第43讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第43讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 第43讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练配方求圆心与半径，会用待定系数法与几何法求圆的方程，并能自觉检验方程确为圆； 2．掌握用圆心到直线的距离 与半径 判定直线与圆的位置关系，会处理含参直线与圆的相切、相交； 3．牢记弦长公式 与切线求法，能完整求出过圆外一点的两条切线； 4．会用圆心距与两半径的和、差判断两圆的位置关系，会求相交两圆的公共弦方程与弦长。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 圆的方程与配方 选择题、填空题 第3~5题／第12题 中档 先配方读圆心与半径，或用待定系数法 直线与圆位置关系 选择题、填空题 第6~7题／第13题 中档 算圆心到直线距离 ，与半径 比较 弦长与切线 选择题、填空题、解答题 第6~7题／第15~17题 中偏难 弦长用 ，切线令 并补验竖直 圆与圆的位置关系 选择题 第6题／第9~10题 中档 比较圆心距与 、 最值问题 填空题、解答题 第12~13题／第17~18题 中偏难 圆上点到定点（线）最值等于圆心距加减半径，或设 化直线 命题规律分析 直线与圆、圆与圆的位置关系是解析几何的基本盘，新高考中常以选择题第3~7题、填空题第12~13题以及解答题第15~18题的形式出现：由方程读圆心半径是第3~5题的必拿分，含参直线与圆的相切、相交常压在第6~7题，弦长与切线是解答题第15~17题的高频素材，而圆与圆的位置关系、公共弦问题多见于第9~10题与第17~18题。本讲在基础之上抬一档：一要练熟配方读圆心、用距离法三步走判定；二要把弦长公式与切线求法形成肌肉记忆，并自觉补验斜率不存在的情形；三要掌握两圆相减得公共弦、圆心距比和差的套路。抓住这三条，本专题的分数可以稳定拿下。 考点1 圆的方程 知识点1 标准方程与一般方程的互化 圆的标准方程 直接给出圆心 与半径 。 一般方程 表示圆的充要条件是 ；配方后圆心为 ，半径 。 【易错清单】 1．配方时常数项要随项移项，半径平方是右边整体，别把 当 写出； 2．由一般方程读圆心，横纵坐标都是相反数 、，符号极易写错； 3．一般方程表示圆必须满足 ，取等号时仅表示一个点而非圆。 知识点2 求圆的方程的两种思路 几何法：圆心在弦的垂直平分线上，半径等于圆心到圆上一点距离；与坐标轴相切时半径等于圆心坐标绝对值。 待定系数法：设标准方程或一般方程，代入已知条件列方程组；过不共线三点通常设一般方程最省事。 【易错清单】 1．圆心在某直线上的条件，优先与垂直平分线联立求交点，别盲目设三个未知数硬算； 2．与两坐标轴都相切的圆满足 ，注意圆心所在象限带来的符号组合。 考点2 直线与圆的位置关系 知识点3 位置关系与距离法 设圆心到直线距离为 、半径为 ： 相离， 相切， 相交。判定只算距离，比解方程组快。 含参直线与圆相切、相交，统一转化为 或 关于参数的方程或不等式；直线过定点时，先看定点与圆的位置关系即可替你下结论。 【易错清单】 1．用距离公式前必须把直线化为一般式，分子绝对值不能丢，否则会漏解； 2．设斜率式直线前先判断斜率是否存在，竖直直线（如 ）要单独检验是否为切线。 知识点4 弦长与切线 弦长公式 ；弦的中点与圆心连线垂直于弦，弦心距即圆心到弦中点距离。 圆的切线：过圆上一点用公式 （圆心在原点时）；过圆外一点有两条，令圆心到直线距离等于半径求斜率，并补验竖直切线。 【易错清单】 1．弦长公式漏掉系数 ，写成 得到的是半弦长； 2．过圆外一点求切线只求出一条就收笔，漏掉斜率不存在的那条； 3．点在圆上得 条切线，点在圆外 条，点在圆内 条，先判位置再动手。 考点3 圆与圆的位置关系 知识点5 两圆位置与公共弦 设圆心距 、半径 （）： 外离， 外切， 相交， 内切。 两圆相交时，方程相减得公共弦（根轴）所在直线；弦长用圆心到该直线的距离配合弦长公式求。 【易错清单】 1．两圆方程相减前要把 、 的系数都化为 ，否则减出的不是公共弦； 2．公切线条数随位置关系变化：外离 、外切 、相交 、内切 、内含 ，不要记混。 【题型1 求圆的方程（待定系数与几何法）】 【例1】已知圆 经过点 、，且圆心在直线 上，求圆 的标准方程。 【变式1-1】已知圆经过 、、 三点，则该圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知圆 ，则圆 的圆心坐标为 ____________，半径为 ____________。 【变式1-3】圆 的圆心在直线 上，且与 轴相切于点 ，则圆 的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 直线与圆的位置关系（含参、定点）】 【例2】直线 （ 为实数）与圆 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．相交或相切 【变式2-1】已知直线 （ 为实数）与圆 ，则 与 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定 【变式2-2】对任意实数 ，直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．随 变化 【变式2-3】若直线 与圆 相切，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 弦长问题】 【例3】直线 被圆 截得的弦长为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知圆 ，弦 的中点为 ，则弦长 ____________。 【变式3-2】直线 被圆 截得的弦长为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】若直线 被圆 截得的弦长为 ，则实数 ____________。 【题型4 圆的切线问题】 【例4】已知圆 ，点 。 (1) 过点 作圆 的切线，求切线方程； (2) 求切线长。 【变式4-1】圆 上一点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】过点 作圆 的切线，可作的切线条数为 ____________。 【变式4-3】若直线 与圆 相切，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 圆与圆的位置关系及公共弦】 【例5】已知圆 与圆 。 (1) 判断两圆的位置关系； (2) 求两圆的公共弦所在直线方程及公共弦的长。 【变式5-1】圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离　B．外切　C．相交　D．内切 【变式5-2】若圆 与圆 外切，则实数 ____________。 【变式5-3】圆 与圆 的公共弦所在直线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 圆上点的最值问题】 【例6】已知点 在圆 上，定点 、。 求 的最小值。 【变式6-1】圆 上一点 到坐标原点 的距离的最小值为 ____________。 【变式6-2】圆 上一点 到直线 的距离的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】若圆 上一点 ，则 的最大值为 ____________。 一、单选题 1．（★★）圆 的圆心坐标和半径分别为（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 2．（★★）圆 的半径为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交但不过圆心　D．相交且过圆心 4．（★★）圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离　B．外切　C．相交　D．内切 6．（★★★）过圆 上一点 的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知圆 与直线 （ 为实数）。若圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知点 、，动点 满足 ，则 的面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于圆 ，下列说法正确的是（　　） A．圆心坐标为 　B．圆的半径为 　C．圆 经过原点　D．圆 与 轴相切 10．（★★）已知直线 与圆 ，下列说法正确的有（　　） A．直线 与圆 相切　B．直线 与圆 的公共点个数为 　C．圆心到直线 的距离为 　D．直线 与圆 相交 11．（★★★）已知圆 与圆 ，则（　　） A． 的圆心为 　B． 的半径为 　C．两圆相交　D．两圆内切 12．（★★★）已知圆 与直线 （ 为实数），则（　　） A．圆 的半径为 　B．对任意实数 ，直线 与圆 都有两个公共点　C．若直线 与圆 相切，则 　D．直线 被圆 截得的弦长的最大值为 三、填空题 13．（★★）圆 的半径为 ____________。 14．（★★）直线 被圆 截得的弦长为 ____________。 15．（★★★）圆 与圆 的公切线条数为 ____________。 16．（★★★）过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，若 ，则直线 的斜率为 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知圆 经过点 、，且圆心在直线 上。 (1) 求圆 的标准方程； (2) 判断点 与圆 的位置关系。 18．（★★）已知圆 ，直线 。 (1) 求圆心到直线 的距离； (2) 求直线 被圆 截得的弦长。 19．（★★）已知圆 与圆 。 (1) 分别求两圆的圆心与半径； (2) 判断两圆的位置关系。 20．（★★★）已知圆 ，点 。 (1) 过点 作圆 的切线，求切线方程； (2) 求切线长。 21．（★★★）已知圆 ，过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程。 22．（★★★）已知圆 与圆 。 (1) 判断两圆的位置关系； (2) 求两圆的公共弦所在直线方程及公共弦的长。 23．（★★★）已知圆 ，过点 的直线 与圆 相交于 、 两点。 (1) 当直线 的斜率不存在时，求弦长 ； (2) 求弦长 的取值范围； (3) 当 时，求直线 的方程。 24．（★★★）已知圆 与圆 （ 为实数）。 (1) 若两圆相切，求实数 的值； (2) 若两圆相交，且公共弦的长为 ，求实数 的值； (3) 当两圆相交时，求公共弦长的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第43讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 第43讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练配方求圆心与半径，会用待定系数法与几何法求圆的方程，并能自觉检验方程确为圆； 2．掌握用圆心到直线的距离 与半径 判定直线与圆的位置关系，会处理含参直线与圆的相切、相交； 3．牢记弦长公式 与切线求法，能完整求出过圆外一点的两条切线； 4．会用圆心距与两半径的和、差判断两圆的位置关系，会求相交两圆的公共弦方程与弦长。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 圆的方程与配方 选择题、填空题 第3~5题／第12题 中档 先配方读圆心与半径，或用待定系数法 直线与圆位置关系 选择题、填空题 第6~7题／第13题 中档 算圆心到直线距离 ，与半径 比较 弦长与切线 选择题、填空题、解答题 第6~7题／第15~17题 中偏难 弦长用 ，切线令 并补验竖直 圆与圆的位置关系 选择题 第6题／第9~10题 中档 比较圆心距与 、 最值问题 填空题、解答题 第12~13题／第17~18题 中偏难 圆上点到定点（线）最值等于圆心距加减半径，或设 化直线 命题规律分析 直线与圆、圆与圆的位置关系是解析几何的基本盘，新高考中常以选择题第3~7题、填空题第12~13题以及解答题第15~18题的形式出现：由方程读圆心半径是第3~5题的必拿分，含参直线与圆的相切、相交常压在第6~7题，弦长与切线是解答题第15~17题的高频素材，而圆与圆的位置关系、公共弦问题多见于第9~10题与第17~18题。本讲在基础之上抬一档：一要练熟配方读圆心、用距离法三步走判定；二要把弦长公式与切线求法形成肌肉记忆，并自觉补验斜率不存在的情形；三要掌握两圆相减得公共弦、圆心距比和差的套路。抓住这三条，本专题的分数可以稳定拿下。 考点1 圆的方程 知识点1 标准方程与一般方程的互化 圆的标准方程 直接给出圆心 与半径 。 一般方程 表示圆的充要条件是 ；配方后圆心为 ，半径 。 【易错清单】 1．配方时常数项要随项移项，半径平方是右边整体，别把 当 写出； 2．由一般方程读圆心，横纵坐标都是相反数 、，符号极易写错； 3．一般方程表示圆必须满足 ，取等号时仅表示一个点而非圆。 知识点2 求圆的方程的两种思路 几何法：圆心在弦的垂直平分线上，半径等于圆心到圆上一点距离；与坐标轴相切时半径等于圆心坐标绝对值。 待定系数法：设标准方程或一般方程，代入已知条件列方程组；过不共线三点通常设一般方程最省事。 【易错清单】 1．圆心在某直线上的条件，优先与垂直平分线联立求交点，别盲目设三个未知数硬算； 2．与两坐标轴都相切的圆满足 ，注意圆心所在象限带来的符号组合。 考点2 直线与圆的位置关系 知识点3 位置关系与距离法 设圆心到直线距离为 、半径为 ： 相离， 相切， 相交。判定只算距离，比解方程组快。 含参直线与圆相切、相交，统一转化为 或 关于参数的方程或不等式；直线过定点时，先看定点与圆的位置关系即可替你下结论。 【易错清单】 1．用距离公式前必须把直线化为一般式，分子绝对值不能丢，否则会漏解； 2．设斜率式直线前先判断斜率是否存在，竖直直线（如 ）要单独检验是否为切线。 知识点4 弦长与切线 弦长公式 ；弦的中点与圆心连线垂直于弦，弦心距即圆心到弦中点距离。 圆的切线：过圆上一点用公式 （圆心在原点时）；过圆外一点有两条，令圆心到直线距离等于半径求斜率，并补验竖直切线。 【易错清单】 1．弦长公式漏掉系数 ，写成 得到的是半弦长； 2．过圆外一点求切线只求出一条就收笔，漏掉斜率不存在的那条； 3．点在圆上得 条切线，点在圆外 条，点在圆内 条，先判位置再动手。 考点3 圆与圆的位置关系 知识点5 两圆位置与公共弦 设圆心距 、半径 （）： 外离， 外切， 相交， 内切。 两圆相交时，方程相减得公共弦（根轴）所在直线；弦长用圆心到该直线的距离配合弦长公式求。 【易错清单】 1．两圆方程相减前要把 、 的系数都化为 ，否则减出的不是公共弦； 2．公切线条数随位置关系变化：外离 、外切 、相交 、内切 、内含 ，不要记混。 【题型1 求圆的方程（待定系数与几何法）】 【例1】已知圆 经过点 、，且圆心在直线 上，求圆 的标准方程。 【答案】。 【解题思路】先求 的垂直平分线，再与已知定直线联立定圆心，最后用两点间距离定半径。 【解答过程】由 、 得 的中点为 ，。 故 的垂直平分线斜率为 ，方程为 ，即 。 圆心既在 上，又在 （即 ）上，联立得 ，解得 ，，故圆心为 。 半径 ，所以圆 的标准方程为 。 【多解·巧解】也可设圆的一般方程 ，代入 、 及圆心 在直线 上的条件，联立解出 、、。几何法（垂直平分线）通常比待定系数法少三个未知数，优先选用。 【易错提醒】求垂直平分线时容易把中点算错或把斜率的负倒数算错：本题 ，垂直斜率应为 ，写成 或 都会把圆心算偏。 【变式1-1】已知圆经过 、、 三点，则该圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】，故 为直径，圆心是 中点，半径为 的一半。 【解答过程】因为 在 轴上、 在 轴上，所以 ，由圆周角定理知 为直径。 圆心为 的中点 ，半径 。 故圆的标准方程为 。故选A。 【变式1-2】已知圆 ，则圆 的圆心坐标为 ____________，半径为 ____________。 【答案】； 【解题思路】直接配方或套一般方程的圆心、半径公式。 【解答过程】配方得 ，即 。 故圆心为 ，半径 。 【变式1-3】圆 的圆心在直线 上，且与 轴相切于点 ，则圆 的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】与 轴相切于 ，说明圆心横坐标为半径、纵坐标为 ，再代入定直线求圆心。 【解答过程】圆与 轴相切于点 ，故圆心在过 且垂直于 轴的直线 上，设圆心为 （ 为半径）。 又圆心在 上，代入得 ，解得 ，圆心为 。 故圆 的标准方程为 。故选A。 【题型2 直线与圆的位置关系（含参、定点）】 【例2】直线 （ 为实数）与圆 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．相交或相切 【答案】C 【解题思路】把直线按参数 整理，找出其恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关系。 【解答过程】将直线方程整理为 。 令 且 ，解得 ，，故直线 恒过定点 。 因为 ，点 在圆 内部，所以过圆内一点的直线必与圆相交于两点。故选C。 【多解·巧解】含参直线的位置关系，先想是否过定点：把参数项与常数项分离，令各自系数为 求交点，再让该点与圆的位置关系替你下结论，比每次都算距离更省时。本题即便不解 ，也能由定点在圆内直接判定恒相交。 【易错提醒】若不发现定点，直接把距离 和半径比大小，式子随 变化容易误判；其实 的最大值恰为 ，直线永远不会相切或相离。 【变式2-1】已知直线 （ 为实数）与圆 ，则 与 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．无法确定 【答案】C 【解题思路】按 整理求定点，再判断定点与圆的位置关系。 【解答过程】整理得 ，令 且 得定点 。 圆心 到点 的距离为 ，定点在圆内，故直线恒与圆相交。故选C。 【变式2-2】对任意实数 ，直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交　D．随 变化 【答案】B 【解题思路】用圆心到直线的距离公式，注意 。 【解答过程】圆心为 ，半径 。 圆心到直线的距离 ，故直线与圆恒相切。故选B。 【变式2-3】若直线 与圆 相切，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】相切等价于圆心到直线的距离等于半径，列绝对值方程。 【解答过程】圆心为 ，半径 。 由相切得 ，即 。 解得 。故选A。 【题型3 弦长问题】 【例3】直线 被圆 截得的弦长为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求圆心到直线的距离，再用弦长公式反推距离，最后列关于 的方程。 【解答过程】圆心为 ，半径 。设弦心距为 ，由弦长公式 得 ，故 ，。 直线 到圆心 的距离 ，平方得 ，即 ，解得 。故选A。 【多解·巧解】注意原点 满足 ，恰好在圆上，因此直线 恒过圆上一点；弦长由另一交点决定，用弦心距、半弦、半径的直角三角形比死算联立更快。 【易错提醒】弦长公式漏掉系数 ，会把 误当成整条弦长，从而错得 虽数值巧合，但思路上易把目标弦长 当成 而算错。 【变式3-1】已知圆 ，弦 的中点为 ，则弦长 ____________。 【答案】 【解题思路】弦心距就是圆心到弦中点的距离，配合弦长公式。 【解答过程】圆心为 ，半径 。弦心距 。 故 。 【变式3-2】直线 被圆 截得的弦长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求弦心距，再用弦长公式。 【解答过程】圆心为 ，半径 。 弦心距 。 弦长 。故选A。 【变式3-3】若直线 被圆 截得的弦长为 ，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】由弦长反解弦心距，再由点到直线距离列方程。 【解答过程】圆心为 ，半径 。由弦长 得 ，故 ，。 又 ，解得 ，即 。 【题型4 圆的切线问题】 【例4】已知圆 ，点 。 (1) 过点 作圆 的切线，求切线方程； (2) 求切线长。 【答案】(1) 与 ； (2) 切线长为 。 【解题思路】(1) 先判点 在圆外，设斜率式后令圆心到直线距离等于半径，并补验斜率不存在的竖直直线；(2) 切线长用 。 【解答过程】(1) 先验证点 的位置：，点 在圆外，应有两条切线。 若切线斜率存在，设方程为 ，即 。 由圆心 到直线的距离等于半径 得 ， 平方得 ，解得 ，对应切线 。 再检验斜率不存在的直线 ：圆心 到 的距离为 ，也是切线。 故两条切线为 与 。 (2) 切线长 。 【多解·巧解】切线长公式 比求出切点坐标再算距离快得多；另外先验证点在圆外、再补验竖直切线是过圆外一点求切线的标准动作，能避免漏掉 这一条。 【易错提醒】只设斜率式会得到唯一解 就收笔，漏掉 这条竖直切线；凡是用点斜式设直线，都必须回头确认斜率不存在的情形是否也满足题意。 【变式4-1】圆 上一点 处的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】点在圆上，用切线公式 。 【解答过程】先验证 ，点 在圆上。 切线方程为 ，即 ，整理得 。故选A。 【变式4-2】过点 作圆 的切线，可作的切线条数为 ____________。 【答案】 【解题思路】先判断点与圆的位置关系：点在圆上 条，圆外 条，圆内 条。 【解答过程】把点 代入圆方程左边得 ，等于右边，故点 在圆上，过该点可作 条切线。 【变式4-3】若直线 与圆 相切，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把圆配方，再用圆心到直线的距离等于半径列绝对值方程。 【解答过程】圆化为 ，圆心 ，半径 。 由相切得 ，即 。 解得 。故选A。 【题型5 圆与圆的位置关系及公共弦】 【例5】已知圆 与圆 。 (1) 判断两圆的位置关系； (2) 求两圆的公共弦所在直线方程及公共弦的长。 【答案】(1) 相交； (2) 直线 ，弦长为 。 【解题思路】(1) 分别求圆心、半径后算圆心距比较；(2) 两圆方程相减得公共弦，再用圆心到该直线的距离求弦长。 【解答过程】(1) 圆心 、半径 ； 配方得 ，圆心 、半径 。 圆心距 。 因为 ，所以两圆相交。 (2) 两圆方程相减：，得 ，即 ，为公共弦所在直线。 的圆心 满足 ，说明公共弦过 的圆心，故公共弦为 的直径，长为 。 【多解·巧解】两圆相交时，相减得公共弦是通法；若不想算弦长，观察圆心是否落在公共弦上可瞬间判断它是不是直径，本题中 圆心 满足 ，公共弦即直径，弦长直接写 。 【易错提醒】相减前务必把两个圆的 、 系数都化为 ；若某圆方程是 之类，要先除以系数再相减，否则得到的不是公共弦方程。 【变式5-1】圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离　B．外切　C．相交　D．内切 【答案】C 【解题思路】求两圆心与半径，比较圆心距与和、差。 【解答过程】 圆心 、； 圆心 、。圆心距 。 因为 ，所以两圆相交。故选C。 【变式5-2】若圆 与圆 外切，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】外切等价于圆心距等于两半径之和。 【解答过程】 圆心 、； 圆心 、。圆心距 。 由外切得 ，故 。 【变式5-3】圆 与圆 的公共弦所在直线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程相减消去二次项，得公共弦方程。 【解答过程】 改写为 ，与 相减得 ，即 ，。 故公共弦所在直线为 。故选A。 【题型6 圆上点的最值问题】 【例6】已知点 在圆 上，定点 、。 求 的最小值。 【答案】最小值为 。 【解题思路】把平方和用坐标展开，利用 降次，化为求 型的最值。 【解答过程】 。 因为 ，所以原式 。 于是求原式的最小值等价于求 的最大值。 在圆 上，，当 时取等号。 故 的最小值为 。 【多解·巧解】圆上点到定点距离平方和，先展开再用圆方程消去二次项，往往化为 型；而 在圆上的最值可用柯西不等式或设 令直线与圆有公共点一步得到，不必求具体点。 【易错提醒】展开时符号与系数极易出错： 不是 ； 要整体代 ，不是分别代。代完后得到 ，最小值对应 的最大值，别把减号方向弄反。 【变式6-1】圆 上一点 到坐标原点 的距离的最小值为 ____________。 【答案】 【解题思路】圆外一点到圆上点距离的最小值等于圆心到该点距离减半径。 【解答过程】圆心 ，半径 。。 因为原点在圆外，所以 的最小值为 。 【变式6-2】圆 上一点 到直线 的距离的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】圆上点到定直线距离的最大值等于圆心到直线的距离加半径。 【解答过程】圆心 到直线的距离 ，半径 。 所以最大距离为 。故选B。 【变式6-3】若圆 上一点 ，则 的最大值为 ____________。 【答案】 【解题思路】圆上 型最值等于圆心处的值加减 。 【解答过程】设 。圆心 处 ，半径 ，系数模 。 故 的最大值为 。 一、单选题 1．（★★）圆 的圆心坐标和半径分别为（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】A 【解题思路】标准方程 直接读出圆心与半径。 【解答过程】由标准方程知圆心为 ，，所以半径 。故选A。 2．（★★）圆 的半径为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】配方化为标准方程，或套半径公式。 【解答过程】配方得 ，所以半径 。故选B。 3．（★★）直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交但不过圆心　D．相交且过圆心 【答案】D 【解题思路】算圆心到直线的距离，与半径比较并判断是否为 。 【解答过程】圆心 ，直线化为 ，距离 ，且 说明直线过圆心。故选D。 4．（★★）圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】圆心到直线的距离 ，套弦长公式。 【解答过程】圆心 ，半径 ，弦心距 。 弦长 。故选A。 5．（★★）圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离　B．外切　C．相交　D．内切 【答案】B 【解题思路】两圆半径分别为 、，圆心距为 ，与两半径之和比较。 【解答过程】两圆圆心分别为 、，半径 、。圆心距 ，故两圆外切。故选B。 6．（★★★）过圆 上一点 的切线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】点在圆上，套切线公式 。 【解答过程】点 满足 ，在圆上。切线方程为 ，即 。故选A。 7．（★★★）已知圆 与直线 （ 为实数）。若圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】到直线 距离为 的点在与 平行、间距为 的两条平行线上，把问题转化为这两条平行线与圆的交点总数为 ，只能一条相切、一条相交，再对 分类验证。 【解答过程】圆 上到直线 的距离等于 的点，满足 ，即 ，都在两条平行线 与 上。 对直线 ：圆心 到它的距离为 ，故当 时与圆有两个公共点， 时相切有一个公共点， 时无公共点。 要使公共点总数恰为 ，两条平行线必须一条与圆相切、另一条与圆相交。 若 与圆相切，则 ，解得 或 ：当 时，另一条直线为 ，过圆心，相交，符合；当 时，另一条为 ，与圆相离，舍去。 若 与圆相切，则 ，解得 或 ：当 时，另一条为 ，相交，符合；当 时，另一条为 ，相离，舍去。 综上， 或 ，即 。故选A。 8．（★★★）已知点 、，动点 满足 ，则 的面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先由比例条件求出 的轨迹（阿波罗尼斯圆），底边 固定，面积最大转化为圆上的点到 轴距离最大，即等于半径。 【解答过程】设 ，由 得 ， 展开整理得 ，即 ， 故 在以 为圆心、半径 的圆上，且该圆不经过 、，条件中 自动满足。 的底边 ，高为 到 轴的距离 ， 故面积 ， 当 运动到圆上纵坐标为 的点（如 ）时取等号，面积最大值为 。故选C。 二、多选题 9．（★★）关于圆 ，下列说法正确的是（　　） A．圆心坐标为 　B．圆的半径为 　C．圆 经过原点　D．圆 与 轴相切 【答案】ABC 【解题思路】配方求圆心与半径，并检验原点是否在圆上、圆心到 轴距离是否等于半径。 【解答过程】配方得 ，圆心 、半径 ，A、B正确； 代入 得 ，原点在圆上，C正确； 圆心到 轴的距离为 ，圆与 轴相交而非相切，D错误。故选ABC。 10．（★★）已知直线 与圆 ，下列说法正确的有（　　） A．直线 与圆 相切　B．直线 与圆 的公共点个数为 　C．圆心到直线 的距离为 　D．直线 与圆 相交 【答案】ABC 【解题思路】算圆心到直线的距离，与半径比较逐项判断。 【解答过程】圆心 ，半径 。圆心到直线的距离 ，C正确； 因为 ，直线与圆相切，公共点只有 个，A、B正确、D错误。故选ABC。 11．（★★★）已知圆 与圆 ，则（　　） A． 的圆心为 　B． 的半径为 　C．两圆相交　D．两圆内切 【答案】ABC 【解题思路】分别求两圆的圆心与半径，再比较圆心距与和、差。 【解答过程】 圆心 、半径 ，A正确； 配方得 ，圆心 、半径 ，B正确； 圆心距 ，因 ，两圆相交，C正确、D错误。故选ABC。 12．（★★★）已知圆 与直线 （ 为实数），则（　　） A．圆 的半径为 　B．对任意实数 ，直线 与圆 都有两个公共点　C．若直线 与圆 相切，则 　D．直线 被圆 截得的弦长的最大值为 【答案】ACD 【解题思路】配方读圆心半径判 A；圆心到 的距离 与 比较判 B、C；弦长最大即过圆心的直径判 D。 【解答过程】A：配方得 ，半径为 ，正确。 B：圆心 到直线 的距离 。当 时，，此时直线与圆相切，只有一个公共点，故并非对任意 都有两个公共点，错误。 C：相切即 ，平方得 ，整理得 ，即 ，解得 ，正确。 D：当 时，圆心 满足 ，直线过圆心，弦为直径，长 ；而任何弦长不超过直径，故最大值为 ，正确。 故选ACD。 三、填空题 13．（★★）圆 的半径为 ____________。 【答案】 【解题思路】 等于等号右边的常数，开方取正。 【解答过程】由 得 ，故半径 。 14．（★★）直线 被圆 截得的弦长为 ____________。 【答案】 【解题思路】直线过圆心，所截弦为直径。 【解答过程】圆心 满足 ，直线过圆心，故弦长为直径 。 15．（★★★）圆 与圆 的公切线条数为 ____________。 【答案】 【解题思路】先判断两圆位置关系，再对应公切线条数。 【解答过程】两圆圆心 、，半径 、，圆心距 ，两圆外切； 外切的两圆有 条公切线。 16．（★★★）过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，若 ，则直线 的斜率为 ____________。 【答案】 【解题思路】点 在圆内，直线必与圆相交；由弦长反解弦心距 ，设斜率 列距离方程，再补验斜率不存在的竖直直线。 【解答过程】先看点的位置：，点 在圆内，过 的直线必与圆相交于两点。 圆心 ，半径 。由 得 ，故 ，。 设直线 的斜率为 ，则 ，即 。 圆心到 的距离为 ， 平方得 ，即 ，整理得 ，解得 。 再补验斜率不存在的直线 ：圆心 到它的距离为 ，不符合题意。 故直线 的斜率为 。 四、解答题 17．（★★）已知圆 经过点 、，且圆心在直线 上。 (1) 求圆 的标准方程； (2) 判断点 与圆 的位置关系。 【答案】(1) ； (2) 点 在圆外。 【解题思路】(1) 圆心在 的垂直平分线 上，再与 联立；(2) 比较点到圆心距离与半径。 【解答过程】(1) 的中点为 ， 在 轴上，故其垂直平分线为直线 。 圆心又在 上，联立得圆心 。 半径 。 故圆 的标准方程为 。 (2) 。 因为 ，即 ，所以点 在圆外。 【多解·巧解】求圆过两点且圆心在某直线上的题，圆心必在这两点连线的垂直平分线上，把它和已知直线联立最快；别一上来就设三个未知量列一般方程。 【易错提醒】第(2)问比较 与 时，要平方后再比： 与 ，别凭感觉说 。 18．（★★）已知圆 ，直线 。 (1) 求圆心到直线 的距离； (2) 求直线 被圆 截得的弦长。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 套点到直线的距离公式；(2) 用弦长公式 。 【解答过程】(1) 圆心 ，距离 。 (2) 半径 ，弦长 。 【多解·巧解】弦长问题统一走先求弦心距、再套 的几何法；比联立直线与圆、用韦达定理算弦长快得多，也不易出错。 【易错提醒】第(1)问距离公式分子是 ，别漏掉常数项 算成 ；分母 也别写错。 19．（★★）已知圆 与圆 。 (1) 分别求两圆的圆心与半径； (2) 判断两圆的位置关系。 【答案】(1) ，；，； (2) 两圆相交。 【解题思路】先把两个方程都配方成标准方程，再比较圆心距与和、差。 【解答过程】(1) 配方得 ，圆心 、半径 ； 配方得 ，圆心 、半径 。 (2) 圆心距 。 因为 ，所以两圆相交。 【多解·巧解】判断两圆位置关系前，务必把两个方程都配成标准方程再读圆心半径；若其中一条没配方，圆心距或半径读错，结论就全错。 【易错提醒】 配方时 应配成 ，常数项合并后右边是 而不是 ，别算错半径。 20．（★★★）已知圆 ，点 。 (1) 过点 作圆 的切线，求切线方程； (2) 求切线长。 【答案】(1) 与 ； (2) 切线长为 。 【解题思路】(1) 设过 的直线斜率式，令圆心到直线距离等于半径解 ；(2) 切线长用 。 【解答过程】(1) 点 满足 ，在圆外，应有两条切线。 设切线为 ，即 。 圆心 到直线的距离 ，平方得 ，故 ，。 对应切线为 与 ，即 与 。 (2) 切线长 。 【多解·巧解】两条切线斜率互为相反数，因为图形关于 轴对称；切线长公式 比求切点坐标快。本题也可先由切线长 与 用勾股定理反推切线斜率满足的关系，先求长再求线。 【易错提醒】过圆外一点必有两条切线是铁律，求出一条 后若只写一条就漏解；解出 必须开平方得 ，不是单值。 21．（★★★）已知圆 ，过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程。 【答案】 或 。 【解题思路】先由弦长反解弦心距 ，再设过 的直线，令其到原点距离为 。 【解答过程】半径 。由弦长 得 ，故 ，。 设直线 的斜率为 ，则 ，即 。 它到原点距离 ，平方得 ， 即 ，整理得 ，解得 或 。 时直线为 ； 时直线为 ，即 。 检验竖直直线 ：到原点距离为 ，不满足。 故直线 的方程为 或 。 【多解·巧解】已知弦长求直线的套路是：弦长推弦心距 ，再设直线令距离等于 。动笔前先算 ，所需弦心距 ，故过点 确有两条直线满足；若所需 则无解，可提前判断。 【易错提醒】解 时展开为 ，移项后是 ，别漏掉一次项 而得到 只解出 漏掉另一条。 22．（★★★）已知圆 与圆 。 (1) 判断两圆的位置关系； (2) 求两圆的公共弦所在直线方程及公共弦的长。 【答案】(1) 相交； (2) 直线 ，弦长为 。 【解题思路】(1) 求圆心距与和、差比较；(2) 两圆方程相减得公共弦，再算弦长。 【解答过程】(1) 圆心 、； 圆心 、。圆心距 。 因为 ，所以两圆相交。 (2) 两圆方程相减：，展开得 ，即 ，为公共弦所在直线。 圆心 到直线 的距离为 ，弦长 。 【多解·巧解】两圆等半径时，公共弦必垂直于两圆心的连线（本题即 轴），因此公共弦是连心线的垂直平分线 ，可心算；相减只是把这件事代数化。 【易错提醒】相减时右边都是 ，相减得 ，容易把左边也算成 而漏掉 这一项；另外公共弦弦长别直接拿 当答案，要先确认圆心是否落在公共弦上（本题恰好落上才是特例）。 23．（★★★）已知圆 ，过点 的直线 与圆 相交于 、 两点。 (1) 当直线 的斜率不存在时，求弦长 ； (2) 求弦长 的取值范围； (3) 当 时，求直线 的方程。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 竖直弦用弦心距套弦长公式；(2) 弦长由弦心距决定，过圆内定点 的弦心距满足 ；(3) 弦长 恰为最短弦，此时 直接定斜率，再补验竖直情形。 【解答过程】(1) 斜率不存在时 ，圆心 到它的距离 ，故 。 (2) ，点 在圆内，过 的直线恒与圆相交。设弦心距为 ，则 ：当 过圆心时 ，当 时 取最大。 随 增大而减小，故 ，即 ，两端均可取到。 (3) 由 得 ，，即 。由 得 ，直线为 ，即 。 检验：圆心到 的距离为 ，弦长 ，符合。 另验斜率不存在的直线 ：其弦心距为 ，不符合题意。 故直线 的方程为 。 【多解·巧解】第(3)问不必解方程：由(2)知 恰是最短弦长，而过圆内定点的最短弦必垂直于定点与圆心的连线，由 立得 ；同理最长弦是过圆心的直径，斜率为 。 【易错提醒】第(2)问最短弦对应弦心距最大 ，别把方向弄反，也别漏掉两端点；第(3)问解出斜率后必须补验斜率不存在的直线 （弦心距为 ，不合题意），漏验会误以为还有第二解。 24．（★★★）已知圆 与圆 （ 为实数）。 (1) 若两圆相切，求实数 的值； (2) 若两圆相交，且公共弦的长为 ，求实数 的值； (3) 当两圆相交时，求公共弦长的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先把 配方读出圆心半径，位置关系用圆心距 与 、 比较；公共弦由两方程相减得 ，弦长用圆 的弦心距表示；范围问题紧扣相交条件 讨论端点。 【解答过程】 配方得 ，圆心 、半径 ； 圆心 、半径 ，圆心距为 。 (1) 外切时 ，得 ；若按内切 得 ，但此时两圆重合，有无数个公共点，不属于相切，舍去。故 。 (2) 两圆方程相减：，得 。由相交知 ，故公共弦所在直线为 。 圆心 到它的距离为 ，公共弦长为 。 令 ，得 ，解得 ，均满足 ，两圆确实相交，符合。故 。 (3) 两圆相交等价于 ，即 。 公共弦长 随 增大而减小：当 时弦长趋于 ，但 时两圆重合，不属于相交；当 时弦长趋于 ，但 时两圆外切，公共弦退化为一个点。两端均取不到。 故公共弦长的取值范围为 。 【多解·巧解】等半径的两圆，公共弦必垂直平分两圆心的连线，本题连心线在 轴上，故公共弦就是 ，可心算得出；判断相切时先看圆心距是否为 ——圆心距为 且半径相等时两圆重合，不属于内切。 【易错提醒】第(1)问易把 误当内切解写进答案，重合的两圆有无数公共点，必须舍去；第(3)问两个端点都取不到： 对应两圆重合、 对应外切，均不属于相交，范围要写成开区间 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $