第4章 相似形 检测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第4章《相似形》检测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2. （新情景试题∙实际应用）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数 分别是、、，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3. （新情景试题∙生活应用）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”． 如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（   ） A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间 4. （新情景试题∙学科交叉题型）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．” 这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物． 这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时， 另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，， 则的长度是（   ） A． B． C． D． 5． 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开， 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B． C． D． 6．（新情景试题∙生活应用）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A， 在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（   ） A．20 B．30 C．40 D．60 7. 如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点， 则：（    ） A．： B．： C．： D．： 8. （新情景试题∙实际应用）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形， 液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示， 此时液面宽度为（    ） cm．      A．1 B．2 C．3 D．4 9. （新情景试题∙实验探究）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合）， 连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 10. 边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F， 连接CF交BD于H，则下列结论： ①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若，则的值是 ． 12． （新情景试题∙学科交叉）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm， 则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是_______    13 .（新情景试题∙实际应用）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m）， 而且落在离网4m的位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m． 14.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形， 若，，，则的坐标为_________． 15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动， 点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发， 问经过 秒钟，与相似． 16． 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕； 再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接． 若CF＝3，则＝ ． 三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17． 如图，相交于点O，． (1) 求证：； (2) 已知，的面积为6，求的面积． 18．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 19． （新情景试题∙实际应用）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1）， 其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣． 如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区， 驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，求汽车盲区的长度． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴左侧以O为位似中心作的位似图形，且与的相似比为； (2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标； (3)如果内部一点M的坐标为，写出点M在内的对应点N的坐标． 21. （新情景试题∙学科交叉）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验， 地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度， 手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处， 点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为， 图中A，B，C，D在同一条直线上， (1) 求的长； (2) 求点E到地面的高度． 22. （新情景试题∙实际应用）如图，是的高，点，在边上，点在边上， 点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 23. 如图，在中，，，， 点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为， 同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接． 设运动的时间为 ()，其中．解答下列问题： (1) ， （用含t的代数式表示） (2) 当t为何值时，． (3) 在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 24. （新情景试题∙综合与实践）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点， 与的延长线交于点F． (1) 求证：． (2) 如，，求的半径长； (3) 若G是的中点，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 第4章《相似形》检测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据合比性质求解即可． 本题主要考查了比例的基本性质和合比性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时除以， 得， ∴． 故选：B． 3. （新情景试题∙实际应用）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数 分别是、、，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 3. （新情景试题∙生活应用）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”． 如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（   ） A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意知，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，则， ∴， 故选：B． 4. （新情景试题∙学科交叉题型）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．” 这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物． 这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时， 另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，， 则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 6． 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开， 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 6．（新情景试题∙生活应用）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A， 在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（   ） A．20 B．30 C．40 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， 解得， 故选：D． 7. 如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点， 则：（    ） A．： B．： C．： D．： 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，得出，，进而得出，得出比例式，根据已知条件得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵与相交于点，为的中点， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 9. （新情景试题∙实际应用）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形， 液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示， 此时液面宽度为（    ） cm．      A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故选：C． 9. （新情景试题∙实验探究）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合）， 连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选： 10. 边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F， 连接CF交BD于H，则下列结论： ①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得； ②通过证明，可得； ③通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论； ④通过证明，可得，即可求解． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ，故①正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ，故④正确， 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】设，可分别表示出、和，代入原式可直接求得结果． 【详解】解∶设 则 ，， ． 故答案为∶． 13． （新情景试题∙学科交叉）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm， 则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是_______    【答案】4.5 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设火焰倒立的像的高度为， 则， 解得：， 即火焰倒立的像的高度是， 故选：C． 13 .（新情景试题∙实际应用）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m）， 而且落在离网4m的位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m． 【答案】 【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，根据其相似比即可求解． 【详解】解：， ， ， ， （米， 故答案为：1.6． 14.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形， 若，，，则的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据的对应点是，可得线段与线段的位似比是，进而即可求出答案． 【详解】∵以原点为位似中心线段与线段是位似图形，的对应点是， ∴线段与线段的位似比是， ∴点的对应点的坐标为：． 故答案是：． 15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动， 点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发， 问经过 秒钟，与相似． 【答案】2或5/5或2 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 18． 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕； 再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接． 若CF＝3，则＝ ． 【答案】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， =． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19． 如图，相交于点O，． (3) 求证：； (4) 已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 18．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 20． （新情景试题∙实际应用）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1）， 其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣． 如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区， 驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，求汽车盲区的长度． 【答案】 【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题．如图，过点P作于点N，交于点M．理由相似三角形的性质求解． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点M． ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车盲区的长度为．                       20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴左侧以O为位似中心作的位似图形，且与的相似比为； (2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标； (3)如果内部一点M的坐标为，写出点M在内的对应点N的坐标． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2)点C，D的坐标分别为 (3) 【分析】此题考查了位似变换的性质，还考查了学生的动手能力．题目比较简单，注意数形结合思想的应用． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似三角形； （2）结合图形，由位似变化的性质，即可求得； （3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵点A，B的坐标分别为，，与的相似比为， ∴点C，D的坐标分别为； （3）解：∵内部一点M的坐标为， ∴对应点N的坐标为． 23. （新情景试题∙学科交叉）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验， 地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度， 手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处， 点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为， 图中A，B，C，D在同一条直线上， (3) 求的长； (4) 求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 24. （新情景试题∙实际应用）如图，是的高，点，在边上，点在边上， 点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 【答案】(1) ，理由如下， ∵四边形是正方形 ∴，即 ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定； （1）根据正方形的性质可得，即可得出，进而证明； （2）设正方形的边长为，根据题意证明四边形是矩形，得出，则，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为， ∵是的高， ∴， ∵， ∴，即是的高 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，则， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴正方形的边长为． 23. 如图，在中，，，， 点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为， 同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接． 设运动的时间为 ()，其中．解答下列问题： (1) ， （用含t的代数式表示） (2) 当t为何值时，． (3) 在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的综合问题，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理： （1）利用勾股定理得，进而可求解； （2）利用三角形相似的判定及性质可得，即，进而可求解； （3）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，利用相似三角形的判定及性质可得，即，进而可求解； 熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得： 在中，，，， ， ，， 故答案为：；． （2）， ∴当，， 即， ∴． （3）过点作于，如图：    ，，则， ， ， ，， ， ，即：， 解得：． 25. （新情景试题∙综合与实践）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点， 与的延长线交于点F． (4) 求证：． (5) 如，，求的半径长； (6) 若G是的中点，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的直径，弦， ， ， ， 点、、、在上， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）如图，利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理的推论得到，再利用圆内接四边形的性质得到，从而得到结论； （2）先根据垂径定理求出的长，再证明，根据相似三角形的性质求出的长即可； （3）如图，过点作于点．证明，推出，，利用勾股定理求出，，再利用平行线分线段成本定理定理求解即可． 【详解】（1）是的直径，弦， ， ， ， 点、、、在上， ， ， ； （2）解：在中，，，， ，， 是的直径，， ， ， ，即， ，， ， 的半径长； （2） 解：如图，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． $