精品解析：河南省商丘市高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷

高一数学试卷 出题人：姜务臣　　审题人：吴倩倩 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由可得或，不一定是； 当时，必有成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：D 3. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由的图象可得， 故. 4. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质推导可判断AB；取特值验证可判断CD. 【详解】因为，所以，A错误； 因为，且，所以，B正确； 当时，，C错误； 取，则，故D错误. 故选：B 5. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围. 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 6. 若关于的不等式的解为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式的解为,可得：的两个根为，由韦达定理可得答案. 【详解】解：由不等式的解为, 可得：的两个根为， 由韦达定理可得：，故， 故选：B. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，及根与系数的关系，属于基础题. 7. 已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 最大值是 【答案】C 【解析】 【详解】，，，． A：，，，错误； B：，无法保证为正，错误； C：，（，取不到 ）， ，正确； D：，但 取不到等号， 没有最大值 ，错误． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】结合函数的性质依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 集合的真子集有16个 B. 若集合，，则 C. 方程有两个不相等的负根的充要条件是 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出真子集个数判断A；确定集合关系判断B；由一元二次方程根的分布求出范围判断C；利用充分不必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，集合的真子集的个数为，A错误； 对于B，集合，，因此，B正确； 对于C，方程有两个不相等的负根，则，解得，C正确； 对于D，由，得；反之，由，得或，则“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：BCD 11. 已知正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用消元法可得且，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为为正数，，所以，所以，故A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，所以，即， 解得，即，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 当且仅当时取等号， 由于，所以等号不成立，故C错误； 对于D，， 令，则，且， 则 ， 当且仅当，即，时取等号，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若“]，”为真命题，则实数 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】“]，”为真命题， 存在 ] 使 ， 当 ] 时 ]，最小值为 ， ，即 的取值范围是 ． 13. 为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】用韦恩图进行求解，设集合， 集合，全集，再根据题意进行求解 【详解】如图所示 设两科均未取得优秀的人数为，则 所以两科均未取得优秀的人数为20人 【点睛】本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题，方法相对简单，关键是能正确表示各集合中元素个数 14. 已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论，当 时，由得到，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想得出，的整数解． 【详解】解：当 时，由， 得到在上恒成立， 则不存在； 当时，由， 可设，， 又的大致图象如下， 那么由题意可知： ， 再由，是整数得到或. 因此或4． 故答案为：． 【点睛】本小题主要考查含有参数的不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设为全集，集合，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； 【小问2详解】 由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，且等号不同时成立，解得， 综上可得. 16. 设，为实数，集合． （1）求不等式的解集； （2）若，，，求的最小值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解集确定参数，进而可求解； （2）由基本不等式乘“1”法即可求解. 【小问1详解】 因为． 所以，． 因为， 所以， 所以不等式的解集是． 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以． 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是9． 17. 已知函数． （1）求证： 且； （2）求的值． 【答案】（1）证明： 因为，所以， 所以，其中且． （2）4051 【解析】 【分析】（1）根据解析式，计算即可证明； （2）根据（1）的结论结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题得，， 所以 ． 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值； （3）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）且说明，关于对称轴对称,进而利用换元法，利用基本不等式1的代换可求的最小值； （3）分，和，结合二次函数的性质可求得函数在区间上的最大值． 【小问1详解】 设（）， 由，得． ， 又， ，解得，， ． 【小问2详解】 ， 图象关于直线对称， 且，，且，，，． ， 设，则，， 原式． ， 用“乘1法”： ] ， 当且仅当，即，时取等号， 此时，， 原式的最小值为． 【小问3详解】 ，其对称轴为，开口向下． ①当，即时，在上单调递减， ； ②当，即时，对称轴在区间内， ； ③当，即时，在上单调递增， ． 综上所述，. 19. 北京时间2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射取得圆满成功.某文创企业借此契机推出一款“火箭模型纪念U盘”，前期研发与模具等固定成本为100（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算若该款U盘年产量为x万个，每个售价45元且全部售完. （1）求出利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式； （2）当产量至少为多少个时，该公司在该款U盘生产销售中才能收回成本； （3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大?并求出最大利润. 【答案】（1） （2）22472 （3）30万个；410万元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，分段求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分段求出的最大值，再比较即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，总销售额为万元，总成本为万元. 故当时，； 当时，； 当时，. 综上，利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为 【小问2详解】 由题意可知，要收回成本，须满足. 所以当时，令，解得. 又因为，所以； 当时，令，解得. 又因为，所以； 当时，令， 化简整理可得①. 因为方程的两根分别为 和， 所以不等式①的解约为或. 又因为，所以. 综上，可得当产量至少为万个，即个时，才能收回成本. 【小问3详解】 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递增， 所以； 当时， . 当且仅当，即时取等号，所以. 综上，可得当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为410万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 出题人：姜务臣　　审题人：吴倩倩 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 3. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 4. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 最大值是 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 8. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 集合的真子集有16个 B. 若集合，，则 C. 方程有两个不相等的负根的充要条件是 D. “”是“”的充分不必要条件 11. 已知正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若“]，”为真命题，则实数 的取值范围是_____． 13. 为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______. 14. 已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值的集合为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设为全集，集合，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 设，为实数，集合． （1）求不等式的解集； （2）若，，，求的最小值． 17. 已知函数． （1）求证： 且； （2）求的值． 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值； （3）求函数在区间上的最大值． 19. 北京时间2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射取得圆满成功.某文创企业借此契机推出一款“火箭模型纪念U盘”，前期研发与模具等固定成本为100（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算若该款U盘年产量为x万个，每个售价45元且全部售完. （1）求出利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式； （2）当产量至少为多少个时，该公司在该款U盘生产销售中才能收回成本； （3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大?并求出最大利润. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $