2026-2027学年人教版九年级数学上册 第一次月考模拟卷（考查范围：第25-26章）

广东省广州市2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考模拟卷 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列关于的方程中，是一元二次方程的为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（     ） A． B．1 C． D．4 3．（本题3分）将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则新抛物线的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知，是抛物线上的两个点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 6．（本题3分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 7．（本题3分）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场如图，旧墙长为10米，靠墙的一面不用篱笆张大叔使用的篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门，已知矩形养鸡场的面积为80平方米，则矩形养鸡场的边的长为（    ） A．5 B．8 C．5或8 D．以上答案都不对 9．（本题3分）二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点，则不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 10．（本题3分）如图，抛物线（）与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的两根分别为．其中正确结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）将一元二次方程化成一般形式，可得______． 12．（本题3分）设是一元二次方程的两个根，则___________． 13．（本题3分）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_____． 14．（本题3分）若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 15．（本题3分）某种型号飞机在跑道上刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间x（秒）的函数解析式是，则飞机滑行________秒停止，飞机停止前最后2秒滑行的距离为________米． 16．（本题3分）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于的方程 (1)求证：不论为何值，该方程总有实数根； (2)设该方程的两个根分别是，若．求的值． 19．（本题8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 20．（本题8分）已知二次函数（为常数，）． (1)若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值． 21．（本题9分）如图，抛物线与x轴交于点、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点，使，求此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 22．（本题9分）如图，矩形中，，点P从A开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动． (1)出发几秒时的面积为？ (2)出发几秒时的长度为？ 23．（本题10分）某电影院销售《牛来》电影票，已知每张电影票的成本为15元．若每张以30元销售，平均每天可售出50张；价格每降低1元，平均每天多售出5张．设每张降价元（为整数），每天销售量为张． (1)直接写出每天销售量与之间的函数关系式：__________；（不写的取值范围） (2)若某天销售《牛来》电影票的利润为770元，为了让观众获得更多实惠，该电影院每张《牛来》电影票的定价为多少元？ (3)为了促进市场良性竞争，《牛来》电影票的销售单价不得高于28元，不得低于22元，当销售单价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 24．（本题12分）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 第6页（共6页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B B B B B A C 1．C 【分析】一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、分母含未知数，不是一元二次方程，不符合； B、含，两个未知数，不符合； C、只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合； D、当即时，方程为，是一元一次方程，不符合． 2．A 【分析】利用根与系数的关系直接计算两根之积. 【详解】解：∵ 一元二次方程的两根分别为，， ∴ . 3．A 【分析】根据抛物线平移的规律来确定新抛物线的函数表达式． 【详解】解：原抛物线解析式为， 向上平移2个单位，得， 向左平移3个单位，得． 4．B 【分析】一次函数与二次函数的大致图象在一个坐标系中，则、的符号必须一致，据此逐项判断． 【详解】解：A项，通过一次函数经过二、三、四象限，可知；二次函数的图象开口朝上，可知；的符号矛盾，故此项不符合题意； B项，通过一次函数经过一、二、三象限，可知；通过二次函数的图象开口朝上，可知；的符号一致；当时，，，通过一次函数的图象，可知；通过二次函数的图象，可知，即；的符号一致，故此项符合题意； C项，当时，，，通过一次函数的图象，可知；通过二次函数的图象，可知，即；的符号不一致，故此项不符合题意； D项，通过一次函数经过二、三、四象限，可知；通过二次函数开口朝上，可知；的符号矛盾，故此项不符合题意； 故选：B． 5．B 【详解】解：将代入函数得：， 将代入函数得：， ∵， ∴． 6．B 【分析】根据二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数解析式为中， ∴图象开口向下，该函数对称轴为直线，顶点坐标为，故A，D错误；B正确； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而增大，故C错误． 7．B 【分析】一次函数由一次项系数判断增减性，二次函数结合开口方向、对称轴与的位置关系判断增减性． 【详解】解：∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而增大，故选项A不符合题意． ∵二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵满足，故选项B符合题意． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项C不符合题意． ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意． 8．B 【分析】设的长为米，根据题干图列方程求解，进而求合适的值即可． 【详解】解：设的长为米． ∵篱笆总长为米，且平行于墙的一面留有米宽的门， ∴的长为米， 即米， 根据矩形面积公式可得方程， 整理得， 解得． 当时，， ∵旧墙长为米，， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴符合题意； 故的长为米． 9．A 【分析】将不等式转化为，直接由图象进行求解． 【详解】解：将不等式转化为， 二次函数（）与一次函数（）的图象交于点和点， 由图象可知，的解集为或， 不等式的解集为或． 10．C 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，结合对称轴公式判断的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，由此判断结论①．利用抛物线对称轴为，结合已知交点，根据抛物线对称性求出另一个与轴的交点坐标，代入抛物线解析式判断结论②．分析时对应的抛物线上的点的位置，确定的符号，判断结论③．结合对称轴得到的与的关系，以及时的函数值为0，代入推导判断结论④．一元二次方程的两个根为和．由根与系数的关系得；．代入方程，化简得解得，．判断结论⑤． 【详解】 ∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为，由对称轴公式， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴得； ∵抛物线与轴一个交点为， ∴由对称性得另一交点为． 结论①：∵， ∴，①结论正确． 结论②：∵抛物线过点， ∴将代入解析式得，②结论正确． 结论③：∵对应的函数值，在对称轴和交点之间， ∴结合图象可知该点在轴上方，即， ∴，③结论正确． 结论④：∵和， ∴代入得，即， ∴。 ∵， ∴，即，④结论错误． 结论⑤：∵抛物线的对称轴为，与x轴交于， ∴另一个交点的横坐标为，即另一个交点为． ∴一元二次方程的两个根为和． ‌根据根与系数和关系，对于方程，两根满足， ，即；，即． 把、代入方程， 得：． ∵， ∴化简得 因式分解得，解得，，⑤结论正确． 综上，正确结论共4个． 11． 【分析】先展开原方程的乘积项，再移项合并同类项，即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：∵原方程为 展开左侧乘积项，得 将右侧常数项移到左侧，得 合并同类项，得 12． 【分析】已知一元二次方程的两个根，求两根之和，直接利用根与系数的关系计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ∴． 13． 【分析】抛物线与轴无交点，对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式小于0列不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴根的判别式， 解不等式得． 14． 或 【分析】抛物线形状相同意味着二次项系数的绝对值相等，结合已知顶点坐标，代入顶点式即可求出参数，得到抛物线表达式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状和抛物线相同， ∴ ，即或， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴ ，， 解得，， 将、、代入原式，可得抛物线表达式为或． 15． 【分析】飞机停止时滑行距离达到最大值，对于开口向下的二次函数，最大值在顶点处，先求顶点横坐标得到停止时间，再计算滑行秒和秒的距离差，即可得到停止前最后秒滑行的距离． 【详解】解：飞机刹车后停止时不再滑行，此时滑行距离取得最大值， 该二次函数中，开口向下，最大值在顶点处， ∵顶点横坐标为，其中，， ∴，即飞机滑行秒停止． 对函数配方得： ， 当时，最大滑行距离米． 停止前最后秒，即求到滑行的距离，将代入得： ， ∴最后秒滑行距离为米． 16．或 【分析】过M点作于H点，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ， 设， 是以为直角的等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， 或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 17．(1) ， (2) ， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 18．(1)证明：∵， ∴方程总有实数根； (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：依题意有，， ∵， ∴， 解得． 故的值为 19．(1)，， (2)①　② 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）的解集即为二次函数在x轴上方的图象对应的自变量的取值范围，结合二次函数的图象根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． 【详解】（1）解：令得， 解得或； 令得． 故，，． （2）解：由图象知，函数值大于0的部分在两交点之间，故的解集为． 当时，， 当时，， ∵， ∴顶点坐标为， 故当时，． 20．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）确定抛物线的对称轴，利用对称轴确定函数的增减性，然后利用最值求出参数． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的最小值为， 即， 解得． 21．(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式； （2）假设存在，过点P作轴交直线于点E，设出点P的坐标即可得出点E的坐标及的长度，利用三角形的面积公式可得出关于t的函数关系式，再列方程即可． 【详解】（1）解：将点、代入中， 得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：过点P作轴交直线于点E，如图： 当时， 解得， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ， ， ∵， ∴ 解得，， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 22．(1)秒 (2)秒 【分析】（1）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程求解即可； （2）先分别表示出，再由勾股定理列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点走完所花时间为；点走完所花时间为； 两点同时停止运动的时间为， 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ，解得或（，舍去）， 即出发秒时的面积为； （2）解：设出发秒时的长度为，则、， 在矩形中，，则， 在中，由勾股定理可得，则， ，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即出发秒时的长度为． 23．(1) (2)26元 (3)当销售单价为27元或28元时，利润最大，最大利润是780元 【分析】（1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定x的取值范围，设所获利润为w元，再列出利润w关于x的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：∵平均每天可售出50张，价格每降低1元，平均每天多售出5张， ∴每天销售量与之间的函数关系式：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为了让观众获得更多实惠， ∴x取4，此时， 答：该电影院每张《牛来》电影票的定价为26元； （3）解：根据题意得：， 解得：， 设所获利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大，当时，w随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当x取2或3时，w取得最大值，最大值为780，此时销售单价分别为28或27， 答：当销售单价为27元或28元时，利润最大，最大利润是780元． 24．(1)抛物线解析式为，顶点D的坐标为 (2)线段的长为，当时，四边形为平行四边形 (3)的面积最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． （3）解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 答案第2页（共15页） 答案第1页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $