精品解析：河南省实验中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

河南省实验中学 2026-2027 学年上期高一年级第一次月考 科目：数学　　命题人：李笑萌　　审题人：高放 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，，则 =（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以． 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定直接写出结果即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故选：B. 3. 若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可得结论. 【详解】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，所以，故B错误； 因为，所以，所以，所以，即，故C错误； 因为，所以，所以， 又因为，即，所以， 所以，即，故D正确. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数特点逐步代入即可. 【详解】. 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 6. 若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定 ， 的数量关系与符号，再解分式不等式． 【详解】因为 的解集为 ，所以，且 ，即 ． 因此不等式 可化简为 ， 因为，所以， 故，解得 或 ． 7. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 命题“，”的否定是真命题 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】是自然数可判断A；写出命题的否定，利用赋值法可判断B；解得的解可判断C；利用作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A，是自然数，所以，故A正确； 对于B，命题“，”的否定是“，”， 又时，，所以“，”是真命题，故B正确； 对于C，当时，， 所以“”是“”的充分条件， 由，得，解得或， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 设，若关于的不等式的解集为，则（　　） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的不等式的解集为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知以及根与系数的关系可得，和的关系以及，即可判断A；然后把，分别代入B，C，D所求的表达式，结合一元一次不等式、一元二次不等式、基本不等式即可得所求，从而判断B，C，D． 【详解】因为不等式的解集为， 则，解得，，且，故A正确； 关于的不等式转化为，即不等式为，则其解集为，故B不正确； 关于的不等式转化为，即不等式为，则其解集为，故C正确； ， 当且仅当，即时，的最大值为，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的有（　　） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】条件是“定和”，将各项配凑成“和”为常数的形式，利用基本不等式求最值即可． 【详解】对于A，，当时取等号， 故的最大值为，A正确； 对于B，， 故，当时取等号， 故最大值为，B错误； 对于C，， 当（此时）时取等号，故的最小值为，C正确； 对于D，，由得（）， 故， 令，则，， 因为， 所以，当（即，）时取等号， 因此的最小值为6，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 13. 不等式 的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解． 【详解】因为 则，解得， 所以不等式 的解集为. 14. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，， （1）求，； （2）求，. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、并集运算可直接得出结果； （2）由补集定义以及混合运算法则即可求出结果. 【小问1详解】 集合，， 利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图： 则， . 【小问2详解】 依题意可得， ， 所以， . 16. 求下列函数的解析式： （1）已知 ，求函数 的解析式． （2）已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． （3）已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 【答案】（1）（）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用换元法，令并确定的范围，代入原式化简即可求得解析式； （2）利用解方程组法，将替换为构造新方程，与原方程联立消去即得解析式； （3）运用待定系数法，设出二次函数一般式代入已知条件，利用对应项系数相等列方程组求解. 【小问1详解】 令 ，则 ，，． ， （）． 【小问2详解】 　…① 把换成得　…② ①+②得，即， ． 【小问3详解】 设（）， 则， ， 由比较系数得 ，解得，，， ． 17. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）假设为真命题，求得，即可得答案； （2）由为真命题，可得，由题意可得或，求解即可. 【小问1详解】 假设为真命题，即，使得不等式成立， 则对于即可． 又因为， 由于，则． 又因为为假命题， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若为真命题， 即，不等式成立， 则对于即可． 由于， 所以，解得， 又因为、有且只有一个是真命题， 则或， 或， 即， 所以实数的取值范围. 18. 已知函数 ． （1）若 ，，求不等式 的解集； （2）若 ，求不等式 的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当时，解集为 ；当时，解集为 ；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数求解不等式； （2）对 的取值进行分类讨论求解不等式； （3）分离参数，转化为求 的最小值． 【小问1详解】 当 ， 时，， 由即 得 ， 所以不等式的解集为 ． 【小问2详解】 当 时，， ①当 时，不等式为 ，解集为 ； ②当 时，不等式为 ， 若，则 ，解集为； 若，则解集为 ； 若，则 ，解集为 ； ③当 时，不等式化简为，且，解集为 ． 综上所述，当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为 ； 当时，解集为 ； 当时，解集为. 【小问3详解】 在（1）的条件下 ，， 则， 因为，所以，当且仅当 时等号成立， 故，因此，的最小值为，当且仅当时取最小值， 要使不等式恒成立，只需 ，因此实数的取值范围为. 19. 教材中的基本不等式可以推广到 阶： 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，也即：若 ，，，，则有 ，，，当且仅当 时取等号．利用此结论解决下列问题： （1）若 ，，，求 的最小值； （2）若 ，求 的最大值，并求取得最大值时 的值； （3）对任意 ，判断 与 的大小关系并加以证明． 【答案】（1）最小值为 ； （2）最大值为 ，此时 ； （3），证明如下： 取 个正数：，，，（共 个）及 ， 由基本不等式得， ，， 即， 两边同时取 次方得． ， 等号不能成立， ． 【解析】 【分析】（1）直接对三项使用三元均值不等式，各项相乘后变量抵消得到常数；进而求出最小值为，并验证取等条件是否满足即可； （2）利用“拆项凑常数和”的技巧，将拆分为，使得这三项的和为定值；再利用三元均值不等式求最大值，并由等号成立条件解得的值； （3）巧妙构造个正数（个与个），利用均值不等式得到两式的大小关系；因各项不全相等，取不到等号，两边同时取次方即可证得严格的不等式. 【小问1详解】 ，，， ， 当且仅当 时取等号， 最小值为． 【小问2详解】 ，，， ， 当且仅当，即 时取等号， 最大值为，此时． 【小问3详解】 ． 证明：略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学 2026-2027 学年上期高一年级第一次月考 科目：数学　　命题人：李笑萌　　审题人：高放 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，，则 =（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A. 或 B. C. 或 D. 7. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 命题“，”的否定是真命题 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若且，则 10. 设，若关于的不等式的解集为，则（　　） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的不等式的解集为 D. 的最大值为 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的有（　　） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为______. 13. 不等式 的解集为_______. 14. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，， （1）求，； （2）求，. 16. 求下列函数的解析式： （1）已知 ，求函数 的解析式． （2）已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． （3）已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 17. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 已知函数 ． （1）若 ，，求不等式 的解集； （2）若 ，求不等式 的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 19. 教材中的基本不等式可以推广到 阶： 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，也即：若 ，，，，则有 ，，，当且仅当 时取等号．利用此结论解决下列问题： （1）若 ，，，求 的最小值； （2）若 ，求 的最大值，并求取得最大值时 的值； （3）对任意 ，判断 与 的大小关系并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $