第4章 相似三角形 单元巩固卷 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

《第4章 相似三角形》单元巩固卷 浙教版新教材数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，为半径画弧交射线于点，连接，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于、两点，最后，以为圆心“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线 直线a，b分别交直线l1， l2， l3于点A， B， C， D， E， F。已知AB=5， BC=2， DE=4， 则EF的长为(　　) A．6 B． C． D． 3．如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于⊙O的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E，点D，当点D在线段上时，连接，若点D为的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 6．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则：S四边形DBCE=（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 8．在平行四边形中，则为（　　） A． B． C． D． 9．小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 二、填空题（每题3分，共18分） 11． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 则 的值为　 　. 12．如图，点为正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交于点，如果，那么的长为　 　． 13．如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是　 　． 14．如图，已知△ABC 和△A'B'C是以点C(-1，0)为位似中心，位似比为1：2的位似图形，若点B 的对应点 B'的横坐标为a，则点 B 的横坐标为　 　.(用含a 的代数式表示) 15．如图，在中，C、E 和 D、F 分别是、的三等分点，且，则　 　． 16．如图，以△ABC 的顶点A 为圆心，AB 长为半径作弧交BC 于点D，经过A，B，D 三点的⊙O交AC 于点E，连结OD，BE 交于点 F.若 则 的值是　 　. 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的面积为4，求的面积． 18．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，边. AB=10，对角线BD=16. （1）求菱形ABCD的面积； （2）过点O作于点 E，交 DA的延长线于点 F，求证： 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点、的坐标． （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，并写出点A、B的对应点、的坐标． （3）判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 20．如图，△ABC中，D、E在AB，AC边上，且. （1）求证：DE∥BC。 （2）若S△ADE=2，S四DBCE=7，DE=1，求BC的长。 21．右图是一块显示器与墙面的侧面示意图.用两根等长的支架PQ，MN连接显示器AB与墙面l，使得PM=QN. （1）求证：QN ∥PM. （2）已知墙面与地面垂直，AB=57cm，PQ=10cm，PQ⊥l.小林的眼睛位置O与显示器底端B等高，眼睛与墙面距离OD=200cm.小林的视线被显示器遮挡后在墙上有一个盲区CD，求CD的长. 22．一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面积为1.5m2. （1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； （2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积y（m2）与DE的长x（m）之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值 23．如图，AM 是⊙O 的直径，弦BC⊥AM，垂足为 N，弦CD 交AM 于点E，交 AB 于点 F，且CD=AB.求证： 24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝，点D在AB上，且BD＝3AD，连接CD.过点A作CD的垂线交CD于点E，交BC于点F，连接BE，AE＝2. （1）求CE的长； （2）求证：； （3）求的值. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：根据作图可知，，， 设，则， ， ， ， 以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点H即为AB的其中一个黄金分割点， 故答案为：A． 【分析】根据作图可知，，，设，则，根据勾股定理得到：，求出，得出，即可得出结论． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ ∴即得EF=. 故选：D. 【分析】由平行线分线段成比例可得EF的长. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：假设，则， 由作图可知， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定成立，故选项A不符合题意； 假设，则，根据题意不一定成立，故选项B不符合题意； ∵在中，， ∴，， 由作图可知， ∴， ∴，故选项C一定正确，符合题意； 假设， ∵， ∴， ∵长度可变， ∴的度数会变化， ∴不成立，故选项D不符合题意． 【分析】 先假设，结合平行线分线段成比例的性质，可以推导出，据此即可判断选项A；再假设，可以得到，据此即可判断选项B；接下来利用平行线的性质，通过全等判定定理，可以证明，据此即可判断选项C；最后假设，可以推导出，但题目中的长度是可以变化的，因此的度数也会随之改变，这个等式无法恒成立，据此即可判断选项D． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：连接AI，LD， ∵∠EAD=∠IEF=45°， ∴IE∥AD， ∵四边形IJKL是正方形， ∴∠EIF=90°， ∴△EIF是等腰直角三角形， ∵四边形ABCD、四边形EFGH是正方形， ∴∠BAD=∠AED=∠AFB=90°，AD=AB， ∵∠EAD=45°， ∴∠BAF=180°-90°-45°=45°， ∴∠BAF=∠EAD， ∴△EAD≌△FAB(AAS)， ∴AE=AF， ∵△EIF是等腰直角三角形， ∴AI⊥EF， ∵DE⊥AE， ∴DE∥AI， ∵IE∥AD， ∴四边形ADEI是平行四边形， ∴IE=AD， 同理：EL=AD， ∴正方形ABCD与正方形IJKL的相似比是AD：IL=1：2. 故答案为：B. 【分析】根据正方形的性质，根据SAS得到△EAD≌△FAB，即可得到AE=AF，由等腰三角形的性质得到AI⊥EF，得到DE∥AI，进而得到四边形ADEI是平行四边形，得到IE=AD，同理可得EL=AD，求出得到两正方形的相似比即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵D为AB中点， ∴． 设BD=AD=x，则AB=AC=2x． ∵由旋转得CD=CB=6， ∴∠B=∠CDB． ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠CDB=∠ACB． 又∠B=∠B， ∴△BCD∽△BAC． ∴， 代入BC=6，AB=2x，BD=x， ， ，，， ∴． 由旋转得CE=AC， ∴． 故答案为：C． 【分析】先根据中点定义设BD=AD=x，表示出AB=AC=2x，再由旋转性质得CD=CB，结合等腰三角形底角相等证出△BCD∽△BAC，列出对应边的比例式求出，算出，最后利用旋转对应边相等CE=AC得到． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：由与是以坐标原点为位似中心的位似图形， 可知：， ∴， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 故选：D 【分析】本题以位似图形为背景，考查了位似比与相似三角形对应边成比例的性质。利用位似中心为原点，对应点A与D的坐标确定位似比，再根据相似三角形的性质得AC与DF的比等于位似比。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴ ， ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴：S四边形DBCE=1：3． 故答案为：B． 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”DE∥BC， ，根据相似三角形的判定可得 ，由相似三角形的面积的比等于相似比即可求解． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵平行四边形中， ∴， ∴， ∴， 设的面积为，则：的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得：，利用相似三角形的判定定理可证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：，设的面积为，则：的面积为，进而可求出的面积和的面积，进而可求出，进而可求出. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示：、相交于点， 是烛焰的高，是实像的高， ， ， 蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ， ． 故答案为：A． 【分析】根据题意先求出AC//DB，再证明，最后利用相似三角形的性质计算求解即可. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵和位似，位似中心为点O，点、点， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积是16． 故选：D． 【分析】根据位似图形性质即可求出答案. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得。 又∵DF∥AB，同理可得。 将代入，得。 故答案为： 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。先由DE∥AC得到CD与BD的比例，再由DF∥AB得到AF与FC和BD与CD的关系，代入计算即可。 12．【答案】 【解析】【解答】解：四边形是正方形， ， ， ， 点是的中点， ， ， 正方形关于对称， ， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 【分析】先证明，得到与的数量关系，进而求得，设正方形的边长为，再根据勾股定理列出的方程求得结果便可． 13．【答案】2 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 【分析】 先利用相似三角形的判定定理和性质，证明得到，由此可以推出，之后只需要求出线段的最小值，就可以得到最终结论。 14．【答案】－ 【解析】【解答】设点B的横坐标为x，如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B'作B'N⊥x轴于点N， ∴BM∥B'N， ∴△BCM∽△B'CN， ∴＝. ∵△ABC和△A'B'C是位似比为1∶2的位似图形， ∴＝， 解得x＝－， ∴点B的横坐标为－. 【分析】 本题围绕平面直角坐标系中的位似变换展开，依据位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比，结合坐标求出点 B、点 B' 到位似中心 C 的水平线段长度，建立分式方程，通过解方程求出点 B 横坐标的代数式。 15．【答案】30 【解析】【解答】解：C、E 和 D、F 分别是、的三等分点， ，，，， ，， 又， ，， ，， ，， ． 故答案为：30． 【分析】根据相似三角形判定定理即性质即可求出答案. 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：连接并延长交于点M， ， ，， ， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 【分析】连接并延长交于点M，根据垂径定理可得，然后根据平行线分线段成比例得到，即可得到，设，则，根据勾股定理求出，即可得到，求出比值即可． 17．【答案】（1）证明：∵，∴， 即， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：，∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】 （1）已知条件给出，同时边满足比例关系，根据两边对应成比例且夹角相等的相似三角形判定定理，即可推出； （2）先证明得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，据此即可得到最终结论. （1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠AOB=90°，∴AO=√AB2-OB2=√102-82=6， ∴AC=2AO=2×6=12， ∴菱形ABCD 的面积为96. （2）证明：∵OE⊥AB，∴∠AEO=∠AOB=90°， ∴∠FOA=∠ABD=90°-∠OAB. ∵AB=AD，∴∠FDO=∠ABD，∴∠FOA=∠FDO. ∵∠F=∠F，∴△FOA∽△FDO， 【解析】【分析】本题以菱形为背景，考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式及相似三角形的判定与性质。 （1）由菱形对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出AO，再得AC，最后利用对角线乘积的一半求面积； （2）通过垂直关系及菱形性质证∠FOA＝∠FDO，结合公共角∠F，证△FOA∽△FDO，利用相似比得比例式，从而证OF2＝AF·DF。 19．【答案】解：（1）如图所示，，．（2）如上图所示，，．（3）与是关于点为位似中心的位似图形． （1）解：如图所示，，． （2）解：如图所示，，． （3）解：与是关于点为位似中心的位似图形． 【解析】解：（1）如图所示，，． （2）如图所示，，． （3）如图所示，与是关于点为位似中心的位似图形． 【分析】 本题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案； （2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案． 20．【答案】（1）解：∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴∠ADE=∠B ∴DE∥BC （2）解：S△ABC=4+5=9 ∵△ADE∽△ABC ∴ ∴ ∴BC= 【解析】【分析】(1)根据相似三角形判定推出△ADE~△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可； (2)根据相似三角形的对应面积成比例的性质，进而即可求解. 21．【答案】（1）证明：因为 PM=QN，PQ=MN， 所以四边形 PMNQ 为平行四边形， 所以 QN∥PM. （2）解：因为点 O 与 B 等高，所以点 B 在 OD上， 因为AB∥l，所以△ABO∽△CDO， 所以. 因为 OD = 200cm， 所以 OB = 200-10 =190cm. 代入得 ，解得 CD = 60 cm. 答： CD 的长为 60 cm. 【解析】【分析】（1）根据两组对边分别相等得到PMNQ 为平行四边形，即可得到结论即可； （2）根据题意得到AB∥l，即可得到△ABO∽△CDO，根据对应边成比例解答即可. 22．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，，面积为， ∴及 解之：， ； 设正方形的边长为xm， 图1，∵正方形DCFE， ∴DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°， ∴∠AED=∠B， ∴， ∴，即， 解得. 由图2知，RtDECRtABC，得，即， 所以.， 由，得，即，解得. 因为，所以图1的正方形面积较大 （2）解：在图3中，由， 得，则，， 所以长方形的面积， 当时，长方形的面积有最大值为. 在图4中，由Rt，得，所以，由Rt，得，则，所以长方形的面积，当时，长方形的面积有最大值为 【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长；设正方形的边长为xm，图1：利用正方形的性质可证得DE∥CF，∠ADE=∠EFB=90°，利用平行线的性质可推出∠AED=∠B，可证得△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出x的值；图2：利用相似三角形的性质可得到DC与DE的比值，可表示出DC，AD的长，易证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后比较大小，可作出判断. （2）图3：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，利用长方形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出长方形面积最大时x的值；图4：易证△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质可表示出AD，DC的长，再证明△ADG∽△ABC，可表示出DG的长；由此可得到y关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质可求出长方形面积最大时x的值. 23．【答案】证明：连接AC，BE，BD. ∵CD=AB ∴ ∴ ∴∠ACD=∠BDC. ∵AM 是⊙O 的直径，弦BC⊥AM， ∴BN=CN， ∴AM 垂直平分BC， ∴∠ACD=∠ABE，CE=BE， ∴∠BDC=∠ABE， ∵∠DEB=∠BEF， ∴△FEB∽△BED， 【解析】【分析】由CD=AB得∠ACD=∠BDC，同时BC⊥AM得BN=CN，由垂径定理得∠DEB=∠BEF得△FEB~△BED，由相似比可得结论. 24．【答案】（1）证明：由题意可得：CE⊥AE ∴ （2）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥CD， ∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°－∠ADC， ∵∠ADE＝∠CDA， ∴△ADE∽△CDA， ∵BD＝3AD （3）解：由（2）知∠DAE＝∠ACD， ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝∠CEA＝90°， ∴△AED∽△CEA， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴∠ACD＝∠ABC， ∵∠DAE＝∠ACD， ∴∠DAE＝∠ABC， ∴FA＝FB， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAE+∠FAC＝∠ABC+∠FCA＝90°， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴FC＝FA， ∴FB＝FC， ∵∠BAC＝90°， ∴EF＝AF－AE＝3， 设 ∵BD＝3AD， . 【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案. （2）根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△CDA，则，再根据边之间的关系即可求出答案. （3）根据相似三角形判定定理可得△AED∽△CEA，则，代值计算可得DE，AD，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△DAC∽△CAB，则∠ACD＝∠ABC，根据角之间的关系可得∠DAE＝∠ABC，再根据等角对等边可得FA＝FB，根据角之间的关系可得∠FAC＝∠FCA，则FC＝FA，根据直角三角形斜边上的中线性质可得FA，根据边之间的关系可得EF，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $