第06讲 圆的综合应用期中复习讲义（6大知识点+12大题型归纳+测试）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第06讲 圆的综合应用 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 3 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 3 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 4 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 4 知识点5：轨迹方程 5 知识点6：圆系方程 5 03 题型精讲 6 题型1：求圆的方程 6 题型2：点与圆的位置关系 6 题型3：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 7 题型4：轨迹问题 7 题型5：直线与圆的位置关系 8 题型6：切线问题 9 题型7：切点弦问题 9 题型8：弦长、面积问题 9 题型9：圆与圆的位置关系 10 题型10：两圆的公共弦问题 10 题型11：公切线问题 10 题型12：圆中定点定值问题 11 04 过关测试 13 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点5：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． （2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． （3）求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 知识点6：圆系方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是 （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． 题型1：求圆的方程 【典例1】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·河南·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型2：点与圆的位置关系 【典例2】（2026·高二·云南楚雄·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·安徽芜湖·阶段检测）已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【变式2-2】（2026·高二·河北保定·阶段检测）若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型3：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例3】（2026·高二·湖南·阶段检测）若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（2026·高二·福建厦门·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·宁夏银川·阶段检测）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 题型4：轨迹问题 【典例4】（2026·高二·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·吉林长春·期中）如图，是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·安徽·阶段检测）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型5：直线与圆的位置关系 【典例5】（2026·高二·上海·阶段检测）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式5-1】（2026·高三·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式5-3】（2026·高二·内蒙古赤峰·阶段检测）一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 题型6：切线问题 【典例6】圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高二·北京·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型7：切点弦问题 【典例7】（2026·高二·陕西渭南·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高二·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高二·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高二·甘肃白银·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型8：弦长、面积问题 【典例8】（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 【变式8-1】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知圆上的点，满足，若的面积为，则的值为________. 【变式8-2】（2026·高二·黑龙江大庆·期中）过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是_____________ 【变式8-3】（2026·浙江·三模）过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. 题型9：圆与圆的位置关系 【典例9】（2026·高二·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 【变式9-1】（2026·高一·江西抚州·阶段检测）圆与圆的位置关系是____． 【变式9-2】（2026·高二·北京西城·期中）圆与圆的位置关系是__________． 【变式9-3】圆与圆的位置关系为________． 题型10：两圆的公共弦问题 【典例10】（2026·高二·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 【变式10-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【变式10-2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【变式10-3】已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 题型11：公切线问题 【典例11】（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 【变式11-1】（2026·高二·宁夏银川·阶段检测）若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【变式11-2】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【变式11-3】（2026·高二·河北唐山·阶段检测）已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 题型12：圆中定点定值问题 【典例12】（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）已知点在圆上，点在圆外，当的最大值是的最小值的倍时，则称为圆的“伴生点”；若点同时是圆和圆的“伴生点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆，为圆的“伴生点”． (1)求点的轨迹方程； (2)已知圆，，均为圆“”的“共生点”． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）以线段为直径的圆记为圆，过点作斜率存在且不为的直线与圆交于、两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】（2026·高三·四川南充·阶段检测）已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【变式12-3】（2026·高二·安徽宣城·阶段检测）在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 1．（2026·高二·广西·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D． ，4 2．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·全国·期中）直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·北京密云·期中）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 5．（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·北京密云·期中）圆被轴截得的弦长为（　） A． B． C． D． 7．（2026·高三·浙江·阶段检测）已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 10．（多选题）（2026·高二·云南昭通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 11．（多选题）（2026·高二·河南南阳·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 12．（2026·高二·全国·期中）已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 13．（2026·高二·天津和平·阶段检测）方程所表示的圆的最大面积为________. 14．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 15．（2026·高二·宁夏甘肃·期中）已知圆C：，过点作直线l交圆C于A，B两点. (1)当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长； (2)若直线l被圆C截得的弦长，求以线段AB为直径的圆的方程. 16．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线相切，求直线的方程； (3)若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 17．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，. (1)求边上高所在直线方程； (2)求的外接圆方程. 18．（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2026·高二·北京密云·期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过原点，直线的方程为，直线. (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求的值； (3)若直线与圆相交于,两点，直接写出的取值范围 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 圆的综合应用 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 3 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 3 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 4 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 4 知识点5：轨迹方程 5 知识点6：圆系方程 5 03 题型精讲 6 题型1：求圆的方程 6 题型2：点与圆的位置关系 7 题型3：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 9 题型4：轨迹问题 10 题型5：直线与圆的位置关系 12 题型6：切线问题 14 题型7：切点弦问题 15 题型8：弦长、面积问题 18 题型9：圆与圆的位置关系 19 题型10：两圆的公共弦问题 20 题型11：公切线问题 22 题型12：圆中定点定值问题 23 04 过关测试 31 知识点1 ：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 （4）圆的参数方程： ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 知识点2 ： 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点3 ： 直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点4 ： 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点5：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． （2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． （3）求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 知识点6：圆系方程 （1）过直线与圆的交点的圆系方程是 （2）以为圆心的同心圆系方程是：； （3）与圆同心的圆系方程是； （4）过同一定点的圆系方程是． 题型1：求圆的方程 【典例1】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【变式1-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 【变式1-2】（2026·高二·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 【变式1-3】（2026·高二·河南·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，线段的中点，， 圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 题型2：点与圆的位置关系 【典例2】（2026·高二·云南楚雄·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 【变式2-1】（2026·高二·安徽芜湖·阶段检测）已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】设点关于直线对称的点， 则，解得. 因为在圆外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 【变式2-2】（2026·高二·河北保定·阶段检测）若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在圆的内部，得，即，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式2-3】（2026·高二·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 题型3：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例3】（2026·高二·湖南·阶段检测）若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 【变式3-1】（2026·高二·福建厦门·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为方程表示圆， 所以，解得， 所以m的取值范围是. 【变式3-2】（2026·高二·宁夏银川·阶段检测）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 【变式3-3】（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：，整理可得，解得， 且，，，， 故ABC不符合题意，D符合题意. 题型4：轨迹问题 【典例4】（2026·高二·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心，半径. 设弦的中点为，连接. 在中，，， 所以. 是点到圆心的距离， 所以，即. 故选：D. 【变式4-1】（2026·高二·吉林长春·期中）如图，是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出点关于直线的对称点，则由椭圆的光学性质可得三点共线， 因为，长半轴长，所以， 因为为的中位线，所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 轨迹方程为， 故选：D. 【变式4-2】（2026·高二·安徽·阶段检测）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 【变式4-3】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 题型5：直线与圆的位置关系 【典例5】（2026·高二·上海·阶段检测）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为，由是圆内异于圆心的一点，得，从而． 圆心到直线的距离， 故直线与圆相离． 【变式5-1】（2026·高三·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 【变式5-2】（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 【变式5-3】（2026·高二·内蒙古赤峰·阶段检测）一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为，半径为1， 点关于轴的对称点的坐标为，由题意，点在反射光线所在直线上， 设反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，解得或， 当时，反射光线为，与轴无交点，不符合反射要求，所以. 题型6：切线问题 【典例6】圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 【变式6-1】已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【变式6-2】（2026·高二·北京·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为， ∵、是圆的切线，∴，，即， ∴、、、四点共圆，的外接圆即为四边形的外接圆，该外接圆的直径为线段， ∵，圆心为，∴的中点坐标为，即，半径， ∴外接圆方程为. 【变式6-3】（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 题型7：切点弦问题 【典例7】（2026·高二·陕西渭南·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦AB所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知圆的圆心.半径.且, 所以的中点的坐标为. ， 故有以为直径的圆的方程为: . 化简得，. 将圆的标准方程展开得，. 是两圆的公共弦，其方程为两圆方程相减， 化简得,. 故选：C 【变式7-1】（2026·高二·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B. 【变式7-2】（2026·高二·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 【变式7-3】（2026·高二·甘肃白银·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离. 由题意知,所以A，P，B，O四点共圆，且， 所以.因为， 当直线时，，，此时最小， 所以直线，由解得 所以以为直径的圆的方程为，即. 两圆的方程相减得，，即直线的方程为. 故选：D 题型8：弦长、面积问题 【典例8】（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 【答案】 【解析】由， 得. 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆被直线截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 由，得， 所以， 解得或. 所以所有满足条件的实数b的和为. 【变式8-1】（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知圆上的点，满足，若的面积为，则的值为________. 【答案】 【解析】圆的方程可化为，故圆心为，半径，其中． 由及的面积不为零，知，为直线与圆的两个不同交点，圆心到该直线的距离为． 由，得，再由半径、半弦长与弦心距的关系，得，所以，解得． 此时，直线与圆相交，且的面积为，符合题意． 【变式8-2】（2026·高二·黑龙江大庆·期中）过原点的直线与圆交于，两点，设的面积为S，则S的最大值是_____________ 【答案】 【解析】由题意可知圆心，半径， 设，则圆心到l的距离为，即， 所以， 则 令，显然，即，当时取得最大值. 故答案为： 【变式8-3】（2026·浙江·三模）过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】圆的半径为，圆心为， 则， 所以，此时圆心到直线的距离为， 若直线与轴重合，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，故直线的方程为. 故答案为：. 题型9：圆与圆的位置关系 【典例9】（2026·高二·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【解析】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 【变式9-1】（2026·高一·江西抚州·阶段检测）圆与圆的位置关系是____． 【答案】相离 【解析】因为, 所以两圆相离. 【变式9-2】（2026·高二·北京西城·期中）圆与圆的位置关系是__________． 【答案】外切 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ， 所以圆与圆外切． 故答案为：外切 【变式9-3】圆与圆的位置关系为________． 【答案】相交 【解析】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，半径分别为， 由，显然， 故圆与圆相交． 故答案为：相交. 题型10：两圆的公共弦问题 【典例10】（2026·高二·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【解析】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 【变式10-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【解析】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 【变式10-2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【解析】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 【变式10-3】已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 题型11：公切线问题 【典例11】（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 【答案】3 【解析】点到直线的距离为1， 则直线是以为圆心，1为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 点到直线的距离为2， 则直线是以为圆心，2为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 直线是圆与圆的公切线， 圆心距离， 两圆相外切， 满足条件的直线有3条． 【变式11-1】（2026·高二·宁夏银川·阶段检测）若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【答案】 16 25 【解析】由题意知两圆外切，则圆心距等于，即，故， 则点是圆上的点，圆心是原点，半径为， 设，则， 的几何意义为过点的直线在轴的截距的倍， 当直线与圆相切时，截距的绝对值取最值， 此时，解得或， 则的最大值是，故的最大值为. 【变式11-2】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【答案】 【解析】两圆有3条公切线说明两圆外切，圆，圆心，半径为， 圆，化为标准方程， 圆心，半径为，圆心距为， 由外切性质可知，，即，解得. 【变式11-3】（2026·高二·河北唐山·阶段检测）已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 【答案】 【解析】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 圆心距， ，， 因为，所以圆和圆相交， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线． 题型12：圆中定点定值问题 【典例12】（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）已知点在圆上，点在圆外，当的最大值是的最小值的倍时，则称为圆的“伴生点”；若点同时是圆和圆的“伴生点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆，为圆的“伴生点”． (1)求点的轨迹方程； (2)已知圆，，均为圆“”的“共生点”． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）以线段为直径的圆记为圆，过点作斜率存在且不为的直线与圆交于、两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将圆的方程配方得：，所以圆的圆心为，半径， 设点的坐标为，因为点在圆外，所以，连接并延长交圆于两点，如图所示， 则的最大值为，最小值为 。 由题意知，即，解得， 由两点间距离公式得，两边平方得： 故点的轨迹方程为. （2）（i）由（1）知，圆的“伴生点”轨迹方程为， 对于圆，其圆心为，半径， 设点为圆的“伴生点”，则点到圆心的距离 满足， 代入的值，， 所以圆的“伴生点”轨迹方程为：， 因为均为圆“ ”的“共生点”，所以是方程 ① 和 ② 表示的两个圆的交点， 两式相减得， 展开并化简，得，故直线的方程为； （ii）设直线过点，斜率存在且不为，设轴上的定点为，如图所示， 联立直线与的轨迹方程，即，消去得， 整理得，解得，对应的， 不妨设，线段的中点为原点，且， 所以圆的圆心为，半径，方程为， 假设存在定点 满足条件，设直线的方程为， 联立，消去得，整理得， 设，则是上述方程的两根，恒成立， 由韦达定理得，， 此时 ， 令，解得或或， 当时，取定值；当时，取定值；当时，取定值； 综上所述，当点的坐标为时，取定值；当点的坐标为时，取定值； 当点的坐标为时，取定值. 【变式12-1】（2026·高三·四川南充·阶段检测）已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为双曲线C的渐近线为，所以由题意知，即， 由C的焦距为6，得，即，故， 所以，， 所以C的方程为． （2）圆的圆心为，半径为， 因为直线l与圆相切， 所以，解得（舍）或， 所以l的方程为，即． 设，，联立方程得， 所以，． 所以． 又原点O到l的距离， 所以的面积为． （3）存在，或． 理由如下： 设，， 联立方程得，， 所以，． 假设定点在以线段AB为直径的圆上，则， 又，， 所以， 即， 所以， ， 整理得， 该式对任意m恒成立，所以各项系数必须全部等于0，得， 若，则，方程无解，所以，， 当，时，，解得（舍）或； 当，时，，解得（舍）或． 综上所述，或． 【变式12-2】（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆. （2）如图所示； 设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， ，且. 的最大值为，的最小值为. （3）如图所示； 设，则，即， 是到圆的切线，由切线长公式得，， 设，. 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 【变式12-3】（2026·高二·安徽宣城·阶段检测）在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 【解析】（1）设点．由，得， 即．    化简得，即的方程为． （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆． ，解得． 因为，所以．    取的中点，则，． 所以，即点到直线的距离为．    此时直线的斜率显然存在，设：． 由，得，解得或． 即直线的斜率为2或. （3）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，．    将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，．    设直线和的斜率分别为，．则所以直线和的斜率之和为定值． 1．（2026·高二·广西·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D． ，4 【答案】C 【解析】因为圆的方程可化为， 所以圆心坐标为，半径． 2．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可知，直线过定点，设定点为，则为， 由可知，曲线由反比例函数平移得到，则曲线对称中心为，即为点， 所以点为，两点中点，则由向量中点公式可得， 又，所以，即，所以动点在以为圆心，半径的圆内含边界， 因为，所以. 3．（2026·高二·全国·期中）直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆心 到直线 的距离 . 所以 ． 4．（2026·高二·北京密云·期中）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，圆的标准方程为，可知圆心为，半径， 由两直线平行可得，，解得或， 当时，直线：，直线：，直线和重合，舍去； 当时，直线：，直线：，符合题意； 由与圆相切，得， 由与圆相切，得， 当，与圆都相离时，， 所以当，与圆平行相交时，满足：， 所以实数的取值范围为. 5．（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 6．（2026·高二·北京密云·期中）圆被轴截得的弦长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令得，解得或. 所以被轴截得的弦长为. 7．（2026·高三·浙江·阶段检测）已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 8．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为。 圆的圆心为，半径，根据切线的性质，，，且， 设，则， 在直角三角形中，有，， 向量点积公式为， 由于，， 所以， 令，因为在直线上，所以的最小值为圆心到直线的距离， 其中，所以，即， 利用对勾函数 的性质，其在时取得最小值， 由于，所以， 因此，在定义域内，此时取得最小值， 将代入得，， 所以 的最小值为，故A正确. 9．（多选题）（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】把转化为标准方程, 则，如图所示，作出符合题意的图形， 对于A：圆心的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B正确； 对于C：因为，所以点在圆外，故C错误； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 10．（多选题）（2026·高二·云南昭通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 【答案】ABC 【解析】对于A，圆的圆心的坐标为，半径 ， 圆的圆心的坐标为，半径 ， 因为，所以圆与圆相交， 将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足， 解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得， 知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为， 故，故D错误. 11．（多选题）（2026·高二·河南南阳·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】A 选项，直线：，令，得，即无论取何值，直线恒过定点， A 正确； B 选项，圆，即，故圆心，半径， 圆，即，故圆心，半径， 圆心距，，圆心距等于半径和，两圆外切，外切恰有 3 条公切线，B 正确； C 选项，两圆：① ，② , 两式相减，得公共弦所在的直线方程为，C 错误； D 选项，圆，圆心，半径，是切线，由勾股定理，要最小，只需最小， 是原点到直线的距离，， D 正确. 12．（2026·高二·全国·期中）已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】 【解析】直线：可化为 ， 令，解得：，所以直线恒过定点. 圆方程：，配方可得. 故圆心为，半径， 所以圆心到定点距离：， 又因为，且，所以直线与不垂直， 所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：. 当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为. 因此点P到直线的距离的取值范围为. 13．（2026·高二·天津和平·阶段检测）方程所表示的圆的最大面积为________. 【答案】 【解析】方程表示圆，化为圆的标准方程得， 圆的半径，由 ， 当时，半径的最大值. 所以圆的最大面积为. 14．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的右半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得或， 由题意可知点，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 15．（2026·高二·宁夏甘肃·期中）已知圆C：，过点作直线l交圆C于A，B两点. (1)当直线l的倾斜角为时，求弦AB的长； (2)若直线l被圆C截得的弦长，求以线段AB为直径的圆的方程. 【解析】（1）圆C的方程可化为，圆心为，半径为 因为直线l的倾斜角为且过， 所以直线的方程为，即 圆心到直线的距离， 所以弦 （2）， 而弦心距， 所以，所以P是AB的中点， 则以线段AB为直径的圆圆心是，半径为 故以线段AB为直径的圆的方程为 16．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线相切，求直线的方程； (3)若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 【解析】（1）设，因为点，且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）由（1）知：，圆心为，半径为， 因为直线与曲线相切，可得， 当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程：，即， 则，解得，此时：即； 综上可得，直线的方程为或. （3）当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，且，，联立方程组， 整理得， ，, ，所以， 又由，解得，， 所以， 因为，，均在直线上，且， ， 所以. 17．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，. (1)求边上高所在直线方程； (2)求的外接圆方程. 【解析】（1）边上高与垂直，因为 所以边上高的斜率为，又因为边上高过， 所以边上高所在直线方程为. （2）因为的外接圆方程过， 所以可设圆方程为，因为圆过，， 所以，由于三角形一定存在外接圆， 所以外接圆方程为. 18．（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，， (1)直线被圆M截得的弦长为，求直线l的方程； (2)圆H过圆M与圆N交点， （ⅰ）当圆H面积最小时，求圆H的方程； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若直线与圆H交于C，D两点，探究当k不断变化时，在y轴上是否存在一定点E，使得y轴平分？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1） 设圆心M到直线l的距离为d，则，故， 由得或， 故直线l的方程为或． （2）（ⅰ）设圆M与圆N交点分别为P，Q，圆H面积最小时，圆H是以为直径的圆， ，即，① 圆，即，② ①−②得公共弦所在直线方程：， 圆M圆心、圆N圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心H就是直线与的交点， 联立解得． 将代入， 得，即，所以， 所以圆H的方程为． （ⅱ）假设存在点E，使得y轴平分，满足，设，，， 则，将，代入， 得，即．（*） 联立，得，． 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入（*）式，得， 即，因为对任意k，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件． 19．（2026·高二·北京密云·期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过原点，直线的方程为，直线. (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求的值； (3)若直线与圆相交于,两点，直接写出的取值范围 【解析】（1）因为圆心为，可设圆的标准方程为. 因为圆经过原点，所以. 所以圆的标准方程为：. （2）因为与圆相切， 所以， 所以或. （3）直线表示过定点，且斜率为的直线， 因为，所以点在圆的外边. 若直线与圆相交于,两点，则； 又直线过圆心，即时，为圆的直径，取得最大值，为. 综上，. 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $