互为相反数”“在两坐标轴上的截距之和为……”，就是模型二。这类题的条件全部落在截距上，而截距式要求 、 都不为零，所以必须先把“截距为零”这一支单独拿出来。标准动作是分两类：过原点与不过原点。 （三）模型三：距离 题面给出“两点到某直线的距离相等”“点到直线的距离为定值”“某点到动直线的距离最大”，都是模型三。识别标志是式子里出现绝对值。核心动作是化成一般式后套点线距，再把绝对值拆成两种情况。两点到同一直线距离相等，几何上只有两种可能：两点在直线同侧（此时直线与两点连线平行）或异侧（此时直线过两点中点）。 （四）模型四：对称 题面出现光线、镜面、折叠、河边取水、 最小，就是模型四。核心动作是把折线拉直：作出其中一点的对称点，让“折”变成“直”。易错点是把对称点作错了对象——求最短路径时，对称的是与动点不在同一条线上的那个定点。 （五）模型五：定点 方程里带着参数，题面又问“是否恒过定点”“距离的最大值”“与线段是否有公共点”，就是模型五。识别标志是参数只以一次形式出现。核心动作是按参数整理成 ，解方程组。易错点是只看出定点却不会用：定点找出来之后，距离最值要用 ，范围问题要用定点与线段端点的斜率。 （六）模型六：含参位置关系 两条直线含同一个参数，问“平行”“垂直”“重合”，就是模型六。识别标志是两组系数里出现同一个字母。核心动作是用一般式判据列方程；平行时必须代回排除重合——这是本模型唯一的失分点。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型，每题统一按四步展开：认模型 → 设方程 → 代数化 → 校验。最后一步专管三件事：斜率是否存在、截距与分母是否为零、两直线是否重合。 （一）模型一：倾斜角与斜率互译 例题 1（模型一·跨过直角的区间） 已知直线 的倾斜角 满足 ，求直线 的斜率 的取值范围。 第 1 步 · 认模型：题面只给角度范围、不给任何点，问的是斜率——模型一。要注意的是 落在区间内部，因此必然分段。 第 2 步 · 设方程：由 直接翻译，不需要设直线方程。但要先声明 时斜率不存在，这一支要单独交代。 第 3 步 · 代数化：以 为界切成两段。 当 时， 单调递增，；当 时， 不存在；当 时， 仍单调递增，。 两段取并集，得 第 4 步 · 校验：三件事。一是端点能否取到： 时 ， 时 ，都能取到，故两支都是闭的。二是中间那段是否真的取不到：取 ，对应 或 ，都不在区间内，确实取不到。三是两头是否趋于无穷： 时 ，故两支都是射线。 图 1: 倾斜角跨过直角时，正切值从正无穷跳到负无穷 不要把区间“平移”到斜率上 对应的 绝不是 。后者的每一段都要求 落在 的同一侧，而这个区间被 劈成了两半。判断方法很简单：在脑子里想一下这条直线从水平转到接近竖直、再转过去的过程，斜率是“先涨到无穷，再从负无穷涨回来”的。 （二）模型二：设方程防漏解 例题 2（模型二·截距相等） 求过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程。 第 1 步 · 认模型：题干出现“截距相等”，条件完全落在截距上——模型二。这里有两只“漏解的抽屉”：截距为零的直线，以及垂直于坐标轴、根本不存在某个截距的直线。 第 2 步 · 设方程：设直线在 轴、 轴上的截距分别为 、，题设给出 。截距式 要求 ，所以必须先把 这一支拎出来。 第 3 步 · 代数化：分两类。 （1）：直线过原点，又过 ，斜率为 ，方程为 ，即 。 （2）：用截距式得 ，即 。代入 得 ，方程为 。 第 4 步 · 校验：三件事。一是竖直线 ：它在 轴上没有截距，谈不上“两轴截距相等”，排除；水平线 同理排除。二是代回验证： 过 (2,1)，截距均为 0； 过 (2,1)，截距均为 3，都满足。三是两条直线是否重合：斜率不同，不重合。 故所求直线为 或 。 图 2: 过点 P 且两轴截距相等的两条直线 “截距相等”不等于“截距都是正数” 截距是坐标，可以是负数，也可以是 0。“截距相等”这四个字把过原点的直线一并包含了进去，而截距式恰好表达不了过原点的直线。同理，“截距互为相反数”也要先问一句：都为零算不算互为相反数？算，所以一样要单列。 （三）模型三：距离 例题 3（模型三·两点距离相等） 已知直线 过点 ，且点 与 到 的距离相等，求直线 的方程。 第 1 步 · 认模型：“两点到一条直线的距离相等”——模型三。几何上只有两种可能：、 在 同侧时，；、 在 异侧时， 过线段 的中点。两支都要算。 第 2 步 · 设方程：先算 的斜率和中点：，中点 。由于 已知过 ，两支都能直接用点斜式写出。 第 3 步 · 代数化： （1）同侧，：，由点斜式得 ，即 。 （2）异侧， 过中点 ：，得 ，即 。 第 4 步 · 校验：三件事。 一是距离是否真的相等： 二是斜率不存在的竖直线 ：，，不相等，排除。三是两解是否重合：斜率分别为 −4 与 ，不重合。 故所求直线为 或 。 图 3: 距离相等的两支：与 AB 平行，或过 AB 的中点 “距离相等”永远有两支 只算“过中点”那一支会丢一半分，只算“平行”那一支也一样。判断依据是两点是否在直线同侧：同侧必平行，异侧必过中点。反过来，只要题目说“两点到某直线距离相等”，就要先把 的中点算出来备用。 （四）模型四：对称 例题 4（模型四·对称与反射） 已知点 ，直线 ：。 （1）求点 关于 的对称点 的坐标； （2）一条光线从点 射出，经直线 反射后经过点 ，求反射点 的坐标。 第 1 步 · 认模型：第（1）问是标准的点关于直线对称；第（2）问出现“光线”“反射”，是模型四的反射型。反射定律在代数上的等价说法是：反射光线过 ，等价于入射光线过 的对称点 ，于是折线 被拉直成线段 。 第 2 步 · 设方程：设 。 的斜率为 −2，故 的斜率为 。 第 3 步 · 代数化： （1）写出两个条件。中点 在 上： ，即斜率之积为 −1： 联立 由第二式得 ，代入第一式得 ，故 ，，即 。 （2）反射光线过 ，故 、、 三点共线。直线 的斜率 方程为 ，即 。与 联立，代入 得 第 4 步 · 校验：三件事。一是 是否真在镜面 上：0−2+2=0，成立。二是 、、 是否共线： 与 恰好反向，共线成立。三是解是否唯一：直线 与 只有一个交点，不存在第二支。 故 ，反射点 。 图 4: 把反射点换成对称点，折线 BP+PA 就变成直线 BA’ 反射题只需要一个对称点 求“光线经镜面反射”时，对称点作哪一个都一样（作 或作 得到的是同一条直线与镜面的同一个交点），但绝不能把对称点作在镜面那边的射线上。判断方法：对称点必须与原来的点在镜面两侧，中点在镜面上。 （五）模型五：定点 例题 5（模型五·定点与距离最值） 点 (0,−1) 到直线 距离的最大值为（） A. 1 B.  C.  D. 2 第 1 步 · 认模型：直线含参数 ，问的是一个距离的最大值——模型五。参数只以一次形式出现，先找定点。 第 2 步 · 设方程：化成一般式：。 第 3 步 · 代数化：把方程按 整理： 令 与 ，得定点 ，即无论 取何值，直线都过 。 设 。对任意过 的直线，点 到它的距离都不超过 ： 取等当且仅当 。 的斜率为 ，故需 ，即 。 第 4 步 · 校验：两件事。一是取等条件能否实现： 是允许的，此时 ：，直接算 ，与结论一致。二是补验斜率不存在的情形： 时 ，不影响最大值。 故选 B。 图 5: 动直线绕定点 Q 转动，垂线段 AQ 就是最大距离 含参直线与距离最值 先找定点 ，再写 ，最后确认“”对应的参数值确实能取到。三步缺一不可：只写 而不验证取等，可能会得到一个根本达不到的上界（例如题目另有限制 时）。 （六）模型六：含参位置关系 例题 6（模型六·含参平行与垂直） 已知直线 ： 与 ：。 （1）当 为何值时，？（2）当 为何值时，？ 第 1 步 · 认模型：两条直线含同一个参数 ，问平行与垂直——模型六。两式都已是一般式，直接用系数判据，不必先解出斜率。 第 2 步 · 设方程：读出系数：，，；，，。 第 3 步 · 代数化： （1）平行需要 ： （2）垂直需要 ： 第 4 步 · 校验：平行的两个候选值必须代回排重合。 时，：，：，两直线重合，应舍去。 时，：，：，后者即 ，与 平行且不重合，成立。 垂直的 也代回验证：：，斜率 −2；：，斜率 ；斜率之积为 −1，垂直成立。 故（1）；（2）。 平行判据必须走两步 只是“平行或重合”，它把重合也算了进来。本题若只解到 或 就交卷，会多出一个错误答案。正确的做法是解完方程后，把每个值代回原方程看两直线是否同一条——这一步只要十秒，但每年都有人省掉。 五、易错点辨析 下面六个错误覆盖了本讲全部的真实失分点，共同特征是：算式本身都没错，错在“前提”没查。 表 5: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 倾斜角区间跨 时，把 的范围写成 误以为 在 上单调 以 为界分两段，各自求完再取并集 设完 就直接求解，不再讨论 斜率不存在的那条直线被漏掉 每次都补问一句“ 时如何” “截距相等”只算了非零截距 没意识到 0 也是截距 先分“过原点”与“不过原点”两类 平行线距离套公式却没统一系数 两直线的一次项系数不成比例 先把 、 的系数化成完全相同再代 平行条件只解 忘了排除重合 解完代回，检查 对称只用“中点在线上”一个条件 少一个垂直条件，解不唯一 中点在线上与连线垂直必须联立 六、当堂检测 A 组对应六个模型的基本动作，限时 15 分钟；B 组是对称、定点与含参辨析，限时 25 分钟；C 组是综合小问。 （一）A 组：基础过关 A1 经过 、 两点的直线的倾斜角为（） A.  B.  C.  D.  A2 点 到直线 的距离为。 A3 两条平行直线 与 之间的距离为。 A4 过点 (2,3) 且与直线 垂直的直线方程为。 （二）B 组：能力提升 B5 已知点 、，点 在 轴上，求 的最小值及此时点 的坐标。 B6 （多选）已知点 在圆 上，点 、，则（） A. 点 到直线 的距离小于 10 B. 点 到直线 的距离大于 2 C. 当 最小时， D. 当 最大时， B7 已知直线 ：。 （1）证明：直线 恒过一个定点； （2）若 与以 、 为端点的线段有公共点，求 的取值范围。 B8 已知两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离为 1，求 的值。 （三）C 组：压轴突破 C9 直线 过点 ，且与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点。求 面积的最小值，并求此时直线 的方程。 C10 写出与圆 和 都相切的一条直线的方程。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案：D。 提示：，故倾斜角为 。若误写成 又把符号丢掉，会误选 B。 A2答案：。 提示：直线已是一般式，直接代公式：。注意 代入时符号为正。 A3答案：。 提示：先把 的系数除以 2，化为 ，再代平行线距公式：。直接对原式用 得 ，是错的。 A4答案：。 提示：所求直线的斜率为 ，由点 (2,3) 写出 ，整理即得。 （二）B 组 B5答案：最小值为 ，此时 。 提示：、 都在 轴同侧，作 关于 轴的对称点 ，则 。直线 为 ，令 得 。校验：此时 、、 三点共线，取等条件成立。 B6答案：ACD。 提示：先用截距式写直线 ：，即 。圆心 ，半径 4， 故直线与圆相离，点 到 的距离落在 内。右端小于 9<10，A 对；左端约为 0.92<2，B 错。当 取最值时 与圆相切，，故 ，C、D 都对。 B7答案：（1）定点 (1,1)；（2）。 提示：（1）按 整理得 ，令 与 ，解得 。（2）定点 到线段两端点的斜率分别为 ， 不存在（ 为竖直直线 ）。故 的斜率满足 或 就是 。由 的斜率 ，解 得 ；再补 （此时 为 ，过 点，满足）。合起来即 。 B8答案： 或 。 提示： 即 ，由 得 ，故 或 。若直接写 ，会得到 或 两个错误答案。 （三）C 组 C9答案：面积最小值为 4，此时 ：。 提示：设 、，其中 、，则 ：。代入 得 。于是 取等当且仅当 ，即 、。此时 为 ，即 。校验：，直线确实过 ，且两个截距都为正。 C10答案： 或 或 （写出其中一条即可）。 提示：两圆圆心 、，半径 1 与 4，，故两圆外切，公切线共三条。 先看斜率不存在的情形： 到 的距离为 1，到 的距离为 |3−(−1)|=4，两条半径都等，成立。 再设切线为 ，即 ，由两次点线距得 联立消去 得 或 ，分别解得 （）与 （），对应 与 。 本题的关键正是本讲模型三的前置动作：先补斜率不存在的那条，再去设斜截式，否则只能得到两条。 学科网（北京）股份有限公司 $