第35讲椭圆的定义、方程与几何性质（知识清单+10典例精讲+4方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦椭圆的定义、方程与几何性质，覆盖高考核心考点如基本量关系、离心率计算、焦点三角形应用等，按定义理解、方程求解、几何性质分析的逻辑层次组织知识点。通过知识清单梳理、10典例精讲、4方法技巧提炼、分层训练巩固的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，精准突破高频难点。 资料以解题大招为特色，如齐次式法速求离心率、焦点三角形面积结论等，培养学生数学思维与数学语言表达能力。设置基础过关、拔高选练、错题复盘分层训练，配合典例中轨迹方程求解等实例，确保高效复习。助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第35讲椭圆的定义、方程与几何性质 （知识清单+10典例精讲+4方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 椭圆基本量关系：；离心率基础计算： 单选题 5分 椭圆第一定义：；焦点三角形边长、余弦定理综合应用 多选题 6分 椭圆标准方程求解；椭圆对称性、顶点、范围等基础几何性质 解答题 12分 利用轨迹条件求解椭圆标准方程；根据系数判断椭圆焦点位置 单选题 5分 离心率取值范围求解；焦点三角形面积公式： 填空题 5分 定义法求椭圆方程；离心率与参数范围综合；椭圆对称性与最值问题 解答题 12分 由顶点、焦距求解a、b、c；焦半径公式实际应用 填空题 5分 【知识点01】椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 【例1】已知动点到定点，的距离之和等于10，求动点的轨迹方程。 解：步骤1：依据定义判断轨迹类型 由题可知：，两焦点间距 满足，符合椭圆第一定义，动点轨迹为椭圆。 步骤2：求解椭圆核心基础量 ，焦距一半 代入恒等关系计算短半轴： 步骤3：判定焦点位置，写出最终方程 焦点在轴上，代入标准方程： . 【知识点02】椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【例2】已知椭圆方程为，求该椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率。 解：步骤1：定位基础参数a、b 由椭圆标准方程，焦点在x轴上 可得：，即 步骤2：计算焦距参数c 根据椭圆恒等关系： 解得： 步骤3：依次求解各项几何量 长轴长： 短轴长： 焦距： 离心率： 【题型一】椭圆定义及辨析 【例1】（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 【变式1】（2025·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，结合，求出，，结合即可判断各个选项. 【详解】由题意可知，，，所以， 由椭圆的定义可知，，又，所以，， 所以． 故选：D 【变式2】（多选）若椭圆的左、右焦点分别为，，则下列b的取值能使以为直径的圆与椭圆C有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的条件，确定以为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b的范围作答. 【详解】令椭圆的半焦距为c，则以为直径的圆的方程为， 因圆与椭圆C有公共点，则有，即，解得，显然选项A，B，C满足，D不满足. 故选：ABC 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）已知分别是椭圆的左右两个焦点，点在上，且在轴左侧，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由椭圆的定义可得，利用结合基本不等式求解. 【详解】由椭圆可知其半长轴为， 根据椭圆的定义，， 又在轴左侧，则，即，则， 由， ， 当取等号，即， 结合可知时，的最小值为. 故答案为： 【题型二】利用椭圆定义求方程 【例1】（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 【变式1】（2024·陕西宝鸡·二模）已知动点满足等式，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据动点满足等式，得到点A的轨迹是以为焦点的椭圆求解. 【详解】解：因为动点满足等式， 所以表示点A到点的距离之和为8，且， 所以点A的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中：， 所以椭圆的方程是， 故选：D 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 【变式3】（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 【题型三】椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 【例3】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 【变式1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    【变式2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【详解】 如图的周长为. 【变式3】设为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义和勾股定理，列出方程组，求得，利用面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，因为且为上关于坐标原点对称的两点， 可得四边形是矩形，设，不妨设， 由椭圆，可得，则， 由椭圆的定义和勾股定理，可得， 可得，解得， 所以. 故选：. 【题型四】根据a、b、c求椭圆标准方程 【例4】已知椭圆，过焦点的直线与交于，两点，坐标原点在以为直径的圆上，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知坐标原点在以为直径的圆上，即，然后根据椭圆的性质可表示出相关线段长度，再由余弦定理可得关系，最后联立方程即可求解. 【详解】由于坐标原点在以为直径的圆上，所以， 故可设为上顶点，为右焦点，为左焦点. 则，而， 故，，， 由余弦定理，得 ，得， 结合，，解得，，符合题意， 所以的方程为. 故选：A 【变式1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）经过点，的椭圆的标准方程为_____． 【答案】 【分析】根据椭圆经过的两个点的坐标，确定椭圆焦点位置，进而求出、的值，最后写出椭圆的标准方程. 【详解】已知椭圆经过，两点. 点在轴上，点在轴上，且，所以椭圆的焦点在轴上. 对于焦点在轴上的椭圆，其标准方程为（）， 因为椭圆过点，所以； 椭圆过点，所以. 将，代入椭圆标准方程中，可得，即. 故答案为：. 【变式2】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【答案】 【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于的方程，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设，则，。 因为，所以。 根据椭圆的定义可得，得​， 因此，。 在中，； 在​中，​，​，， 由，得， 对​用余弦定理： ， 对​用余弦定理：， 所以化简得：， 又椭圆中， 所以，即。 因此椭圆的方程为 【变式3】（2025·北京丰台·二模）已知椭圆的左顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知及椭圆中的关系，解出，即可得到椭圆的方程； （2）由题意，直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可由表示出线段的中点坐标，进而写出线段垂直平分线的方程，得到点和点坐标，表示出的面积，再由表示出的面积，再由面积之比为得到方程，即可求得的值． 【详解】（1）由题意， 解得． 所以椭圆的方程为． （2）    由题意，直线的方程为， 由，得． 由题意，． 设，则， 解得， 所以线段的中点为． 线段垂直平分线的方程为：， 令得，所以． 令得，所以． 所以． 因为过点与直线平行的直线的方程为，故， 所以． 因为， 所以，整理得． 若，则，解得，故； 若，则，解得，故． 综上，或． 【题型五】根据椭圆过的点求标准方程 【例5】已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点，易得，代入椭圆方程可得，又，两式相结合即可求解 【详解】 不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点， 则为的中点，为中点，所以，所以，则 即，所以，， 将点坐标代入椭圆方程得，即， 又，所以，， 所以椭圆的标准方程是. 故选：B 【变式1】已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出椭圆方程，再建立方程组，利用待定系数法求解即得. 【详解】依题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆为，， 则，即，解得，又， 因此，解得，所以椭圆的标准方程为. 故选：B 【变式2】已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【分析】讨论焦点在轴和在轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立方程组，求出，即可得到结果. 【详解】当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 又因，在椭圆上，所以，解得，， 此时，，故舍弃. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 又因，在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式3】已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答. 【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A，过N作轴于B，令，    因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而， 于是，由知，，显然， 因此，于是，又， 则，解得，而，则， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 【题型六】椭圆的焦点、焦距 【例6】（2025·河南·一模）椭圆的焦距为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据可求椭圆的焦距. 【详解】由题意得，，故， ∴椭圆的焦距为2. 故选：B. 【变式1】（2026·湖北·二模）已知、为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出焦点坐标，根据矩形的几何性质求出矩形外接圆的半径，利用圆的面积公式可求得结果. 【详解】在椭圆中，，，则， 故、， 由四边形为矩形，知， 故该矩形的外接圆半径，故矩形的外接圆面积为． 故选：B． 【变式2】椭圆的焦距为______. 【答案】 【分析】根据题意，将方程化为标准式，然后得到从而得到，即可得到结果. 【详解】因为椭圆，即， 所以，即， 所以焦距为. 故答案为： 【变式3】（2025·云南·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，位于第一象限的点在上，且，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设，根据列方程组求解. 【详解】设椭圆的焦距为，由，得， 因为点在第一象限，故可设， 因为，所以， 又点在上得，两式联立解得，， 故点的坐标为. 故答案为： 【题型七】椭圆的顶点、长短轴 【例7】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的两个焦点分别为，，设为， 设椭圆方程为， 在椭圆上， 故， 故，则该椭圆的上顶点为，即. 【变式1】（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【分析】首先根据，以及余弦定理，确定，再根据椭圆方程，即可求解. 【详解】由及余弦定理，得， 整理得， 即，故该椭圆的长轴长为. 故选：A 【变式2】（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【答案】B 【详解】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则， 故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 【变式3】（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，圆经过原点且与相交于两点，若恰好为圆的一条切线，则的长轴长为_____． 【答案】 【分析】由圆心和圆经过原点得圆的半径，由切线的性质，通过勾股定理求得，由椭圆定义求得长轴长. 【详解】由题意可知，圆的半径为，    因为直线与圆相切，由圆的几何性质可得，且， 由勾股定理可得， 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得． 故答案为：. 【题型八】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【例8】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 【变式1】（2025·云南昆明·一模）（多选）已知为坐标原点，设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，点在上，且，当的离心率变化时，下列三角形可能为等腰三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】假设三角形为等腰三角形，在此基础上能够求出椭圆的离心率即满足题意. 【详解】椭圆方程为，设左焦点为，左顶点为，上顶点为， 点在椭圆上且满足，即点的坐标为，    对于A，顶点坐标为，，三边长度：，， 当时，即离心率，此时，解得， 此时，故为等腰三角形，故A正确； 对于B，顶点坐标为，， 三边长度：， 当时，即，解得，即离心率时成立，故为等腰三角形，故B正确； 对于，顶点坐标为， 三边长度：,， 当时，即，解得，即离心率时成立，故为等腰三角形，故C正确； 对于D，顶点坐标为，， 三边长度：，， 因为，若为等腰三角形，只能，即，即，又， 所以，因为，故该等式无解，故D错误； 故选：ABC. 【变式2】（2026·河南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】由，结合，求出的范围，即可求解. 【详解】由椭圆的性质知，所以， 所以，因为， 所以， 即， 整理得，解得， 所以，因为，且， 所以， 则椭圆离心率的取值范围是. 【变式3】（2026·辽宁辽阳·一模）如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，左顶点为，直线交椭圆于另一点.    (1)若直线的斜率为，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为6，且，求椭圆的方程和的面积. 【答案】(1) (2)椭圆的方程为；. 【分析】（1）根据椭圆的性质结合直线的斜率为，得到，再结合离心率公式即可； （2）通过，求得，再结合求得，即可求出椭圆的方程，最后用三角形面积公式即可求出. 【详解】（1）由题意得，， 又，， . （2）椭圆的焦距为6，，即，故，， 又，， 设，则，，解得，， 把和代入标准方程，得，即，， ，故椭圆的方程为. 又，点的横坐标为， 三角形的高为， 故. 【题型九】根据离心率求椭圆的标准方程 【例9】（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据离心率建立等量关系即可求出. 【详解】解：由题知椭圆焦点在轴上，所以， 因为，所以，即， 解得，所以. 【变式1】（2025·山西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则________． 【答案】2 【分析】把椭圆方程化为标准方程，然后利用椭圆方程中的关系求解即可. 【详解】椭圆，即， 且，故， 即， 因为离心率为，故， 所以，故， 所以. 故答案为：2 【变式2】（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别是是坐标原点，是上一点，且，过作的平分线的垂线，垂足为M，则_______． 【答案】 【分析】延长交于点，由得，.由已知条件求得，结合椭圆的定义可以求得，再根据中位线即可求得. 【详解】延长交于点.易知， 所以，得，. 由题知解得 由椭圆的定义可得， 由，可得． 所以， 由为的中位线，可得． 故答案为：. 【变式3】（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线与C相交于M，N两点，若的面积为2，求直线MN的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率求得，然后利用求得，即可得解． （2）设直线，与椭圆方程联立，韦达定理，利用面积公式求得，进而代入韦达定理求解即可． 【详解】（1）因为C的离心率为，可得，即， 又，所以，即． 所以椭圆C的标准方程为． （2）易知点，， 显然直线MN的斜率不为0，设点，，直线， 联立可得， 则，. 又，得． 所以． 所以．所以 ， 化简得，可得，所以直线MN的方程为． 【解题大招01】椭圆定义转化法 利用椭圆第一定义：，对椭圆上点到两焦点的距离进行等量转化，避开复杂坐标运算，快速求解边长、周长、距离最值问题，是椭圆小题最核心解题技巧。 【例1】已知椭圆，左、右焦点分别为，椭圆上一点满足，求以及的周长。 解：步骤1：提取椭圆基础量 由椭圆方程，得，即 由，得，即 步骤2：利用定义求|PF₂| 根据椭圆定义： 代入，得： 步骤3：求焦点三角形周长 焦点三角形周长公式： 代入数据： 【解题大招02】待定系数法求椭圆方程 已知焦点位置：直接设对应标准方程； 未知焦点位置：设万能方程，无需判断焦点方位，一步求解。 【例2】已知椭圆经过点和，求该椭圆的标准方程。 解：步骤1：设椭圆万能方程 题干未说明焦点位置，设椭圆方程： 步骤2：代入两点坐标列方程组 将分别代入方程： 步骤3：解方程组 解： 步骤4：整理为标准方程 代入原式： 化简得标准方程： 【解题大招03】齐次式法速求椭圆离心率 不单独求解具体数值，依托，构造只含的齐次方程，方程两边同除，转化为关于离心率的一元方程求解，规避复杂计算。 核心公式： 【例3】已知椭圆，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，且，求该椭圆的离心率。 解：步骤1：结合几何条件表示线段长度 由题意，轴，为直角三角形，，焦距。 由直角三角形边角关系：。 步骤2：联立椭圆定义列出等式 根据椭圆第一定义： 代入，得，即。 步骤3：利用勾股定理构造a,c齐次方程 Rt中满足： 代入线段长度： 化简得：，进一步整理：。 步骤4：求解离心率并限定范围 变形得：，即 又椭圆离心率满足，故。 【解题大招04】焦点三角形二级结论秒杀技巧 设椭圆上任意一点，，焦点三角形核心秒杀结论： 焦点三角形面积： 【例4】椭圆，点P为椭圆上动点，且，求的面积。 解：步骤1：提取椭圆基础参数 由椭圆方程得： 步骤2：直接代入焦点三角形面积公式 已知，代入公式： 步骤3：计算最终面积 . 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·湖北·三模）已知椭圆（）的离心率为e，点在C上，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将点坐标代入椭圆方程，根据的关系及离心率公式，整理化简，即可得答案. 【详解】由点在C上，得，则， 所以，则，所以，则. 2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据椭圆的定义，求得的范围. 【详解】由椭圆方程可知，长半轴长，短半轴长，则半焦距， 的取值范围为，即. 故选：C. 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则. 故选：D. 二、多选题 4．（2026·河北保定·二模）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 5．（2026·四川广安·二模）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 【答案】BC 【分析】由题意推得，结合椭圆方程求出，即可逐一判断各选项. 【详解】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. 三、填空题 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______． 【答案】/ 【详解】设的半焦距为，由焦距为4，得，， 所以， 将代入椭圆方程，得，解得， 故，得，离心率. 四、解答题 7．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【详解】（1）由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. （2）设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或. 8．（2026·宁夏·模拟预测）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用椭圆下顶点坐标确定的值，结合左焦点到下顶点的距离等于长半轴求出，进而由的关系求得及离心率. （2）设直线方程并联立椭圆方程求出点坐标，利用对称性得点及直线方程，结合平行线性质求出点坐标，最后根据三角形面积倍数关系转化为横坐标距离关系列方程求解斜率. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为， 因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为， 所以，， 所以椭圆的方程为； 离心率为； （2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为， 设椭圆的右顶点为， 因为经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方）， 所以，故，， 联立方程，得，解得或， 所以，代入得， 所以，， 所以， 所以直线的方程为， 因为的方程为， 所以，得， 因为，， 所以，即 整理得 ，解得， 所以，即直线的斜率为. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·辽宁锦州·二模）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】A 【分析】将椭圆化为标准方程，进而分类讨论椭圆焦点位置，再结合离心率求解． 【详解】原方程整理得 ， 且， 当焦点在轴上，则，，满足，即. 由离心率，得，解得，符合条件. 当焦点在轴上，则，，满足，即. 同理，解得，符合条件. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 二、多选题 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，P为C上不与共线的点，则下列选项正确的是（   ） A．椭圆C的焦距为1 B．的周长为8 C．的最小值为2 D．椭圆C上不存在点P，使得 【答案】BD 【详解】解法1：由椭圆方程可知，则，焦距，故A错误； ，则的周长为，故B正确； 若P为椭圆上任意点，则，即， 当P为椭圆长轴端点时取等号，但P为C上不与共线的点，所以等号不成立，故C错误； 椭圆的焦点三角形中，当点P为椭圆短轴端点时，最大，取，此时， 在中，由余弦定理得，所以椭圆C上不存在点P，使得，故D正确． 对CD，解法2：设，，，，因为P在椭圆C上，所以， 则，故C错误； 若，则点P在以为直径的圆上，联立， 消去得：，无实数解，所以椭圆C上不存在点P，使得，故D正确. 对CD，解法3：设，，则，故C错误； 若，则，即， 展开得：，则，无实数解，所以椭圆C上不存在点P，使得，故D正确． 三、填空题 4．（2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 【答案】/ 【分析】依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】 如图，设,因,故，又, 由余弦定理，， 即, 设椭圆中心为,作圆锥的轴截面,与底面直径交于，与椭圆交于， 连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系. 则,又由得 , 从而则得, 不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得， 则，故 故答案为：. 四、解答题 5．（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 【答案】(1) (2) 由题意，直线的斜率显然存在且不为0， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则，即或， 且，则， 而 ， ，故. 【分析】（1）将点代入椭圆方程可得，结合焦点可得，进而结合的关系求解即可； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而求证即可. 【详解】（1）由点在椭圆C上，得， 而左焦点为，则，即，解得， 则椭圆C的方程为. （2）略 6．（2026·北京顺义·三模）椭圆的长轴长为4，离心率为，下顶点为A． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)通过题目长轴以及离心率求出椭圆方程. (2)通过设出直线来求出各点的具体坐标，后对面积进行计算，求解出具体的斜率. 【详解】（1）长轴为4，即，. 离心率为，即，. 因为且，所以. 椭圆:. （2） 设直线:，，，. 联立直线与椭圆得，解得或， 所以，. 且要求，那么，即或. 易得直线为. 当时，，所以. 因为，且(时取正，时取负)， 所以. 因为(时取正，时取负)， ， 所以. 因为，所以， ，解得， . 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 2．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 二、多选题 3．已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．存在点，使得 C．若，的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、三角形面积公式、等腰三角形等知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】对于A，椭圆对应， 所以的周长为，A正确. 对于B，设，则，， 由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 所以不存在点，使得，B错误. 对于C，若，即，由， 解得，所以为锐角， 所以， 所以，C正确.    对于D，当是上顶点或下顶点时，是等腰三角形.    以为圆心，为半径作圆，与椭圆相交于点， 当为其中一个交点时，是等腰三角形.    同理，以为圆心，为半径作圆，与椭圆相交于点， 当为其中一个交点时，是等腰三角形.    所以使得为等腰三角形的点共有个，D错误. 故选：AC 三、填空题 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球与圆柱侧面及上底面相切，球与圆柱侧面及下底面相切，平面与球、球均相切（球心、在平面两侧）.则平面截圆柱侧面所得椭圆的离心率为________. 【答案】/ 【分析】设为椭圆上不同于的一点，过点作平行于的直线，与圆分别相切于，连接，根据切线关系求出，即可求出离心率. 【详解】如图， 设为椭圆上不同于的一点，为圆柱一母线与两圆的切点， 过点作平行于的直线，与圆分别相切于，连接. 根据切线关系可得， 则， 故所得椭圆的离心率. 四、解答题 5．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有． (1)求的值及椭圆的标准方程； (2)已知线段的中点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆定义及余弦定理列式求解. （2）（ⅰ）按是否垂直于轴分类，设出直线方程并与椭圆方程联立求出点坐标，消去参数即得轨迹方程；（ⅱ）由（ⅰ）求出线段中垂线方程并求出点坐标，进而求出，再求出目标式的函数关系，进而求出函数的值域即可. 【详解】（1）由，，得， 由椭圆定义得，在中，， 由余弦定理得， 即，解得，则， 所以，椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）设线段的中点，当直线不垂直于轴时，设其方程为， 由，得，则，， 则，，整理得， 当直线轴时，满足方程， 所以点的轨迹方程为. （ⅱ）依题意，直线不垂直于坐标轴，由（ⅰ）知点， 直线的方程为，即， 则，， ，， ，因此 ，令，函数在上单调递增，值域为， 则，所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第35讲椭圆的定义、方程与几何性质 （知识清单+10典例精讲+4方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 椭圆基本量关系：；离心率基础计算： 单选题 5分 椭圆第一定义：；焦点三角形边长、余弦定理综合应用 多选题 6分 椭圆标准方程求解；椭圆对称性、顶点、范围等基础几何性质 解答题 12分 利用轨迹条件求解椭圆标准方程；根据系数判断椭圆焦点位置 单选题 5分 离心率取值范围求解；焦点三角形面积公式： 填空题 5分 定义法求椭圆方程；离心率与参数范围综合；椭圆对称性与最值问题 解答题 12分 由顶点、焦距求解a、b、c；焦半径公式实际应用 填空题 5分 【知识点01】椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 【例1】已知动点到定点，的距离之和等于10，求动点的轨迹方程。 【知识点02】椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【例2】已知椭圆方程为，求该椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率。 【题型一】椭圆定义及辨析 【例1】（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2025·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若椭圆的左、右焦点分别为，，则下列b的取值能使以为直径的圆与椭圆C有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）已知分别是椭圆的左右两个焦点，点在上，且在轴左侧，，则的最小值为__________. 【题型二】利用椭圆定义求方程 【例1】（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·陕西宝鸡·二模）已知动点满足等式，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________. 【题型三】椭圆中焦点三角形的周长、面积问题 【例3】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【变式1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【变式3】设为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【题型四】根据a、b、c求椭圆标准方程 【例4】已知椭圆，过焦点的直线与交于，两点，坐标原点在以为直径的圆上，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）经过点，的椭圆的标准方程为_____． 【变式2】（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【变式3】（2025·北京丰台·二模）已知椭圆的左顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值． 【题型五】根据椭圆过的点求标准方程 【例5】已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为___________. 【变式3】已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为______． 【题型六】椭圆的焦点、焦距 【例6】（2025·河南·一模）椭圆的焦距为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式1】（2026·湖北·二模）已知、为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】椭圆的焦距为______. 【变式3】（2025·云南·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，位于第一象限的点在上，且，则点的坐标为_____. 【题型七】椭圆的顶点、长短轴 【例7】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 【变式2】（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【变式3】（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，圆经过原点且与相交于两点，若恰好为圆的一条切线，则的长轴长为_____． 【题型八】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【例8】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·云南昆明·一模）（多选）已知为坐标原点，设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，点在上，且，当的离心率变化时，下列三角形可能为等腰三角形的是（） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是______. 【变式3】（2026·辽宁辽阳·一模）如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，左顶点为，直线交椭圆于另一点.    (1)若直线的斜率为，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为6，且，求椭圆的方程和的面积. 【题型九】根据离心率求椭圆的标准方程 【例9】（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式1】（2025·山西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则________． 【变式2】（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别是是坐标原点，是上一点，且，过作的平分线的垂线，垂足为M，则_______． 【变式3】（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线与C相交于M，N两点，若的面积为2，求直线MN的方程． 【解题大招01】椭圆定义转化法 利用椭圆第一定义：，对椭圆上点到两焦点的距离进行等量转化，避开复杂坐标运算，快速求解边长、周长、距离最值问题，是椭圆小题最核心解题技巧。 【例1】已知椭圆，左、右焦点分别为，椭圆上一点满足，求以及的周长。 【解题大招02】待定系数法求椭圆方程 已知焦点位置：直接设对应标准方程； 未知焦点位置：设万能方程，无需判断焦点方位，一步求解。 【例2】已知椭圆经过点和，求该椭圆的标准方程。 【解题大招03】齐次式法速求椭圆离心率 不单独求解具体数值，依托，构造只含的齐次方程，方程两边同除，转化为关于离心率的一元方程求解，规避复杂计算。 核心公式： 【例3】已知椭圆，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，且，求该椭圆的离心率。 【解题大招04】焦点三角形二级结论秒杀技巧 设椭圆上任意一点，，焦点三角形核心秒杀结论： 焦点三角形面积： 【例4】椭圆，点P为椭圆上动点，且，求的面积。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·湖北·三模）已知椭圆（）的离心率为e，点在C上，则（ ） A．1 B． C． D．2 2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 二、多选题 4．（2026·河北保定·二模）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川广安·二模）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 三、填空题 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______． 四、解答题 7．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 8．（2026·宁夏·模拟预测）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·辽宁锦州·二模）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，P为C上不与共线的点，则下列选项正确的是（   ） A．椭圆C的焦距为1 B．的周长为8 C．的最小值为2 D．椭圆C上不存在点P，使得 三、填空题 4．（2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______． 四、解答题 5．（2026·北京西城·二模）已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：. 6．（2026·北京顺义·三模）椭圆的长轴长为4，离心率为，下顶点为A． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．存在点，使得 C．若，的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 三、填空题 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球与圆柱侧面及上底面相切，球与圆柱侧面及下底面相切，平面与球、球均相切（球心、在平面两侧）.则平面截圆柱侧面所得椭圆的离心率为________. 四、解答题 5．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆的焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，当时有． (1)求的值及椭圆的标准方程； (2)已知线段的中点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）若线段的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，为坐标原点，记的面积为的面积为，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $